Series y sucesiones (2012)

Apunte Español
Universidad Universidad de Girona (UdG)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas Financieras
Año del apunte 2012
Páginas 76
Fecha de subida 23/05/2014
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Descripción detallada y con ejemplos de series y sucesiones, era un power poiint!

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Tema I: Series y sucesiones • En este capítulo se analiza un tema fundamental en el aprendizaje de las matemáticas financieras: las progresiones o sucesiones. Se emplean en transferencia de capitales en partidas sucesivas tales como: • amortizaciones de créditos, • las compras a plazos, • la renta de viviendas o, • las inversiones con depósitos periódicos.
• Las sucesiones que se conocen también como progresiones, tienen múltiples aplicaciones en diversas áreas como: La economía La estadística Y otras.
I.1. Terminología y clasificación de las sucesiones • Definición 1.1: Sucesión es el conjunto ordenado de números, llamados términos de la sucesión. Se denota con an, donde el subíndice n indica la posición del término.
• A partir de esta definición, se dice que las sucesiones, en general, se representan como: a1, a2, …, an • Ejemplo 1: Sucesión, ventas anuales de una exportadora.
• Las ventas anuales de la exportadora Críticos y Derivados S.A en los últimos 7 años son: 6,80; 7,25; 8,30; 8,60; 9,70; 10,25; 12,45 • Cantidades que representan una sucesión, donde el primer término es a1 = 6,80, el segundo es a2 = 7,25 y el último es a7 = 12,45.
• Ejemplo 2: Términos de las sucesiones • Los primeros 5 términos de la sucesión dada por an = n2 – 2n son: a1 = 12 -2(1) = - 1 a2 = 22 – 2(2) o bien a2 = 0 a3 = 32 – 2(3) o bien a3 = 3 a4 = 42 -2(4), es decir, a4 = 8 Y a5 = 52 – 2(5) = 15 • Ejemplo 3: Suponiendo que los términos de una sucesión están dados por la fórmula: an = 4n - 2 1. ¿Cuáles son los primeros 4? 2. ¿Qué lugar ocupa el número 2.498 en la sucesión? 3. ¿Qué característica se observa en los términos de la sucesión? Solución Ejemplo 3 1. Para los primeros 4 se reemplaza sucesivamente n por 1,2,3,4 y entonces, a1 = 4(1) – 2 o bien a1 = 2 a2 = 4(2) – 2 o bien a2 = 6 a3 = 4(3) – 2 o bien a3 = 10 a4 = 4(4) – 2 o bien a4 = 14 2. Se reemplaza an por 2.498 y se despeja n 2.498 = 4n – 2 De donde, 4n = 2.498 + 2n = 2.500 / 4 o bien n = 625 3. Los términos crecen de 4 en 4 y este número corresponde al coeficiente de n en la fórmula dada; puede decirse que para expresar los números que van de 5 en 5, por ejemplo, el coeficiente de n en la fórmula que lo representa debe ser 5, si la ecuación es lineal.
I.2. Progresiones aritméticas. Suma de los primeros términos • Suponer que cada litro de gasolina aumenta 5 céntimos por mes y que el producto interior bruto, PIB, de España crece a razón del 2,5% anual.
• En el primer caso el precio de la gasolina en un mes cualquiera es igual al precio del mes anterior más un valor constante 5. Sin embargo, en el segundo, el PIB de cualquier año será igual al PIB del año anterior multiplicado por la constante 1,025. ¿Por qué?.
• Estos dos casos, ejemplifican la diferencia entre las progresiones aritméticas y las geométricas. En esta sección se abordan las primeras.
• Definición 1.2: Una progresión es aritmética si cada término es igual al anterior más una constante d llamada diferencia común, es decir, si el enésimo término es: an = an -1 + d • Notar que para hallar la diferencia de cualquier término se resta el que le precede, es decir, d = an – an-1 se despeja d de la ecuación anterior • Ejemplo 1: Progresión aritmética • Los primeros 5 términos de la progresión an = 4n – 3 son: a1 = 4(1) – 3 = 1 a2 = 4(2) – 3 = 5 a3 = 4(3) – 3 = 9 a4 = 4(4) – 3 = 13 a5 = 4(5) – 3 = 17 • La anterior es una progresión aritmética, ya que cada término es igual al anterior más 4 y la diferencia común es 4.
• Ejemplo 2: ¿Cuáles son los primeros 3 términos de la progresión aritmética si el cuarto es a4 = 21 y el octavo es a8 = -3?.
Solución ejemplo 2 • Como se aprecia en la siguiente figura, la diferencia entre los términos cuatro y octavo es igual a 4 veces la diferencia común.
• Por lo tanto, a8 = a4 + 4d o bien, - 3 = 21 + 4d se sustituye a8 por -3 y a4 por 21 -3 -21 = 4d 4d = -24, d = -24/4, o bien, d = -6 • Los términos anteriores al cuarto, es decir, los 3 primeros, se obtienen restando sucesivamente la diferencia, por ejemplo: a3 = a4 + d  a3 = 21 – (-6) o bien, a3 = 27 a2 = a3 + d  a3 = 27 – (-6) o bien, a3 = 33 a1 = a2 + d  a1 = 33 – (-6) o bien, a3 = 39 • En la misma figura 1, donde los puntos suspensivos indican que los términos continúan indefinidamente, se observa que para obtener cualquier término n, se debe sumar al primero (n – 1) veces la diferencia común.
• Esto quiere decir que para el quincuagésimo término del ejemplo 2 se deberá hacer lo siguiente: a50 = 39 + (50 – 1)(-6) o bien, a50 = 39 – 294 o bien, a50 = -255 ya que a1 = 39, d = 6 y n = 50 • Esto se verifica fácilmente al observar que los términos de cualquier progresión aritmética pueden escribirse, dependiendo del primer término, de la siguiente forma: a2 = a1 + d a3 = a2 + d a3 = (a1 + d) + d o bien, a3 = a1 + 2d porque a2 = a1 + d a4 = a3 + d a4 = (a1 + 2d) + d o bien, a4 = a1 + 3d ya que a3 = a1 + 2d • También se observa que en cada uno de estos términos el coeficiente de d es uno menos que el subíndice de a, lo que da lugar al siguiente teorema.
• Teorema 1.1: el enésimo término de la progresión aritmética con a1 como primer término y d como la diferencia común, es: an = a1 + (n – 1) d • Ejemplo 3: Término de la progresión aritmética.
• Encuentre el vigésimo cuarto término de la progresión aritmética -3, 12, … Solución Ejemplo 3 • Puesto que a2 = a1 + d, la diferencia es d = a2 – a1, es decir, d = 12 – (-3) o bien, d = 15. El vigésimo cuarto término es, entonces, a24 = (-3) + (24 – 1)15 a24 = -3 + 345 a24 = 342 Ejercicios I a. ¿Cuál es la diferencia de la sucesión siguiente 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...?, determina la metodología utilizada.
b. ¿Cuál es la diferencia de la sucesión siguiente 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...?, determina la metodología utilizada.
Solución ejercicios a. Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2 b. Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es xn = 5n-2 Ejercicios II a. El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.
b. Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23 Solución ejercicios II a. a 4 = 10; a 6 = 16 • a n = a k + (n - k) · d • 16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3 • a1= a4 - 3d; • a1 = 10 - 9 = 1 • 1, 4, 7, 10, 13, ...
Solución Ejercicios II b. a= 3, b= 23; • d = (b - a)/(m + 1) • d= (23-3)/(3+1) = 5; • 3, 8, 13, 18, 23.
Suma de los primeros términos • Tan útil como el enésimo término de las progresiones aritméticas es la suma de sus primeros términos. Esta suma recibe el nombre de serie y puede ser finita o infinita, aunque aquí se tratan las que son finitas.
• Puesto que cada término es igual al anterior más una constante d, también es cierto que cada uno es igual al que le sigue menos d, por eso la suma se expresa como: Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (an – 2d) + (an – d) + an O como, Sn = an + (an – d) + ( an – 2d) + … + (a1 + 2d) + (a1 + d) + a1 • Se invierte el orden de los términos.
• Al sumar las 2 ecuaciones, en el miembro izquierdo se tiene 2Sn y en el derecho se obtiene n veces a1 y n veces an, puesto que se cancelan todos los términos con d, esto es: 2Sn = na1 + nan • Por lo que al dividir entre 2 y factorizar n, esta ecuación se reduce a: Sn = (n/2) (a1 + an) • O también, Sn = n/2[a1 + (a1 + (n -1)d] puesto que an = a1 + (n – 1)d Sn = (n/2)[2 a1 + (n – 1)d] a1 + a1 = 2 a1 • Por supuesto que la elección de una u otra fórmula dependerá de los datos que se dispongan.
• Teorema 1.2: La suma desde el primer término a1, hasta el enésimo an, en una serie aritmética con diferencia común d es: Sn = (n/2)(a1 + an) o bien, Sn =(n/2)[2 a1 + (n – 1)d] • Ejemplo 4: Suma de términos de una serie aritmética.
• Se desea encontrar la suma de los primeros 20 términos de la serie aritmética: • (- 8) + (- 4) + … Solución ejemplo 4 • La diferencia común es d = a2 – a1 = (- 4) – (- 8) = 4, el primer término es a1 = - 8 y además n = 20, entonces, la suma es: S20 = (20/2) [2(-8) + (20 -1)4] S20 = 10(-16 + 76) o bien, Sn = 600 • Ejemplo 5: los primeros 15 términos en una serie aritmética suman 180 y el primero es-23.
¿Cuál es el décimo?.
Solución ejemplo 5 • En la segunda ecuación del teorema 2.2 se reemplazan a1 por -23, n por 15 y Sn por 180.
Después se despeja d, la diferencia: 180 = (15/2)[2(-23) + (15 – 1)d] 180(2)/15 = -46 + 14d • El 2 pasa multiplicando y el 15 dividiendo 24 + 46 = 14d d = 70/14 o bien, d = 5 • Entonces el décimo término es: a10 = -23 + 9(5) an = a1 + (n – 1)d o bien, a10 = 22 Ejercicios • Hallar la suma de los términos desde el decimoquinto hasta el vigésimo octavo de la progresión aritmética 6, 10, … Resolución • La diferencia común es d = 4 porque d = a2 – a1. La suma de los primeros 28 es: S28 = (28/2)[2(6) + (27)(4)] S28 = 14(120) Sn = (n/2)[2 a1 + (n – 1)d] o bien, S28 = 1.680 • La suma de los primeros 14 términos es: S14 = (14/2)[2(6) + 13(4)] S14 = 7(64) o bien, S14 = 448 • Y la suma desde el decimoquinto hasta el vigésimo octavo es igual a la diferencia entre los 2 resultados, esto es: S = 1.680 – 448 o bien, S = 1.232 I.3. Progresiones geométricas. Suma de los primeros términos • Definición 2.3: Una progresión es geométrica si cada término es igual al anterior por una constante r llamada razón común, es decir, si: an = an -1 ( r) • Note que para hallar la razón se divide un término entre el que le precede, esto es: r = an / an-1 • Ejemplo 1: Términos de una progresión geométrica.
• Los primeros 6 términos de la progresión geométrica con a1 = 4, el primer término, y r = ½, la razón común, son: a1 = 4 a2 = 4(1/2) = 2 o bien, a2= 2 a3 = 2(1/2) o bien, a3 = 1 a4 = 1(1/2) o bien, a4 =1/2 a5 = (1/2)(1/2) o bien, a5 = ¼ y a6 = (1/4)(1/2) o bien, a6 = 1/8 • Ejemplo 2: Cálculo del valor de los términos de una sucesión geométrica.
• Encontrar el cuarto y el decimosexto términos de la sucesión geométrica 3, -1, … Resolución ejemplo 2 • La razón es r = -1/3, r = a2/a1.
• El cuarto término es igual al primero multiplicado 3 veces por la razón, ¿por qué?. a4 = a1r(r ) (r ) o bien, a4 = a1r3 a4 = (3)(-1/3)3 Es decir, a4 = -1/9 • Para llegar al decimosexto, el cuarto se multiplica 12 veces por la razón. ¿Por qué? a10 = a4(r )12 = -(1/9)(-1/3)12 = (-1/3)14 o bien, a10 = -0’000000209 aproximadamente • Ya que en las progresiones aritméticas puede encontrarse cualquier término sin tener el inmediato anterior, se propone el siguiente teorema para hacerlo en las progresiones geométricas.
• Teorema 1.3: El enésimo término de la progresión geométrica, cuyo primer término es a1 y la razón es r, está determinado por: an = a1(rn-1) • Aplicando sucesivamente la definición geométrica se comprueba esta fórmula: de progresión a2 = a1r a3 = a2r = (a1r)r O bien a3 = a1r2 a2 =a1r a4 = a3r = (a1r2)r O bien a4 = a1r3 a3 = a1r2 a5 = a4r = (a1r3)r O bien a5 = a1r4 a4 = a1r3, etc • Se observa que el exponente de r, en cada término, es uno menos que el subíndice de a, es decir, tal como se indica en el teorema.
• Ejemplo 3: Cálculo del valor de un término de una progresión geométrica.
• Hallar el decimoquinto término de la progresión geométrica: (1.012)3, (1.012),… Solución Ejemplo 3 • La razón es r = a2/a1, r = 1.012 / (1.012)3, r = 1/(1.012)2 o bien, r = (1.012)-2, ya que am / an = am-n y 1/an = a-n • El primer término es a1 = (1.012)3 y n = 15 porque se pregunta el decimoquinto, entonces: a15 = (1.012)3((1.012)-2)15-1 an = a1(rn-1) a15 =(1.012)3(1.012)-28 (xm)n = xmn a15 = (1.012)-25 o bien a15 = 0.742142303 aprox.
• Ejemplo 4: los términos décimo y vigésimo sexto en una progresión geométrica son a10 = 1/128 y a26 = 512. ¿Cuáles son los primeros 3?.
Solución ejemplo 4 • El término a26 debe ser igual al décimo multiplicado 16 veces por la razón ¿por qué?, es decir, a26 = a10 ( r)16 o bien, 512 = (1/128)r16, sustituyendo, De donde, r16 = 512(128), r16 = 65.536 o bien, r = 2 • Sacando la raíz décimo sexta • También es cierto que a10 = a1r9 según el teorema 2.4. Entonces, al sustituir quedará: 1/28 = a1(2)9 o bien, a2 = (1/2)15 a2 = a1r • De donde a = (1/128)/512 a = 1/65.536 o a = 1/2 • Esto se multiplica por 2 para el segundo y, de nuevo por 2, para el tercero; es decir, 1 1 a2 = (1/2)16)(2) 1 o bien, a2 = (½)15 16 a2 = a1r • Y, a = (1/2) ) (2) a = (1/2) o bien, a = 0’000061035 aprox.
• Notar que la razón común puede ser también -2 y esto arroja otra solución posible.
3 15 3 14 3 Ejercicios I a. El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
b. El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
c. Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...
Solución Ejercicios I a. a2= 6; a5= 48; • an = ak · r n-k • 48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; • a1= a2 / r; a1= 6/2= 3 • 3, 6, 12, 24, 48, ...
r = 2.
b. a 1 = 3; • r = na / na-1 a 8 = 384; Sn = na * r – a1 / r -1 P = +-√(a1 * na)n • 384 = 3 · r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; • S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765 • P8 = √(3 * 384)8 = 1791205026816 r= 2.
c. S5 = (48 * 2) – 3 / 2 – 1 = 93 Suma de los primeros términos • La primera ecuación de las 2 siguientes es la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica. La segunda se obtiene multiplicando la primero por (-r). Después, se suman las 2: Sn = a1 + a1r + a1r2 + … + a1rn-3 + a1rn-2 + a1rn-1 -rSn = -a1 - a1r - a1r2 - … - a1rn-3 - a1rn-2 - a1rn-1 • Entonces, Sn – rSn = a1 –a1rn • Notar que al multiplicar por (-r) se suma 1 a los exponentes de r en la primera ecuación y, con excepción de a1 y an, todos los términos se cancelan al sumar las 2 ecuaciones. Después, se factoriza Sn en el miembro izquierdo de la ecuación que resultó y a1 en el derecho, es decir, Sn(1 – r) = a1 (1 – rn) x – bx = x(1 – b) • De donde, Sn = a1(1 – rn / 1 – r) o bien, Sn = a1 (rn – 1/ r – 1)) • Esta ecuación no es válida para r = 1, ya que no existe la división entre cero; pero si r = 1, todos los términos son iguales y la suma será simplemente: Sn = a1n • Esto se formaliza en el siguiente teorema.
• Teorema 1.4: Si a1 es el primer término y r es la razón constante en una serie geométrica, la suma de los primeros n términos es: Sn = a1 (1 – rn / 1 – r) si r ≠ 1 o bien, Sn = na1 si r = 1 • Ejemplo 5: ¿Cuánto suman los primeros 15 términos de la progresión geométrica 1/3, x, 3, …? Resolución ejemplo 5 • Para aplicar la ecuación del teorema 2.4 necesitamos hallar la razón, y como el tercer término es igual al primero, multiplicado 2 veces por la razón, se tiene: 3 = (1/3)r2 • De donde, al pasar multiplicando al lado izquierdo el 3 que está dividiendo en el derecho queda: • 9 = r2 y al sacar raíz cuadrada nos da que r = ±3 y esto significa que hay 2 soluciones.
Hallamos la primera con r = 3 para después poder obtener la segunda con r = -3.
S12 = (1/3) (1 -315/1 – 3) Sn = a1 (1 – rn / 1 – r) a1 = 1/3, n = 15 = (1/3)(7.174.453) • Ejemplo 6: Suma de términos de una progresión geométrica.
• Se desea obtener la suma de los primeros 18 términos de la progresión geométrica si el decimoquinto y el decimoctavo son, respectivamente, 4 y 32.
Resolución ejemplo 6 • El decimoquinto término es a15 = 4, para llegar al decimoctavo se multiplica éste 3 veces por la razón, esto es, a18 = 4( r) (r ) ( r) o bien, 32 = 4r3 • Por lo que al dividir entre 4 y sacar la raíz cúbica, queda: r3 = 8, r =3√8 o bien, r = 2 • Se reemplazan en el teorema 2.3: a15 = 4, n = 15 y r = 2, para hallar a1: 4 = a1(2)14 a15 = a1r14 • De donde, a1 = 4/(2)14 o bien, a1 = 1/(2)12 • La suma de los primeros 18 es, por lo tanto, S18 = (1/2)12(1 – 218 / 1 – 2) S18 = a1 (1 – rn / 1 – r) = 0’00024414 O bien, S18 = 62’99975 Ejercicio I • ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos de la sucesión an= 2, 6, 18, 54, 162, ....? Resolución ejercicio I • Es una sucesión geométrica con a1=2 y r=3 Primero calculamos a10 con la fórmula del término general a10=2· 3 10-1 = 2· 39 = 2·19.683 = 39.366 Sustituimos ahora en la fórmula de la suma y tendremos • S10 = (a10 * r) – a1 / r -1 = 39366’3 – 2 / 3 -1 = 118096 / 2 = 59048 I.4. Algunas aplicaciones • En esta sección es un compendio de ejercicios que son aplicaciones reales de progresiones aritméticas y geométricas.
Ejemplo 1 • Un empleado deposita en una cuenta bancaria $250 la primera quincena , $265 la segunda, y así sucesivamente incrementa sus depósitos en $15 cada quincena. Sin considerar intereses, determinar: 1. ¿Cuánto deposita la quincena número 27? 2. ¿En qué quincena deposita $955? 3. ¿con cuántos depósitos logra acumular $12.670 en su cuenta? 4. ¿Cuánto dinero tiene luego de 40 depósitos quincenales? Ejemplo 2 • Devaluación de la moneda nacional.
• Si la moneda se devalúa $0,0003 por día.
¿cuánto se devaluará en 10 meses? Si el 18 de noviembre la paridad fue de $12,09 por dólar, ¿Cuál será para el 16 de mayo siguiente?.
Resolución ejemplo 1 1. El primer depósito corresponde al primer término de una sucesión aritmética, ¿por qué?. La diferencia constante es d = 15 y n = 27, la pregunta es a27 por lo tanto.
a27 = 250 + (27 – 1)(15) a1 = 250 el primer depósito a27 = 250 + 26(15) a a27 = $640 2. Aquí la cuestión es n para que an = 955, entonces, 955 = 250 + (n – 1) (15) an = a1 + (n – 1)d • Para despejar n, el 250 pasa restando, el 15 dividiendo y finalmente se suma 1 a los lados.
(955 – 250)/15 = n – 1 47 = n – 1 o bien, n = 48 • Quiere decir que 2 años después es cuando deposita los 955 unidades.
3. También aquí la duda es n para que la suma de todos los depósitos sea Sn = $12.680 12.670 = (n/2)[2(250) + (n – 1)15] Sn = (n/2)[2 a1 + (n – 1)d] • Se multiplica todo por 2 y se hacen las operaciones entre los corchetes 12.670 (2) = n(500 + 15n – 15) 25.340 = 485n + 15n2 a(x + y) = ax + ay • Se divide entre 5 y se reordenan los términos 3n2 + 97n – 5.068 • Se resuelve con la fórmula general de las cuadráticas, con a = 3, b = 97 y c = -5.068 N = -97 ± √972 – 4(3)(-5.068)/2(3) • Es decir, n1 = 28 y n2 = -60’3 • El valor negativo se desecha. Entonces, luego del depósito número 28 tendrá los $12.670 en su cuenta.
4. La suma de los 40 pagos quincenales es: S40 = (40/2([2(250) + (40 – 1)15] S40 = 20(500 + 585) o bien S40 = 21.700$ • Y esto es lo que tendrá en su cuenta luego del cuadragésimo depósito.
Resolución ejemplo 2 1. La devaluación que se alcanza en 10 meses (300 días) es simplemente la multiplicación del número de días por la devaluación diaria en pesos.
300(0’0003) = 0’09 2. Con ayuda de un calendario notamos que el 16 de mayo corresponde al 136º día del año. Si a1 es la paridad del 18 de noviembre anterior, entonces la del 16 de mayo será a179. La diferencia común en $ es d = 0’0003, por lo que: a179 = a1 + (179 – 1)d a179 = 12’09 + 178(0’0003) a179 = 12’09 + 0’0534 o bien a179 = 12’1434 • Será la cotización de cada $ el 16 de mayo, de acuerdo a las condiciones supuestas.
• Notar que de noviembre 18 al 31 de diciembre quedan comprendidos 43 días y los 136 del año siguiente dan como resultado los 179 del valor para n, el número de días comprendidos entre las 2 fechas.
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