Solucions Seminari 2 (2017)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2017
Páginas 6
Fecha de subida 18/06/2017
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Matemàtiques III Curs 2014-2015 Seminari 2. Concavitat i convexitat. Lagrange Problema 1: Estudieu si les funcions següents són còncaves/convexes a través de l’estudi dels valors propis de les seves matrius Hessianes: 4.1. f ( x, y, z ) = 3 x 2 + y 2 − 2 xy + e z 4.2. f ( x, y, z ) = x + ye z 4.3. f ( x, y, z ) = zx + 3 y 2 4.4. f ( x, y, z ) = e x + y + z 4.5. f ( x, y, z ) = − 2 x 2 + xy + y 2 + xz + z 2 ( ) Solució Problema 1: 1.1. La matriu Hessiana ve donada per  6 −2 0   − 2 2 0   0 0 e z   El polinomi característic ve donat per (e z ) − λ [(6 − λ )(2 − λ ) − 4], que té com arrels: 4 + 2 2 ,4 − 2 2 , e z .
Aquests valors propis són positius, i per tant la matriu Hessiana és definida positiva a tot el domini. La funció és estrictament convexa en tot R 3 .
1.2. La matriu Hessiana ve donada per 0 0  0 0  0 ez  El polinomi característic ve donat per 0   ez  ye z  (− λ )[(ye z − λ )(− λ ) − e2 z ], que té com arrels: 1 z 1 e y + y 2 + 4 , e z y − y 2 + 4 ,0 2 2 ( ) ( ) El primer valor propi és sempre positiu per a tot valor de y i el segon valor propi és sempre negatiu per a tot valor de y. Per tant la funció no és ni còncava ni convexa.
1.3. La matriu Hessiana ve donada per 1 0 0 1   0 6 0 1 0 0   El polinomi característic ve donat per (6 − λ )(λ2 − 1), que té com arrels: – 1, 1, 6.
Hi ha valors propis positius i valors propis negatius, la Hessiana és indefinida com a forma quadràtica i i per tant la funció no és còncava ni convexa.
1.4. La matriu Hessiana ve donada per  ex+ y+ z  x+ y+ z e  ex+ y+ z  ex+ y+ z ex+ y+ z ex+ y+ z ex+ y+ z   ex+ y+ z  e x + y + z  El polinomi característic ve donat per 3λ2e x + y + z − λ3 = 0. Les seves arrels són: 0, 0, 3e x + y + z . Dos valors propis zero i el tercer positiu; la Hessiana és semidefinida positiva i per tant la funció és convexa.
1.5. La matriu Hessiana ve donada per − 4 −1 −1    −1 − 2 0   − 1 0 − 2   3 2 El polinomi característic ve donat per − λ − 8λ − 18λ − 12. Les seves arrels són: -2, − 3 + 3 ,−3 − 3. Les tres arrels són negatives, la Hessiana és definida negativa en tot el seu domini i per tant la funció és estrictament còncava.
Problema 2: Repetiu el problema 1, però mitjançant el càlcul dels menors principals de la matriu Hessiana corresponent.
2.1 La matriu Hessiana venia donada per  6 −2 0   − 2 2 0   0 0 e z   Els seus menors principals dominants són 6, 8 i 8e z . Per tant la Hessiana és definida positiva i la funció és estrictament convexa.
2.2 La matriu Hessiana venia donada per 0 0  0 0  0 ez  2 0   ez  ye z  Menors d’ordre 1: 0,0, ye z . Menors d’ordre 2: − e 2 z ,0,0. Menors d’ordre 3: 0 No és ni còncava ni convexa atès que un menor d’ordre 2, − e 2 z , és <0.
2.3 La matriu Hessiana venia donada per  0 0 0   0 6 1  0 1 0   Menors principals d’ordre 1: 0,6,0. Menors d’ordre 2: − 1,0,0. Menors d’ordre 3: 0. No és ni còncava ni convexa.
2.4 La matriu Hessiana venia donada per  ex+ y+ z ex+ y+ z  x+ y+ z ex+ y+ z e  ex+ y+ z ex+ y+ z  ex+ y+ z   ex+ y+ z  e x + y + z  Menors principals d’ordre 1: e x + y + z , e x + y + z , e x + y + z . D’ordre 2: 0,0,0. D’ordre 3: 0. Tots els menors principals són més grans o iguals que zero i per tant la Hessiana és semidefinida positiva i la funció és convexa.
2.5 La matriu Hessiana venia donada per − 4 −1 −1    −1 − 2 0   − 1 0 − 2   Menors dominants : -4,7,-12. Tots tenen el mateix signe que (−1) k , on k denota l’ordre. La Hessiana és definida negativa i, per tant la funció és còncava.
Problema 3: Useu el mètode de Lagrange per trobar (si existeixen) els màxims i els mínims de la funció següent. Raoneu per què els punts trobats són màxims/mínims i, si no hi ha màxim o mínim, indiqueu per què.
f ( x, y ) = e xy ; s.t x + y 2 = 1; x ∈ [0,1] Solució Problema 3: Considerem la funció Lagrangiana (observem que no hi ha punts de la restricció on les derivades parcials de g(x,y) siguin simultàniament iguals a zero): L = e xy − λ x + y 2 − 1 ( Construïm el sistema Lagrangià: 3 )  ∂L xy  ∂x = ye − λ = 0 (1)   ∂L xy  = xe − 2λy = 0 (2)  ∂y x + y 2 = 1 (3)   De (1) i (2), obtenim una nova equació en termes de x i y : c (Observació: això ho podem fer si y no és igual a zero. Per això estudiem de forma independent què passaria si y = 0. En aquest cas, (1) ens diu que λ = 0 i aleshores (2) ens diu que x = 0. Però notem que tot això és incompatible amb (3)).
Aleshores, substituint 2 y 2 = x en (3) ens dóna que 3 y 2 = 1 , d’on obtenim quec.
2 2 1  , amb 3  Aleshores obtenim els punts candidats  , 3 e − λ= e 3 3 3 , 2 i  , − 3 1  , amb 3  2 3 3 .
3 Hem de tenir en compte també els candidats (0,1) i (0,-1), ja que tal i com veiem al dibuix, aquests punts corresponen a l’inici/final de la corba λ=− 1.5 1y 0.5 -2 -1.5 x-1 0 -0.5 0.5 1 -0.5 -1 -1.5 Notem que la restricció és un conjunt tancat i afitat, i per tant podem aplicar el Teorema dels valors extrems: 2 2 − 2 1 2 1 f , = e 3 3 , f  , −  = e 3 3 , f (0,1) = 1, f (0, −1) = 1  3 3 3 3     2 1  és el màxim i Obtenim doncs que  ,  3 3   2 1  ,−  és el mínim.
3  3   Problema 4: Considerem el problema . Raoneu que qualsevol punt estacionari del sistema Lagrangià serà un mínim.
4 Solució Problema 4: Escrivim la funció Lagrangiana: on λ és el multiplicador de Lagrange.
La matriu Hessiana corresponent serà .
Observeu que els tres menors principals dominants són positius. En etecte, Llavors la funció lagrangiana és estrictament convexa. El Teorema de suficiència global ens diu aleshores que qualsevol punt estacionari serà un mínim.
Problema 5 (Aquest problema és de l’examen de juny de 2014).
Solució: Si escrivim el sistema de Lagrange veurem que la λ per qualsevol dels dos punts és igual a 3/2. Amb aquesta λ la funció Lagrangiana és còncava (es pot veure a partir de la matriu Hessiana) i per tant aquests dos punts són màxims. D’altra banda, la 5 restricció és la superfície d’una esfera. Es tracta d’un conjunt tancat i afitat i per tant podem aplicar el Teorema dels Valors Extrems, que ens diu que hi ha màxim i mínim.
Per tant hi ha un altre punt que ha de ser mínim. Com a la restricció tots els punts són interiors, el mínim haurà de ser solució del sistema de Lagrange. Per tant ha d’haver-hi més punts solució del sistema de Lagrange.
6 ...

Comprar Previsualizar