Matriz de Jordan (2017)

Apunte Español
Universidad Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Grado Matemáticas y Estadística - 1º curso
Asignatura Algebra Lineal
Año del apunte 2017
Páginas 3
Fecha de subida 08/07/2017
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Descripción

Ejemplo matrices de Jordan y diagonalizacion

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´ ALGEBRA LINEAL. Forma can´onica de Jordan.
Ejemplo. C´alculo de la forma can´onica de Jordan de la matriz   2 0 3 0  1 2 0 3   A=  0 0 2 0  0 0 1 2 1o ) Calculamos el polinomio caracter´ıstico: pA (x) = A= 2−x 0 3 0 1 2−x 0 3 0 0 2−x 0 0 0 1 2−x = (2 − x)4 que nos da el valor propio d = 2, con m(2) = 4.
2o ) Calculamos la dimensi´on del subespacio propio asociado al valor propio obtenido:   0 0 3 0  1 0 0 3   dimV (A − 2I4 ) = 4 − rg(A − 2I4 ) = 4 − rg   0 0 0 0  = 4 − 2 = 2.
0 0 1 0 Como dimV (A − 2I4 ) = 2 = m(2) = 4, A no es diagonalizable (saldr´an 2 bloques de Jordan) y debemos seguir calculando dimensiones → paso 3.
3o ) Calculamos las dimensiones de Ker(A − 2I4 )k (k = 1 est´a hecho en 1o ), as´ı que empezamos por k = 2,..., hasta que tengamos el polinomio m´ınimo: hasta que la dimensi´on calculada coincida con m(2)):   0 0 0 0  0 0 6 0   dimKer(A − 2I4 )2 = 4 − rg(A − 2I4 )2 = 4 − rg   0 0 0 0 =4−1=3 0 0 0 0 Para (A − 2I4 )3 se tiene que (A − 2I4 )3 = 04 , por lo que dimKer(A − 2I4 )3 = 4 = m(2) (como es el n´ ucleo y aplicamos la matriz nula 04 , es la dimensi´on del total), y el polinomio m´ınimo de A es mA (x) = (x − 2)3 (m´ınimo polinomio que anula, y que es divisor del polinomio caracter´ıstico).
4o ) Hacemos un recuadro donde, el n´ umero de filas es el exponente del polinomio m´ınimo, y el n´ umero de columnas de cada fila viene dado por: ´ Ultima fila: dimV (A − 2I) − dimKer(I) = 2 − 0 = 2 Fila de enmedio: dimKer(A − 2I)2 − dimV (A − 2I) = 3 − 2 = 1 Primera fila: dimKer(A − 2I)3 − dimKer(A − 2I)2 = 4 − 3 = 1 Entonces queda el cuadro: ker(A − 2I)3 v1 2 ker(A − 2I) v2 = (A − 2I)v1 ker(A − 2I) v3 = (A − 2I)2 v1 u1 donde v1 es un vector cualquiera de Ker(A − 2I)3 que no pertenezca a Ker(A − 2I) y u1 es un vector de Ker(A − 2I) linealmente independiente con los vi (i=1,2,3).
2 Tomando por ejemplo v1 = (0, 0, 1, 0) (sirve cualquier vector pues KerV (04 ) = R4 , teniendo en cuenta que no debe verificar (A − 2I)2 v1 = 0 para que no pertenezca a Ker(A − 2I)2 ), obtenemos v2 y v3 :      0 0 3 0 0 3  1 0 0 3  0   0      v2 = (A − 2I)v1 =   0 0 0 0  1  =  0  0 0 1 0 0 1      0 0 0 0 0 0      0 0 6 0  0   6   v3 = (A − 2I)2 v1 =   0 0 0 0  1  =  0  0 0 0 0 0 0 Para u1 podemos tomar, por ejemplo, u1 = (3, 0, 0, −1).
Queda entonces el recuadro: ker(A − 2I)3 v1 = (0, 0, 1, 0) ker(A − 2I)2 v2 = (3, 0, 0, 1) ker(A − 2I) v3 = (0, 6, 0, 0) u1 = (3, 0, 0, −1) y la base B = {(0, 0, 1, 0), (3, 0, 0, 1), (0, 6, 0, 0), (3, 0, 0, −1)}.
4o ) Como hay dos columnas, se tienen dos bloques de Jordan, uno de dimensi´on 3 y otro de dimensi´on 1, con vectores asociados los de la primera y segunda columna respectivamente:   2 0 0 0  1 2 0 0   J =  0 1 2 0  0 0 0 2 siendo la matriz de paso P , tal que A = P JP −1 la formada por los vectores obtenidos puestos por columnas:  0  0 P =  1 0 3 0 0 1  0 3 6 0   0 0  0 −1 Nota: Cuando hay m´as de un valor propio, se sigue el procedimiento anterior para cada uno: cada uno un recuadro, considerando el n´ umero de filas correspondiente con el exponente del monomio de ese valor propio en polinomio m´ınimo; por ejemplo, para la matriz A con polinomio m´ınimo mA = (x + 1)2 (x − 3) habr´ıa dos filas en el recuadro de d = −1 y una para d = 3.
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