Examen febrer 2005 (2005)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2005
Páginas 1
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Matem` atiques 23816 Ci` encies Ambientals Convocat`oria de Febrer 24 de gener de 2005 x+1 .
− 3x + 2 (b) Quantes solucions t´e l’equaci´o ex = x + b ? Justifiqueu la resposta, que dependr`a del valor del par`ametre b.
1. (a) Doneu el domini de definici´o de la funci´o f (x) = x2 (c) Trobeu els extrems absoluts de la funci´o h(x) = ex − x − b a l’interval [1, 3].
√ 3 2. Calculeu aproximadament el valor de 1.1 mitjant¸cant el polinomi de Taylor de grau 3 de la √ funci´o f (x) = 3 1 + x. Estimeu l’error com`es.
3. Calculeu el valor de a per tal que l’`area definida entre x = 0 i x = 1/2 per la corba f (x) = a 1 + 4x2 sigui igual a l’`area definida entre x = 0 i x = 3 per la corba g(x) = 9 − x2 .
Indicaci´ o: per a fer la integral de g useu el canvi de variable x = sin t i recordeu que cos2 t = 1 + cos(2t) .
2 4. (a) Sigui P (t) la poblaci´o de truites que hi ha en un llac a l’instant t. Suposem que l’aliment de les truites ´es limitat; aleshores el creixement de la poblaci´o segueix l’equaci´o log´ıstica dP = kP dt 1− P N , on k ´es una constant positiva i N ´es la capacitat de suport.
i. Com es veu modificada l’equaci´o log´ıstica si un pescador treu un nombre de truites proporcional al nombre de truites del llac, amb una constant de proporcionalitat α > 0? ii. Suposeu que α < k. Determineu els punts d’equilibri del nou model i feu-ne un estudi qualitatiu.
iii. Qu`e passaria si α > k? (b) Resoleu el problema de valor inicial y = (t2 + 1) e−3y y(0) = 0.
5. (a) Determineu els extrems i punts de sella de la funci´o f (x, y) = 6x2 − 2x3 + 3y 2 + 6xy.
(b) Sigui g(x, y) = 18 − (x − 1)2 − (y − 2)2 .
i. Doneu l’equaci´o de la corba de nivell de g que passa pel punt (2, 3) i dibuixeu-la.
ii. Trobeu el pla tangent al gr`afic de la funci´o g en el punt (3, −2, −2).
Cada exercici puntua sobre 2 punts. Entregueu els exercicis en fulls separats. Escriviu el vostre nom complet i el grup al que esteu matriculats.
...