SFE_1.1 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

1. Termodin` amica dels Processos Irreversibles 1.1 Q¨ uesti´ o: Difusi´ o i dimensionalitat de l’espai. Considereu un proc´es de difusi´o de part´ıcules inicialment a l’origen ˛r = 0 en un espai de d dimensions amb condicions de contorn lliures. Raoneu com varia el radi quadr`atic mig Èr2 Í de la distribuci´ o de part´ıcules amb el temps t. Com dep`en aquesta llei amb la dimensi´o d? Soluci´ o: En d-dimensions, el camp en q¨ uesti´o, en aquest cas la densitat de part´ıcules fl(˛r, t), dep`en de d + 1 variables: ˛r = (x1 , x2 , . . . , xd ) i el temps t. Aix´ı doncs, l’equaci´o de la difusi´ o en d-dimensions pren la seg¨ uent forma: d ÿ ˆfl(˛r, t) ˆ 2 fl(˛r, t) =D .
ˆt ˆx2i i=1 (0.1) El m`etode que utilitzarem per resoldre l’equaci´o anterior ´es el de la transformada de Fourier. A difer`encia del cas que es va exposar a classe, haurem de tenir en compte que l’espai de moments (o de les ˛k) t´e d-dimensions, ˛k = (k1 , k2 , . . . , kd ). Varem veure que en 3 dimensions, la soluci´ o a l’equaci´o (0.1) anava a 0 per |x| æ Œ. Suposem que passa el mateix en d-dimensions; aquesta, ´es condici´o suficient per tal que existeixi la transformada de Fourier de fl(˛r, t): fl˜(˛k, t). Llavors ´es possible escriure: fl(˛r, t) = Per tant, ⁄ ˆfl(˛r, t) = ˆt ··· ⁄ =D =D d ÿ ⁄ Rd ⁄ = ≠D ··· ··· ⁄ ··· ⁄ Rd 1 ˛ fl˜(˛k, t)e+ik·˛r dd k.
(2fi)d (0.2) 1 ˆ fl˜(˛k, t) +i˛k·˛r d e d k (2fi)d ˆt ˆ 2 fl(˛r, t) ˆ2 D = D ˆx2r ˆx2r r=1 r=1 d ÿ ⁄ ⁄ A⁄ Rd ⁄ Rd ··· ⁄ ··· ⁄ Rd d ÿ 1 ˆ2 ˛k, t) fl ˜ ( (2fi)d ˆx2r r=1 1 fl˜(˛k, t) (2fi)d Rd B d Ÿ 1 ˛ fl˜(k, t) e+ik¸ x¸ dd k (2fi)d ¸=1 A d ÿ r=1 A d Ÿ B ¸=1 2 2 i |kr | (0.3) e+ik¸ x¸ dd k BA d Ÿ 1 ˛ fl˜(˛k, t)|˛k|2 e+ik·˛r dd k.
d (2fi) +ik¸ x¸ e ¸=1 B dd k Tenint en compte (0.1) i utilitzant les expressions acabades de calcular, resulta que ⁄ ··· ⁄ Rd 1 (2fi)d A B ˆ fl˜(˛k, t) ˛ + Dfl˜(˛k, t)|˛k|2 e+ik·˛r dd k = 0.
ˆt (0.4) L’equaci´ o (0.4) ha de ser v` alida per a qualsevol mode, i.e., ’ dkr , r = 1, 2, . . . , d i la u ´nica manera d’assegurar-nos de que aix`o ´es aix´ı, ´es fer: ˆ fl˜(˛k, t) + Dfl˜(˛k, t)|˛k|2 = 0.
ˆt 1 (0.5) Com podem veure, l’equaci´ o de la difusi´o en l’espai de moments aparenta ser (i ho ´es) bastant m´es f` acil de resoldre que en l’espai de les posicions. Integrant (0.5) obtenim ˛ 2 Dt fl˜(˛k, t) = fl˜(˛k, 0)e≠|k| (0.6) , essent fl˜(˛k, 0) la transformada de Fourier de fl(˛r, 0). Si les part´ıcules es troben inicialment (t = 0) a ˛r = 0, “totes en el mateix punt”, i el nombre de part´ıcules per md ´es N , el que tenim ´es: fl(˛r, 0) = N ” d (˛r), o sigui, fl˜(˛k, 0) = N .
Per trobar la soluci´ o en d-dimensions, sols cal tornar a l’espai de les posicions efectuant l’anti-transformada de (0.6); utilitzant (0.2), fl(˛r, t) = = ⁄ ⁄ ··· ··· ⁄ Rd ⁄ Rd 1 ˛2 ˛ N e≠|k| Dt+ik·˛r dd k (2fi)d |˛ r |2 1 ≠Dt(˛k≠˛k0 )2 ≠ 4Dt d N e d k, (2fi)d (0.7) en aquest darrer pas, el que em fet ´es escriure l’exponent de manera que ens sigui m´es i˛ r f`acil resoldre la integral, amb ˛k0 = 2Dt . Es segueix, |˛ r |2 1 ≠ 4Dt fl(˛r, t) = N e (2fi)d |˛ r |2 1 ≠ 4Dt = N e (2fi)d 1 Ne = (2fi)d |˛ r |2 ≠ 4Dt |˛ r |2 1 ≠ 4Dt = N e (2fi)d ⁄ ⁄ ··· ··· d Ÿ ⁄ ⁄ ⁄ Rd r=1 R 3⁄ R 2 e≠Dt(k≠k0 ) dd k ˛ ˛ Rd A exp ≠Dt ≠Dt(kr ≠k0r )2 e ≠Dt(k≠k0 )2 e dk d ÿ r=1 2 (kr ≠ k0r ) B dd k (0.8) dkr 4d .
Fixem-nos en la darrera integral, notar que t´e una certa semblan¸ca a la integral gaussiana. Si identificam Dt © 2ˆ‡1 2 , tenim la integral de Gauss tret d’un factor de normalitzaci´ o, |˛ r |2 1 ≠ 4Dt fl(˛r, t) = N e (2fi)d A⁄ R ≠ e (k≠k0 )2 2ˆ ‡2 dk Bd = |˛ r |2 Ô 1 ≠ 4Dt N e ( 2fiˆ ‡ )d .
(2fi)d (0.9) Ho arreglam una mica i trobam: fl(d) (˛r, t) = |˛ r |2 1 ≠ 4Dt N e (4fiDt)d/2 (0.10) La soluci´ o a l’equaci´ o de la difusi´o en d-dimensions segueix sent una gaussiana com ho era en el cas unidimensional. Comparant amb la forma de la gaussiana (1-D), aquesta ´es (x≠µ)2 1 fgauss. (x) = Ô e≠ 2‡2 (0.11) 2fi‡ on µ ´es el valor esperat de la variable x i ‡ la desviaci´o t´ıpica, tenim que en el nostre cas Ô µ ˛ = È˛rÍ = 0, ‡i = 2Dt (per a cada component xi , i = 1, . . . , d).
(0.12) 2 Tal i com ja s’havia comentat a teoria, acabam de demostrar que l’amplada de la distribuci´ o que representa com ´es el proc´es de difusi´o de les part´ıcules, no dep`en de la dimensionalitat de l’espai, sin´ o que sempre va com l’arrel de t. Per determinar com varia el radi quadr` atic mig, utilitzam la seg¨ uent relaci´o: ‡i2 = Èx2i Í ≠ Èxi Í2 =∆ Èx2i Í = ‡i2 + Èxi Í2 , i donat que È˛r 2 Í = d ÿ i=1 Èx2i Í, utilitzant (0.13) arribam a d ÿ È˛r 2 Í = (0.13) i=1 [‡i2 + Èxi Í2 ] = d ÿ ‡i2 + i=1 i=1 Per`o com he indicat en (0.12), È˛rÍ = 0 i ‡i = È˛r 2 Í = d ÿ d ÿ Ô Èxi Í2 = d ÿ i=1 ‡i2 + È˛rÍ2 .
(0.14) 2Dt. Finalment: 2Dt = 2dDt (0.15) i=1 Podem veure que el radi quadr`atic mig varia linialment amb el temps; tamb´e dep`en linialment amb la dimensionalitat de l’espai, d.
Per assegurar-nos de que hem calculat È˛r 2 Í correctament, procedim a partir de la definici´ o, entenent fl(d) (˛r, t) com una distribuci´o normalitzada (per aix`o s’inclou el factor 1/N ).
ù En els pr` oxims c` alculs utilitzo la seg¨ uent integral del “Schaum”: Ô ⁄ +Œ fi 2 ≠ax2 x e dx = 3/2 .
2a ≠Œ 2 ⁄ ⁄ 1 fl(˛r, t)dd r N ⁄ ⁄ |˛ r |2 1 ≠ 4Dt d = ··· |˛r|2 e d r (4fiDt)d/2 Rd È˛r Í = ··· Rd |˛r|2 1 = (4fiDt)d/2 d © (4fiDt)d/2 ⁄ ⁄ ··· R ⁄ Rd A d ÿ x2 x2r r=1 1 x21 e≠ 4Dt dx1 ⁄ BA d Ÿ x2 ¸ ≠ 4Dt e dx¸ ¸=1 ··· ⁄ Rd≠1 ≠ e B 2 x2 2 +···+xd 4Dt A⁄ Bd≠1 Ô x2 d fi 2 3/2 ≠ 4Dt © (4Dt) e dx2 .
(4fiDt)d/2 2 R (0.16) dx2 . . . dxd Novament, la darrera integral ´es la integral d’una gaussiana 1D centrada a 0 i de Ô desviaci´ o t´ıpica ‡ ˜ = 2Dt. Degut a que aquesta ha d’estar ben normalitzada, sabem Ô Ô que la integral d´ ona 2fi˜ ‡ = 4fiDt. Per tant, Ô 1Ô 2d≠1 d fi 2 3/2 È˛r Í = (4Dt) 4fiDt .
(0.17) (4fiDt)d/2 2 3 Arreglant-ho una mica es troba È˛r 2 Í = 2dDt, expressi´ o per el radi quadr` atic mig que coincideix amb (0.15).
4 (0.18) ...