seminari 2 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Criminología y Políticas Públicas de Prevención - 1º curso
Asignatura Instruments matemàtics i informàtics
Profesor A.F.
Año del apunte 2014
Páginas 9
Fecha de subida 31/03/2015
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

Instruments Matemàtics i Informàtics Grau en Criminologia i Polítiques de Prevenció Curs 2013-2014 SEMINARIS “INSTRUMENTS MATEMÀTICS I ANÀLISI DE DADES” SEMINARI 2: Setmana 6 1.
En Joan ha obtingut una beca per anar a seguir un curs d’estiu en Criminologia Quantitativa a la School of Criminology de la Simon Fraser University. L’import de la beca és de 1500€. Suposa que rep la beca per marxar l’any 2012. Per saber els tipus de canvi, consulta el document seminari2_tipuscanvi.ods.
a.
A partir de les dades anteriors, defineix una funció que et permeti calcular el valor en dòlars d’una determinada quantitat d’euros (arrodoneix a tres decimals). És a dir, quants dòlars em donen per cada euro. Atenció, el tipus de canvi que hauràs d’utilitzar és el de dòlar a euro! Dòlars en funció del nombre de euros. F(e). Dòlars = Euros.
Dolar canadenc = 0,765.
F(d) = e = 0,765d 0,765d = 1*e d= e / 0,765 d= 1/0,765 * e d= 1,307 * e Per cada euro, ens donen 1,307 dòlars.
b.
Substituint en aquesta funció, quin és el valor en dòlars de la beca obtinguda? Quants dòlars hagués suposat si l’hagués rebut 5 anys abans? D = 1500 € / 0,765 dòlars = 1.960,784 dòlars canadencs a l'any 2012.
D = 1500 € / 0,654 dòlars = 2.293,578 dòlars canadencs a l'any 2007.
c.
Representa la gràfica d'aquesta funció (la de 2012). Quina és la seva pendent? Interpreta’n el seu significat.
La pendent d'aquesta funció és 1,307. El dòlar se situa per sobre del euro i la distància cada cop és major.
2500 Dòlars 2000 1500 1000 500 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Euros d.
En Joan decideix comprar una certa quantitat de dòlars abans de marxar. Suposa que el banc A li cobra una comissió única de 115$ per la venda de moneda estrangera. Escriu la funció que dóna el nombre de dòlars que s'obté al banc A per cada euro que es canvia.
D = 1,307 * e - 115 e.
Representa la seva gràfica i compara-la amb la que has obtingut en l’apartat a). Què ha canviat? Com són entre si les dues gràfiques? Per què? En aquesta gràfica podem observar que hi ha números negatius a causa de l'introducció de la comissió de 115$. Les dues gràfiques són molt semblants ja què, existeix una correlació positiva entre les dues variables, és a dir, a mesura que augmenta la quantitat d'euros, augmenta també la quantitat de dòlars que dóna el banc. La pendent es manté, però el que fa la gràfica diferent és que abans era d=1,307x+0 i ara és d=1,307x-115.
2000 Dòlars 1500 1000 500 0 0 -500 200 400 600 800 1000 1200 1400 Euros f.
Suposa, que el banc B, en lloc de cobrar una comissió fixa, el que fa és cobrar una comissió igual a un 11% de la quantitat total de dòlars que acaba rebent. Escriu la funció que expressa quants dòlars et dóna el banc B per cada euro que hi canvies. Quina és ara la pendent? D = 1,307 · e – (0,11 · 1,307 · e).
La pendent és 1,63. [Càlcul: d=1,307e – 0,14377e = 1,63e].
g.
Si abans de marxar en Joan vol canviar la meitat de la seva beca en la moneda del lloc de destí, a quin banc li convindrà més anar, a l’A o al B? I si vol canviar dos terços de la seva beca? Justifica les respostes.
Banc A: Banc A: D(e) = 1’307 * e – 115 D(e) = 1’307 * e – 115 D(750) =1’307 * 750 – 115 D(1000) =1’307 * 1000 – 115 D (750) = 865’25 dòlars D (1000) = 1192 dòlars Banc B: Banc B: D(e) = 1’307 * e – 0’11 (1’307 * e) D(e) = 1’307 * e – 0’11 (1’307 * e) D(750) = 1’307 * 750 – 0’11 (1’307 * 750) D(1000) = 1’307 * 1000 – 0’11 (1’307 * 1000) D(750) = 980’25 – 0’11 (980’25) D(1000) = 1307 – 0’11 (1307) D (750) = 872’423 dòlars D (1000) = 1163’23 dòlars Si vol canviar la meitat de la beca li convé anar al banc B. En canvi, si vol canviar dos terços, al banc A.
Això és perquè en el banc A la quantitat de la comissió és fixa mentre que en el banc B la quantitat de comissió augmenta a mesura que ho fa el diner que es vol canviar.
1600 h.
Calcula quin és el nombre de dòlars que hauria de comprar per tal que li fos indiferent fer la gestió al banc A o al B. Elabora un sol gràfic on estiguin representades les funcions anteriors del banc A i B, on es troba aquest punt? Expressa’n les coordenades amb les unitats monetàries pertinents.
Banc A -> d=1,307e – 115 Banc B -> d=1,307e – (0,11·1,307e) Com el número de dòlars ha de ser igual, s’igualen les funcions del banc A i el banc B.
1,307e-115 = 1,307e – (0,11·1,307e) 1,307e-115 = 1,16323e e = 115/1,307 – 1,16323 e = 799,889 Aleshores substituïm aquest valor d’euros en qualsevol de les funcions i obtenim el mateix nombre de dòlars que serà: d=1,307 (799,889) – 115. D = 930,45.
d=1,307e – (0,11·1,307e). D = 930,45.
2.
L’ajuntament de Viladelcostat està pensant engegar un servei per a ajudar a la reinserció de presos a un local annex al centre penitenciari que tenen al municipi. Suposa que (i) a l'ajuntament li ha costat 8000€ acondicionar aquest espai; que (ii) el cost en termes de personal i material per a la correcta prestació del servei incrementa en 65€ per usuari; que (iii) si el nombre d’usuaris és major a 100 caldrà condicionar una nova sala del local i fer reformes per valor de 2900€ i que (iv) sempre i quan el nombre d’usuaris mensuals sigui major de 120, la Diputació Provincial farà una transferència de 50€ mensuals per cada usuari per sobre d’aquesta xifra per tal d’ajudar a l’ajuntament a prestar el servei. Donades aquestes dades: a.
Defineix una funció que expressi el cost total en funció del nombre d’usuaris. Quin tipus de funció és? X = Nombre d'usuaris. Es tracta d'una funció definida a trossos.
8.000 + 65 X 8.000 + 65 X + 2.900 8.000 + 65 X + 2.900 – 50 (X-120) si 0 < X < 100 si 100 < X < 120 si 120 < X b.
Quin és el domini de la funció? 100 pertany al domini? I 120? Hi ha alguna discontinuïtat en la funció? El domini de la funció és de tots els números reals positius [0, +∞), per tant 100 i 120 estan inclosos. Té una discontinuïtat on els punts de la gràfica presenten un salt.
c.
Representa-la gràficament (juga amb les opcions del gràfic per tal de millorar-ne la presentació – en termes de format dels eixos, colors, llegenda, títol, etc.). Comenta el comportament de la línia al llarg del seu domini.
€ Funció definida a trossos 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 f(x) 8000+65x f(x) 10900 + 65x f(x) 16900+15X 0 50 100 150 Número d'usuaris Com podem veure, el domini és de tots els reals, però trobem que a la primera funció (línea blava) el número 100 (usuaris) està inclòs i no pas al segon. A la segona funció (línea taronja) veiem que el número 100 no és inclòs, però si ho està el 120 (usuaris). Tot hi haver tres funcions, els números queden inclosos i podem dir que el domini no té cap salt.
d.
Defineix ara una funció que expressi el cost del servei per usuari. Quin tipus de funció és? Continua sent una funció definida a trossos.
8.000 + 65 X si 0 < X < 100 X 8.000 + 65 X + 2.900 si 100 < X < 120 X 8.000 + 65 X + 2.900 – 50 (X-120) si 120 < X X e.
Representa-la gràficament (juga de nou amb les opcions del gràfic per tal de millorar-ne la presentació).
Funció definida a trossos 18000 16000 14000 12000 € 10000 f(x) 8000+65x/x 8000 f(x) 10900 + 65x/x 6000 f(x) 16900+15X/x 4000 2000 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Número de persones Ara suposa que, en campanya electoral, el partit que governa l’ajuntament va prometre engegar aquest servei sempre i quan el cost mensual per usuari de cara l’ajuntament fos inferior a 150€.
Quin seria el nombre d’usuaris necessari per oferir el servei si el govern municipal vol mantenir la seva promesa? Utilitzant la mateixa funció que en l’apartat d, i tenint en compte les restriccions de cada equació, concloem que: 8.000 + 65 X si 0 < X < 100 X El nombre d’usuaris necessari per oferir el servei es de 95, ja que quan x= 94 el resultat és de 149,211.
8.000 + 65 X + 2.900 si 100 < X < 120 X En aquest cas no es possible, ja que atenent a les restriccions no hi ha cap nombre inferior a 150.
8.000 + 65 X + 2.900 – 50 (X-120) si 120 < X X En aquest cas, el nombre d’usuaris necessari per oferir el servei és de 126, ja que quan x=126 el resultat és de 149,127.
3.
Per a les funcions de sota, respon a les preguntes següents: a.
Quin és el domini de la funció? Per la funció el domini és de tots els reals.
Per la funció el domini és de tots els reals.
Per la funció el domini és de tots els reals.
Per la funció el domini és [0, + ∞) b.
Quina és la imatge de la funció? Per la funció la imatge és de tots els reals.
Per la funció la imatge és de tots els reals.
Per la funció la imatge és de [-4, +∞) Per la funció la imatge és de tots els reals.
c.
Quin és l’intercepte de la funció? L'intercepte de la funció és 0. [Càlcul: f(x) = -11 x → f(x) = -11 · 0] L'intercepte de la funció és -41. [Càlcul: f(x) = x – 41 → f(x) = 0-41] L'intercepte de la funció és -4. [Càlcul: f(x) = 7x²-4 → f(x) = 7·0² -4] L'intercepte de la funció és 0. [Càlcul: f(x) = √5x → f(x) = √5·0] d.
Quina o quines són les arrels de la funció? L'arrel de la funció és 0. [Càlcul: f(x) = -11X → 0/-11X → X=0] L'arrel de la funció és 41. [Càlcul: f(x) = x-41] Les arrels de la funció són √4, √7 [Càlcul: f(x) = 7x²-4 → 0 = 7x²-4 → 7x²=4 → x=√4, √7].
L'arrel de la funció és 0.
e.
Quin és el seu tipus de concavitat? La funció no té concavitat. Té una pendent constant descendent.
La funció no té concavitat. Té una pendent constant ascendent.
La concavitat de la funció és còncava cap a dalt o simplement còncava.
La funció no té concavitat. Es tracta d'una funció radical.
f.
Quin és el vèrtex de la funció (si s’escau)? És un punt mínim o un punt màxim? En quin quadrant es troba? La funció no té vèrtex. És una funció lineal.
La funció no té vèrtex. És una funció lineal.
El vèrtex de la funció és x=0,28 i y=-3.45. [Càlcul: x= -b/(2·a). x=4/(2·7) → 0,28.
y = 7·(0,28)²-4 =-3,45.
La funció no té vèrtex. És una funció radical.
g.
Representa gràficament la funció escollint els valors de “x” estratègicament.
f(x) = x - 41 -100 60 40 20 0 -50 -20 0 -40 -60 -80 -100 -120 -140 f(x) = x - 41 60 40 20 0 50 100 -100 -50 -20 0 50 100 -40 -60 -80 -100 -120 -140 f(x) = 7x² - 4 -100 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -50 -2000 0 f(x) = √5x 5 4 3 2 1 0 -15 50 -10 -5 0 100 h.
És la funció creixent o decreixent? En quins intervals? La pendent de la funció és -11. La funció és decreixent en tot el seu domini.
La pendent de la funció és creixent en tot el seu domini.
La pendent de la funció és decreixent en (-∞. -3,45) i creixent a (-3,45 +∞).
La pendent de la funció és creixent.
5 10 15 i.
Segueix els mateixos passos per a la funció intentes representar-la gràficament? Quin? Domini = R - {-3} Recorregut = R – {0} Intercepte = -0.33. [Càlcul: 1/(0-3) → 1/-3 Arrel: No en té.
Concavitat = No té concavitat.
Vèrtex = No té vèrtex.
El creixement de la funció és de (-∞. -3) U (-3, +∞).
. Et trobes amb algun problema quan ...