1r_Informe_Ncossos-Nanes_blanques (2014)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Mecànica Quàntica d'N-cossos i Sistemes Ultrafreds
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Mec` anica Qu` antica d’N -cossos i Sistemes Ultrafreds (1a Entrega avaluaci´o continuada) ——– 1 Nanes blanques: introducci´ o Les nanes blanques, juntament amb els estels de neutrons i els forats negres, formen part del que s’anomenen “objectes compactes”. La seva caracter´ıstica m´es important, ´es que el seu naixement est` a relacionat amb la mort dels estels normals, ´es a dir, amb l’esgotament de les seves fonts de combustible nuclear. De fet, tant les nanes blanques com els estels de neutrons es poden considerar com dos esglaons previs en el pendent que condueix a la fase de col·lapse total representada pels forats negres.
Centrem-nos solament en les nanes blanques. Quan l’estel es queda sense combustible, desapareix la pressi´ o cap a fora que compensava la pressi´o gravitat`oria deguda a la seva massa.
Aquest es comprimeix i es calenta, fent-se cada cop m´es petit i dens, fins que, si la seva massa inicial no ´es molt gran, l’estel no arriba a agafar prou temperatura per la ignici´o d’elements m´es pesants. Aleshores, l’estabilitat est` a garantida per la pressi´o dels electrons degenerats (deguda al Principi d’exclusi´ o de Pauli). L’objecte que queda ´es una nana blanca.
Generalment, aquestes solen tenir unes masses M ∼ 0.6M i radis R ∼ 10−2 R . El rang de densitats va dels 1010 o 1015 g/cm3 en el centre de la nana, fins a valors min´ usculs en les darreres capes de la seva atmosfera. La velocitat d’escapament ´es del 3% la velocitat de la llum, aleshores, est` a justificat el fet de tractar el sistema newtonianament. Assumint a m´es, que aquest ´es no rotant i posseeix simetria esf`erica, les equacions d’equilibri hidrost`atic s´on: GM (r)ρ(r) dP =− , dr r2 dM = 4πr2 ρ(r), dr (1.1) amb les condicions de contorn: P (r = 0) = Pc i M (r = 0) = 0. Per poder solucionar el sistema anterior, cal afegir “by hand” una equaci´o d’estat P = P (ρ). En el nostre cas, considerem com equaci´o d’estat la d’un gas de Fermi d’electrons lliures amb una relaci´o de dispersi´o relativista per a l’energia, 2 (k) = 2 |k|2 + m2 c4 .
2 Resultats En aquest exercici, mitjan¸cant el programa del campus hem resolt les equacions d’equilibri hidrost`atic (1.1) per a diferents valors de densitat central xfc. En particular, hem estudiat alguns perfils caracter´ıstics d’una nana blanca com ara la depend`encia del radi amb la massa, o el perfil de densitat en funci´ o del radi, justificant el resultats obtinguts amb alguns raonaments f´ısics simples (vegeu apartat 3). Ho hem fet per una nana blanca de 12 C (Ye = Z/A = 0.5).
Per fer l’apartat a) he modificat lleugerament el programa afegint un do que recorre d’una densitat inicial xfc = 0.1 fins a xfc = 45 amb un pas de 0.001796, guardant en cada iteraci´o la massa total i el corresponent radi. Pels apartats b) i c), he escollit com a densitat central xfc = 1 1, 2.55 i 25, donant lloc a una massa total de 0.503, 1.008 i 1.428 masses solars, respectivament.
Els gr`afics obtinguts s´ on: a) Perfil R(M ).
R(M ) 3 R(M ) (104 km) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 M (M ) b) Perfils ρ(r).
M = 0.503M M = 1.003M M = 1.428M 1014 ρ(r) (kg/m3 ) 1012 1010 108 106 104 102 1 1 10 102 103 r (km) 2 104 c) Perfils M (r).
M = 0.503M M = 1.003M M = 1.428M 1.4 M (r) (M ) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 r (km) 3 Conclusions El primer gr` afic de tots, reflecteix de manera clara que com m´es massa t´e la nana blanca, m´es petita ´es (el radi ´es menor). Tamb´e ens ho diu el tercer gr`afic. L`ogic: com m´es massa, m´es es contreu, i per tant, m´es falta fa “apinyar” els electrons per tal que es doni una pressi´ o de degeneraci´ o equivalent cap a fora, i aix´ı s’assoleixi l’equilibri. Notem el seg¨ uent: com m´es massiva, m´es petita. Aquesta ´es una propietat perillosa pels estels, i de fet, aix`o ´es el que fa que, segons les condicions, al final tot desemboqui en un estel de neutrons o un forat negre.
El mateix gr` afic, tamb´e ens diu que existeix una massa m`axima al voltant de 1.4 masses solars, l’anomenat l´ımit de Chandrasekhar. Intu¨ıtivament, una nana blanca prou massiva, i.e.
molt petita, es comprimeix tant, que pel principi d’incertesa de Heisenberg els electrons es mouen molt r`apid, donant-se la pressi´ o de degeneraci´o necess`aria per arribar a l’equilibri. Per`o ´es clar que els electrons no es poden moure m´es r`apid que c. El l´ımit 1.4M , ´es el l´ımit m´es enll`a del qual, la velocitat a la qual s’haurien de moure els electrons per tal de generar una pressi´o de degeneraci´o que assegur´es l’estabilitat, ´es major que la velocitat de la llum. Per aquesta ra´o, al voltant de 1.4 masses solars en el gr` afic R(M ), el radi tendeix a “zero” r`apidament.
Tot el que hem dit ´es consistent amb el segon gr`afic, el qual ens diu que a m´es massa, m´es densa ´es la nana. Obvi, ja que a m´es massa, menor ´es el radi. En el cas que considerem una nana blanca d’heli, donat que aquest element preserva el factor de proporci´o Ye = Z/A = 1/2, els resultats no canvien (els plots obtinguts s´on v`alids per tot element tal que Ye = 1/2).
El que resulta m´es curi´ os d’aquest treball, ´es que el sistema que estem considerant “unifi- 3 ca” en algun sentit, el m´ on microsc` opic amb el m´on macrosc`opic: una propietat microsc`opica fonamental com ho ´es el car` acter fermi`onic dels electrons, condiciona totalment l’estructura macrosc`opica de les nanes blanques.
Una possible extensi´ o del treball consistiria en implementar la versi´o relativista de les equacions d’equilibri hidrost` atic, l’anomenada equaci´o de Tolman-Oppenheimer-Volkov (en unitats geom`etriques), dP (P + ρ)(M (r) + 4πr3 P ) =− .
(3.1) dr r(r − 2M (r)) Notem que l’equaci´ o anterior ´es no lineal, la qual cosa ens convida d’entrada a resoldre-la num`ericament. Com en el cas newtoni` a, l’equaci´o (3.1) ens diu que una gran densitat d´ona lloc a un fort gradient de pressi´ o. La caracter´ıstica important, per`o, ´es que el mateix ´es cert per la pressi´o (a difer`encia del que ens diu (1.1)). Aix`o ´es el que d´ona lloc a la no linealitat: a l’igual que la densitat de massa, la pressi´ o tamb´e ajuda al col·lapse. Aquesta ´es una caracter´ıstica de la RG en si, en la teoria de Newton la pressi´o no t´e cap efecte gravitatori.
4 ...