Integrales (de todo tipo) (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 28
Fecha de subida 29/09/2014
Descargas 0
Subido por

Descripción

Integrales primitivas, inmediatas, cambio de variables, por partes, irracionales, trigonométricas

Vista previa del texto

Integració. Funcions Primitives 1) Integrals Immediates i Quasi Immediates 1) Resoleu les integrals indefinides següents 1. 1  x 5 dx  x 5 dx  1. 2  dx dx  x2  x −2 dx  1. 3  dx  3 x2   x −2/3 dx   x6  c 6 dx dx x2 x −1  c  − 1  c x −1 dx x2 3 x −2/31  c  x 1/3  c  3 3 x  c −2/3  1 1/3 1. 4 1 − x x dx 1 − x x dx  x 1/2 − x 3/2 dx   x 1/2 dx −  x 3/2 dx  x 3/2 − x 5/2  c 3/2 5/2  2 x 3/2 − 2 x 5/2  c 5 3 1. 5   x 3  5x 2 − 4 dx x2 2 x  5 − 42 dx  x  5x − 4  x −2 dx 2 x 2 −1 2  x  5x − 4 x  c  x  5x  4x  c 2 −1 2 x 3  5x 2 − 4 dx  x2  1. 6 x 3  23x 2 dx En aquest cas notem que si u  x 3  2, aleshores u ′  3x 2 . Per tant x 3  23x 2 dx   u  u ′ du  3 2 u 2  c  x  2  c 2 2 1. 7 x x 2  2 dx En aquest cas si fem u  x 2  2, tenim que du  2xdx. Aleshores x x 2  2 dx  1  2xx 2  2 1/2 dx 2 3/2   u 1/2  u ′ du  u  c 3/2 x 2  2 3/2  c  1 x 2  2 3/2  c  1 3 2 3/2 x 2  2 dx  1 2  2x 1. 8  x3 dx 4 x4  2 SI prenem u  x 4  2 tenim que u ′  4x 3 i per tant  3 x3 dx  1  4x dx  1 4 4 4 4 4 4 x 2 x 2  1 x 4  2 3/4  c 3 1. 9   4x 3 x 4  2 −1/4 dx  3/4 4 1 x  2  c 4 3/4 x 2 − 2x 4 dx La integral es pot escriure com  x 2 − 2x 4 dx  x 1 − 2x 2 dx i ara si fem u  1 − 2x 2 tenim u ′  −4x i aleshores x 1 − 2x 2 dx  − 1  −4x1 − 2x 2  1/2 dx 4 2 3/2 1 − 2x   c  − 1 1 − 2x 2  3/2  −1 6 4 3/2 1 − 2x 2 dx  − 1 4  −4x 1. 10  1 dx 2x − 3 En aquest cas fent u  2x − 3, u ′  2 i tenim que  1 dx  1 2x − 3 2  2 dx  1 ln|2x − 3|  c 2x − 3 2 1. 11  x 2 dx 1 − 2x 3 Fem u  1 − 2x 3 i u ′  −6x 2 . Podem ficar  x 2 dx  − 1 6 1 − 2x 3  −6x 2 dx  − 1 ln|1 − 2x 3 |  c 6 1 − 2x 3  1. 12 x  2 dx x1 En aquest cas podem reescriure el integrant com  x  2 dx  x1  1 dx x1 1 i aleshores fent u  x  1 i u ′  1 podem avaluar la integral  1 1 dx  x1  1dx   1 dx  x  ln|x  1|  c x1 1/x 1. 13  e 2 dx x Si fem u  1/x tenim que u ′  −1/x 2 i aleshores  e 1/x dx  −  − 1 x2 x2 e 1/x dx  −e 1/x  c 1. 14 1  e x  3 e x dx Escrivim u  1  e x i es compleix que u ′  e x de manera que 1  e x  3 e x dx  1. 15  1  e x  4 c 4 1 dx 1  ex Podem reescriure el integrant multiplicant numerador i denominador per e −x . Aleshores  1 dx  1  ex  e −x dx e 1 −x Ara si fem u  e −x tenim que u ′  −e −x i aleshores  e −x dx  −  −e −x dx  − ln|e −x  1|  c  ln 1 c e 1 e −x  1 |e −x  1| x  ln e x  c  ln e x − ln1  e x   c 1e  x − ln1  e x   c −x 1. 16  sin 2 x cos xdx Si fem u  sin x i u ′  cos x tenim una integral quasi immediata  sin 2 x cos xdx  1. 17 sin 3 x  c 3  tan xdx Si escrivim la integral com  tan xdx   sin x cos x dx i notem que si u  cos x resulta u ′  − sin x podem ficar  sin x − sin x 1 cos x dx  −  cos x dx  − ln|cos x|  c  ln cos x  c  ln|sec x|  c 1. 18  x cot x 2 dx Fem u  sin x 2 i u ′  2x cos x 2 tenim  x cot x 2 dx  1  2x cot x 2 dx  1 2 2  1 ln|sin x 2 |  c 2 1. 19  x dx  2x cos sin x 2 2 sin x  cos x dx cos x Tenim que  sin x  cos x dx  tan x  1dx  ln|sec x|  x  c cos x doncs la integral ja és immediata.
1. 20 1  tan x 2 dx Podem convertir aquesta integral en immediata. Tenim que 1  tan x 2 dx  1  2 tan x  tan 2 xdx  1  tan 2 x  2 tan xdx  tan x  2  tan xdx  tan x  2 ln|sec x|  c ja que si fx  tan x, f ′ x  1  tan 2 x 1. 21  e x cos e x dx Aquesta integral és quasi immediata si fem u  e x i u ′  e x tenim  e x cos e x dx  sin e x  c 1. 22 En primer lloc reescrivim la integral  dx csc 2x − cot 2x  dx  csc 2x − cot 2x  dx  1 − cos 2x sin 2x sin 2x sin 2x dx 1 − cos 2x   dx 1 − cos 2x sin 2x Ara si fem u  1 − cos 2x i u ′  2 sin 2x podem ficar  sin 2x dx  1 1 − cos 2x 2  2 sin 2x dx  1 ln|1 − cos 2x|  c 1 − cos 2x 2 1. 23  dx 4 − x2 Aquest tipus d’integrals es poden convertir en immediates manipulant el integrant  dx  4 − x2  dx 2 1− 2 x 4   1 2 dx 1− x 2 2 i ara si fem u  x/2 i u ′  1/2 ens queda  1 2 dx 2 x 2 1− 1. 24  arcsin x 2  c dx 4x 2  9 En primer lloc, dividim numerador i denominador per 9 i tenim  dx  4x 2  9  dx 1  9 1  4x 2 9  1 9 dx 1  2x 3 2 Ara si fem u  2x/3 i u ′  2/3 podem resoldre la integral  1 9 dx 1  2x 3 2  3 1 2 9  2 3 1. 26 1 1  2x 3  2  1 arctan 2x 3 6 c dx x 4x 2 − 9 Com les integrals anteriors, fent unes transformacions elementals, la integral esdevé immediata  dx  x 4x 2 − 9  dx 2 x 9 4x − 1 9  1 3   dx 2x 3 2 3 2x 3 2   dx  2 4x −1 3x 9 −1 dx 2x 3 3x  1 arcsec 2x 3 3 2 −1 c on hem fet u  2x/3 i u ′  2/3 1. 27  x2 dx 1 − x6 També es tracta d’una integral quasi immediata. Fent u  x 3 i u ′  3x 2 podem ficar   x2 dx  1 3 6 1−x 3x 2 dx  1 arcsin x 3  c 3 2 1 − x 3  1. 28  x dx x 3 4 Aquesta integral requereix fer les manipulacions següents  x dx  x 3 4  x dx  1 3 3 x 1 3 4  x x2 3 1 2 dx ara si fem u  x 2 / 3 i u ′  2x/ 3 podem escriure la integral com 1 3  x 1 2 2 1 1 3 2 dx  x 3  2x 3 1. 24 1 3 x2 3 3 arctan 6  1  2 2 dx  x 3 1 arctan 2 3 c x  3 dx 1 − x2 En aquest cas tenim que  x  3 dx  1 − x2  x dx  3  1 − x2 1 dx 1 − x2  − 1 −2x1 − x 2  −1/2 dx  3  2  −1 2 1 − x 2  1/2  3 arcsin x  c 1/2  3 arcsin x − 1 − x 2  c 1 dx 1 − x2 x2 3 c 2) Canvi de Variables 2) Resoleu les integrals següents 2. 1  1 dx 3  5x 2 Fem el canvi de variable u  3  5x, du  5dx tenim  1 du  1 u −1  c  − 1 1  c 5 −1 5 u u2 5 1 1 c  − c  −1 5 3  5x 15  25x 1 dx  3  5x 2  2. 2  x2x 2 − 1 3 dx Fem el canvi u  2x 2 − 1, du  4xdx i tenim  x2x 2 − 1 3 dx   u 3 du 4 2. 3 4  1 u  c  1 2x 2 − 1 4  c 4 4 16  x5 x 2  1 dx En aquest cas fem el canvi u  x 2  1, du  2xdx Notem també que x 2  u − 1 i també x 4  u − 1 2 . Fent la substitució tenim  x5 x 2  1 dx  1 u − 1 2 u du  1 u 2 − 2u  1 u du 2 2 7/2 5/2 3/2 c  1 u 5/2 − 2u 3/2  u 1/2 du  1 u − 2 u  u 2 7/2 2 5/2 3/2 7/2 5/2 3/2  u − 2 u  u  c  u 3/2 1 u 2 − 2 u  1  c 7 5 7 5 3 3 3/2 2 1 2 1 c  x 2  1 x 2  1 − x 2  1  7 5 3 2. 4  dx x  10x  30 2 Aquesta integral conté un trinomi quadràtic. Cal fer la transformació estàndard b  10  5 2a 2 2 c b 30 100 a − 4a 2  1 − 4  30 − 25  5 Aleshores com a  1, la integral queda com   dx  x 2  10x  30 dx x  5 2  5 amb el canvi t  x  5 i dt  dx tenim  dx  x  5 2  5  dt t  2 2 5 2. 5  t 5 1 arctan 5 x5 5 1 arctan 5   c c dx 2x 2  2x  5 Com abans fem b  2  1 2a 4 2 2 c b 5 9 4 a − 4a 2  2 − 16  4 i la integral es transforma en 2. 6  dx  1 2 2x 2  2x  5  dx 2 1 x  9 4 2 Ara amb el canvi t  x  1 i dt  dx tenim 2 1 2  dx x 1 2 2  3 2 2  1 2  dt t  2  1 arctan 3 3 2 2  1 2 arctan 2t 3 2 3 2 x 1 2 3 1 arctan 2x  1 3 3 c c c 2. 7  dx x  6x  8 2 Com en els cassos anteriors comencep per calcular b  6 3 2a 2 2 c b 8 36 a − 4a 2  1 − 4  8 − 9  −1 i la integral queda com  dx  x 2  6x  8  dx x  3 2 − 1 Ara, si fem el canvi t  x  3 i dt  dx arribem a  dx  x  3 2 − 1  dt  1 2 t2 − 12  1 − 1 dt t1 t−1  1 ln|t − 1| − ln|t  1|  c  1 ln t − 1  c t1 2 2  1 ln x  2  c 2 x4 2. 8  x  1 dx x 2 − 4x  8 Aquesta integral requereix una transformació prèvia abans de poder emprar els mètodes anteriors. Es de la forma  Ax  B dx ax 2  bx  c Si fem A  1 2 2a 1  −4 B − Ab  1 −  12  3 2a 2 la integral es pot descomposar en  x  1 dx  1 2 x − 4x  8 2  dx 2x − 4 dx  3  2 x − 4x  8 x − 4x  8 2 Estudiem ara cadascuna de les integrals de manera separada 1 2  2x − 4 dx  1 ln|x 2 − 4x  8|  c 2 x − 4x  8 2 Per fer la segona integral fem b  − 4  −2 2a 2 2 b 8 16 c a − 4a 2  1 − 4  8 − 4  4 i tenim 3 dx dx  3  3  2 dt 2  3 arctan t 2 2 x 2 − 4x  8 x − 2 2  4 t 2  3 arctan x − 2  c 2 2 c i en definitiva tenim  x  1 dx  1 ln|x 2 − 4x  8|  3 arctan x − 2 2 2 2 x 2 − 4x  8 c 3) Integració per Parts 3) Resoleu les integrals següents 3. 1  x sin xdx Fem u  x, dv  sin xdx, tenim aleshores du  1 i v  − cos x. D’aquesta manera  x sin xdx  −x cos x   cos xdx  −x cos x  sin x  c  arctan xdx 3. 2 En aquest cas farem u  arctan x du  dx 2 1x dv  dx vx Tenim aleshores  arctan xdx  x arctan x −  xdx  x arctan x − 1 2 1  x2  x arctan x − 1 ln|1  x 2 |  c 2 3. 3  x 2 ln xdx Si fiquem u  ln x du  dx x tenim que dv  x 2 dx 3 v x 3  2xdx 1  x2  x 2 ln xdx  x 3 ln x −  x 3 dx  x 3 ln x − 1 3 3 3 x 3 3 3  x ln x − x  c 3 9 3. 4  x 2 dx  x 2 e x dx Fen en aquest cas u  x2 dv  e x dx du  2xdx v  ex La integral resulta  x 2 e x dx  x 2 e x −  2xe x dx La segona integral encara no és immediata. Tornem a integrar per parts, fem ara ux dv  e x dx du  dx v  ex i ens queda  xe x dx  xe x −  e x dx  xe x − e x  c i finalment podem ficar  x 2 e x dx  x 2 e x − 2xe x  2e x  c  e x x 2 − 2x  2  c 3. 5 x 2  7x − 5 cos 2xdx Per fer la integral per parts fem u  x 2  7x − 5 dv  cos 2xdx du  2x  7dx v  1 sin 2x 2 Tenim que x 2  7x − 5 cos 2xdx  1 x 2  7x − 5 sin 2x − 1 2 2  sin 2x2x  7dx La segona integral no és immediata i necessitem tornar a integrar per parts. Fent u  2x  7 2 dv  sin 2xdx du  dx v  − 1 cos 2x 2 tenim 1 2  sin 2x2x  7dx  − 2x  74 cos 2x  1  cos 2xdx 2 2x  7 cos 2x  sin 2x  c − 4 4 i finalment queda x 2  7x − 5 cos 2xdx  1 x 2  7x − 5 sin 2x − 2x  7 cos 2x − sin 2x  c 2 4 4 3. 6  sin 2 xdx Fen en aquest cas u  sin x dv  sin xdx du  cos xdx v  − cos x i podem ficar  sin 2 xdx  − sin x cos x   cos 2 xdx Ara recordem que cos 2 x  1 − sin 2 x i tenim que I  sin 2 xdx  − sin x cos x  1 − sin 2 xdx  − sin x cos x   dx −  sin 2 xdx i per tant 2I  − sin x cos x  x de manera que I  sin 2 xdx  3. 7 − sin x cos x  x  c 2 2  a 2 − x 2 dx Abans de fer la integral, en aquest cas convé transformar-la una mica. Si multipliquem i dividim per a 2 − x 2 tenim que  a 2 − x 2 dx  a 2  1 dx −  2 2 2 a − x2 a −x x2  a 2 arcsin ax −  dx a2 − x2 a 2 − x 2 dx   La segona integral s’ha de fer per parts. Tenim que si x2 dx a2 − x2 ux x dx a − x2 dv  du  dx 2 v  − a2 − x2 i ens queda que  x2 dx  −x a 2 − x 2   a 2 − x 2 dx 2 2 a −x Notem que ara hem arribat a l’expressió I   x a 2 − x 2 −  a 2 − x 2 dx a 2 − x 2 dx  a 2 arcsin ax Per tant tenim que 2I  a 2 arcsin ax  x a2 − x2 De manera que I  2 a 2 − x 2 dx  a arcsin ax 2  x a2 − x2  c 2 Factors Simples 4) Determineu les integrals següents 4. 1  dx x x−2 2 Tenim que x2  x − 2  0 si x  1 i x  −2, de manera que podem ficar Ax  2  Bx − 1 A  Bx  2A − B 1  A  B   x−1 x2 x − 1x − 2 x − 1x − 2 x x−2 2 Comparant coeficients tenim que AB  0 2A − B  1 Si sumem les dues equacions tenim que 3A  1 de manera que A  1 i per tant B  − 1 .
3 3 La integral és aleshores  dx  1  dx − 1  dx  1 ln|x − 1| − 1 ln|x  2|  c 3 x−1 3 x2 3 3 x2  x − 2  1 ln x − 1  c x2 3 4. 2  3x 4  3x 3 − 5x 2  x − 1 dx x2  x − 2 En aquest cas tenim que el numerador té un grau més gran que el denominador i es necessari fer la divisió polinòmica 3x 3 −5x 2 x −1 3x 4 −3x 4 −3x 3 6x 2 x2 x −2 3x 2 1 x2 x −1 −x 2 −x 2 1 Es a dir tenim la relació 3x 4  3x 3 − 5x 2  x − 1  3x 2  1  1 x2  x − 2 x2  x − 2 i la integral es pot escriure com  3x 4  3x 3 − 5x 2  x − 1 dx  x2  x − 2  3x 2  1  1 dx  3x 2  1dx   2 dx x2  x − 2 x x−2 La primera integral és immediata, mentre que la segona integral ha estat avaluada en l’exercici anterior. Per tant  3x 4  3x 3 − 5x 2  x − 1 dx  x 3  x  1 ln x − 1  c x2 3 x2  x − 2 4. 3  x  1 dx  0 x 2 − 5x  6 Trobem en primer lloc les rels del denominador x 2 − 5x  6  0 té per solució x  2 i x  3. La descomposició adequada és Ax − 3  Bx − 2 x1  A  B  x − 2 x − 3 x − 2x − 3 x − 5x  6 2 Si ara avaluem els polinomis en les rels tenim que Per a x  2 2  1  A−1  −A  3  A  −3 Per a x  3 3  1  B1  B  4  B  4 i per tant  x  1 dx  x 2 − 5x  6  −3 dx   4 dx  −3 ln|x − 2|  4 ln|x − 3|  c x−2 x−3 4. 4  4x 2 − 15x  13 dx x − 6x 2  11x − 6 3 En primer lloc hem de trobar les rels del denominador x 3 − 6x 2  11x − 6  0 Com es tracta d’un polinomi de tercer grau fem servir la regla de Ruffini 1 −6 11 −6 1 −5 6 1 −5 6 0 1 De manera que x  1 és solució i x 3 − 6x 2  11x − 6  x − 1x 2 − 5x  6  0 Les altres dues rels es poden trobar resolent l’equació de segon grau x 2 − 5x  6  0 que ens dona les dues solucions x  2 i x  3. Tenim aleshores tres rels diferents i podem provar amb una descomposició de la forma Ax − 2x − 3  Bx − 1x − 3  Cx − 1x − C 4x 2 − 15x  13  A B    3 2 x − 3 x − 1x − 2x − 3 x − 1 x − 2 x − 6x  11x − 6 Per trobar el valor de les constants és convenient avaluar els polinomis en les rels. Es a dir Per a x  1 4 − 15  13  A−1−2  2A  2  A  1 Per a x  2 16 − 30  13  B1−1  −B  −1  B  1 Per a x  3 36 − 45  13  C21  2C  4  C  2 La integral queda aleshores com  4x 2 − 15x  13 dx   1  1  2 dx   dx   dx  2dx 3 2 x−3 x−1 x−2 x − 1 x − 2 x − 3 x − 6x  11x − 6  ln|x − 1|  ln|x − 2|  2 ln|x − 3|  c  ln|x − 1x − 2x − 3 2 |  c 4. 5  x 4 dx x −1 2 En aquest cas el grau del polinomi en el numerador és més gan que el grau del polinomi en el denominador. Hem de fer en primer lloc la divisió polinòmica x4 x 2 −1 −x 4 x 2 x 2 1 x2 −x 2 1 1 i podem escriure la integral com   x 4 dx  x −1 2 x 2  1  1 dx x2 − 1 Ara tenim que 1  1 2 x −1 2 1 − 1 x1 x−1 i tenim que  x 4 dx  x2 − 1  x 2 dx   dx  12  dx − 1 2 x−1 3  x  x  1 ln x − 1  c 3 x1 2 4. 6   dx  x 3  x  1 ln|x − 1| − 1 ln|x  1|  c 2 2 3 x1 dx x4 − 1 Trobem en primer lloc les rels del polinomi x4 − 1  0 Com x 4 − 1  x 2 − 1x 2  1  x − 1x  1x 2  1 Tenim dues rels reals diferents x  1 i x  −1 i dues rels complexes. Provem una descomposició de la forma 2 2 2 A  B  Mx  N  Ax  1x  1  Bx − 1x  1  Mx  Nx − 1 1  x−1 x1 x2  1 x − 1x  1x 2  1 x4 − 1 A  B  Mx 3  A − B  Nx 2  A  B − Mx  A − B − N  x − 1x  1x 2  1 En comparar coeficients s’obtenen les equacions ABM  0 A−BN  0 AB−M  0 A−B−N  1 Si sumem la primera i la tercera tenim que A  B  0 i M  0 i si sumem la segona i la quarta tenim que 2A − B  1 de manera que A − B  1 i N  − 1 . Combinant aquests 2 2 resultats s’obté A  1 , B  − 1 , M  0, N  − 1 4 4 2 Ara podem fer la integral que queda com  dx  1  dx − 4 x−1 x −1  1 ln|x − 1| − 4 4 1  dx − 4 x1 1 ln|x  1| − 4 1  dx 2 1  x2 1 arctan x  c  1 ln x − 1 − 1 arctan x  c 2 4 2 x1 4. 8  x 2 dx x −1 4 Aquest cas és similar a l’anterior doncs tenim el mateix polinomi en el denominador i podem aprofitar que sabem quines són les seves rels. La descomposició adequada és 2 2 2 x 2  A  B  Mx  N  Ax  1x  1  Bx − 1x  1  Mx  Nx  1 x−1 x1 x2  1 x − 1x  1x 2  1 x4 − 1 A  B  Mx 3  A − B  Nx 2  A  B − Mx  A − B − N  x − 1x  1x 2  1 Només que ara en comparar els coeficients tenim el sistema d’equacións ABM  0 A−BN  1 AB−M  0 A−B−N  0 En el que podem procedir com en el cas anterior per a trobar que A  1 , B  − 1 , M  0, N  1 4 4 2 La integral queda com  x 2 dx  1  dx − 4 x−1 x4 − 1  1 ln|x − 1| − 4 1  dx  4 x1 1 ln|x  1|  4 1  dx 2 1  x2 1 arctan x  c  1 ln x − 1  1 arctan x  c x1 2 4 2  4 dx 4. 9  2x x 3 − 2x 2 El denominador es pot escriure com  2x  4 dx  x 3 − 2x 2  2x  4 dx x 2 x − 2 de manera que hi ha una rel simple x  2 i una rel doble x  0. Fem la descomposició següent 2 2x  4  A  B  C  Axx − 2  Bx − 2  Cx x x−2 x 2 x − 2 x 2 x − 2 x2 A  Cx 2  B − 2Ax − 2B  x 2 x − 2 Comparant coeficients arribem al sistema d’equacions lineal següent AC  0 − 2A  B  0 − 2B  4 que té per solució A  −2, B  −2, C  2 Aleshores la integral queda com  dx dx −2 − 2  2 dx  −2  dx x − 2  x2  2  x − 2 x x−2 x2 −1  −2 ln|x| − 2 x  2 ln|x − 2|  c  2 ln x −x 2  2x  c −1 2x  4 dx  x 3 − 2x 2  4. 10  x2  x − 2 dx 3x − x 2  3x − 1 3 En aquest cas podem observar que 3x 3 − x 2  3x − 1  x 2 3x − 1  3x − 1  3x − 1x 2  1 Tenim aleshroes una rel real positiva i dues rels complexes. Busquem una descomposició de la forma 2 A  Bx  C  Ax  1  Bx  C3x − 1 x2  x − 2  3x − 1 x2  1 3x 3 − x 2  3x − 1 3x − 1x 2  1 A  3Bx 2  −B  3Cx  A − C  3x − 1x 2  1 En comparar coeficients obtenim el sistema d’equacions lineals A  3B  1 . −B  3C  1 A − C  −2 Si restem a la primera equació la tercera tenim 3B  C  3 − B  3C  1 D’on 10C  6  C  3 5 i substituien en − B  3  3  −B  9  1  B  4 5 5 5 i finalment A − 3  −2  A  − 7 5 5 La integral ens queda com  x2  x − 2 dx  − 7  dx  4  2 x dx  3  dx 2 5 3x − 1 5 x 1 5 1x 3x − x 2  3x − 1  − 7 1 ln|3x − 1|  4 1 ln|x 2  1|  3 arctan x  c 5 3 5 2 5  − 7 ln|3x − 1|  2 ln|x 2  1|  3 arctan x  c 5 5 15 3 4. 11  3x 4  4x 3  16x 2  20x  9 dx x  2x 2  3 2 En aquest cas el denominador ja està factoritzat però tenim rels complexes dobles. La descomposició adequada és 3x 4  4x 3  16x 2  20x  9  A  Bx  C  Dx  E x2 x2  3 x 2  3 2 x  2x 2  3 2 Ax 2  3  Bx  Cx  2x 2  3  Dx  Ex  2  x  2x 2  3 2 A  Bx 4  2B  Cx 3  6A  3B  2C  Dx 2  6B  3C  2D  Ex  9A  6C  2E  x  2x 2  3 2 En comparar coeficient tenim el sistema d’equacions AB  3 2B  C  4 6A  3B  2C  D  16 6B  3C  2D  E  20 9A  6C  2E  9 En els casos en els que tenim un sistema tan complicat és millor afegir la informació que resulta d’avaluar tots dos polinomis en les rels reals. Així, quan x  −2 tenim 3−2 4  4−2 3  16−2 2  20−2  9  49  A−2 2  3  49  A  1 Amb aquest valor podem obtenir de manera recursiva la resta de valors fins arribar a A  1, B  2, C  0, D  4, E  0 i la integral queda com  3x 4  4x 3  16x 2  20x  9 dx  x  2x 2  3 2  Les dues primeres integral són immediates dx   2x dx   4xdx 2 x2 x2  3 x 2  3   dx  ln|x  2|  c x2 2x dx  ln|x 2  3|  c 2 x 3 Per fer la tercera integral provem amb la substitució u  x 2  3, du  2xdx i tenim  4xdx 2xdx du  2 u −1  c  −2 1  c  − 2  c  2  2   2 2 u −1 u2 x2  3 x 2  3 x 2  3 En juntar aquestes integrals tenim que  3x 4  4x 3  16x 2  20x  9 dx  ln|x  2|  ln|x 2  3| − 2  c x2  3 x  2x 2  3 2 4. 13  x 5 − x 4  4x 3 − 4x 2  8x − 4 dx x 2  2 3 Per dur a terme aquesta integració, notem que el denominador ja està factoritzat essent totes les rels complexes i múltiples. Per tant podem fer la factorització següent x 5 − x 4  4x 3 − 4x 2  8x − 4  Ax  B  Cx  D  Ex  F x 2  2 x 2  2 2 x 2  2 3 x 2  2 3 Ax  Bx 3  2 2  Cx  Dx 3  2  Ex  F  x 2  2 3 Ax 5  Bx 4  4A  Cx 3  4B  Dx 2  4A  2C  Ex  4B  2D  F  x 2  2 3 Si comparem els coeficitent tenim que A1 B  −1 4A  C  4  C  0 4B  D  −4  D  0 4A  2C  E  4  E  8  E  4 4B  2D  F  −4  F  −4  F  0 i la integral queda com  xdx x − 1 dx  4  2 3 2 x 2 x  2  1  2xdx −  2dx  2  2xdx 2 x2  2 x 2 x 2  2 3 x 5 − x 4  4x 3 − 4x 2  8x − 4 dx  x 2  2 3   1 lnx 2  2 − 1 arctan 2 2 2 x 2 2  1 lnx 2  2 − 1 arctan 2 2 2 x 2 − x 2  2 −2 c −2 1 c 2 x  2 2 Funcions Irracionals 5) Trobeu el valor de les integrals següents 5. 1  dx 22 x Com és una funció irracional podem fer el canvi x  t 2 i dx  2tdt de manera que  dx  22 x   2tdt  2  2t tdt  1t  t − ln|1  t|  c  5. 2  x 1 3x  1− 1 dt 1t x − ln|1  x |  c dx Es tracta de la integral d’una funció irracional. Com  x 1 x 3 dx   x 1/2 dx 1  x 1/3 el comú numerador es 6, si fem x  t 6 tenim dx  6t 5 dt i resulta la integral  x 1/2 dx  1  x 1/3  t 3 6t 5 dt  6  t 8 dt 1  t2 1  t2 Resulta una integral d’una funció racional. Com el numerador té un grau més gran que el denominador hem de fer la divisió polinòmica t8 −t 8 t2 −t 6 t 6 −t 4 t 2 −1 −t 6 t6 t4 −t 4 −t 2 t2 1 1 De manera que t8  t6 − t4  t2 − 1  1 t2  1 1  t2 d’on 1  t 8 dt  6  t 6 − t 4  t 2 − 1  1 dt 1  t2 t2  1 7 5 3  6 t − t  t − t  arctan t  c 7 5 3 6 6 7/6 5/6  x − x  2x 1/2 − 6x 1/6  6 arctan x 1/6  c 5 7 x 1/2 dx  1  x 1/3  5. 3  1  e x dx En aquest cas podem fer la substitució 1  e x  t 2 i e x dx  2tdt  t 2 − 1dx, es a dir  1  e x dx   t t 22tdt − 1   2t 2 dt  2  1  1 dt t2 − 1 t −1 1 − 1 dt  2t  ln|t − 1| − ln|t  1|  c t−1 t1 1  ex − 1  c  2 1  e x  ln c 1  ex  1  2  dt  2  1 2  2t  ln t − 1 t1 2 Integrals trigonomètriques 6) Resoleu les integrals següents 6. 1  sin 3 xdx En aquest cas fem  sin 3 xdx   sin 2 x sin xdx  1 − cos 2 x sin xdx   sin xdx −  cos 2 x sin xdx 3 3  − cos x   t 2 dt  − cos x  t  c  − cos x  cos x  c 3 3 6. 2  sin 4 xdx Com tenim la relació sin 2 x  1 − cos 2x 2 podem ficar sin 4 x  1 − cos 2x 2 2  1 − 1 cos 2x  1 cos 2 2x 4 2 4 De la mateixa manera com cos 2 2x  1  cos 4x 2 Tenim que la integral es pot escriure com  sin 4 xdx   1 − 1 cos 2x  1  1 cos 4x dx  3 2 8 8 8 4  3 x − 1 sin 2x  1 sin 4x  c 8 4 32  dx − 12  cos 2xdx  18  cos 4xdx 6. 3  cos 5 xdx En primer lloc observem que cos 5 x  cos 4 x cos x  1 − sin 2 x 2 cos x Si fem el canvi de variable u  sin x, du  cos xdx resulta la integral  cos 5 xdx  1 − sin 2 x 2 cos xdx  1 − u 2  2 du  1  2u 2  u 4 du 5  u  2 u 3  u  c  sin x  2 sin 3 x  1 sin 5 x  c 5 5 3 3 6. 4  sin 4 x cos 5 xdx En aquest cas escrivim sin 4 x cos 5 x  sin 4 x cos 4 x cos x  sin 4 x1 − sin 2 x 2 cos x i si fem el canvi de variable u  sin x, du  cos xdx resulta la integral  sin 4 x cos 5 xdx   u 4 1 − u 2  2 du  u 4 − 2u 6  u 8 du  1 u 5 − 2 u 7  1 u 9  c  1 sin 5 x − 2 sin 7 x  1 sin 9 x  c 7 5 7 5 9 9 6. 5  sin 3 x cos 2 xdx Aqui la potència senar correspon a la funció sin x, de manera que fem sin 3 x cos 2 x  sin 2 x sin x cos x  1 − cos 2 x cos x sin x i si fem el canvi de variable u  cos x du  − sin xdx tenim la integral  sin 3 x cos 2 xdx   −1 − u 2 udu  u 4 − u 2 du  u5 − u3  c 5 3  1 cos 5 x − 1 cos 3 x  c 5 3 6. 6  sin 4 x cos 4 xdx En aquest cas no hi ha potències senari i hem de fer servir les expressions sin 2 x  1 − cos 2x , 2 aleshores cos 2 x  1  cos 2x 2 1 − cos 2x 2 1  cos 2x 2  1 1 − cos 2x1  cos 2x 2 2 2 16 2 1 1 2 2  1 − 2 cos 2x  cos 4 2x 1 − cos 2x  16 16 sin 4 x cos 4 x  de manera que  sin 4 x cos 4 xdx  1 1 − 2 cos 2 2x  cos 4 2xdx  1 16 16  1 x −  2 cos 2 2xdx   cos 4 2xdx 16  dx −  2 cos 2 2xdx   cos 4 2xdx Les primeres integrals és immediates. Per dur a terme les altres dos, fem en el primer cas u  2x du  2dx i tenim  2 cos 2 2xdx   cos 2 udu   1  cos 2u du  u  1 2 2 4  2x  1 sin 4x  c  x  1 sin 4x 4 4 2  2 cos 2udu  u  1 sin 2u  c 2 4 En el segon cas fem 2 1  cos 4x 2  1  2 cos 4x  cos 4x cos 2 2x  1  cos 4x  cos 4 2x  4 4 2 i tenim que  cos 4 2xdx   1  2 cos 4x  cos 2 4x dx  1 x  1 sin 4x  1 4 4 2 4  4 cos 2 4xdx Ara fem u  4x i du  4dx i tornem a tenir la integral  4 cos 2 4xdx   cos 2 udu   1  cos 2u du  u  1 2 2 4  2 cos 2udu  u  1 sin 2u  c 2 4  2x  1 sin 8x  c 4 Comencem a juntar totes les peces  cos 4 2xdx  1 x  1 sin 2x  1  4 cos 2 4xdx 16 2 4 3 1 1  x  sin 4x  sin 8x 8 8 64  1 x  1 sin 4x  1 2x  1 sin 8x 4 2 4 4 i també  sin 4 x cos 4 xdx  1 x −  2 cos 2 2xdx   cos 4 2xdx 16  1 x − x  1 sin 4x  3 x  1 sin 4x  1 sin 8x 8 16 4 8 64 3 1 1  x− sin 4x  sin 8x  c 128 128 1024 6. 7  sin 7x cos 3xdx Aquest es un cas on s’ha d’emprar la formula c sin ax cos bx  1 sina − bx  sina  bx 2 En el nostre cas sin 7x cos 3x  1 sin7 − 3x  sin7  3x  1 sin 4x  sin 10x 2 2 Aleshores la integral queda com  sin 7x cos 3xdx  1 sin 4x  sin 10xdx  1  sin 4xdx  1 2 2 2  1  4 sin 4xdx  1  10 sin 10x  20 4  − 1 cos 4x − 1 cos 10x  c 20 4  sin 10xdx Substitucions Trigonomètriques 7) Resoleu les integrals següents 7. 1  sin x dx cos 3 x Fem el canvi u  tan x, du  1 dx cos 2 x i podem escriure la integral com  sin x dx  cos 3 x  tan x cos12 x dx   udu  7. 2  u 2  c  tan 2 x  c 2 2 dx 1 − sin x − cos x Fem el canvi trigonomètric universal, tenim que si fem t  tan x , dx  2dt 2 , sin x  2t 2 , 2 1t 1t 2 cos x  1 − t 2 1t la integral queda com  dx  1 − sin x − cos x    2dt 1  t2  2 1 − 2t 2 − 1 − t 2 1t 1t  2dt  1  t 2 − 2t − 1  t 2  dt  t2 − t  dt t1 − t tan x t 1  1 2 dt  ln|t| − ln|1 − t|  c  ln  c  ln t 1−t 1−t 1 − tan x 2 7. 3  dx 3 − cos x Fem també el canvi trigonomètric universal c 2 cos x  1 − t 2 1t t  tan x , dx  2dt 2 , sin x  2t 2 , 2 1t 1t i resulta  dx  3 − cos x  2dt 1  t2  2 3 − 1 − t2 1t 5t 2 2 arctan 5   2dt  2  5t 2  x 1 dt 5t 2 2 arctan 5 c  7. 4  2 2   2 5 5 tan x 2 2 5 dt 2 5t 2 1 c dx 4 − x2 Per eliminar el radical fem la substitució x  2 sin u, dx  2 cos udu i la integral queda com  x 2 dx  4 − x2  2 cos udu  2 sin u 2 4 − 4 sin 2 u  2 cos udu  1 4 4 sin 2 u2 cos u  1 du sin 2 u Ara si fem t  tan u , du  2dt 2 , sin u  2t 2 2 1t 1t tenim que  1  t 2 2 2 dt   1  t 2 dt  1  dt  1  dt 2 t2 2 2t 1  t2 2t 2 −1 1  1 t  1 t  c  t − 1  c  1 tan u − 1 2 2 2 −1 2 2t 2 2 tan u 2 u tan 2 −1 2 1  c  − 1  c  − cot u  c  tan u 2 tan u 2 1 du  sin 2 u  c Notem també que si fu  cot u  cos u  f ′ u  − sin u sin u −2 cos u sin u  − 12 sin u sin u sin u i aleshores també podem fer 1 4  1 du  − 1 cot u  c 4 sin 2 u Ara com x  2 sin u aquesta és la relació entre la hipotenusa 2 d’un triangle rectangle d’angle agut u i catet oposat x. El valor de l’altre catet serà, fent servir el teorema de pitàgoras 4 − x 2 . Ara tenim que 2 4 − x2 x  − cot u  − 1  − x tan u 4 − x2 tan u  i la integral queda aleshores com  x2 dx  1 4 2 4−x  4 − x2 c x 1 du  − 1 cot u  c  − 1 4 4 sin 2 u  7. 5 dx x  a2 2 En aquest cas és convenient la substitució x  a tan u, dx  a sec 2 udu que ens deixa la integral com  dx  2 x  a2  a sec 2 udu  a 1  tan 2 u  sec 2 udu  sec u  sec udu   1 cos u du Ara fem el canvi 2 t  tan u , du  2dt 2 , cos u  1 − t 2 2 1t 1t que ens deixa la integral com  1 cos u du   1  t 2 2dt  1 − t2 1  t2  2dt  1 − t2  1  1 dt 1−t 1t  − ln|1 − t|  ln|1  t|  c  ln 1  t  c 1−t Arribats aqui és necessari tenir en compte que sin u  2t , 1  t2 2 cos u  1 − t 2 , tan u  2t 2 1−t 1t de manera que 2 1  t  1  t 1  t  1  t  1  t 2  2t  1  t 2  2t  sec u  tan u 1−t 1t 1−t 1 − t2 1 − t2 1 − t2 1 − t2 i la integral es pot escriure com  1 cos u du  ln|sec u  tan u|  c Ara com tan u  ax , sin u  podem desfer el canvi i trobar que x , cos u  x  a2 2 a x  a2 2  dx  ln 2 x  a2 x2  a2  ax  c a ...