Tema 2 (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Economia financiera
Año del apunte 2015
Páginas 7
Fecha de subida 01/05/2016
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ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio 2. ARBITRAJE Y ACTIVOS DE RENTA FIJA 2.1. AUSENCIA DE ARBITRAJE: CONCEPTOS BÁSICOS Y EJEMPLOS 2.1.1. DEFINICIÓN DE OPORTU NIDADES DE ARBITRAJE Y PRIMEROS EJEMPLOS DEFINICIÓN: Una oportunidad de arbitraje es una estrategia inversora o cartera que permite ganar dinero a cambio de nada (sin costes, sin riesgo, sin esperas…). Es decir, genera un beneficio sin ningún tipo de contrapartida.
EJEMPLO 1: mi madre me da 20 €.
EJEMPLO 2: Supongamos los siguientes precios de dos activos en la actualidad y en el futuro: Tenemos dos activos con sus respectivos precios [hoy] y el pago futuro. Ninguno de estos dos activos tiene riesgo [son bonos emitidos al descuento] y, por tanto, se pueden comparar.
Supongamos que P1 = 15 y P2 = 20.
Si compramos dos activos 1 tendríamos que pagar 30€ y el pago futuro seria de 40€.
2· Activo 1 30 40 AHORA estos dos activos no solo se parecen en el tiempo y el riesgo sino que además tienen el mismo pago futuro. Son idénticos [homogéneos]. Pero los precios NO son iguales. De este modo, P1 nos resulta más caro que P2.
En este punto, diferenciamos dos tipos de estrategia: ① Estrategia 1: compro (largo) una unidad del 2 y vendo (corto) dos unidades del 1.
Son 10€ inmediatos con 0 riesgo. “Es un regalo” y puedes obtener X€ según las veces que los hagas (10·n). Todo el mundo va a estar interesado en este tipo de oferta. Para el activo 1 existe exceso de oferta [el precio debe caer] y para el activo 2 existe exceso de demanda [el precio debe subir].
El mercado no puede estar en equilibrio mientras existan oportunidades de arbitraje.
② Estrategia 2: compro 3 unidades del activo 2 y vendo 4 del activo 1: Esta estrategia NO es un arbitraje ya que NO da un beneficio inmediato.
12 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio Formas genéricas de obtener beneficios de arbitraje: (mediante el ejemplo anterior) [1] Creación de carteras de coste cero en el presente y pagos positivos en el futuro (como la 2).
[2] Creación de carteras de coste negativo hoy (ingreso positivo) y pagos no negativos en el futuro (como la 1) Ambas son estrategias de arbitraje. Nosotros nos centraremos en el segundo tipo: “Una oportunidad de arbitraje es una estrategia de inversión que garantiza un pago positivo en alguna contingencia futura sin la posibilidad de un pago negativo y sin una inversión neta inicial” Para aprovechar los arbitrajes siempre habrá que comprar activos o carteras “relativamente baratos” y vender activos o carteras “relativamente caros”.
» Cualquier inversor que prefiera más a menos deseará explotar un arbitraje.
» Nuestro supuesto básico a lo largo de todo el curso será que no existen oportunidades de arbitraje en la economía. ¿Qué pasaría en la economía si los precios permitiesen las oportunidades de arbitraje? Este es el supuesto básico de la teoría de la valoración en ausencia de arbitraje. Las finanzas tratan de valorar flujos de caja que se extienden a lo largo del tiempo y son generalmente inciertos. La ausencia de arbitraje nos proporciona una herramienta de valoración muy precisa.
EJEMPLO 3: bonos con cupones cero Supongamos que en la economía existen los siguientes cinco bonos cupón cero sin riesgo de impago: 1.
2.
Se introduce un nuevo bono con cupón que queremos valorar:  N = 10.000€  Vto: 5 años  Cupón: anual  Tipo del cupón: 5% (este sí que paga intereses  NO es un cupón cero) Las características del nuevo bono son: 13 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio 3.
BONO CON CUPÓN A VALORAR ¿Cuál es su precio? Utilizaremos la información de los bonos con cupón cero del mercado para crear una cartera con los mismos pagos que el nuevo bono.
Cartera réplica del bono (combinación de los 5 bonos): 0.5 del A1 + 0.5 del A2 + 0.5 del A3 +0.5 del A4 + 10.5 del A5 EN AUSENCIA DE ARBITRAJE: Por tanto tenemos el nuevo bono y la cartera réplica de este bono (combinación de los 5 bonos cupón cero) Coste cartera Réplica = precio del bono 0.5 x 950 + 0.5 x 870 + 0.5 x 800 + 0.5 x 760 + 10.5 x 700 = B1-5 B1-5 = 9.040€ [precio del bono en ausencia de arbitraje] LEY DE ÚNICO PRECIO: Los activos con las mismas características tienen que tener el mismo precio.
¿Qué pasaría si B1-5 = 9040€ en mercado? Cuando el precio del bono y el de la cartera se igualan, no existe oportunidad de ◊ arbitraje.
◊ ¿Qué pasaría si B1-5 = 10000€? Compro la cartera (-9.040) y vendo el bono (+10.000)  HOY : +960€ ◊ ¿Qué pasaría si B1-5 = 9000€? Vendo la cartera (+9.040) y compro el bono (-9.000)  HOY: +40€ PASOS: [1] Encontrar cartera réplica para el nuevo activo mediante la combinación de otros bonos cuyos precios conozco.
a.
PROBLEMA: A veces no hay forma de encontrar una combinación de bonos que nos permita conseguir todos los pagos (ejemplo: si ningún bono tiene un pago en el año 3, y el que queremos replicar sí que lo tiene no lo podríamos replicar) [2] Calcular coste cartera réplica.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES:   Ausencia de arbitraje  Estrategias de arbitraje Carteras réplica Nota 1: En todo el análisis hemos supuesto ausencia de fricciones (por ejemplo, costes de transacción = 0).
Nota 2: Metodología de arbitraje: “en determinadas circunstancias, dados unos precios podemos obtener los precios de otros activos simplemente imponiendo la condición de no arbitraje” La valoración por arbitraje es una valoración relativa. Es una herramienta muy potente, pero requiere que existan activos “relacionados” y negociados en otros mercados. Además, la metodología no dice si el precio de esos otros activos es “razonable” o no.
14 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio 2.2. LA VALORACIÓN DE ACTIVOS DE RENTA FIJA B AJO AUSENCIA DE ARBI TRAJE 2.2.1. DEFINICIÓN DE BONOS BÁSICOS DEFINICIÓN: Un bono básico es un bono (hipotético) cupón cero con nominal de 1 euro (sin riesgo de fallido). Denotaremos sus precios con la letra b.
El b.b.1 paga 1€ en el año 1.
¿Por qué son útiles? Porque es fácil replicar cualquier bono mediante la combinación de bonos básicos.
¿Cómo replicamos un bono que paga 100€ en 4 años? Con 100 bonos básicos que pagan 1€ a los 4 años.
Pregunta: ¿Usando los datos del último ejemplo, ¿podría calcular los precios de los bonos básicos? Sí: los bonos A1,…,A5 pueden replicarse con 1.000 bonos básicos del mismo vencimiento, luego para que no haya arbitraje: b1 = 0.95, b2 = 0.87 b3 = 0.8, b4 = 0.76, b5 = 0.70 A partir de los bonos básicos se puede replicar cualquier bono real (negociado realmente). Cualquier bono se puede expresar como una cartera de bonos básicos y, por tanto, su precio ha de ser igual al coste de la cartera que lo replica.
En nuestro ejemplo: i) la cartera réplica del bono A1-5 es:  500 unidades del bb 1  500 unidades del bb 2  500 unidades del bb 3  500 unidades del bb 4  10.500 unidades del bb 5.
NORMA GENERAL PARA LA VALORACIÓN DE UN BONO GENÉRICO 1.
Normalmente: 2.
En ausencia de arbitraje se ha de cumplir que: La ecuación es una de la muchas versiones de la conocida Ecuación ii) El precio de no arbitraje del bono A1-5 es, por tanto: Fundamental de Valoración (EFV).
A1-5 = Coste cartera réplica A1-5 = 500 x b1 + 500 x b2+ 500 x b3+ 500 x b4+ 10500 x b5 𝑡 𝐵 = ∑(𝐶𝑡 + 𝑁) · 𝑏𝑡 𝑡=1 A1-5 = € 9040 (igual que antes) 15 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio 2.2.2. LA EFV Pero, ¿en realidad qué son los bt’s? No son más que “factores de actualización” o precios de dinero en el tiempo.
CASO: 1 AÑO  b1 es el coste de una inversión que garantiza 1€ dentro de un año.
 r1 es el rendimiento de esta inversión. Es por tanto el tipo de interés libre de riesgo a un año (la compensación de recibo por comprar el bono básico a 1 año).
CASO: 2 AÑOS   b2 es el coste de una inversión que garantiza 1€ dentro de dos años. El rendimiento de esta inversión en tanto anualizado.
r2 es, por tanto, el tipo de interés (anualizado) libre de riesgo a dos años.
También llamado factor de descuento a dos años.
NOTA: No hay que confundir “tipo anualizado a dos años” con “tipo del segundo año”. Es decir, no es lo mismo r 2 que 1r2: CASO GENERAL: t AÑOS  bt: es el coste de una inversión que garantiza 1€ dentro de t años.
Ahora podemos escribir una nueva versión, más familiar, de la EFV: Por tanto, en ausencia de arbitraje, el precio de un bono (sin riesgo de fallido o impago) ha de ser igual al valor presente de sus flujos de pagos futuros, donde la tasa de descuento es el tipo libre de riesgo a distintos plazos, o el rendimiento de los “bonos básicos”.
16 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio 2.2.3NOTAS FUNDAMENTALES ① Por definición, rt es el rendimiento del bono básico t (bono imaginario) o “tipo anualizado a t años”.
② Para calcular el rendimiento de los bonos del mundo real se recurre al cálculo de su “rentabilidad al vencimiento” o TIR (que denotaremos con la letra i) DEFINICIÓN: TIR (tasa interna de rentabilidad) “Tasa de descuento que iguala el precio real de un bono al valor presente de sus pagos futuros” [concretamente es la i] 𝑩= 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝒕 + 𝑵 + + ⋯+ 𝟐 (𝟏 + 𝒊)𝒕 (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊) Otras notas: ① Es fácil ver que, para el caso de bonos sin riesgo de fallido o default, la TIR y el rt: a.
Coinciden si son bonos al descuento (cupón cero) 𝐏𝐑𝐄𝐂𝐈𝐎 𝐝𝐞𝐥 𝐛𝐨𝐧𝐨 𝐞𝐧 𝐚𝐮𝐬𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐚𝐫𝐛𝐢𝐭𝐫𝐚𝐣𝐞: 𝐵𝑁𝐴 = 𝐓𝐈𝐑 𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐛𝐨𝐧𝐨: 𝐵 = 𝑁 (1+𝑟𝑡 )𝑡 𝑁 (1+𝑖)𝑡 En este caso concreto, 𝑖 = 𝑟𝑡 b.
Difieren si son bonos con cupón y rt es distinto para distintos t.
② Mercados completos: para poder obtener B necesitamos tener tantos bonos básicos como períodos de vencimiento. Si nos falta algún periodo de vencimiento NO podremos crear una réplica de una cartera.
③ Mercado de deuda española: Los STRIPS (cupón que se negocia independientemente del bono).
DIFERENCIAS: [1] La tasa de descuento del TIR es única mientras que la tasa de descuento del precio del bono sin arbitraje varía.
[2] precio de cotización (TIR) y precio sin arbitraje EJERCICIO TIR =? N= 1.000 𝑩= C=3%  (0.03·1.000)=30 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝒕 + 𝑵 + +⋯+ (𝟏 + 𝒊)𝒕 (𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊)𝟐 980 = T=3 años B=980€ 980 30 30 30 + 1.000 + + (1 + 𝑖)3 (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)2 (1 + 𝑖)3 30(1 + 𝑖)2 30(1 + 𝑖) 30 + 1.000 = + + (1 + 𝑖)3 (1 + 𝑖)3 (1 + 𝑖)3 (1 + 𝑖)3 980(1 + 𝑖)3 = 30(1 + 𝑖)2 + 30(1 + 𝑖) + 1.030 𝑥 = 1+𝑖 980𝑥 3 − 30𝑥 2 − 30𝑥 − 1.030 = 0 𝑿 = 𝟏. 𝟎𝟑𝟕𝟏𝟕 → 𝒊 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟕𝟏𝟕 17 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio 2.3. ARBITRAJE SECUENCIAL Si exigimos que no existan oportunidades de arbitraje, se ha de cumplir que: 1 > b1 > b2 >…> bt > bt+1 >…>0 Si, por ejemplo, b1 < b2, se puede hacer arbitraje:  Se compra el b.b. a 1 año, el euro se guardará para el segundo año.
 Se vende en corto el b.b. a 2 años.
 Al final del segundo año, se utiliza el euro del b.b. a un año para hacer frente al pago por la venta del b.b a 2 años.
El beneficio del arbitraje es la diferencia b2 – b1.
EJEMPLO: Supongamos que b1 = 0.8 y b2 = 0.9.
 ¡NOTA! Nos llama la atención que el precio es más alto para el bono que te hace esperar más tiempo (tardas 2 años en vez de 1 en recibir el pago). Este bono genera una oportunidad de arbitraje.
Compro b.b 1 año [el barato] t=0 t=1 -0.8 1 Abro un depósito seguro a.
-1 Vendo el b.b 2 años [el caro] +0.1 TOTAL +0.1 t=2 1 -1 0 0 Arbitraje, oferta, demanda y economía financiera La economía financiera tiene su propio vocabulario distintivo, en donde oferta y demanda no son necesarios para determinar el precio de los activos financieros.
Es necesario que existan unos precios (cupón cero, las b), que permitan replicar el activo de nuestro interés y determinar, por tanto, su precio, siempre considerando que no existe arbitraje. Con su énfasis en la ausencia de arbitraje, la economía financiera no requiere que los mercados estén en pleno equilibrio.
Por supuesto, la ausencia de arbitraje es condición necesaria para el equilibrio en los mercados financieros: Mientras haya arbitraje los activos “baratos” estarán en exceso de demanda y los “caros” en exceso de oferta.
En estos capítulos iniciales, evitaremos oferta y demanda y desarrollaremos la metodología financiera a partir de la ausencia de arbitraje.
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