T2. Elements transductors (2017)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Nanociencia y Nanotecnología - 4º curso
Asignatura Micro i Nanosistemes
Profesor F.T.
Año del apunte 2017
Páginas 33
Fecha de subida 31/10/2017
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

2 ELEMENTS TRANSDUCTORS 2.1 DESCRIPCIÓ MECÀNICA DELS M/NEMS Els M/NEMS o Micro/Nano Electromechanical Systems són sistemes elèctrics que impliquen un moviment. Un canvi mecànic en aquests sistemes implica un senyal elèctric, com per exemple de potencia (materials piezoelèctrics). Per tant, resulta important poder descriure les propietats 2.1.1 2.1.1.1 Magnituds mecàniques Deformació Quan apliquem una força de tensió al llarg de la palanca, ( Figura 1. Def palanca per tracció.
Quan la deformació es produeix en les tres dimensions de com: Cal esmentar que les magnituds i corresponen a les coordenades locals de cada punt, mentre que les magnituds i fan referència als propis eixos de coordenades.
2.1.1.2 palanca per flexió.
Deformació de cisalla La deformació de cisalla ( xy) és la deformació lateral distorsió. Es defineix com: Figura 3. Deformació de cisalla.
4 2.1.1.3 Estrès elàstic 2.1.1.4 Estrès de cisalla un cos genera un estrès elàstic.
Quan en un material tridime zy o bé zy, que és més utilitzat).
lla, la primera lletra del subíndex fa referència a la direcció del vector director de la cara on actua la força i la segona lletra fa referència a la direcció de la força.
2.1.1.5 Gràfica de tensió-deformació un cos 3D gener estrès de cisalla.
En les gràfiques de tensióesforç aplicat, és a dir, la tensió respecte la deformació provocada. En aquests gràfics podem distingir dues regions ben diferenciades, una regió lineal on la deformació és elàstica i per tant reversible, i una regió no lineal, on la deformació és plàstica i no reversible i per tant, el material no pot recuperar la seva forma Figura 5. Gràfica tensió-deformació i les deformacions són molt petites.
En sistemes monodimensionals, trobem una dependència lineal entre la tensió i la deformació.
La constant de proporcionalitat és el que anomenem el Mòdul de Young (E), una propietat que ó de la tensió aplicada.
5 Aquesta equació recorda a la llei de Hooke: El mòdul de Young ens dóna una idea de les propietats elàstiques dels materials. Quan el E és tensió, o força per unitat de superfície, per provocar una deformació petita i, per tant, estem parlant de materials durs.
Per exemple, el Mòdul de Young del silici és: En sistemes bidimensionals, com per exemple en una làmina prima, tenim una relació matricial entre la tensió i la deformació: En sistemes tridimensionals hauríem de fer servir el càlcul tensorial. No ho farem servir.
2.1.1.6 Mòdul de Poisson El Mòdul de Poisson, s .
El signe negatiu de la fórmula es troba present per fer que el Mòdul de Poisson sigui positiu, ja que la variació de la deformació transversal (perpendicula 2.1.2 Treball realitzat en una deformació de tensió Figura 6 palanca per tracció.
expressa de la següent manera: dV ) necessària per deformar el material reversiblement, és a dir, fent petites (diferencials) deformacions.
6 2.1.3 Energia acumulada per la palanca en un moviment de flexió un extrem quan es produeix un moviment de flexió. Podem veure un esquema del moviment en la següent imatge.
Figura 7 una palanca per flexió.
Suposició 1: La deformació de la palanca és molt petita i per tant, ens mantenim a la zona lineal del gràfic de tensió-deformació.
A la figura 8 veiem un zoom del que passa a la figura 7.
centre del tros perquè eix neutre placa deformada per flexió que separa la zona comprimida de la zona traccionada.
x y Figura 8. Zoom de la deformació en un tros de la palanca. (Esquerra) Figura 9. Represent a per les següents propietats: - Geomètrica: flexió.
es manté.
7 - Tensional: en una palanca de material elàstic i isòtrop sotmesa a flexió, la tensió sobre - Representació bidimensional: en una secció transversal bidimensional de la palanca(en De la figura 9 podem extreure el següent esquema (figura 10): Figura 10. Esquema de distàncies en el procés de flexió entre el tros abans i després de flexionar.
- , distància en x entre un punt i ell mateix abans i després de la flexió lexió) , distància en y entre un punt i ell mateix abans i després de la flexió.
Per tant, per geometria podem extreure tres equacions: Com les deformacions són petites, els angles següents aproximacions: també són petits i per tant podem fer les Per tant, les tres equacions anteriors queden de la següent manera: 8 anterior: - Per la suposició 1, ja que les deformacions són petites, podem negligir la component de la deformació en y.
Suposició 2: la cont palanca, però quan la deformació és petita podem negligir aquest tipus de deformació.
Per tant, únicament tindrem deformació en la direcció x.
Expressem ara la energia en funció de les variables neutre: i En aquesta expressió trobem tres tipus de termes: Les integrals (4) i (5) donen com a resultat 0 degut a que hem agafat el sistema de coordenades a la o , que és purament una propietat geomètrica que està relacionada amb les tensions i deformacions màximes que apareixen per la flexió en un element estructural. Cal distingir-lo del .
Deformació de flexió Deformació axial 9 La deformació que prengui la palanca serà aquella que minimitzi el potencial, U.
2.1.4 Principi de la mínima acció o principi de Hamilton Quan fem una deformació en una barra ancorada per un extrem i la deixem anar, aquesta comença a vibrar de manera dinàmica. Volem trobar una equació per descriure aquest moviment dinàmic.
De totes les trajectòries possibles que pot assolir un sistema dinàmic per desplaçara un altre en un interval de temps determinat, la trajectòria que es segueix vertaderament és aquella que fa mínima la integral temporal de la diferència entre les energies cinètica i potencial, és a dir, el lagrangià o acció, S.
cinètica es transforma en energia potencial i viceversa.
ó és un funcional o, és a dir, es pot expressar en termes de diferents funcions determinada variable, com per exemple funcional en el que prenem les funcions com a variables i no les variables en sí.
Energia cinètica, T On és la densitat superficial i Energia potencial, U és la velocitat en la direcció y de la palanca.
ho, hem de tenir present que les operacions derivada i variacional commuten entre elles i per 10 Suposarem que tant la densitat tant no varien i els podem treure fora de la integral.
Integrem per parts i obtenim que Tal i com podem veure a la figura 11: , ja que la teoria de variacionals ens indica que inicial i al final ha de coincidir amb el valor real de la funció, de manera que la variació és 0. La trajectòria en els punts del mig no és exactament la mateixa, però.
Figura 11. Variacionals Així doncs, el variacional de la energia cinètica queda com: - : Com ja hem dit, suposem en la flexió de la palanca, el doblegament en x és petit respecte el doblegament en y. A més, suposem que tant el material que estem considerant és homogeni i a no depenen de la posició.
Integrem per parts: 11 Tornem a integrar per parts: La expressió anterior és la corresponent al variacional de la energia potencial, és a dir, hem fixat unes condicions inicials i finals i hem optimitzat el camí fent el variacional. Les condicions inicial i final són el que anomenem les condicions de contorn del problema. Les condicions de contorn per a una barra ancorada per un extrem són les següents: ancorada pels dos extrems, serien: seu valor.
Parell o moment de forces Quan es flexiona una palanca ancorada per un extrem, en ella apareixen unes determinades tensions o estressos que provoquen una deformació de flexió. Aquest comportament es déu a el producte vectorial entre la força aplicada i el vector distància entre el punt considerat i on En el nostre cas la força es fa en la direcció x i, per tant, quan fem el producte vectorial només sobreviu la component perpendicular a la direcció de la força.
Tenint en compte que: per simetria 12 Els factors i els podem treure fora de la integral ja que representen, respectivament, el Per tant, el moment de forces queda com: En cas que hi hagués també deformació de cisalla, cosa que hem negligit perquè les deformacions són molt petites, podríem definir també un moment de forces de cisalla o shear: En el nostre cas podem suposar que al punt , ja que la distància entre el punt condicions de contorn que utilitzarem més endavant: i al moment de cisalla: En conseqüència, utilitzant tot el que hem calculat fins ara, t imposem que ha de valdre zero.
Així doncs, arribem a una equació diferencial que ens serveix per ens serveix per descriure el Aquesta equació és només vàlida quan: La deformació de la palanca és petita i per tant, estem considerant angles La secció i densitat de la palanca no depenen del temps: 13 petits.
El material considerat és homogeni i isòtrop i, per tant, el mòdul de Young i el moment No forces externes.
ó obtinguda amb el mateix desenvolupament utilitzat per a un sistema on sí hi ha forces externes és: 2.1.5 secció rectangular: thick (width).
Quan el moviment es realitza en la direcció y: Quan el moviment es realitza en la direcció x: 2.1.6 Estàtica (DC) calcularem quin és el seu doblegament.
Sabem que el parell de forces, , el podem escriure de dues formes: 14 de : Per trobar el valor de la constant Ara trobem el valor de la constant que apliquem la condició de contorn i trobem que aplicant la condició de contorn Po i trobem i aïllar la força en aquest punt: Quan els desplaçaments són petits, podem aproximar que la força aplicada i el desplaçament són linealment proporcionals i que es segueix la Llei de Hooke: ) o una secció circular ( ) en les constants elàstiques: 2.1.6.1 Estrès sobre la palanca deformació en la direcció x ve donat per la següent expressió: quan les deformacions són petites. En 15 Imaginem-nos que volem pesar un virus i, per fer-ho el col·loquem sobre una palanca feta amb El moment de forces, és màxim quan força en una palanca amb secció rectangular és a Així doncs, podem establir quin és el doblegament mínim ( 2.1.7 ) respecte la posició inicial Dinàmica En la situació en què el moviment és dinàmic, és a dir, oscil·latori, podem descriure el moviment equació de Euler-Bernouilli: En aquesta equació diferencial podem separar variables i expressar la solució de la forma: Una de les dues parts són iguals, totes dues han de ser iguals a una constant. A aquesta constant li direm .
vol dir que tant com no puguin dependre respectivament de la posició i del temps, de la posició ni del temps.
16 Solucionem primer la part temporal: Solucionem ara la part espaial: La solució a aquesta equació diferencial és: Trobem ara les constants: següents: i I tenint en compte que: Igualem ambdues expressions de i operem 17 Tenint en compte que: Obtenim que: Aquesta relació només es compleix quan pren determinats val anomenarem on ens indica la posició en la llista en ordre de constants trobades. Per exemple: Com hem definit que: Per tant, això vol dir que el sistema nomes pot treballar amb uns valors discrets de freqüència.
La solució general del moviment en y és: On: Si representem els possibles valors de la freqüència en funció de la longitud de la palanca, L, trobem els modes de vibració de la palanca: 18 A mida que es va creixent la freqüència, el moviment de la palanca és més ondulat.
Ara Arribem a la mateixa equació diferencial, però com les condicions de contorn són diferents arribem a una equació lleugerament diferent.
Així doncs, podem veure que la freqüència del 2.1.8 Model Rayleigh acció: El principi de Rayleigh enuncia que: en el mo Com tenim un moviment harmònic: Substituïm 19 Així doncs: Aïllem : 1 esdevenen màximes i tendeixen a igualar-se.
Cada mode de vibració tindrà unes constants de vibració i masses efectives, característiques. Per trobarBernouilli.
Pel que fa al primer mode trobem que: Com arribem aquí? Per una palanca amb: Podem expressar la seva força com: 20 i , - 2.1.9 Transformada de Laplace La transformada de Laplace és un operador matemàtic que serveix alhora per resoldre equacions diferencials ordinàries i per transformar funcions del domini temporal al domini a següent manera: Algunes propietats importants de la transformada de Laplace són: Linealitat: Derivació: Derivació n-èssima: Integració: Considerant nul·les les condicions inicials obtenim que: Hem de tenir en compte, però, que estem treballant al món de Laplace, on: De que la variable vol dir multiplicar per : Per tant, obtenim que: 21 Quan tenim: Seguint aquesta idea definim: Obtenim aleshores: Si representem això, obtenim el següent gràfic: Tal i com podem veure gràcies a la fletxa verda, hi ha moviment de la palanca a diferents freqüències que no són necessàriament la freqüència característica del mode, . També, com més gran sigui el valor del factor Q, més alt i estret serà el pic. El factor Q reflexa la interacció de de Q, per tant més ample i baix serà el pic i la palanca es mourà menys i en un rang més ample de freqüències.
2.2 MODES DE TRANSDUCCIÓ mecànica en un significat electrònic. Aquest sistema és el de tranducció del senyal.
la transducció electrostàtica, la transducció piezoelèctrica, la transducció piezoresistiva i la transducció magnetotriu.
2.2.1 Transducció electrostàtica La transducció electrostàtica es basa en un condensador de plaques paral·leles que es poden e un conductor.
22 una distància .
Com ja hem dit, assimilem aquest sistema a un condensador plano-paral·lel on definim la seva capacitat ( ) i energia emmagatzemada ( ) com: podem veure en la següent expressió: apareix una força elèctrica: sistema. Podem definir la capacitat i el diferencial de càrrega com: La font de potencial ens manté el voltatge constant en el condensador, per tant, quan la palanca es mou, la font aporta o treu càrrega al circuit, de manera que podem escriure que: La energia elèctrica de la font és: per no complicar les expressions amb el gradient.
23 Llavors, la força elèctrica tindrà la següent expressió: Així doncs, podem deduir de la expressió de la força elèctrica que, independentment del signe elèctrode serà sempre atractiva i, també que, com més gran sigui el potencial apli 2.2.1.1 Mode estàtic Podem considerar la palanca com una molla, on la força recuperadora ve donada per la llei de Hooke. Per tant la força total serà: Si la força elèctrica és més gran que la força recuperadora, la palanca xocarà amb la paret i quedarà enganxada per sempre més. Per tant, fem malbé el sistema. És Aïllem el potencial i el deixem en funció de la posició (desplaçament de la palanca respecte la posició inicial): Podem elevar el potencial al quadrat i reescriure-ho de la següent manera tenint present que: Si representem es dedueix a sota: respecte la posició, , trobem que tenim un màxim a 24 , tal i com Prèviament hem buscat el punt crític fent la representació de la funció, però el podem buscar de la següent manera. Sabem que, en la llei de Hooke, la constant elàstica ens indica com varia la força respecte el desplaçament. Per tant, si derivem la expressió de la força total respecte el desplaçament, obtenim una expressió associada a la constant efectiva de la molla, : : El terme positiu venç la constant recuperadora de la palanca i per tant, la : Situació positiva, la constant recuperadora és més gran en magnitud que el terme del potencial i per tant, la palanca pot tornar a la seva posició inicial.
: Situació límit entre el trencament del sistema i la recuperació de la palanca.
Analitzem ara quina és la situació per la qual : 25 2.2.1.2 Mode dinàmic amb la diferencia que ara la palanca es troba oscil·lant i per tant, la capacitat del sistema canvia.
Amb aquest sistema podem fer dues coses: Fer una detecció com canvia la capacitat del sistema: servir la palanca com una microbalança, on la palanca es troba oscil·lant amb una freqüència de ressonància característica i quan, es col·loca massa mesurada.
* i faríem malbé el sistema. Pel que fa al voltatge dinàmic, la palanca només oscil·larà quan la seva freqüència coincideixi amb la x<<g *Desenvolupament en Taylor: * En la expressió anterior hem utilitzat la fórmula trigonomètrica: Fixant-nos en la expressió anterior trobem que, quan no hi ha voltatge estàtic, la palanca oscil·larà amb la seva freqüència de ressonància característica i, per tant, la freqüència serà la meitat de la de ressonància ( ). Quan a més de voltatge dinàmic trobem també voltatge estàtic, la palanca únicament oscil·larà a la seva freqüència de ressonància quan . Això es déu a que el terme és negligible perquè 26 .
Així doncs, fent aquesta aproximació i que el moviment és petit: x<<g definició del factor de transducció ( transducció del procés elèctric al mecànic.
De igual manera podem definir el ( ) que indica com és Veiem que expressió.
iva: voltatge estàtic, la constant elèctrica és: Per tant, la freqüència de ressonància mesurada vindrà donada per: Això vol dir que, el fet de tenir una força elèctrica fa que la freqüència de ressonància mesurada sigui menor a la característica, és a dir, la força elèctrica estova la constant de recuperació.
Si representem tenint en compte que en primera aproximació de Taylor , veiem que la freqüència de ressonància és proporcional al voltatge estàtic.
27 Per trobar la freqüència de ressonància característica podem fer mesures de la freqüència de ressonància a diferents valors de potencial estàtic i interpolant en x=0.
2.2.2 Transducció piezoelèctrica Els materials piezoelèctrics són materials cristal·lins que en la seva estructura no tenen un centre de simetria. Aquests materials tenen zones diferenciades de predominança de càrrega positiva o negativa, de manera que quan es sotmeten a una tensió mecànica el material es polaritza i en la seva superfície apareixen càrregues superficials i per tant, una diferencia de potencial.
Al dibuix de sota veiem dos exemples de materials, un no piezoelèctric i un sí.
Dues càrregues, , separades per una distància, , generen un moment dipolar, , en direcció des de la càrrega positiva cap a la negativa. La polarització és la magnitud vectorial que expressa la densitat de moments dipolars elèctrics per unitat de volum en un material dielèctric.
En els materials piezoelèctrics, aplicant una tensió estem generant una polarització i per tant, una diferència de potencial en el material. De la mateixa manera, quan apliquem un camp elèctric, , sobre un m Per tant, podem generalitzar el camp elèctric dins del material definint el desplaçament elèctric, que té en compte el camp elèctric i la polarització: La en un material la podem definir com: 28 En la transducció elèctrica podem trobar dos casos que normalment succeeixen alhora. Quan ntre els extrems del piezoelèctric es crea un camp elèctric dins del material, de manera que es genera una polarització i una força que fa que el material es deformi mecànicament. De la mateixa manera, aplicar una força sobre el material, genera o canvia la polarització del material i per tant es crea un camp elèctric i una diferència de potencial entre els seus extrems.
Com estem tractant tant mecànica com electricitat farem un canvi de notació: , tensió , mòdul de Young , deformació , permitivitat del medi ( quan permitivitat del buit) , desplaçament elèctric , camp elèctric , coeficient piezoelèctric , inversa del mòdul de Young Degut a que hi ha un , i el camp elèctric, , podem definir coeficient piezoelèctric ( ).
Paral·lelament, degut que hi ha un acoblament entre la deformació ( ) i el camp elèctric, podem reescriure la deformació i el desplaçament elèctric en funció del ( ).
Tanmateix, no utilitz aquelles que es troben en funció del coeficient piezoelèctric.
Podem generalitzar les equacions (*) amb el mòdul de Young generalitzat a camp elèctric constant ( ) i la permitivitat elèctrica a deformació constant ( : 29 Els subíndexs: . Aquests índexs corresponen a . Aquests índexs corresponen a les deformacions de cisalla.
Estudiarem dos casos o modes piezoelèctrics: Mode longitudinal Mode transversal En el mode longitudinal, la direcció del camp elèctric aplicat i la direcció de la força generada és la mateixa. Tanmateix, en el mode transversal, la direcció del camp elèctric aplicat i la força generada són perpendiculars.
2.2.2.1 Mode longitudinal 3 1 Direcció del Direcció de la resposta piezoelèctrica cas la direcció 3, i el piezoelèctric respon patint, en la mateixa direcció, una deformació distribuïda simètric Per tant: En conseqüència, la deformació vindrà donada per: Cas amb múltiples capes En el cas que tinguem múltiples capes de piezoelèctric connectades de manera alterna a una piezoelèctric vindrà donat per: 30 Càlcul de la força exercida pel piezoelèctric En aquest cas podríem pensar que el fet que hi hagi una força -nos que el piezoelèctric no es troba en contacte amb cap objecte i per tant, no hi ha estrès. Per tant, per calcular la respecte a un material imaginari.
Tot i que el mòdul de Young es cancel·la, aquest no correspondria al material piezoelèctric, sinó al material imaginari.
2.2.2.2 Mode transversal Fem la mateixa consideració de no estrès. Així doncs, extraiem que: amb un material piezoelèctric al damunt Com en aquest cas el piezoelèctric es troba lligat a la palanca, no podem dir que ni hi ha estrès però, sempre i quan el gruix del piezoelèctric sigui molt més petit que el gruix de la palanca, podem aproximar el moment de forces com: On segons la polaritat del potencial, la palanca es doblegarà cap a munt o cap avall.
31 2.2.2.3 Detecció Tenint en compte el desplaçament químic: I la llei de Gauss: del piezoelèctric i per tant, Mode longitudinal Podem dir que, aproximadament, de manera semblant a com ho fa un condensador, la càrrega la superfície serà: Per tant, el corrent que detectarem serà: 1 2 areixen dos termes. El terme 1 es troba present degut que tenim una capacitat. El terme 2 només és diferent de zero quan el piezoelèctric canvia la seva dimensió amb el temps. Aquest mètode de detecció és adequat pel mode AC, ja que pel mode DC, el piezoel per tant, aquest terme serà zero.
Mode transversal Fem exactament el mateix procediment que en el mode longitudinal per arribar al corrent generat.
32 2.2.3 Transducció piezoresistiva La piezoresistivitat és la propietat que tenen alguns materials semiconductors, que consisteix en que la seva resistència elèctrica canvia quan es veuen sotmesos a un estrès mecànic (tracció o compressió) que els deforma.
Aquest sistema de transducció només serveix per detectar, ja que podem sotmetre a aquets materials a una força i per tant, provocar un canvi en la seva resistència. Tanmateix, no sabem com canviar la seva resistència per provocar una deformació.
deformació és perquè els seus diagrames de bandes canvien quan canvien la seva estructura.
En un material convencional el camp elèctric es pot expressar mitjançant la densitat de corrent, , fent ús de la resistivitat, .
En un material piezoresistiu, el camp elèctric es pot escriure com: On, és el tensor piezoresistiu i és el coeficient piezoresistiu.
Podem definir també el factor de Galga o de Gauche, : Podem relacionar el factor de Galga amb el coeficient piezoresistiu mitjançant la següent expressió: On recordem que és el mòdul de Poisson.
La variació de la resistència en un material piezoresistiu depèn de igual manera del coeficient piezoresistiu longitudinal com del coeficient piezoresistiu transversal.
33 2.2.3.1 a mesura: combinació material piezoresistiu i palanca Localització del piezoresistiu sobre la palanca La situació (a) proporciona una millor mesura respecte la situació (b), ja que la zona de la palanca Orientació del material La imatge anterior proporciona una vista des de dalt de la palanca. La situació (b) resulta molt millor ja que maximitza la interacció amb la zona de més estrès de la palanca. El problema amb la situació (a) és la manipulació per col·locar el piezoelèctric, ja que es molt difícil col·locar-lo en Exemples PMUT CMUT 34 Tant el CMUT (Capacity Micromachine Ultrasound Transducer) com el PMUT (Piezoelectric Micromachine Ultrasound Transducer) són elements transductors capaços de generar i detectar ultrasons. Tots dos tenen els seus inconvenients així que hi ha molta recerca en tots dos sistemes.
2.2.4 Transducció magnetotriu o electrodinàmica La transducció magnetotriu permet traduir moviments mecànics del sistema en senyals elèctrics mitjançant un camp magnètic i viceversa, per tant, permet tant llegir com actuar.
La força exercida per un camp magnètic sobre una càrrega mòbil ve donada per la següent expressió: plica un camp magnètic es genera una força: Sabem també que, quan un corrent passa per un conductor que tanca una superfície, tal com que apareix també un flux magnètic.
Podem aprofitarseva vora amb un fil conductor pel qual passa un corrent. Per tant, quan la palanca es deflecta, canvia el flux magnètic, de manera que canvia el potencial al qual es troba el fil conductor. Per tant, per mesurar, mesurem la diferència de potencial originada per la força electromotriu.
35 Per últim, suposem un pont pel qual passa un corrent i que es troba suspès entre dues àrees, .
S aplica un camp magnètic en la direcció z (dibuix malament) i, com a conseqüència, el pont comença a oscil·lar en la direcció y, de manera que generarà una variació d area. De manera que ho podem caracteritzar fent servir: 36 ...

Comprar Previsualizar