TEMA 3. REVISIÓ DE CONCEPTES BÀSICS II (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Genética - 3º curso
Asignatura Biologia de sistemes
Año del apunte 2016
Páginas 14
Fecha de subida 26/03/2016
Descargas 11
Subido por

Vista previa del texto

Biologia de Sistemes TEMA 3: REVISIÓ DE CONCEPTES BÀSICS II BALANÇ, ESTEQUIOMETRIA I XARXES Tenim el següent sistema: Les equacions que expliquen aquest sistema són: 𝑑𝑋1 = 𝑣𝑖𝑛,1 − 𝑣1 𝑑𝑡 𝑑𝑋4 = 𝑣4 − 𝑣𝑜𝑢𝑡,4 𝑑𝑡 𝑑𝑋2 = 𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3 𝑑𝑡 𝑑𝑋3 = 𝑣2 − 𝑣4 𝑑𝑡 𝑑𝑋5 = 𝑣3 − 𝑣5 𝑑𝑡 𝑑𝑋6 = 𝑣5 − 𝑣𝑜𝑢𝑡,6 𝑑𝑡 Podem expressar totes aquestes equacions en matrius: 𝑣𝑖𝑛,1 𝑋1 𝑣1 1−1 0 0 0 0 0 0 𝑣2 𝑋2 0 1 −1−1 0 0 0 0 𝑑 𝑋3 𝑣3 0 0 1 0 −1 0 0 0 = 𝑣4 = 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 𝑑𝑡 𝑋4 𝑣5 0 0 0 1 0 −1 0 0 𝑋5 𝑣 [ ] 𝑜𝑢𝑡,4 0 0 0 0 0 0 1 −1 [𝑋6 ] [𝑣𝑜𝑢𝑡,6 ] S v S és una matriu de coeficients estequiomètrics. Només apareixen 1 i -1 perquè les reaccions són mol a mol (si en una de les reaccions per cada 2 mols de substrat aparegués 1 de producte, llavors el valor estequiomètric seria 0,5).
Integrar tot aquest sistema de matrius és igual que posar totes les equacions per separat en aquell programa que t’ho integrava amb el mètode numèric.
REVISIÓ DE CONCEPTES PRELIMINARS A més a més de les consideracions ja vistes, l’estudi de reaccions metabòliques ha de considerar dos aspectes clau més: - Termodinàmica.
Cinètica.
35 Biologia de Sistemes Les reaccions es poden agrupar en dos tipus: Totes les reaccions poden anar en els dos sentits. En un dels sentits ∆𝐺 > 0, i en l’altre sentit ∆𝐺 < 0. Per tant depenent del sentit de la reacció, hi haurà un guany o una pèrdua d’energia.
Només les reaccions que alliberen energia avances espontàniament cap a la formació de productes. La majoria de reaccions que nosaltres tractarem són reversibles.
Les reaccions “avancen” en la direcció que disminueix l’energia lliure (∆𝐺 𝐽/𝑚𝑜𝑙).
𝑚𝐴 + 𝑛𝐵 ↔ 𝑝𝐶 + 𝑞𝐷 Considerem la reacció reversible. Aquesta reacció té la tendència d’avançar cap a l’equilibri: ∆𝐺 = ∆𝐺 𝑜′ + 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( [𝐶]𝑝 · [𝐷]𝑞 ) [𝐴]𝑚 · [𝐵]𝑛 ∆𝐺 𝑜′ : energia lliure en condicions estàndard (1 M de reactiu i productes, 1 atm, a bioquímica pH: 7, 55,5 M H2O, 1mM Mg).
R: constant dels gasos ideals (8,314 J/K·mol, 0,082 atm·L/K·mol) T: temperatura (en Kelvin).
Si ens imaginem ∆𝐺 com una força impulsora, a l’equilibri aquesta força desapareix. O també es pot mirar com que a l’equilibri les forces d’un sentit s’igualen amb les forces de l’altre sentit i llavors ∆𝐺 = 0. Quan passa això diem que hem arribat a l’equilibri químic. Llavors podem relacionar la ∆𝐺 𝑜′ (energia lliure de Gibbs) i la constant d’equilibri (Keq).
0 = ∆𝐺 = ∆𝐺 𝑜′ + 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( [𝐶]𝑝 · [𝐷]𝑞 ) [𝐴]𝑚 · [𝐵]𝑛 36 Biologia de Sistemes ∆𝐺 𝑜′ = −𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( [𝐶]𝑝 · [𝐷]𝑞 ) [𝐴]𝑚 · [𝐵]𝑛 ∆𝐺 𝑜′ = −𝑅𝑇 · 𝑙𝑛(𝐾𝑒𝑞 ) Per tant quan una reacció estigui en equilibri es complirà que l’energia lliure en condicions estàndard serà igual a la constant d’equilibri multiplicada per la temperatura de la reacció i la constant dels gasos ideals.
- - - Si Keq = 1 : en l’equilibri hi haurà la mateixa concentració de substrats que de productes.
Si Keq > 1 : en l’equilibri estaran en més concentració els productes que els substrats.
Si Keq < 1 : en l’equilibri estaran en més concentració els substrats que els productes.
Recordem que aquests tres casos estem parlant sempre que es donen dins de la situació en que ∆𝐺 = 0.
La termodinàmica restringeix la direcció de la reacció (a pressió constant): 𝑚𝐴 + 𝑛𝐵 ↔ 𝑝𝐶 + 𝑞𝐷 ∆𝐺 = ∆𝐺 𝑜′ + 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( [𝐶]𝑝 · [𝐷]𝑞 ) [𝐴]𝑚 · [𝐵]𝑛 ∆𝐺 < 0: La reacció neta avança en direcció reactius  productes.
∆𝐺 = 0: La reacció es troba a l’equilibri (reacció directa i inversa iguals).
∆𝐺 > 0: La reacció neta avança en direcció productes reactius.
Fora de la situació d’equilibri tindrem: 𝑚𝐴 + 𝑛𝐵 ↔ 𝑝𝐶 + 𝑞𝐷 La relació d’acció de masses (mass-action ratio): Γ (gamma en majúscula). Es calcula igual que la Keq però quan les concentracions no es troben en l’equilibri.
Γ= [𝐶]𝑝 · [𝐷]𝑞 [𝐴]𝑚 · [𝐵]𝑛 En aquest cas, es pot substituir en la fórmula de l’energia lliure de la reacció: ∆𝐺 = ∆𝐺 𝑜′ + 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( [𝐶]𝑝 · [𝐷]𝑞 ) [𝐴]𝑚 · [𝐵]𝑛 ∆𝐺 = −𝑅𝑇 · 𝑙𝑛(𝐾𝑒𝑞 ) + 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛(Γ) (També hem substituït l’energia lliure en condicions estàndard per la seva relació amb la constant d’equilibri Keq). Llavors queda: 37 Biologia de Sistemes ∆𝐺 = 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( On Γ 𝐾𝑒𝑞 Γ ) 𝐾𝑒𝑞 es coneix com a “relació de desequilibri” (desequilibrium ratio). Així tenim la relació entre la Γ, la Keq i ∆𝐺. A l’equilibri el quocient de desequilibri és 1, per tant Γ i Keq tenen el mateix valor: 0 = ∆𝐺 = 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( 0 = 𝑅𝑇 · 𝑙𝑛 ( 0 = 𝑙𝑛 ( Γ ) 𝐾𝑒𝑞 Γ ) 𝐾𝑒𝑞 Γ ) 𝐾𝑒𝑞 Γ =1 𝐾𝑒𝑞 Γ = 𝐾𝑒𝑞 Exemples per entendre millor el que passa amb les reaccions: en un sistema tancat les reaccions van en el sentit en què ∆𝐺 < 0, fins que s’arriba a l’equilibri i llavors ∆𝐺 = 0. En aquest moment, com el sistema és tancat, no hi ha energia per funcionar, i el sistema es “mor”, queda estancat.
38 Biologia de Sistemes En un sistema viu es manté un flux constant que manté el sistema lluny de l’equilibri. Els sistemes vius necessiten estar oberts: tenir una entrada i una sortida per mantenir un flux.
Les cèl·lules no podem ser sistemes tancats. Si no es subministrés energia els components cel·lulars tendirien a la degradació. La generació dels components nous de la cèl·lula implica acoblar processos o reaccions que consumeixen energia (∆𝐺 < 0) amb d’altres que la generen (∆𝐺 > 0) perquè el resultat combinat resulti termodinàmicament favorable.
A més, perquè una reacció tingui lloc s’ha de subministrar una energia mínima coneguda com energia d’activació (EA).
En aquest esquema veiem una reacció estàndard: es dóna en el sentit en què ∆𝐺 < 0 (tots els processos tenen un sentit natural, i no l’aconseguirem canviar per molt que ho intentem). Els substrats, però, han de passar per un estat activat o hi ha més energia que la inicial. Aquest estat de transició s’aconsegueix per col·lisió d’ions entre les molècules de substrat.
Si escalfem els substrats el que fem és accelerar la reacció, ja que EA té a veure amb la velocitat de la reacció. ∆𝑮, en comptes, té a veure amb el sentit de la reacció. Aquesta reacció es donarà sempre en el mateix sentit, però ho farà més ràpid o més lent segons si nosaltres subministrem l’energia d’activació (EA) o no. Si la subministrem nosaltres, és com si estiguéssim ajudant al sistema a arribar a l’estat de transició.
39 Biologia de Sistemes El concepte d’energia d’activació ens porta a parlar de la velocitat de reacció i la cinètica. Per a la següent reacció: 2𝐴 + 𝐵 ↔ 2𝐶 0 = 2𝐶 − 2𝐴 − 𝐵 Quina velocitat de reacció definim? La velocitat de desaparició o aparició de cada component serà diferent en funció del seu coeficient estequiomètric: A desapareixerà el doble de ràpid que B. La velocitat de reacció la definim com: 𝑣=− 1 𝑑𝐴 𝑑𝐵 1 𝑑𝐶 =− = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Es calcula dividint la derivada de cada component entre el seu coeficient estequiomètric. A això se li ha de canviar el signe si el component està desapareixent (el cas d’A i B).
𝑑𝜉 𝑑𝑡 A la velocitat de reacció també se la coneix com variació del grau d’avanç ( ) (lletra Xi en minúscula).
Si hi ha més d’una reacció que afecta a un metabòlit: Podem subdividir-ho en dues reaccions i veure la cinètica de cada una: - r1: 𝑋0 ↔ 2𝑆1 amb velocitat neta 𝑣1 r2: 𝑆1 ↔ 𝑋1 amb velocitat neta 𝑣2 La síntesi de S1 s’està fent en la reacció 1 a la següent velocitat: 𝑑𝑆1 = 2𝑣1 𝑑𝑡 (Hem de multiplicar sempre la velocitat neta de reacció pel coeficient estequiomètric del component en qüestió).
El consum de S1 s’està fent en la reacció 2 a la següent velocitat: 𝑑𝑆1 = −𝑣2 𝑑𝑡 r1 i r2 afecten a S1 i per tant l’efecte es combina: 𝑑𝑆1 = 2𝑣1 − 𝑣2 𝑑𝑡 O també es pot expressar en notació matricial: 𝑑𝑆1 = [2 𝑑𝑡 𝑣1 −1] [𝑣 ] 2 La velocitat de reacció és proporcional al nombre de molècules amb energia suficient per creuar el llindar de l’energia d’activació. Per tant és proporcional a la quantitat de substrat (A i B) i al nombre de molècules que hagin de col·lidir per reaccionar. Segons aquesta llei d’acció de masses: 𝑣 = 𝑘 · [𝐴]𝑝 · [𝐵]𝑞 On [𝐴] i [𝐵] són les concentracions dels substrats.
40 Biologia de Sistemes Per exemple: 2𝐴 + 𝐵 ↔ 2𝐶 𝑣 = 𝑘 · [𝐴]2 · [𝐵]1 On p i q es coneixen com l’ordre respecte a A i l’ordre respecte a B. p i q poden coincidir amb els coeficients estequiomètrics d’A o B, però no necessàriament. L’ordre de la reacció seria p+q.
Prenent logaritmes: 𝑣 = 𝑘 · [𝐴]𝑝 · [𝐵]𝑞 ln(𝑣) = ln(𝑘) + 𝑝 · ln([𝐴]) + 𝑞 · ln([𝐵]) Si mantenim constant B obtindríem una recta en una representació gràfica doble logarítmica (ln(v) vs ln([A])) amb pendent p: ln(𝑣) = 𝐶 + 𝑝 · ln([𝐴]) On: 𝐶 = ln(𝑘) + 𝑞 · ln([𝐵]) Per tant: l’odre respecte a A (p) és el pendent de la representació logarítmica quan mantenim B constant, i l’ordre respecte a B (q) és el pendent de la representació logarítmica quan mantenim A constant.
Exemple sistema senzill 1: Reacció reversible. La velocitat de les reaccions directa i inversa són proporcionals al seu substrat (primer ordre): s’ha de multiplicar una constant per la concentració del substrat.
A l’equilibri: 𝑣1 = 𝑣2 𝑘1 𝐴 = 𝑘2 𝐵 𝑘1 𝐵 = = 𝐾𝑒𝑞 𝑘2 𝐴 A qualsevol altre moment: 𝑑𝐴 𝑘1 𝐵 Γ = −𝑣1 + 𝑣2 = −𝑘1 𝐴 + 𝑘2 𝐵 = −𝑘1 𝐴 + 𝐵 = −𝑘1 (𝐴 − ) = −𝑘1 𝐴 (1 − ) 𝑑𝑡 𝐾𝑒𝑞 𝐾𝑒𝑞 𝐾𝑒𝑞 𝑑𝐵 𝑘1 𝐵 Γ = +𝑣1 − 𝑣2 = +𝑘1 𝐴 − 𝑘2 𝐵 = +𝑘1 𝐴 − 𝐵 = 𝑘1 (𝐴 − ) = 𝑘1 𝐴 (1 − ) 𝑑𝑡 𝐾𝑒𝑞 𝐾𝑒𝑞 𝐾𝑒𝑞 Veiem que queda la mateixa equació amb signe canviat per la velocitat d’aparició/desaparició dels dos components.
41 Biologia de Sistemes En el cas de reaccions enzimàtiques les velocitats de les reaccions vénen determinades per la fórmula de Michaelis-Menten: Exemple sistema senzill 2: sistema de reaccions reversibles 𝑥1 ↔ 𝑥2 ↔ 𝑥3 ↔ 𝑥4 Hi ha tres reaccions, les velocitats netes de les quals vénen determinades per les següents fórmules: 𝑣1 = 𝑘1 (𝑥1 − 𝑥2 ) 𝐾1 𝑣2 = 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥3 ) 𝐾2 𝑣3 = 𝑘3 𝑥3 On K1 és la constant d’equilibri de la reacció 1 i K2 la constant d’equilibri de la reacció 2. Veiem que la fórmula de la velocitat per les reaccions reversibles té sempre la mateixa forma. Quan la reacció és irreversible (reacció 3), la velocitat és proporcional a la concentració del substrat.
Llavors podem construir una matriu que ens relaciona la velocitat d’aparició/desaparició dels components (o sigui les derivades) amb les velocitats de les reaccions: 𝑑𝑥1 /𝑑𝑡 −1 0 0 𝑣 1 𝑑𝑥2 /𝑑𝑡 [ ] = [ 1 −1 0 ] [𝑣2 ] 0 1 −1 𝑣 𝑑𝑥3 /𝑑𝑡 3 0 0 1 𝑑𝑥4 /𝑑𝑡 Observació: si sumem totes les files de la matriu (per columnes), dóna 0: això indica que 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑐𝑡. La conseqüència d’això és que el valor d’una de les variables sempre depèn del valor de les altres 3. Només cal calcular la dinàmica de 3 variables i l’altre queda fixada.
42 Biologia de Sistemes Aquesta gràfica mostra com evolucionen les concentracions dels components al llarg del temps. Veiem que x1 i x2 arriben a l’equilibri de seguida. L’estequiometria de la reacció fa que llavors les concentracions d’aquests dos components siguin iguals. Amb x3 s’acabarà arribant també a l’equilibri, però veiem que triga més.
Una manera d’accelerar una reacció es afegint un catalitzador (enzim). Els enzims disminueixen l’energia d’activació (Ea). Per tant ara és més fàcils pels substrats arribar a l’estat de transició, amb la qual cosa la reacció es pot donar més ràpid. A part d’això, el sentit de la reacció continua sent el mateix.
Es pot pensar de la següent manera: a una certa temperatura hi ha un determinat nombre de molècules amb energia suficient per creuar el llindar Ea. Si Ea disminueix, hi haurà més molècules amb l’energia mínima per superar el llindar i passar a productes, i per tant la reacció anirà més ràpida.
Als sistemes biològics amb reaccions catalitzades per enzims, la representació doble logarítmica anterior no dóna habitualment una recta.
Incís: Mecanisme que van suposar Michaelis i Menten pel funcionament dels enzims Imaginem el funcionament d’un enzim descrit per la següent reacció: 𝐸+𝑆 - k1 k-1 𝐸𝑆 k2 𝐸 + 𝑃 Primera suposició: el pas de la k2 és irreversible.
Agafem els components de la reacció i fem el balanç: 𝑑𝑆 = −𝑘1 𝐸 · 𝑆 + 𝑘−1 𝐸𝑆 𝑑𝑡 𝑑𝐸𝑆 = 𝑘1 𝐸 · 𝑆 − (𝑘−1 + 𝑘2 )𝐸𝑆 𝑑𝑡 43 Biologia de Sistemes 𝑑𝐸 = −𝑘1 𝐸 · 𝑆 + (𝑘−1 + 𝑘2 )𝐸𝑆 𝑑𝑡 𝑑𝑃 = 𝑘2 𝐸𝑆 𝑑𝑡 Si posem aquestes equacions en un programa que les resolgui fent equacions diferencials per veure el canvi al llarg del temps dels components veurem que no surt una gràfica descrita per la fórmula de Michaelis-Menten. Això es deu a una altra suposició: - Segona suposició: el complex enzim-substrat es troba en estat estacionari.
Això no passa en la realitat, només es dóna en el cas que hi hagi molt més substrat que enzim, cas en el qual sempre hi haurà substrat unit als enzims, i per tant la concentració del complex ES serà constant en el temps, serà estacionari. Això, explicat en termes de cinètica, ve de suposar un quasi-equilibri entre la l’enzim lliure i el complex ES, és a dir, que la conversió reversible de E i S en ES és molt més ràpida que la descomposició de ES en E i P: 𝑘1 , 𝑘−1 ≫ 𝑘2 El que van fer va ser aïllar en un banda la concentració del complex ES (hi ha passos intermedis que suda màxim), i en l’altra banda queden totes les altres: 𝐸𝑆 = 𝑘1 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆 = 𝑘1 𝑆 + 𝑘−1 + 𝑘2 𝑆 + (𝑘−1 + 𝑘2 )/𝑘1 La velocitat d’una reacció és la velocitat a la qual desapareixen els substrats o a la qual apareixen els productes: 𝑣=− 𝑑𝑆 𝑑𝑃 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑃 = 𝑘2 𝐸𝑆 𝑑𝑡 Per tant si substituïm la fórmula anterior ens queda que la velocitat és: 𝑣= 𝑘2 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆 𝑆 + (𝑘−1 + 𝑘2 )/𝑘1 I d’aquí surt al fórmula de Michaelis-Menten que coneixem: 𝑣= 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑆 𝑆 + 𝐾𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑘2 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐾𝑚 = (𝑘−1 + 𝑘2 )/𝑘1 Fi de l’incís  Les equacions de les cinètiques enzimàtiques es deriven a partir de considerar un “mecanisme de reacció”, format per passos elementals cadascun d’ells regit per una cinètica d’acció de masses.
44 Biologia de Sistemes Per exemple: Michaelis-Menten reversible Aquí totes les reaccions són reversibles. Les reaccions de l’esquerra i de la dreta són molt ràpides i es troben molt a prop de l’equilibri, de fet assumim que es troben en pseudoequilibri. La K majúscula és una constant de dissociació.
Consideracions: - Si només hi ha substrat i la quantitat d’enzim és molt menor, els llocs catalítics de l’enzim es troben totalment ocupats i la velocitat endavant (en sentit esquerra-dreta) és màxima: 𝑉𝑓 = 𝑘2 · 𝐸𝑆 = 𝑘2 · 𝐸0 - El mateix passa si només hi ha producte, però en el sentit invers (dreta-esquerra): 𝑉𝑟 = 𝑘−2 · 𝐸𝑃 = 𝑘−2 · 𝐸0 - A qualsevol situació intermèdia la velocitat de reacció neta depèn de la quantitat de substrat o producte i de les constants k2 i k-2: 𝑣2 = 𝑘2 · 𝐸𝑆 𝑣−2 = 𝑘−2 · 𝐸𝑃 - La quantitat total d’enzim es conserva constant al llarg del temps: 𝐸0 = 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 + 𝐸𝑆 + 𝐸𝑃 - - E, S, P, ES i EP estan relacionades per les constants de dissociació (les constants de dissociació són com constants d’equilibri, però per quan la reacció és una dissociació): 𝐾𝑠 = 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 · 𝑆 𝐸𝑆 𝐾𝑝 = 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 · 𝑆 𝐸𝑆 S i P són el substrat i producte no units a l’enzim.
Però si s’assumeix poca quantitat d’enzim, S i P són equivalents a la quantitat total de S i P.
45 Biologia de Sistemes - La velocitat de reacció serà proporcional a la fracció d’enzim ocupat en el complex ES: Sabent que: 𝑣2 = 𝑘2 · 𝐸𝑆 i 𝑉𝑓 = 𝑘2 · 𝐸0 𝑣2 𝐸𝑆 𝐸𝑆 = = = 𝑉𝑓 𝐸0 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 + 𝐸𝑆 + 𝐸𝑃 - 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 · 𝑆 𝑆 𝐾𝑠 𝐾𝑠 = 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 · 𝑆 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 · 𝑃 𝑆 𝑃 1+𝐾 +𝐾 𝐸𝑓𝑟𝑒𝑒 + + 𝐾𝑠 𝐾𝑝 𝑠 𝑝 Igual per al producte: 𝑃 𝐸𝑃 𝐾𝑠 = 𝑆 𝑃 𝐸0 1+𝐾 +𝐾 𝑠 - 𝑝 Per tant: 𝑆 𝐾𝑠 𝐸𝑆 = 𝐸0 · 𝑆 𝑃 1+𝐾 +𝐾 𝑠 𝑝 𝑃 𝐾𝑝 𝐸𝑃 = 𝐸0 · 𝑆 𝑃 1+ + 𝐾𝑠 𝐾𝑝 A qualsevol moment la velocitat de reacció neta serà: 𝑣 = 𝑘2 𝐸𝑆 − 𝑘−2 𝐸𝑃 La velocitat depèn de les concentracions dels complexos ES i EP multiplicats per les constants.
Substituint amb les expressions d’abans: 𝑆 𝑆 𝐾𝑠 𝐾𝑠 𝑣 = 𝑘2 𝐸0 · − 𝑘−2 𝐸0 · 𝑆 𝑃 𝑆 𝑃 1+ + 1+ + 𝐾𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝑠 𝐾𝑝 Agrupant i substituint Vf i Vr: 𝑣= 𝑆 𝑃 𝑘2 𝐸0 · 𝐾 − 𝑘−2 𝐸0 · 𝐾 𝑣= 𝑠 𝑝 𝑆 𝑃 1+𝐾 +𝐾 𝑠 𝑝 𝑆 𝑃 𝑉𝑓 · 𝐾 − 𝑉𝑟 · 𝐾 𝑠 𝑝 𝑆 𝑃 1+𝐾 +𝐾 𝑠 𝑝 Aquesta és l’equació de Michaelis-Menten reversible.
En situació d’equilibri les velocitats directa i inversa són iguals. Mirant la reacció des del punt de vista de l’equilibri (és a dir, que la velocitat sigui 0, ja que els substrats i els productes es mantenen constants, ni desapareixen ni apareixen) podem modificar lleugerament l’expressió anterior: 46 Biologia de Sistemes 𝑣𝑒𝑞 = 0 𝑆𝑒𝑞 𝑃𝑒𝑞 𝑉𝑓 · 𝐾 − 𝑉𝑟 · 𝐾 𝑠 𝑝 0= 𝑆𝑒𝑞 𝑃𝑒𝑞 1+ 𝐾 + 𝐾 𝑠 𝑝 𝑉𝑓 · 𝑆𝑒𝑞 𝑃𝑒𝑞 = 𝑉𝑟 · 𝐾𝑠 𝐾𝑝 I a més sabem que la constant d’equilibri és la relació entre productes i substrats en l’equilibri: 𝐾𝑒𝑞 = 𝑃𝑒𝑞 𝑉𝑓 𝐾𝑝 = 𝑆𝑒𝑞 𝑉𝑟 𝐾𝑠 La relació de Haldane indica una relació entre constants i permet re-escriure la cinètica: 𝑉𝑓 𝑉𝑟 = 𝐾𝑝 𝐾𝑒𝑞 𝐾𝑠 Substituint a l’equació de la pàgina anterior i aplicant S/S: 𝑣= 𝑆 𝑃 𝑉𝑓 · 𝐾 − 𝑉𝑟 · 𝐾 𝑠 𝑝 𝑆 𝑃 1+𝐾 +𝐾 𝑠 𝑝 𝑉𝑓 𝑉𝑓 𝑆𝑃 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑃 𝑆 𝛤 𝑉𝑓 · 𝐾 − 𝐾 𝐾 · 𝑃 · 𝑆 𝑉𝑓 · 𝐾 − 𝐾 𝐾 𝑆 𝑉𝑓 · 𝐾 (1 − 𝐾 𝑆) 𝑉𝑓 · 𝐾 (1 − 𝐾 ) 𝑠 𝑒𝑞 𝑠 𝑠 𝑒𝑞 𝑠 𝑠 𝑒𝑞 𝑠 𝑒𝑞 𝑣= = = = 𝑆 𝑃 𝑆 𝑃 𝑆 𝑃 𝑆 𝑃 1+𝐾 +𝐾 1+𝐾 +𝐾 1+𝐾 +𝐾 1+𝐾 +𝐾 𝑠 𝑝 𝑠 𝑝 𝑠 𝑝 𝑠 𝑝 Aquesta és la formula de Michaelis-Menten desenvolupada quan tots els passos són reversibles.
En aquesta fórmula necessitem ajustar més paràmetres que en la que coneixem. En la que tots coneixem només n’hem d’ajustar dos (vmax i KM). En aquesta en canvi n’hem d’ajustar 4 (Vf, Vr, Ks i Kp). Però resulta que les Keq estan tabulades i gràcies a això podem anul·lar dos paràmetres i només n’haurem d’ajustar dos (tope de lal, no sé d’on ha sortit tot això).
La fórmula que hem trobat es pot reordenar, i llavors veiem com queden diferents parts que ens donen informació sobre aspectes diferents de la cinètica de la reacció: 47 Biologia de Sistemes Hi ha gran varietat de cinètiques descrites a partir del seu mecanisme. Per exemple: - Inhibició no competitiva: - Hill, cooperativa: - Hill, cooperativa amb 1 modificador: Altres exemple similars: Hi ha moltes taules d’aquest estil en llibres de biologia de sistemes (pues ok). No les hem de saber deduir (no ho pensava fer), tot i que totes es dedueixen mirant quin és el mecanisme que les farà funcionar (le damos un aplauso i dejamos que se vaya). Tot i això, hem d’entendre una mica en quines situacions funciona cada una (ja.... mmm nope).
Totes les fórmules de velocitat són proporcionals a la quantitat d’enzim. Per tant si in silico vull posar que hi hagi més enzim en el sistema, el que puc fer és augmentar la vmax, ja que aquesta és directament proporcional a la quantitat d’enzim.
48 ...