CMN 2ndo trimestre Examen 2013 marzo (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Ingeniería de Sistemas Audiovisuales - 1º curso
Asignatura Calculo y metodos numericos
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 29/09/2014
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Descripción

Toda la teoria del primer trimestre de calculo y métodos numéricos

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1 ´ ´ TODOS N UM E´ RICOS E XAMEN DE LA PARTE 2 DEL CURSO DE C ALCULO Y ME 20 DE M ARZO 2013 E SCRIBIR NOMBRE Y NIA EN CADA HOJA QUE SE ENTREGA E SCRIBIR PROBLEMAS DIFERENTES EN HOJAS DIFERENTES Nota m´ınima para aprobar la segunda parte de C´alculo: 5 puntos sobre 10.
1) (2.5 puntos sobre 10) Considerar la funci´on f (x, y) = log(log(5 − x2 − 4y 2 )).
a) (0.5 puntos) Calcular el dominio de la funci´on de una variable f˜(x) = log(log(x)) y dibujar la gr´afica de f˜.
b) (1 punto) Determinar anal´ıticamente el dominio de f .
c) (1 punto) Representar gr´aficamente el dominio de f , determinando expl´ıcitamente las coordenadas de las intersecciones de su frontera con el eje horizontal y con el vertical.
2) (2.5 puntos sobre 10) La curva C representada en la figura se llama astroide y tiene parametrizaci´on c(t) = (cos3 (t), sin3 (t)), t ∈ [0, 2π] .
a) (0.25 puntos) Dibujar el trozo de astroide relativo a t ∈ π ,π 2 y razonar la respuesta.
b) (0.5 puntos) Determinar el vector tangente al astroide en t = 34 π y dibujarlo. Escribir la ecuaci´on param´etrica de la recta tangente al astroide en t = 34 π.
c) (0.75 puntos) Usando el hecho de que la longitud del trozo de astroide contenido en cada cuadrante es igual, calcular la longitud total L del astroide.
2 d) (1 punto) Calcular la integral de l´ınea f (x, y) d , siendo f (x, y) = √ 3 C1 y y C1 el trozo de astroide contenido en el primer cuadrante.
3) (2.5 puntos sobre 10) Dado el dominio D = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ x} a) (0.5 puntos) Dibujar D.
b) (0.75 puntos) Calcular el a´ rea de D.
c) (1.25 puntos) Calcular la integral (y − x) dxdy.
D 4) (2.5 puntos sobre 10) a) (0.25 puntos) Escribir el polinomio de Taylor de orden 2 de una funci´on f (x, y) centrado en un punto gen´erico (x0 , y0 ).
Si el polinomio de Taylor de orden 2 de una funci´on diferenciable 2 veces f (x, y) centrado en el punto (1, 3) tiene esta forma: 1 (2) T(1,3) (x, y) = −7 − (x − 1)2 − 5(x − 1)(y − 3) + 15(y − 3)2 5 b) (0.25 puntos) ¿Qu´e valor toma la funci´on f en (1, 3)? c) (0.5 puntos) (1, 3) es un punto estacionario/cr´ıtico de f . ¿Por qu´e? d) (1.5 puntos) Determinar si el punto (1, 3) es un m´aximo, un m´ınimo o un punto de (2) silla de f utilizando las informaciones contenidas en el polinomio de Taylor T(1,3) .
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