Ejercicios de grupos (2016)

Apunte Español
Universidad Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Grado Matemáticas y Estadística - 1º curso
Asignatura Álgebra lineal
Año del apunte 2016
Páginas 3
Fecha de subida 08/07/2017
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Ejercicios sobre grupos

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1) Demostrar de manera esquemática que (Z,+)(Z,+) , (Q,+)(Q,+) , (R,+)(R,+) y (C,+)(C,+) son grupos abelianos en donde + representa en cada caso la suma habitual.
SOLUCION: Z con la operación + usual es un grupo.
Efectivamente, la suma de enteros es un entero.
La suma de enteros es asociativa.
Para todo entero x se verifica x+0=0+x=x, por tanto e=0 ∈ Z es elemento neutro.
Para todo x entero, −x se satisface x+(−x)=(−x)+x=0, es decir todo entero tiene simétrico x′=−x ∈ Z Además, sabemos que la suma de enteros es conmutativa y por tanto (Z,+)(Z,+) es grupo abeliano.
Razonando de manera análoga, deducimos que (Q,+)(Q,+), (R,+)(R,+) y (C,+)(C,+) son grupos abelianos.
2) Demostrar de manera esquemática que el conjunto de las matrices reales de ordenes m×n (denotado por Mm×n(R) o bien por Rm×n) es grupo abeliano, siendo + la suma habitual de matrices.
SOLUCION: La suma de dos matrices de órdenes m×n es otra matriz de orden m×n.
La suma de matrices es asociativa.
Para toda matriz A de orden m×n se verifica A + 0 = 0 + A = A siendo 0 la matriz nula de m×n, por tanto 0 es elemento neutro.
Para toda matriz A de orden m×n, la matriz −A de orden m×n verifica A+(−A)=(−A)+A=0, es decir todo elemento A de Mm×n(R) tiene simétrico, siendo este, −A.
Además, sabemos que la suma de matrices es conmutativa y por tanto (Mm×n(R),+) es grupo abeliano.
3) En el conjunto de los números reales se define las operación x∗y=x+y+4.Demostrar que (R,∗) es grupo abeliano.
SOLUCION: La operación ∗ es claramente interna. Para x,y,z números reales cualesquiera se verifica (x∗y)∗z=(x+y+4)∗z=x+y+4+z+4=x+y+z+8 x∗(y∗z)=x∗(y+z+4)=x+y+z+4+4=x+y+z+8 Es decir, la operación es asociativa.
Para x,y números reales cualesquiera se verifica x∗y=x+y+4=y+x+4=y∗x, por tanto la operación es conmutativa. En consecuencia, el número real e es neutro para la operación ∗ si y sólo si e∗x=x para todo x∈R.
Esto equivale a e+x+4=x, es decir e=−4 es elemento neutro para la operación ∗.
Debido a la conmutatividad, un x∈R tiene elemento simétrico x′∈R si y sólo si x∗x′=e o bien si x+x′+4=−4. Existe por tanto x′ para cada x siendo éste x′=−8−x.
4) Demostrar que el conjunto R∖{0}R∖{0} de los números reales no nulos con la operación ⋅⋅producto habitual es un grupo abeliano.
SOLUCION: El producto de números reales no nulos es no nulo. El producto de reales tiene la propiedad asociativa. Se verifica 1⋅x=x⋅1=x para todo x∈R∖{0} y por tanto e=1 es elemento neutro. Si x es real no nulo, entonces 1/x es real no nulo y se verifica x⋅(1/x)=(1/x)⋅x=1, por tanto x′=1/x es elemento simétrico de x.
Además el producto de reales es conmutativo.
5) Sea G el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden n invertibles.
Demostrar de manera esquemática que (G,*) es grupo, siendo * la operación usual producto de matrices. ¿Es abeliano? SOLUCION: Interna. Si A y B pertenecen a G entonces A y B son invertibles es decir, detA≠0y detB≠0. Dado que det(AB)=(detA)(detB)≠0 concluimos que AB es invertible y por tanto, pertenece a G.
Asociativa. Es una conocida propiedad del producto de matrices.
Elemento neutro. La matriz identidad II real de orden nn es invertible (detI=1≠0) y cumple AI=IA=A para toda A∈G, por tanto existe elemento neutro.
Elemento simétrico. Dada A∈G se verifica detA−1=(detA)−1≠0, es decir A−1∈G y A−1A=A−1A=I, por tanto todo A∈G tiene elemento simétrico.Es decir, (G,*) es grupo.
No es abeliano porque en general no se verifica la propiedad conmutativa del producto de matrices, incluso para matrices invertibles. Basta tomar como contraejemplo: 1 A= [ 0 1 1 0 ], B=[ ] 1 1 1 Ambas matrices son invertibles, sin embargo AB≠BA como inmediatamente se comprueba.
6) Sea R[x] el conjunto de los polinomios en la indeterminada x y coeficientes reales. Demostrar de manera esquemática que (R[x],+) es grupo abeliano, en donde +representa la suma habitual de polinomios.
SOLUCION: Interna. La suma de dos elementos de R[x] es claramente un elemento de R[x].
Asociativa. Es una conocida propiedad de la suma de polinomios.
Existencia de elemento neutro. El polinomio e(x)=0+0x+0x2+…+0xn+… satisface p(x)+e(x)=e(x)+p(x)=p(x) para todo p(x)∈R[x].
Existencia de elemento simétrico. Dado p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…∈R[x], el polinomio −p(x)=−a0−a1x−a2x2+…−anxn−…∈R[x] satisface p(x)+(−p(x))=(−p(x))+p(x)=e(x) Conmutativa. Es una conocida propiedad de la suma de polinomios.
7) Demostrar que sobre R la ley interna definida por x∗y=x+y−xy, es conmutativa, asociativa y que admite elemento neutro. ¿Es (R,∗) un grupo? SOLUCION: Tenemos y∗x=y+x−yx=x+y−xy=x∗y, por tanto la operación es conmutativa. Por otra parte (x∗y)∗z=(x+y−xy)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z(x∗y)∗z =x+y−xy+z−xz−yz+xyz.
x∗(y∗z)=x∗(y+z−yz)=x+y+z−yz−x(y+z−yz) =x+y+z−yz−xy−xz+xyz.
Es decir, la operación es asociativa. Veamos que existe elemento neutro e para ∗∗. Efectivamente, e es elemento neutro para ∗ si y sólo si x∗e=e∗x=x para todo x∈R, o equivalentemente x+e−xe=x para todo x∈R.
Claramente e=0cumple la igualdad anterior.Sea ahora x∈R, entonces existe simétrico x′ simétrico de x si y sólo si x∗x′=x′∗x=0 o bien x+x′−xx′=0 o bien x′(1−x)=−x. Si x≠1 entonces existe x′=x/(x−1). Si x=1 tenemos la relación x′⋅0=−1y por tanto no existe x′. Concluimos que (R,∗) no es un grupo.
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