Problemas dirigidos. Gauss (2016)

Trabajo Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Nanociencia y Nanotecnología - 1º curso
Asignatura electricidad y magnetismo
Año del apunte 2016
Páginas 7
Fecha de subida 17/06/2017
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Sara Arias Blanco Carla Arca García Anna Bachs Herrera PROBLEMAS DIRIGITS – 1 Ejercicio 1. Una esfera maciza aislante de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía proporcionalmente a r de acuerdo con la relación ρ=Ar2, donde A es una constante y r<R la distancia al centro de la esfera. Calcular el campo eléctrico en todo el espacio. (Nota: Observa que el elemento de volumen dV para una superficie esférica de radio r y espesor dr es 4πr2dr). • Para r<R; Cuando la distancia al centro de la esfera (r) es inferior a su radio, los límites de integración van entre 0 i r dado que no se engloba la totalidad de la esfera, y según a la distancia (desde la que estemos calculando el campo) al centro de la esfera, habrá una carga determinada u otra. !" = $ !& à ∅ = 1 / 7 !7 2 ,- 1 6 3 ((1<=) = ? = 31 8 ,- 1 2 9 C + ( · !* = ( !* = (* = à ( = = /031 : /0,- 9 ,- 1 31 2 45 /01 2 6 ,.
= 4AB7 5 • Para r>R; Aplicando la ley de Gauss, cuando la distancia al centro de la esfera es superior al su radio, los límites de integración varían entre 0 i R dado que se engloba la esfera entera y por tanto, se observa como una carga puntual. + + + ∅ = ( · !* = ( !* = (* = à ( = = = 2 = = 3 B7 F !& = 2 6 7 / !7 2 6 /01 ,,- 1 8 /03= ((1G=) = ? 91 2 .
,- E,- /01 ,- Ejercicio 2. Un tubo de Geiger-Mueller es un detector de radiación que consta esencialmente de un cilindro de metal hueco y cerrado (el cátodo), de radio interior ra y un conductor cilíndrico coaxial (el ánodo) de radio rb (ver figura). La densidad lineal de carga del ánodo es λ y la densidad lineal de carga del cátodo es -λ. Un gas llena el espacio entre los electrodos. Cuando una partícula elemental de alta energía pasa a través de dicho espacio, puede ionizar un átomo del gas. El intenso campo eléctrico hace que el ion y el electrón resultantes aceleren en direcciones opuestas. Al moverse, chocan con otras moléculas del gas y las ionizan, produciendo una descarga eléctrica en cadena. El flujo de energía entre el conductor central y el cilindro exterior se mide mediante un circuito externo. a) Demuéstrese que la diferencia de potencial entre el conductor y el cilindro es: PQ PR ∆I = JKL M NO rb Primero calculamos el campo para el cilindro con a ra Ley de Gauss ∅= (= ( · !* = ( !* = (* = S T6 SUVW λ = (2A7L)T6 (2A7)T6 Ahora calculamos la diferencia de potencial entre los dos radios. ∆& = &[ − &] = 1 [ !& ] ∆& = 2?b ln ( a ) 1` =− [ ( ] · !ℓ = − 1` 41 F0 ,- 1a 1 _ = −2?b ] 41 [ 1 e b) Demuéstrese que el módulo del campo eléctrico en el espacio existente entre el cátodo y el ánodo viene dado por f = ∆I g NO 1a 1` P , donde r es la distancia entre el eje de ánodo y el punto donde se calcula el campo. ∅= ( · !* = ( !* = +hij ,- à ( = + E,- = + F01k,- = lk F01k,- .
= 2?b 1 1 1 Multiplicando y dividiendo E por ln ( a ), identificamos ∆& = 2?b ln ( a ) à ( = o mn ( a ) o` oa mn ( ) o` 1` .
2?b à ( = 1 ∆5 mn oa o` .
1 1` Otra forma alternativa es igualando la constante de Coulomb (k) para ambas funciones (El campo y la diferencia de potencial) Ejercicio 3. Un possible model atòmic consisteix en considerar l’àtom com una esfera d’un determinat radi (agafem R=10-10m) carregada uniformement amb una càrrega total –q, en el centre de la qual hi ha una càrrega puntual +q (nucli de l’àtom); a) Trobeu la densitat de càrrega volumètrica corresponent a l’esfera de càrrega −p. Calculamos la densidad de carga volumétrica $ de la esfera R=10-10m / de carga –q (distribuida uniformemente) y volumen Aq C . C La densidad de carga es $r = st 5 =− Ct /0= : b) Trobeu el camp elèctric en qualsevol punt de l’espai. Calculamos el campo eléctrico en cualquier punto del espacio para la esfera de carga –q con una carga puntual +q en el núcleo. t (Vúvwrx = ? 2 , ya que se trata de una carga puntual. 1 (WxW[w = (Vúvwrx + (rz{r1[ Para calcular el campo eléctrico de la esfera de carga –q usamos la Ley de Gauss + ∅ = ( · !* = ( !* = (* = à ,- +hij ~ s :1 :  |} 5 t1 (rz{r1[(1<=) = = = = −? : E,/01 2 ,/01 2 ,= SWxW[w −" " (rz{r1[ 1G= Ä = = −? F F *T6 4A7 T6 7 Para r>R t t (WxW[w(1G=) = (Vúvwrx + (rz{r1[ = ? 2 − ? 2 à (WxW[w(1G=) = 0 Para r<R (WxW[w(1<=) = (Vúvwrx + (rz{r1[ = ? 1 1 t t1 = : s1 1 = =:1 2 − ? 2 à (WxW[w(1<=) = ?" : c) Una millor aproximació al model atòmic en el cas de l’àtom d’hidrogen (constituït per un protó i un electró) ens la dóna la mecànica quàntica, en la que a l’electró se li assigna una distribució de càrrega extensa que segueix l’expressió. $ 7 = $6 É sF1/[ on r és la distància al centre de l’àtom (nucli) i Q és l’anomenat radi de Bohr (Q = Ö. ÖáJàâä). El protó es considera puntual. Calculeu en aquest model quant val ãÖ i quin és el camp elèctric en qualsevol put de l’espai. Compareu aquest resultat amb el model anterior. Primero calculamos el valor de $6 sabiendo que la carga total del electrón es "r = $(1) !& = å2o ç $ É 6 a 6 4A7 F !7 = éF + 2é7 + 27 F å2o ç 6 $6 É a Aé à $6 = − t} 0[ : A l’infinit, el valor de la càrrega és el de l’electró, per això " es pot substituir per −1,6 · 10s.í ì i, aïllant $6 s’obté el seu valor. D’aquesta manera, es normalitza la funció. −" = −1,6 · 10s.í ì = 5,29 · 10s.. C A$6 ì −" −1,6 · 10s.í ì $6 = C = = −3,44 · 10.. ì/ïC s..
C C é A 5,29 · 10 Aï Después calculamos el campo eléctrico total sabiendo que t (Vúvwrx = ? 2 , ya que se trata de una carga puntual y (WxW[w = (Vúvwrx + (rz{r1[ 1 • Para r<R S(1) (rz{r1[(1<=) = ? F 7 S(1) = $(1) !& 1 = $6 É sF1 [ 4A7 F !7 6 "r − C 4A Aé (WxW[w ?" = F 1− 7 • Para r>R (rz{r1[(1G=) = ? (WxW[w = 1 = sF1 É [ 7 F !7 = − "r 1− sF1 É [ − sF1 2É [ 6 1− sF1 É [ − sF1 2É [ 7 7F + é éF S " = −? 7F 7F ?" "−" =0 7F d) Trobeu el potencial elèctric a tot l’espai pels casos b) i c). 7 7F + é éF Para el primer caso (apartados a,b) • Para r>R ç ( 1G= = V= !7 = 0 • Para r<R V=− ç ( WxW[w(1<= 1 ç ?" 1 !7 = − ?" = : s1 =:1 2 !7 = −?" 12 F= : − .
1 + ì= Para calcular C, tenemos en cuenta la definición de potencial como continuo en todo el espacio; & 7 = qs = & 7 = qó ?" 1 qF 1 F 1 q ?" ì = − + ?" − C =− −?" − +ì =− q q 2q 2q q 2q C q ∆& = ?" " F −? 7 2q 2q C Para el segundo caso (apartado c) • Para r>R V= ç ( 1G= = !7 = 0 • Para r<R 1 ∆& = &1 − &6 = 1 = 6 1 !& = − 6 ?" 1 − 1 − É sF1 7F 1 =− + 7 ( · !ℓ = 6 [ − 2É 2 òéïïéUVvxôöwrWr é s., sF1 [ F1 [ 7F 7 + éF é É sF1/[ + + é !7 = 2 òéïïéUVvxôöwrWr é 6, F1 [ + ì Para calcular C, tenemos en cuenta la definición de potencial como continuo en todo el espacio; & 7 = qs = & 7 = qó 2 òéïïé 2 òéïïé 27 27 õúùûïü†É°É −1, õúùûïü†É°É 0, 1 É−27/é é é − + + + +ì=0 7 é é é ...

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