Examen Final Junio 2011 (2011)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuitos Lineales
Año del apunte 2011
Páginas 7
Fecha de subida 17/09/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Circuits Lineals DEPARTAMENT DE TSC 06 de juny de 2011 a les 14:45h.
Data notes provisionals:............. 13 de juny Període d’al·legacions:............... 15-16 de juny Data notes revisades:................. 17 de juny Professors: O. Mas, X. Moncunill, O. Muñoz i M. Sanz.
Grups: 10, 20, 30, 50 i 60 Informacions addicionals: • Durada de la prova: 3 hores • Consultes sobre l'examen: 14 de juny P1.
(2 punts) Una font de senyal proporciona una tensió 5 5 v g  t =53cos 2 · 10 t 4cos 6 · 10 t  on el component de 100 kHz representa el senyal útil, mentre que el component continu i el de freqüència 300 kHz corresponen a senyals interferents. Es tracta de dissenyar un filtre tal que: ▪ Elimini el component continu; ▪ Mantingui l'amplitud del component útil; ▪ Atenuï el component interferent de 300 kHz, de manera que la seva amplitud a la sortida del filtre sigui 20 dB inferior a la del component útil.
a) Dibuixeu amb precisió els espectres d'amplitud dels senyals d'entrada i de sortida del filtre.
El senyal de sortida serà de la forma: v o t=B oB 1 cos2 · 105 t1 B 2 cos6 · 105 t 2 i a partir de les especificacions es dedueix que volem: B B 0=0 ; B1=3 ; 20⋅log 2 =−20dB ⇒ B 2 =0,3 3 Obtenint els espectres: Espectre d'entrada Espectre de sortida b) Indiqueu el tipus de filtre que cal utilitzar i doneu els valors dels seus paràmetres.
Ha d'eliminar la contínua, deixar passar un senyal de freqüència intermitja i atenuar el senyal de freqüència més alta i, per tant, es necessari un filtre passa-banda.
Paràmetres del filtre: Freqüència central =fo=100 kHz Amplificació màxima= ∣H  j  o ∣=1 Factor de qualitat: A partir de la expressió genèrica de l'amplificació a qualsevol freqüència en un filtre passa-banda ∣H  j o∣ ∣H  j ∣= 2 f fo 2 1Q − fo f  substituint valors s'obté ∣H  j3 o ∣= 0,3 =0,075= 4   1  2   1 1Q 3− 3 2  Q=4,986≈5 c) Determineu quin dels circuits representats a la Fig. 1 pot proporcionar la resposta desitjada, justificant l'elecció.
Per tal que sigui un passa-banda, H 0= H ∞=0 i H  j o =1 . Aleshores, comprovant el comportament asimptòtic dels circuits donats, tenint en compte que en contínua els inductors es comporten com a curtcircuits i els condensadors com circuits oberts i que per a freqüències elevades és just del revés: (1a) (1b) 1 H 0= H ∞=1 ; H  j =0 LC  H 0=0 i H ∞ =1 No pot ser, és un passa-altes.
No pot ser, és un banda eliminada.
(1c) 1 H 0= H ∞=0 ; H  j =1  LC És aquest.
H 0= (1d) R3 R 1 R 2 R 3 ≠0 i H ∞ =0 No pot ser, no anul·la la contínua.
Fig. 1 d) Utilitzant condensadors de 1 nF, calculeu els valors que han de prendre la resta dels elements.
Analitzant el circuit de la figura (1c): 1 R 1 s Bw⋅s V o s= = ⋅ = 2 1 1 RC 2 1 1 s  Bw⋅s2o Cs s  s R Ls RC LC a on identificant: o = 1 5 =2 10  L=2,53mH  LC i Q= o Bw = RC =5 R= 7,9 k  LC P2.
Una càrrega d'impedància Z es troba connectada a un generador sinusoïdal d'amplitud 1 V, f=10 kHz i Rg=50 Ω, tal i com es mostra a la Fig. 2. Per tal de determinar el valor de Z s'ha mesurat la tensió Vo , obtenint el diagrama fasorial mostrat a la Fig. 3.
(2 punts) Fig. 2 Fig. 3 Es demana: a) Trobeu el valor de la impedància de càrrega Z (resistència i reactància).
R V Z 500,6− j0 ,2 Vo = Vg ⇒ R g Vo Z Vo =Z Vg ⇒ Z=  g o = =50− j 50 Ω R g Z V g −V o 1−0,6 j0 ,2 b) Proposeu un bipol equivalent per a la càrrega format per la connexió sèrie de dos elements. Indiqueu el seu valor.
Com que la reactància és negativa el bipol és capacitiu: 1 1 Z =R jX c= R− j =50− j 50 ⇒ R=50  ;C= =318 nF C 2 104⋅50 c) Calculeu la potència dissipada per la càrrega i la potència disponible del generador.
Compareu-les.
2 La potència disponible del generador és: P disp = V gp 8R g = 1 =2,5 mW 8⋅50 Per calcular la potència consumida per la càrrega podem utilitzar, per exemple la expressió que relaciona aquesta potència amb el valor de pic (amplitud) del corrent que passa per la càrrega:  2  2 V gp 1 1 1 1 P L = R L I Lp2 = R L = 50 =2mW 2 2 ∣R g Z∣ 2 ∣100− j50∣   d) Dissenyeu una xarxa que adapti el generador a la càrrega. Doneu tant la seva estructura com els valors dels seus elements.
Com que la part real de la impedància Z és igual a la resistència del generador Rg , per tal que es compleixi la condició d'adaptació conjugada, ZL=Zg*=Rg, només cal posar un element en sèrie que compensi la reactància de la càrrega. Així, com aquesta és capacitiva l'element en sèrie haurà de ser un inductor: 50 X s = L=50⇒ L= =0,79 mH≈ 0,8 mH 4 2 10 Xarxa adaptadora → P3.
En aquest exercici estudiarem una tècnica per convertir un circuit inestable en estable sense modificar la seva estructura interna. El circuit en qüestió té la següent funció de xarxa: (2 punts) H  s= −1 s 8 s−9 2 Es demana: a) Dibuixeu el diagrama de pols i zeros d'aquesta funció de xarxa, H(s), i expliqueu amb detall quina és la forma de la seva resposta lliure.
Pols: p 1=1 ;p 2 =−9 Forma de la resposta lliure: v o ( t)=( Ae−9t + Be+ t)⋅u(t) La tècnica utilitzada per convertir-lo en un circuit estable és l'esquematitzada a la Fig. 4. Es basa en fer que l'entrada del circuit no sigui directament vg, sinó la suma amplificada de v g i v o.
Fig. 4 b) Demostreu que la funció de transferència del conjunt, que denotarem per M(s), es pot V o  s K⋅H  s = expressar com: M  s= .
V g  s 1− K⋅H  s Del diagrama de blocs observem que V o s=H  s⋅K [V g sV o s] i aïllant: V o s [1−K⋅H  s]= K⋅H s V g  s⇒ M  s= V o  s K⋅H  s = V g  s 1− K⋅H  s c) Substituïu H(s) pel seu valor i estudieu l'estabilitat del sistema global, caracteritzat per M(s), en funció de l'amplificació K.
K⋅−1 −K M  s= 2 = s 8s−9−K⋅−1 s2 8s K −9 Per tal que el circuit sigui estable el denominador de la seva funció de xarxa, M(s), ha de tenir tots els coeficients del mateix signe. Així: Si K>9 és estable.
D'altra banda, si el terme independent desapareix, hi haurà un zero en l'origen i això fa que el circuit es converteixi en marginalment estable.
Si K=9 és marginalment estable.
Finalment, si el terme independent és negatiu, hi haurà un pol a la dreta de l'eix jω i el circuit serà inestable.
Si K<9 és inestable.
d) Pels casos K=16 i K=34 dibuixeu el diagrama de pols/zeros resultant i trobeu la durada del règim transitori.
M  s= −16 s 28s 7 M  s= −34 s 28s 25 p 1=−1 ; p2 =−7 p 1,2 =−4± j3 Durada del transitori=5⋅max=5⋅1=5 s.
Durada del transitori=5⋅=5⋅14 =1,25 s.
_____________________________________________________________________________________________________________________________ P4.
En l'estudi del comportament de circuits que contenen amplificadors operacionals, el model ideal de l'AO no permet explicar satisfactòriament el seu comportament a freqüències elevades. En aquests casos s'ha de recórrer a un model més acurat que introdueix la dinàmica del dispositiu (Fig. 5). En l'esmentat model el producte d'Ao per ωc rep el nom de producte guany-ample de banda (GB=Aoωc) i és una paràmetre característic de cada amplificador operacional.
(4 punts) Fig. 5 Fig. 6 Per tal de veure com influeix la dinàmica de l'AO sobre un amplificador inversor (Fig. 6), es demana: a) Dibuixeu en primer lloc el circuit resultant de substituir el model de l'AO de la Fig. 5 en V o  s l'amplificador inversor de la Fig. 6 i determineu la seva funció de xarxa, H  s= , V i s R1 R2 tenint en compte que Ao ≫ .
R1 ANÀLISI: • KCL al node d'unió dels dos resistors: V i s−−V s −V  s− A s⋅V s = ;V i  s⋅R 2=−[R1 R 2 R1⋅A s]V  s R1 R2 V  s= −R 2 V  s A s⋅V s −R2⋅A s ⋅V i s ⇒ H  s= o = = R 1 R2 R1⋅A s V i  s V i  s R 1 R2 R1⋅A s i substituint A(s) H  s= −R2⋅Ao c R2 =− ⋅  R 1 R2 ⋅ sc R1⋅Ao c R 1 R2 Finalment fent l'aproximació Ao ≫ Ao c  sc 1 R1 Ao R1 R2  R 1 R2 R A ⇒ 1 o ≫1 R1 R 1 R2 H  s=− R2 ⋅ R 1 R 2 Ao  c R A  s 1 o c R1 R2 b) Comproveu la coherència de la funció de xarxa, H(s), obtinguda a l'apartat anterior verificant el valor de l'amplificació en contínua.
Si es considera que l'excitació és un senyal continu (freqüència zero), en el model de l'AO la funció A(s) es transforma en una constant, A s= Ao , que lògicament correspon a l'amplificació en llaç obert en contínua. Aleshores, tenint en compte que aquest valor és molt elevat en tots els tipus d'amplificadors operacionals, es pot utilitzar el model ideal de l'AO per analitzar el circuit i, per tant, apareix el curtcircuit virtual a l'entrada. Això R2 implica que la relació entre la tensió de sortida i la d'entrada del circuit serà − .
R1 D'altra banda, si busquem el valor que pren la H(s) calculada en contínua: H 0=− R2 A o c R ⋅ =− 2 R1 R2 R1 Ao c R1 R 1 R 2 i com veiem coincideixen.
c) Digueu quin tipus de filtratge realitza el circuit i doneu els valors dels paràmetres del filtre (freqüència de màxima amplificació, valor de l'amplificació màxima i banda de pas del filtre).
Es tracta de un filtratge de tipus passa-baixes amb una amplificació màxima de R1 Ao f c R ' ∣H 0∣= 2 i banda de pas d'amplada f 'c −0=f 'c , amb f c ≃ .
R1 + R2 R1 d) Dibuixeu amb detall el diagrama de Bode de guany (amb correccions) del circuit i, sobre aquest diagrama, trobeu la freqüència on el guany és 0 dB. Quina relació hi ha entre aquesta freqüència i el producte GB de l'AO quan R2 ≫R1 ? Per determinar la freqüència de 0 dB calculem el número de dècades entre aquesta fx freqüència i la de colze, log ' , el multipliquem pel pendent de l'asímptota a altes fc   dB freqüències, −20 dec , i restant el valor calculat del que pren el guany en el diagrama R2 asimptòtic a la freqüència de colze, 20⋅log , hauria de donar 0 dB.
R1       R2 f R R ⋅A f −20 log x' =0dB⇒ f x = 2 f 'c = 2 o c R1 R1 R1  R2 fc Si es considera ara l'aproximació R2 ≫R1 : A f f x = o c ≈ Ao f c=GB  Hz  R1 1 R2 20 log Considerant ara que l'amplificador operacional utilitzat és un μA741 (Ao=2·105 i fc=5 Hz) i que R1=1 kΩ i R2=10 kΩ : e) Calculeu quina seria la màxima freqüència per a la qual es podria considerar que coincideixen els resultats obtinguts a través de l'anàlisi amb el model ideal de l'AO i els obtinguts amb el model dinàmic.
R2 Si considerem l'AO ideal, l'amplificació per a qualsevol freqüència seria − .
R1 En els resultats obtinguts amb el model dinàmic de l'AO, per a que això passi la freqüència ha de ser com a mínim 10 vegades inferior a la de colze (que és quan podem considerar que coincideixen el diagrama asimptòtic i el real) f max = f 'c R1 Ao f c 1⋅2⋅105⋅5 ≃ = =9,1 kHz 10 10 R1 R 2 10110 f) Com variarà aquesta freqüència si al mateix temps que es manté el valor de R1 s'augmenta el valor de R2 fins a 100 kΩ?.
Amb els nous valors: f 'max = f 'c R1 Ao f c 1⋅2⋅105⋅5 ≃ = =990 Hz ⇒ f 'max  f max 10 10 R1 R 2 101100 En augmentar l'amplificació en contínua baixa el valor màxim de freqüència per a la qual es pot considerar l'amplificador operacional ideal.
...