Sem 6 Sol (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas II
Año del apunte 2015
Páginas 4
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 6
Subido por

Descripción

Toda la teoría y práctica de la asignatura

Vista previa del texto

Matem` atiques II Problemes del Seminari 6 Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu.
Mat`eria: Sessions 12 i 13 de teoria.
1. Estudieu la concavitat o convexitat de f (x, y) = eax+y + ey en el seu domini.
´ SOLUCIO: Es pot resoldre usant les condicions de convexitat (Sydsaeter Teorema 17.6): la funci´o ´es suma de funcions convexes: en el cas de ey ´es evident; en el cas de eax+y , ´es convexa al tractar-se de compondre la funci´ o et , convexa i creixent, amb la funci´ o lineal de dues variables, ax + y, tamb´e convexa (vegeu tamb´e resultat (17.19) del Sydaseter. Tamb´e es pot estudiar a trav´es de la la matriu Hessiana: H(x, y) = a2 eax+y aeax+y aeax+y e + ey ax+y i el seu determinant |H(x, y)| = a2 eax+y aeax+y aeax+y = a2 eax+y (eax+y + ey ) − aeax+y aeax+y = a2 eax+y ey .
e + ey ax+y • Si a = 0, per a tot (x, y) tenim que |H(x, y) > 0| i fxx > 0: f ´es estrictament convexa en tot el seu domini R2 .
• Si a = 0 tenim que l’Hessi` a ´es: H(x, y) = 0 0 0 2ey Per a tot (x, y) ∈ R2 , |H(x, y)| = 0 i fxx ≥ 0 i fyy = 2ey ≥ 0, o sigui que la funci´o ´es convexa en tot el seu domini. Alternativament, si a = 0, la funci´o seria f (x, y) = 2ey , que ´es convexa.
Resum: si a = 0 ´es estrictament convexa. Si a = 0 la funci´o ´es convexa (no estricta).
2. Per les seg¨ uents funcions, trobeu el domini convex m´es gran del pla xy on f (x, y) sigui convexa/c`oncava: (a) f (x, y) = x3 + y 2 + 6xy + 2y + 3x2 ; (b) f (x, y) = (x − 1)2 − (y + 1)2 − 5.
Representeu els conjunts trobats en (a) i (b).
´ SOLUCIO: 6x + 6 6 i el seu determinant ´es | H(x, y) |= 12x+12−36 = 12x−24.
6 2 Per tal que | H |≥ 0 cal que x ≥ 2. En aquest cas, com que llavors 6x + 6 ≥ 0 i 2 ≥ 0 (la diagonal principal del Hessi` a), la funci´ o ser` a convexa. El domini de convexitat demanat ´es el semipl`a x ≥ 2. No ´es c` oncava enlloc (el 2 ho impedeix).
2 0 (b) H(x, y) = . |H(x, y))| = −4 < 0: indefinida per a tot (x, y). No ´es ni c`oncava ni convexa 0 −2 enlloc.
(a) La matriu Hessiana ´es H(x, y) = 3. Sigui f (x, y) = x2 + y 2 . Trobeu els seus m` axims i m´ınims absoluts en els dominis que s’esmenten a continuaci´ o.
Abans d’aplicar les t`ecniques apreses a classe, mireu de deduir la soluci´o pensant en la forma de la funci´ o (moltes vegades representada gr` aficament a classe) i la forma del domini.
(a) S = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}. Representeu-lo gr`aficament.
(b) D = {(x, y) : x2 + y 2 ≥ 1}. Representeu-lo gr`aficament.
(c) T = {(x, y) : x2 + (y − 3)2 ≤ 4}. Representeu-lo gr`aficament.
´ SOLUCIO: La funci´ o t´e nom´es un punt estacionari a (0, 0).
(a) S ´es l’interior del cercle de centre (0, 0) i radi 1, incl`os el per´ımetre. M´ınim global 0 a (0, 0). M` axim global 1 sobre la circumfer`encia x2 + y 2 = 1. Es pot comprovar usant el Wolfram alpha: Extrema x^2+y^2 on x^2+y^2<=1 (b) D ´es l’exterior del cercle de centre (0, 0) i radi 1, incl`os el per´ımetre. M´ınim global 1 sobre la circumfer`encia x2 + y 2 = 1. No existeix m`axim global (ni local), ja que la funci´o tendeix a infinit quan x o y tendeixen a infinit. Es pot comprovar usant el Wolfram alpha.
(c) T ´es l’interior del cercle de centre (0, 3) i radi 2. L’´ unic punt estacionari de f ´es (0, 0) que no pertany al seu interior. Per tant, el m` axim i el m´ınim globals s´on a la frontera. Com que a la frontera x2 + (y − 3)2 = 4, ´es a dir, x2 + y 2 = 6y − 5, la funci´o f a la frontera ´es g(y) = 6y − 5 en el domini 1 ≤ y ≤ 5.
8 g(y) = 6y − 5 6 max=25 min= 1 y 4 1 5 2 −2 0 Punt Estac 2 4 6 8 10 Per tant, tenim un m` axim global quan y = 5 (x = 0) i un m´ınim global quan y = 1 (x = 0). Els valors del m` axim i m´ınim s´ on 25 i 1 respectivament. Es pot comprovar usant el Wolfram alpha.
4. Un monopolista que vol maximitzar els seus beneficis, produeix dos articles complementaris, A i B a un cost mitj` a constant de producci´ o de 2 i 1 u.m. per unitat respectivament. La demanda del mercat ´es qA = 10 − pA − 2pB i qB = 3pA − 2pB on qi ´es la producci´ o de l’article i i pi el preu. Trobeu els preus de venda del monopoli. Atenci´ o! la producci´ o no pot ser negativa.
´ SOLUCIO: La funci´ o de beneficis queda determinada per: B(pA , pB ) = qA ·pA + qB ·pB − 2qA − qB = = qA ·(pA − 2) + qB ·(pB − 1) = = (10 − pA − 2pB )(pA − 2) + (3pA − 2pB )(pB − 1).
T´e un m` axim absolut a (6, 3), per` o aleshores la producci´o qA = −2 ´es negativa, la qual cosa no ´es possible.
Ens hem de restringir a qA ≥ 0 i qB ≥ 0. En aquest cas, obtenim les restriccions 10 − pA − 2pB ≥ 0 i 3pA − 2pB ≥ 0. En el pla pA pB aix` o ´es l’interior del triangle de v`ertexs (0, 0), (10, 0), (5/2, 15/4).
pB 5 (5/2, 15/4) 4 3 (21/4, 19/8) 2 II : 3pA − 2pB = 0, 0 ≤ pA ≤ 5/2 III : pA + 2pB − 10 = 0, 5/2 ≤ pA ≤ 10 1 (0, 0) −1 (10, 0) 1 0 2 3 4 5 6 7 8 I : pB = 0, 0 ≤ pA ≤ 10 −1 9 10 p11 A 12 B no t´e punts estacionaris dins el compacte. A la frontera, • Costat I : pB = 0, 0 ≤ pA ≤ 10.
BI (pA , 0) = g(pA ) = (10 − pA )(pA − 2) + (3pA )(−1) = −p2A + 9·pA − 20, 0 ≤ pA ≤ 10.
Aix` o ´es una par` abola c` oncava. T´e com punt estacionari pA = 4.5. El m`axim es troba comparant els valors g(0) = −20; g(10) = −30; g(4.5) = 1/4.
M` axim=0.25 al punt (4.5, 0).
• Costat II : 3pA − 2pB = 0, 0 ≤ pA ≤ 5/2.
BII (pA , 3pA /2) = = h(pA ) = (10 − pA − 2·(3pA /2))(pA − 2) + (3pA − 2(3pA /2))(3pA /2 − 1) = = −4·p2A + 18·pA − 20, 0 ≤ pA ≤ 5/2.
Aix` o ´es una par` abola c` oncava. T´e com punt estacionari pA = 9/4 = 2.25. El m`axim es troba comparant els valors h(0) = −20; h(5/2) = 0; h(2.25) = 0.25.
M` axim=0.25 al punt (9/4, 27/8).
• Costat III : pA + 2pB − 10 = 0, 5/2 ≤ pA ≤ 10.
BIII (pA , 5 − pA /2) = = k(pA ) = (10 − pA − 2·(5 − pA /2))(pA − 2) + (3pA − 2(5 − pA /2))(5 − pA /2 − 1) = = −2·p2 + 21·p − 40, 5/2 ≤ pA ≤ 10.
Aix` o ´es una par` abola c` oncava. T´e com punt estacionari pA = 21/4. El m`axim es troba comparant els valors k(0) = −40; k(5/2) = 0; k(21/4) = 121/8.
M` axim=121/8 al punt (21/4, 19/8).
Tenim que el m` axim absolut ´es a B(21/4, 19/8) = 121/8 = 15.125. En aquest cas, la producci´o del producte ´ a dir, tenim els beneficis m`axims quan nom´es produ¨ım el producte B.
A ha de ser 0. Es 5. Sigui f (x, y) = x3 − 3xy 2 + 2y 3 . Trobeu els `optims globals de f a: (a) R2 . (Indicaci´ o : f (x, y) = (x − y)2 (x + 2y). Si teniu problemes per classificar alg´ un punt, penseu a dibuixar la corba de nivell que li correspon i estudieu els signes de la funci´o prop del punt.) (b) D = {x ≤ y, y ≥ −x/2, y ≤ 4} ´ SOLUCIO: (a) A R2 els punts estacionaris s´ on: (0, 0) i tots els de la forma (a, a). El determinant de la matriu Hessiana ´es 0 en tots aquests punts. Fem servir la indicaci´o. Tenim que f (a, a) = 0. Els punts estacionaris formen part de la corba de nivell z = 0: les rectes x − y = 0 i x + 2y = 0. El signe de f en els quatre sectors dividits per aquestes rectes ens classifiquen els candidats: 4 f >0 3 (a, a) a > 0 MIN 2 f >0 1 P.Sella −6 −5 −4 −3 −2 −1 f <0 1 0 3 4 5 6 −1 −2 (a, a) a < 0 2 f <0 MAX −3 −4 Aquests valors no s´ on globals. No hi ha max/min global a R2 .
(b) A D no tenim punts estacionaris interiors.
y=4 (−8, 4) 4 (4, 4) 3 D y=x 2 y = −x/2 1 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −1 Mirem les fronteres: • V`ertexs a (0, 0), (4, 4) i (−8, 4).
• Recta y = x, x ∈ [0, 4]: En aquest cas, f (x, x) = 0 • Recta y = −x/2, x ∈ [−8, 0]: Aqu´ı, f (−x/2, x) = 0 • Recta y = 4, x ∈ [−8, 4]. Aqu´ı f (x, 4) = (x − 4)2 (x + 8). Cerquem els punts estacionaris d’aquesta funci´ o a l’interval [−8, 4] i trobem x = −4, que ´es un m`axim del polinomi de grau 3.
Si comparem els candidats, veiem que el m´ınim de f a D ´es 0 a (x, x) per x ∈ [0, 4] i a (−x/2, x) per ...