T.5 – CÁLCULOS EN INGENIERÍA (2016)

Resumen Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Fonaments d'Enginyeria
Año del apunte 2016
Páginas 12
Fecha de subida 08/07/2017
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Resumen Teoria "Fonaments d'Enginyeria".

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FE | TEMA 5 – CÁLCULOS EN INGENIERÍA 1. Introducción Ciencia Computacional • • • Es el tercer paradigma para el descubrimiento en Ciencia e Ingeniería para resolver problemas científicos y de ingeniería (la experimentación y la teoría son los otros dos).
Es una ciencia emergente que utiliza ordenadores y algoritmos matemáticos como herramientas para la resolución de problemas.
Hay muchos problemas interesantes que pueden ser resueltos usando la tecnología y que no podrían serlo utilizando los métodos convencionales: - Demasiado peligroso intentarlo en el laboratorio.
Demasiado caro intentarlo tanto en el laboratorio como manualmente.
Los problemas solo son solucionables usando técnicas o modelos matemáticos.
2. Dimensiones y unidades Dimensiones • • En la resolución de problemas de ingeniería es necesario caracterizar el mundo físico en términos de dimensiones (o magnitudes).
Se distingue entre dimensiones fundamentales, como la longitud, el tiempo o la masa, y dimensiones derivadas, que son combinaciones de las anteriores.
Unidades • • El concepto de unidad se define como: “Una cantidad establecida de forma precisa, en términos de la cual pueden especificarse otras cantidades de la misma clase”.
Para cada dimensión son necesarias una o más cantidades de referencia (unidades) a fin de describir en forma cuantitativa las propiedades físicas de algún objeto o material.
(p.ej. Longitud: millas, metros, pies, etc. // Tiempo: minutos, horas, meses, etc.) • • • • Existen distintos sistemas de unidades.
En EE.UU y los países de habla inglesa se utiliza también el conocido como sistema inglés (o sistema británico).
El sistema más extendido es el conocido como Sistema Internacional de Unidades (SI).
Utilizado en Europa y en muchos otros países, y es la base oficial de unidades de EE.UU.
En el SI existen 7 unidades fundamentales: - Unidades suplementarias: Son dos unidades esenciales sobre las que, al no llegarse a acuerdo sobre si eran básicas o derivadas, se las denominó así.
- Unidades derivadas: Las nueve unidades anteriores pueden combinarse matemáticamente (por multiplicación o división) para producir las nuevas unidades que se requieran a fin de medir cualquier cantidad física. A quince de éstas se les han dado nombres y símbolos especiales. Son las que muestra la tabla siguiente: - Todas las demás unidades derivadas necesarias se generan multiplicando o dividiendo la unidad básica y las unidades derivadas de acuerdo con la definición de la cantidad que se va a medir. En consecuencia, ninguna lista puede ser completa.
La siguiente tabla muestra simplemente algunos ejemplos: • Prefijos • El Sistema Británico 3. Notación Científica • • Con frecuencia los ingenieros deben realizar cálculos utilizando números muy grandes o muy pequeños. En estos casos, puede resultar engorroso escribir los números en forma decimal. En estos casos se utiliza el formato exponencial científico también conocido como notación científica.
Con la notación científica se usan los exponentes de 10 para indicar la posición decimal.
Cualquier número se expresa como: 𝒎 𝒙𝟏𝟎𝒆 Siendo m la mantisa y e el exponente. En la notación científica normalizada, la regla general es que 1 ≤ 𝑚 < 10.
• • El rango de un sistema está dado por el subconjunto de los números reales que se puede representar entre el número mínimo y el número máximo representables. El rango está relacionado con el valor de e Se denomina resolución a la distancia mínima entre dos números consecutivos en punto fijo. La resolución está relacionada con el valor m de la representación.
Operaciones con notación científica - Suma y Resta: Si tienen mismo exponente, se suman o resta los coeficientes dejando la potencia con el mismo grado. Si tienen exponentes distintos, se convierte el coeficiente multiplicando o dividiendo por 10 tantas veces como sea necesario para obtener los mismos exponentes.
- Multiplicación: Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
- División: Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.
- Potenciación: Se eleva el coeficiente de la potencia y se multiplican los exponentes.
- Radicación: Se extrae la raíz del coeficiente y se divide el exponente entre el índice de la raíz.
4. Cifras Significativas Introducción • • • • • Con frecuencia los ingenieros trabajan con números que contienen muchos dígitos y debe determinarse cuántos de ellos son significativos.
Una cifra significativa en un número se define como una cifra que puede considerarse fiable como resultado de mediciones o cálculos.
Así, el número de cifras significativas,𝒏, en un resultado, indica el número de dígitos que pueden usarse con confianza.
Concretamente, significa que de los 𝒏 dígitos, los 𝒏 − 𝟏 primeros son seguros mientras que el último (de la derecha) tal vez podría variar si pudiésemos expresar el resultado con más cifras significativas.
Dicho de otro modo, el máximo error que podemos estar cometiendo al trabajar con 𝒏 cifras significativas es de ±𝟓 · 𝟏𝟎𝒑−𝟏 siendo 𝒑 la potencia de 10 asociada a la cifra menos significativa (la de más a la derecha).
- Ejemplo: El número 3,572 tiene 4 cifras significativas, y la cifra de más a la derecha expresa milésimas (±𝟓 · 𝟏𝟎𝒑−𝟏 ) (10−3 → 𝑝 = −2).
Así, sabemos que las 3 primeras cifras (3, 5 y 7) son fiables mientras que la última (2) podría variar si pudiésemos mostrar el mismo valor con más cifras significativas.
Si por ejemplo el número nos lo diesen con 5 cifras significativas, el valor podría ser 3,5718. En ese caso un resultado como éste, con 3 cifras significativas en la parte decimal, el máximo error que podemos estar cometiendo es de ±5 · 10−4 (±0,0005).
• Dado un número, para saber con cuántas cifras significativas está expresado pueden seguirse las cuatro reglas siguientes: 1. Todos los dígitos diferentes de cero son significativos.
2. Todos los dígitos que tienen algún dígito diferente de cero a su izquierda son significativos.
3. Cualquier cero que no esté incluido en la regla 2 no es significativo.
4. Cuando el número se exprese en notación científica normalizada, todos los dígitos de la mantisa son significativos.
- Ejemplos: Operaciones con cifras significativas • Suma y Resta: el resultado debe tener tantas cifras significativas a la derecha de la coma decimal como el número operando con menor número de dichas cifras.
E) 45,621 – 6,41 + 4,3 = 43,511 --- 43,5 (una sola cifra significativa en la parte decimal) • Multiplicación y División: el resultado tendrá tantas cifras significativas como el factor que tenga menos.
E) 0,00170 * 100,40 = 0,17068 --- 0,170 (ha de ser expresado con 3 cifras significativas) • Redondeo: El proceso de eliminación de las cifras no esenciales de un resultado se denomina redondeo. Una vez establecido el número de cifras significativas con que debe expresarse el resultado, la aplicación correcta del método debe contemplar las siguientes reglas: - Se analiza el dígito a la derecha de la última cifra significativa deseada.
- Si esa cifra es menor que 5, se elimina esa cifra y todas las que se encuentren a su derecha.
- Si esa cifra es mayor que 5, se aumenta en uno la última cifra significativa y se elimina el resto de cifras a su derecha.
El caso más difícil de tratar es cuando el dígito analizado es 5. Entonces debe procederse como sigue: - Si a su derecha hay algún dígito diferente de cero, se aumenta en uno la última cifra significativa y se elimina el resto de cifras a su derecha.
- Si a su derecha no hay más dígitos (es decir, puede garantizarse que serían todos ceros) tenemos un caso de indeterminación, pues estamos equidistantes entre dos números.
En este caso, por convención, se aplica la regla siguiente: si la última cifra significativa es impar se redondea a la siguiente cifra, si es par se deja tal cual.
Es decir, se procede de modo que el resultado siempre sea par.
E) (Resultados con 3 y 5 cifras significativas en la parte decimal) - 3,6975 --- 3,698 ; 7,2365 ---- 7,236 /// 3,145555 --- 3,14556 5. Mediciones. Precisión y exactitud • • La exactitud (accuracy) de una medida se define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Es una medida de cuán cercana al valor verdadero se encuentra la medida.
Precisión (precision) se entiende la reproducibilidad de la medida, y constituye una indicación de la calidad del instrumento.
Si al efectuar una medida varias veces, obtenemos resultados muy poco diferenciados, el aparato es muy preciso; pero podría ser que las medidas que nos proporcione no sean exactas, según su calibración.
𝑭 𝑬𝑨 𝑬𝑨 𝑬𝑨 = |𝑽𝑬𝒙𝒂𝒄𝒕𝒆 − 𝑽𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙. | ; 𝑬𝑹 = ; 𝑭 𝑬𝑹 = 𝑽𝑬 𝑽𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒕 𝒑𝒆𝒓 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒆 *Operar con errores: siempre se buscan los valores máximo y mínimo, se opera y se calcula la media de ambos valores (valor central). Luego se busca el error respecto el otro valor.
6. Estadística • La estadística puede definirse como: “Recopilación, presentación, análisis y uso de datos para tomar decisiones y resolver problemas” En el caso de la ingeniería para: - Diseñar nuevos productos y sistemas.
- Perfeccionar los ya existentes.
- Diseñar, mejorar y controlar los procesos de producción.
• • • • Población (‘population’) conjunto de todas las observaciones posibles de la característica de interés (variable).
- Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.
- No es una población física.
Muestra (‘sample’) es un conjunto de observaciones obtenidas en un experimento.
- Debería ser “representativo” - Está formado por miembros “seleccionados” de la población (individuos, unidades experimentales).
- Número de observaciones de la muestra: tamaño muestral.
Individuo es cada uno delos elementos que forman la población o la muestra.
Caracteres son los aspectos a estudiar en un individuo, cada carácter puede tomar diferentes valores o modalidades.
Tipos de variables • • Cuantitativa (Numérica): - Continua: cualquier valor en el intervalo: Temperatura, presión, velocidad.
- Discreta: sólo un número finito de valores aislados: Número de máquinas en funcionamiento, número de empleados.
Cuantitativa (Categórica): - Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No) - Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor Tipos de Estadística • • Estadística descriptiva.- Métodos para resumir y organizar los datos (primer paso del análisis). Aborda el problema de sintetizar la información revelada por los datos, sin plantearse objetivos de naturaleza inductiva.
Estadística inferencial (Inferencia estadística).- Obtener conclusiones válidas para la población de interés a partir del estudio de una parte: la muestra. La extrapolación de los resultados de la muestra a la población será el contenido de la inferencia estadística, cuyo objetivo es inferir conclusiones que se refieren a la población global, así como proporcionar medidas que permitan cuantificar el grado de confianza que podemos tener en tales conclusiones.
Parámetros y estadísticos • Parámetro: Es una cantidad numérica calculada sobre una población.
- La altura media de los individuos de un país - La idea es resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros) • Estadístico: Es una cantidad numérica calculada sobre una muestra de la población.
- La altura media de los que estamos en esta aula.
- Somos una muestra (¿representativa?) de la población.
- Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro también se le suele llamar estimador.
Estadística Industrial • La estadística industrial es la rama de la estadística que busca implementar los procedimientos probabilísticos y estadísticos de análisis e interpretación de datos o características de un conjunto de elementos al entorno industrial, a efectos de ayudar en la toma de decisiones y en el control de los procesos industriales y organizacionales.
Pueden distinguirse tres partes: - El estudio de las series temporales y las técnicas de previsión, y la descripción de los pasos necesarios para el establecimiento de un sistema de previsión operativo y duradero en una empresa.
- El análisis multivariante, necesario para la extracción de información de grandes cantidades de datos, una de las necesidades más apremiantes.
- El control de calidad y la fiabilidad.
Series Temporales • • Una serie temporal o cronológica es una secuencia de datos observaciones o valores, medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados cronológicamente y, normalmente, espaciados entre sí de manera uniforme.
El análisis de series temporales comprende métodos que ayudan a interpretar este tipo de datos, extrayendo información representativa, tanto referente a los orígenes o relaciones subyacentes como a la posibilidad de extrapolar y predecir su comportamiento futuro. El análisis clásico de las series temporales se basa en la suposición de que los valores que toma la variable de observación es la consecuencia de cuatro componentes: - Tendencia: Indica la marcha general y persistente del fenómeno observado, es una componente de la serie que refleja la evolución a largo plazo.
- Variación estacional (Estacionalidad): Corresponde a fluctuaciones periódicas de la variable, en periodos relativamente cortos de tiempo. Es el movimiento periódico de corto plazo.
- Variación cíclica: Es el componente de la serie que recoge las oscilaciones periódicas de amplitud superior a un año. Movimientos normalmente irregulares alrededor de la tendencia, en las que a diferencia de las variaciones estacionales, tiene un período y amplitud variables.
- Variación aleatoria: Accidental, de carácter errático, también denominada residuo, no muestran ninguna regularidad, debidos a fenómenos de carácter ocasional.
Análisis Multivariante • • • • • • Regresión y Correlación: Es la relación (función) entre más de dos variables, donde una de ellas se asume como dependiente de las demás. Es el grado de asociación entre más de dos variables, donde no hay una variable dependiente de las otras.
Correlación Canónica: Es una técnica para estudiar las asociaciones entre dos conjuntos de variables. Correlacionar simultáneamente varias variables dependientes y varias var.
Independientes.
Correspondencia (A F C): Consiste en la extracción de relaciones entre categorías y define similaridades o disimilaridades entre ellas, lo que permitirá su agrupamiento si se detecta que se corresponden.
Componentes Principales: Es una técnica estadística de síntesis de la información, o reducción de la dimensión (número de variables). Es decir, ante un banco de datos con muchas variables, el objetivo será reducirlas a un menor número, perdiendo la menor cantidad de información posible. Los nuevos componentes principales o factores serán una combinación lineal de las variables originales, y además serán independientes entre sí.
Análisis Cluster: Es un conjunto de técnicas que se utilizan para clasificar los objetos o casos en grupos relativamente homogéneos llamados conglomerados (clusters). Los objetos en cada grupo (conglomerado) tienden a ser similares entre sí (alta homogeneidad interna, dentro del cluster) y diferentes a los objetos de los otros grupos (alta heterogeneidad externa, ente clusters).
Análisis Discriminante: Es una técnica multivariante de clasificación de individuos, en la que se presupone la existencia de dos o más grupos bien definidos a priori (por ejemplo, ejemplares de la misma especie en dos localidades diferentes, clientes solventes y no solventes; votantes de uno u otro partido; compradores y no compradores de un producto; etc).
Fiabilidad • • Fiabilidad es la probabilidad de que un dispositivo realice adecuadamente su función prevista a lo largo del tiempo, cuando opera en el entorno para el que ha sido diseñado.
Debe observarse que hay cuatro atributos específicos de esta definición: (1) Probabilidad (2) Funcionamiento adecuado (3) Calificación con respecto al entorno (4) Tiempo La ingeniería de fiabilidad es el estudio de la longevidad y el fallo de los equipos. Para la investigación de las causas por las que los dispositivos envejecen y fallan, se aplican principios científicos y matemáticos.
El objetivo estriba en que una mayor comprensión de los fallos de los dispositivos ayudará en la identificación de las mejoras que pueden introducirse en los diseños de los productos para aumentar su vida o por lo menos para limitar las consecuencias adversas de los fallos.
Obsolescencia Programada • La obsolescencia programada es una estrategia empresarial reconocida que supone que hay fabricantes que diseñan y producen los aparatos de forma deliberada para que se averíen o se pasen de moda rápidamente.
• • La obsolescencia programada es una cuestión preocupante por diversas razones: dado que disminuye la duración de la vida de los productos de consumo, hace que aumente el consumo de recursos así como la cantidad de residuos que hay que procesar al final de la vida de los productos.
El objetivo es obligar a los consumidores a comprar los nuevos productos y servicios que las empresas comercializan para sustituir a los antiguos.
Mantenimiento • • Mantenimiento es el conjunto de técnicas utilizadas para asegurar el correcto y continuo uso de equipos, maquinaria, instalaciones y servicios a fin de evitar su rotura (es decir, aumento de su fiabilidad).
Esencialmente hay dos tipos de mantenimiento: o Mantenimiento preventivo: el objetivo es incurrir en gastos modestos de servicio del equipo, con el fin de evitar fallos potencialmente caros durante su funcionamiento.
o Mantenimiento correctivo (o reparación): es la respuesta al fallo del equipo con el fin de devolverlo a un estado de funcionamiento.
Medidas de Posición Central • Media (‘mean’): Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable.
Suma de los valores dividido por el tamaño muestral.
- Datos sin agrupar: x1, x2, ..., xn ▪ - Media: 𝟏 ̅ = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒙 𝒏 Datos organizados en tabla ▪ Si en vez de valores individuales, tenemos una tabla de frecuencias usamos la marca de clase (valor central de cada intervalo y la frecuencia de la clase, en este caso la media es un valor aproximado): 𝒏 𝟏 ̅ = ∑ (𝒙𝒊 𝑭𝒊 ) 𝒙 𝒏 𝒊=𝟏 • Mediana (‘median’): Es un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50). Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es sensible a valores extremos.
- Para encontrar la mediana M en datos sin agrupar se debe: 1. Ordenar las n observaciones en una lista de orden ascendente.
(𝒏+𝟏) - 2. Si n es impar: 𝑴 = 𝟐 3. Si n es par: M es la media de las dos observaciones centrales de la lista.
Para encontrar la mediana M en datos agrupados: 1. Se escoge el intervalo al que le corresponde la frecuencia (𝑁/2).
2. Se opera: 𝑵 − 𝑵𝒊−𝟏 𝑴 = 𝑳𝒊 + 𝟐 · 𝒂𝒊 𝑭𝒊 Donde 𝐿𝑖 : Límite inferior del intervalo / 𝑁: frecuencia acumulada máxima / 𝑁𝑖 : frecuencia acumulada anterior de la del intervalo / 𝑎𝑖 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 : amplitud del intervalo.
• Moda (‘mode’): Es el/los valor/es donde la distribución de frecuencia alcanza un máximo, lo que ocurre con más frecuencia.
- En datos no agrupados se escoge el que tenga mayor frecuencia, y si hay dos frecuencias máximas iguales, se tiene bimoda.
- En datos agrupados se calcula cogiendo la 𝐹𝑖 más grande y aplicando: 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝑳𝒊 + ∆𝟏 ·𝒂 ∆𝟏 + ∆𝟐 𝒊 Donde ∆1 = 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1 ; ∆2 = 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖+1 ** 𝑿𝒊 = 𝑳𝒊 +𝑳𝒔 𝟐 Medidas de Dispersión • Rango: Una manera de medir la dispersión es calcular el recorrido de la distribución empírica, es decir, la diferencia entre las observaciones máxima y mínima.
Su mayor ventaja es que se puede calcular fácilmente, sin embargo, no brinda información sobre la dispersión existente entre ambos valores extremos.
• La distribución de los datos puede ser o no simétrica. Si la distribución de los datos no es simétrica, se llama asimétrica o sesgada.
o Para describir la forma se puede comparar la media y la mediana.
o También puede observarse a través del coeficiente de asimetría. Mide el grado de Simetría / Asimetría de la distribución • Varianza (𝒓𝟐 ): Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a su media. La varianza poblacional: • 𝟏 ̅𝟐 𝒓𝟐 = ( ∑ 𝑭𝒊 𝒙𝒊 𝟐 ) − 𝒙 𝒏 Desviación típica (𝝈): 𝝈 = √(𝒓𝟐 ) Cálculo de Probabilidades • Ley de Laplace: 𝑷= • #𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 #𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 Cuando hay experiencias aleatorias independientes, la probabilidad de que ocurra una en la primera, otra en el segunda, etc… es: 𝑷[𝑬𝟏 && … && 𝑬𝒏 ] = 𝑷[𝑬𝟏 ] · … · 𝑷[𝑬𝒏 ] Si se quiere saber justo la probabilidad del caso contrario se hace: 𝑷[𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂] = 𝟏 − 𝑷[𝑬𝟏 && … && 𝑬𝒏 ] 7. *EXTRA* La evolución de los paradigmas científicos • • • • Ciencia Empírica: Descripción. Sin capacidad de predecir o muy limitada. Sin posibilidad de generalizar La Teoría en la Ciencia: Elaboración y verificación de Modelos Capacidad de generalización y Predicción.
Ciencia Computacional (Large-Scale Computational Simulation): Más allá del mundo “físico” con la “colaboración” del computador.
Data management and Explotation for Knowledge Extraction (e Science): Work together with Theory, Experiments and Simulation Big Data • • • • • • • • Los datos contienen información de gran valor empresarial. Si tú puedes extraer esa información, podrás tomar mejores decisiones.
“Big Data” son datos cuya escala, diversidad y complejidad requieren nuevas arquitecturas, técnicas, algoritmos, y análisis para manejarlos y extraer valores y conocimiento escondido en ellos.
De la WWW a la VVV: o El volumen de datos se está volviendo inmanejable.
o La variedad de los datos y su complejidad está creciendo.
o La velocidad de los datos hace que algunos sean perdidos o no procesados a tiempo (“stream processing”).
Y además?: o La veracidad de los datos no siempre es correcta, más bien ambigua, confusa.
o La virtualidad de los datos hace que sean procedentes de distintos sitios.
Lo que hay que entender es que existe una gran distancia entre los datos y la información.
Producimos una inmensa cantidad de datos, pero eso no significa que estemos haciendo más o mejor información.
Podemos aprender mucho de los datos, pero se ha sobrevendido su potencial de tener un contenido informativo.
Hay mucha distancia entre datos e información pero más aún entre información y conocimiento.
Procesos • • • • First Come First Served (FCFS): se atienden los procesos por orden de llegada.
Shortest Job First (SJF): se atiende el primer proceso que llegue, y si mientras su tiempo de servicio han llegado nuevos procesos, el siguiente en ser atendido será el más corto.
Round Robin (RR): se atienden los procesos por orden de llegada durante un quantum de tiempo determinado. Cuando el quantum se agota, el proceso actual pasa la cola después de los que han ido llegando durante su servicio.
Priority: Se atienden los procesos por orden de prioridad.
𝑻𝒘 = 𝑻𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 − 𝑻𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂 ; 𝑻𝑻 = 𝑻𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 − 𝑻𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂 ...

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