Problemes funcions (2009)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 4
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Matem` atiques 23816 Ci` encies Ambientals Problemes Curs 2008-2009 FUNCIONS D’UNA VARIABLE 11. Resoleu les equacions logar´ıtmiques seg¨ uents: (a) 2 log10 x − log10 (x − 16) = 2.
(b) (x2 − x − 3) log10 4 = 3 log10 14 .
(c) (2 + x) log10 22−x + log10 1250 = 4.
(d) 3 logx 5 = 1 + 2 log5 x.
12. Resoleu els sistemes d’equacions exponencials seg¨ uents: (a) 3x + 3y = 36, 3x+y = 243, (b) 2x + 3y = 7, 2x+1 − 3y+1 = −1.
(c) 5x+y = 15625, 5x−y = 25.
13. Feu un esb´os conjunt dels gr`afics de les funcions seg¨ uents: f1 (x) = ex , f2 (x) = e2x , f3 (x) = ex−2 , f4 (x) = ex − 2 i f5 (x) = 2x .
14. Feu un esb´os conjunt dels gr`afics de les funcions seg¨ uents: f1 (x) = ln(x), f2 (x) = ln(x2 ), f3 (x) = ln(x − 1) i f4 (x) = ln(x) − 2.
15. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: (a) (d) (g) (j) x−1 , x→0 x + 1 1 lim , x→0 1 + ex (b) lim (e) lim (1 + 1/x)x , x→∞ x4 − x3 + 1 , x→−∞ x3 + 5 lim (h) (k) lim 1 , x→1 x − 1 (c) lim 3(x−2) , (f) x→2 lim x→∞ lim x→∞ √ x+1− √ 1 , x−1 x + 10, (i) (l) x2 − 1 , x→−1 5x2 + 4x − 1 x2 + x − 2 lim , x→1 x2 − 1 x2 − 1 lim , x→∞ 5x2 + 4x − 1 ex lim .
x→∞ 5 − x3 lim 16. Determineu el domini de les funcions seg¨ uents: 2y 2 + y − 3.
(a) A(y) = (c) f (s) = √ s+1− √ 3 − s.
(b) g(x) = log(x + 3).
x .
x−4 (d) g(x) = √ 3 1 x7 − x + 8 (e) B(x) = e .
(f) g(x) = .
6 − x3 2x − 1 Nota: Observeu que determinar la imatge d’aquestes funcions no ´es tan senzill.
1/x 6 17. Donades les funcions f (x) = x2 + 1, g(y) = (a) g ◦ f , (b) f ◦ g, (c) h ◦ h, √ y − 1 i h(z) = 1 efectueu les operacions seg¨ uents: z (d) g ◦ f ◦ h.
2 18. Expresseu les funcions seg¨ uents com a composici´o d’altres. Per exemple, f (x) = ex +1 la podem escriure com f = h ◦ g on g(t) = t2 + 1 i h(t) = et .
√ 1 (a) F (x) = x3 + 3, (b) f (x) = (ln(5 + x2 ))3 , (c) G(x) = , (d) f (x) = sin( cos2 (x) + 1).
ln x  x ≤ 0,  a + x2 , 19. Trobeu el valor de a pel qual la funci´o f (x) = ´es una funci´o cont´ınua.
 ln(x + e), x > 0, 20. Per a quins valors de a les funcions seg¨ uents s´on cont´ınues a tot el seu domini?   x ≤ 2,  x + a,  ax − 1, x ≤ 1, (b) f (x) = (a) f (x) =  √  x + 2, x > 2.
3x2 + 1, x > 1, 21. Trobeu per a quins valors de s ∈ R la funci´o A(x) = sx2 1 ´es cont´ınua en R.
− 2sx + 1 22. Usant el Teorema de Bolzano, determineu si les equacions seg¨ uents tenen alguna soluci´o.
(a) 2x = x + 2 (b) y 3 + 2y 2 − 3y = 4 (c) x4 − 7 = ln x 23. Calculeu la (funci´o) derivada de les funcions seg¨ uents: (a) f (x) = x3 + 2x2 + 1, (b) f (x) = x2 − 5x + 4, (c) g(y) = y 7 − 32 y 5 + 12 y 4 − 2y 3 + 5, (d)f (x) = (x2 + 2)(x3 + 1), (e) f (t) = (3t − 2)(5t + 1)(7t + 2), (f) g(z) = (g) f (x) = 2x , x2 −1 (i) f (x) = x6 + ex + (k) g(y) = (m) f (z) = 3z−1 2z−3 , (h) f (t) = (ln(t3 + 5t))4 , √ x − ln x, (y+ln(y)) , y3 z+ez z−ez , (j) f (x) = x4 − 2 − 3 x + 6 , x3 ex −1 , ex +x2 (l) f (x) = (n) f (x) = 3ex (2 − ex ).
24. Trobeu els intervals de creixement i decreixement de les funcions seg¨ uents: (a) f (x) = 3x2 − 2x + 1, 2 ( d) f (x) = (x + 1)ex , ex x, (f) f (x) = ln(x2 − 1).
(c) f (x) = x 3 (1 − x), (e) f (x) = (b) f (x) = x3 − 12x + 1, 25. Calculeu la funci´o inversa de les seg¨ uents funcions.
(a) f (x) = 3x + 4 (b) f (x) = x+1 2x−3 (c) f (x) = x3 + 1.
26. Observeu que les seg¨ uents funcions no s´on invertibles, determineu un interval on s´ı que ho siguin i calculeu, sobre aquest interval, la inversa.
(a) f (x) = x2 + 2x (b) f (x) = x + 7 1 x (c) f (x) = x4 + x2 .
27. Representeu gr`aficament les funcions seg¨ uents i estudieu-ne els extrems absoluts a l’interval [0, 2]: 2x , 4x − 3 x (d) f (x) = , x−2 (a) f (x) = 2x2 , x+1 x2 (e) f (x) = √ , x2 + 2 (b) f (x) = x2 − 2x , x2 − 4 ln(x + 1) (f) f (x) = .
x+1 (c) f (x) = 28. Trobeu el polinomi d’interpolaci´o per la funci´o donada per x 0 1 2 3 4 y 1 4 15 40 85 i trobeu el valor que correspon a x = 1, 9.
29. Trobeu el polinomi p(x) de grau 3 que compleix 0 1 2 3 x p(x) 3, 6 2, 8 5, 4 6, 1 30. Donada la taula x 1 2 3 4 y 0 3, 301 0, 477 0, 602 on y = log10 (x), calculeu un valor aproximat de log10 (1, 7), log10 (2, 5) i log10 (3, 1); mitjan¸cant: (a) Un polinomi de grau 3.
(b) Un polinomi de greu 2.
(c) Un polinomi de grau 1.
31. Trobeu el polinomi de Taylor de grau n en x0 = 0 en cadascun dels casos seg¨ uents: (a) f (x) = ln(1 + x), n = 4; 2 (c) f (x) = e−x , n = 8; (b) f (x) = sin(x2 ), n = 6; √ (d) f (x) = x, n = 3, x0 = 4.
32. Volem aproximar la funci´o f (x) = cos x per un polinomi de manera que a l’interval [−1, 1] l’error sigui menor que 10−4 . Demostreu que a l’interval esmentat es compleix que | cos x − (1 − x2 x4 x6 1 + − ))| ≤ .
2! 4! 6! 40320 33. Fiteu l’error que es comet quan es pren √ (a) 1 − (x/2) com a valor aproximat de 1/ 1 + x amb 0 ≤ x ≤ 10−1 ; (b) 1 + (x2 /2) + (x4 /24) com a valor aproximat de (ex + e−x )/2 amb |x| ≤ 10−1 .
34. Calculeu el valor de a amb un error inferior a : = 10−3 ; (a) a = sin 1, (b) a = ln 1, 3, (c) a = √1 , e = 10−3 ; = 10−2 .
8 35. Trobeu la soluci´o positiva de l’equaci´o x2 − 2 = 0 fent servir: (a) Bisecci´o.
(b) Newton.
(c) Iteraci´o.
36. Fent servir el m`etode de Newton trobeu l’arrel de l’equaci´o: √ x − e−x = 0.
37. Fent servir els m`etodes de bisecci´o i Newton calculeu solucions de les seg¨ uents equacions: (a) 4 sin x + 1 − x = 0.
(b) x4 − 4x3 + 2x2 − 8 = 0.
(c) (x + 1)ex−1 − 1 = 0.
(d) 3x2 + tan x = 0.
38. Trobeu una soluci´o de l’equaci´o x3 + x2 − 1 = 0 pel m`etode d’iteraci´o.
9 ...