Examen Parcial Mayo 2013 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

ETSETB   Control  SIS  G10   13  mayo  2013   No  se  permiten  libros,  apuntes,  calculadoras,  móviles  etc.    Duración  2  horas    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐     1)   (30   puntos)   Para   transmitir   el   mensaje   x(t)   de   ancho   de   banda   B,   X(f)=0   |f|>B,   un   sistema   de   comunicaciones   utiliza   una   modulación   de   amplitud   y   transmite   la   señal   xM(t)=x(t)  cos(2πf0t)  con  f0>>B     El   receptor   se   muestra   en   la   figura.   La   señal   de   entrada   al   receptor   se   aplica   a   un   multiplicador   por   f(t)   y   el   producto   se   filtra   mediante   un   filtro   de   respuesta   frecuencial   H1(f)=Π(f/2B)   xM(t) v(t)   x     z(t) h1(t) f(t) a) Halle  XM(f)  en  función  de  X(f).  Dibuje  XM(f)  suponiendo  por  ejemplo  X(f)=Δ(f/B)     !! ! = ! ! ∗ 1 1 ! ! − !! + ! ! + !! 2 2 = 1 1 ! ! − !! + ! ! + !!   2 2 XM(f)   -­‐f0   f0 f b) Demuestre  que  si  ! ! = 2 cos 2!!! ! ,  entonces  z(t)=x(t)   ! ! = 2! ! cos ! 2!!! ! = ! ! + ! ! cos 4!!! !   1 1 ! ! = ! ! + ! ! − 2!! + ! ! + 2!!   2 2 El  filtro,  de  ancho  de  banda  B,  deja  pasar  x(t)  y  cancela  los  sumandos  centrados  en  f0  y  –f0   ya  que  f0-­‐B>B     Suponga  a  partir  de  ahora  que  el  oscilador  f(t)  tiene  una  deriva  de  frecuencia,  es  decir,   ! ! = 2 cos 2! !! + !! !  con  !! ≪ !! .   c) Halle  la  entrada  al  filtro  v(t)  y  calcule  y  dibuje  su  Transformada  de  Fourier  V(f)  Para  el   dibujo  puede  utilizar  de  nuevo  X(f)=Δ(f/B)   ! ! = 2! ! cos 2!!! ! cos   2!(!! + !! )! = ! ! cos 2!!! ! + ! ! cos 2!(2!! + !! )!     ! ! = 1 1 1 1 ! ! − !! + ! ! + !! + ! ! − 2!! − !! + ! ! + 2!! + !!   2 2 2 2   V(f)       fd fd+B -­‐2f0-­‐fd     2f0+fdf   d) Calcule  la  salida  del  filtro,  z(t)   El  filtro  eliminará  la  señal  centrada  en  frecuencia  alrededor  de  ±(2f0+fd)  y  dejará  pasar   x(t)  cos(2πfdt)  recortada  en  frecuencia.  z(t)=  x(t)  cos(2πfdt)*Bsinc(Bt)   Suponga  ahora  la  señal  ! ! = cos 2!!! !    y  fx=3KHz,  B=4KHz,  fd=50Hz  y  f0=  50KHz.   e) Calcule  la  entrada  al  filtro  v(t)  y  dibuje  su  transformada  de  Fourier  V(f)   ! ! = cos 2!!! ! cos 2!!! ! + cos 2!!! ! cos 2!(2!! + !! )! 1 = [cos 2!(!! + !! )! +cos 2!(!! − !! )! +cos 2!(2!! + !! 2 + !! )! +cos 2!(2!! + !! − !! )! ]   V(f) 1/4 -­‐2f0-­‐fd fx 2f0+fdf f) Calcule  la  salida  del  filtro  z(t)  y  calcule  su  Transformada  de  Fourier  Z(f)   ! z(t)=   [cos 2!(!! + !! )! +cos 2!(!! − !! )! ]   ! ! Z(f)=   [δ(! − (!! − !! )) +[δ(! + (!! − !! )) +[δ(! − (!! + !! )) +[δ(! + (!! + !! ))]   ! Nota:  cos  a  cos  b  =  (1/2)  cos(a+b)  +  (1/2)  cos(a-­‐b)    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐           2.  (30  puntos)  Sea  la  señal  x(t)=e-­‐|t|  ∏(t/2).  Se  define  y(t)  como  la  extensión  periódica  de   x(t):    ! ! = ! !!!! !(! − !").   a)  Dibuje  x(t)  e  y(t)  para  T=2  y  T=4   b)  Calcule  el  valor  del  coeficiente  co  del  desarrollo  en  serie  de  Fourier  (DSF)  de  y(t)  con   T=4.   2 ! !! !! = ! !" = (1 − ! !! )/2   4 ! c)  Exprese  y(t)  en  función  de  los  coeficientes  de  su  desarrollo  en  serie  (sin  calcularlos)  y   represente  gráficamente  su  transformada  de  Fourier  Y(f).   ! ! ! = !!!! ! !! ! !!!"#/!   ! !! !(! − )   ! !!!! La  señal  y(t)  se  filtra  con  un  filtro  paso  banda  centrado  en  1Hz  y  ancho  de  banda  0.3Hz   !−1 !+1 ! ! = +   0.3 0.3 d)  Calcule  z(t),  señal  de  salida  del  filtro.  Deje  el  resultado  como  suma  de  sinusoides   especificando  sus  amplitudes,  frecuencias  y  fases.   Los  armónicos  están  cada  1/T=  ¼  Hz.  El  filtro  dejará  pasar  la  componente  centrada  en   ±1Hz  (k=±4)  y  no  deja  pasar  las  adyacentes  porque  éstas  están  a  ±0.25Hz  de  las  anteriores   y  el  filtro  corta  a  ±0.15.  La  TF  de  la  salida  es: Z(f)=  c4δ(f-­‐1)+  c-­‐4δ(f+1)=  c4  (δ(f-­‐1)+  δ(f+1))     ya  que  al  ser  la  señal  real  y  par,  también  lo  son  los  coeficientes.  La  señal  de  salida  es:     z(t)=  2c4  cos(2πt)     e)  Cuanto  vale  la  potencia  de  z(t)?   Pz=(2c4)2/2=2c42    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐     3.    (20  puntos)  a)  Enuncie  y  demuestre  el  teorema  de  Parseval  para  señales  de  Energía   finita.     Ver  apuntes  de  clase   b)  Aplique  el  teorema  de  Parseval  para  resolver  la  integral       ! ! 2 !"   !! 2 + !2!"   ! ! = Del  par  ! !!" !(!) ↔ ! !!!!!"   Identificamos  a=2   ! !! ! 2 !" = 4 2 + !2!"   ! !! ! !!! !(!) ! !" = 4 ! ! !!! !" = 1   !!    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐     4.  (20  puntos)  La  propiedad  de  derivación  establece  que  si  x(t)   ⟷ X(f)  entonces   !" ! !" ⟷ !2!"  ! !   Para  hacer  una  simulación  en  secuencias  discretas,  se  realiza  un  sistema  cuya  respuesta   frecuencial  es  H(F)=j2πF  en  el  intervalo  |f|<1/2  y  periódica  de  periodo  1.   j2π -­‐2 H(F) -­‐1 1 2 F -­‐j2π   (!!)! La  respuesta  impulsional  de  este  sistema  es  ℎ ! = !    !"#"  ! ≠ 0 0                  !"#"  ! = 0   Para  comprobar  el  funcionamiento,  buscaremos  la  salida  cuando  a  la  entrada  se  introduce   una  sinusoide.  Sea  x[n]=  cos  (2πF0n).  Se  pide   a)  Transformada  de  Fourier  de  x[n]   ! ! ! = 1/2 !!!! ! ! − !! − ! + 1/2 ! !!!! !(! + !! − !)   b)  Calcule  la  salida    del  sistema  si  a  la  entrada  se  aplica  x[n].  Exprese  la  salida  de  la  forma   más  compacta  posible.  ¿H(F)  simula  un  derivador  para  esta  señal?   Y(F)=H(F)X(F)=   = 1/2   ! !!!! !(!! 1/2   + !)! ! − !! − ! + 1/2 ! !!!! !2!!! ! = −2!!! [   ! − !! − ! + 1/2 ! 1 ! ! − !! − ! − 2! !!!! ! !!!! !(−!! + !)!(! + !! − !)=   ! !!!! −!2!!! !(! + !! − !)=   ! 1 !(! + !! − !)]   2! !!!! y(t)=-­‐2πF0  sen(2πF0n)   Efectivamente,  para  esta  señal  se  comporta  como  un  derivador   Alternativamente,  se  puede  llegar  al  mismo  resultado  sabiendo  que  si  a  la  entrada  de  un   sistema  LI  real  se  aplica  x[n]=  cos  (2πF0n),  a  la  salida  se  obtiene     y[n]=  |H(F0)|cos  (2πF0n+Arg[H(F0))   En  este  caso,  dado  que  H(F)  es  imaginaria  pura  impar,  h[n]  es  real  impar  y  la  expresión   anterior  se  puede  aplicar.    H(F0)=j2πF0  =2πF0ejπ/2   y  la  salida  es  y[n]=  2πF0  cos  (2πF0n+π/2)=  -­‐2πF0  sen  (2πF0n)   ...