Mecánica Cuántica - Problema 40 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 1
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

.
40 Considereu l’operador U (s) = exp[is(XP + P X)/2~], on s ´es un par`ametre real.
(a) Mostreu que U (s) ´es unitari.
(b) Trobeu el transformat de l’operador de posici´o sota aquesta transformaci´o X(s) © U (s)XU † (s), en el cas d’una transformaci´o infinitesimal, per un valor de ”s π 1.
(c) Podeu donar una interpretaci´o de l’acci´o de U (s), a partir del resultat dels apartats anteriors? Soluci´ o: (a) Per fer aquest problema, resulta for¸ca u ´til definir l’anti-commutador: {X, P } = XP + P X = P X + XP = {P, X}. L’operador U (s) ´es unitari ja que els operadors X i P s´on herm´ıtics (ho hem vist a teoria). Veiem-ho expl´ıcitament, U † (s) = e≠is{X,P } † /2~ = e≠is{P † ,X † }/2~ = e≠is{X,P }/2~ = U ≠1 (s).
(b) De la mateixa manera que en l’exercici anterior, tenim U (s) ¥ U † (s) = U ≠1 (s) ¥ ≠ i”s{X, P }/2~. Aleshores, (0.4) + i”s{X, P }/2~ i X(s) © U (s)XU † (s) = ( + i”s{X, P }/2~) X ( ≠ i”s{X, P }/2~) = ( + i”s{X, P }/2~) (X ≠ i”sX{X, P }/2~) (0.5) = X ≠ i”sX{X, P }/2~ + i”s{X, P }X/2~ = X + i”s[{X, P }, X]/2~.
Calculem el commutador [{X, P }, X]. Se segueix, [{X, P }, X] = (XP + P X)X ≠ X(XP + P X) = XP X + P X 2 ≠ X 2 P ≠ XP X = [P, X 2 ] = X[P, X] + [P, X]X = ≠Xi~ ≠ i~ X = ≠2i~X, (0.6) on he utilitzat el resultat del problema 12. Aix´ı doncs, fent u ´s d’aquest darrer c`alcul, resulta que X(s) = X + ”sX = (1 + ”s)X = e”s X.
(0.7) Altrament, podem aprofitar els apartats a) o b) del problema 14 per arribar al mateix resultat.
(c) Tal operador implementa una dilataci´o, un canvi d’escala en X.
2 ...