Tema 4 Matematicas Ingenieria informatica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Europea Miguel de Cervantes
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Matematicas I
Año del apunte 2014
Páginas 21
Fecha de subida 26/11/2014
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Tema 4 Matematicas Ingenieria informatica

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Tema 4 C´ alculo integral con funciones de una variable 4.1.
La integral de Riemann Sea I = [a, b] un intervalo cerrado de R. Una partici´ on de I es un conjunto P = {x0 , x1 , . . . , xn°1 , xn } de puntos de I tal que a = x0 < x1 < . . . < xn°1 < xn = b.
Los puntos de P se utilizan para dividir I = [a, b] en los subintervalos I1 = [x0 , x1 ], I2 = [x1 , x2 ], . . . , In = [xn°1 , xn ].
Con frecuencia la partici´on P se designa por P = {[xi°1 , xi ]}ni=1 . Se define la norma de P como el n´ umero kPk = m´ax {x1 ° x0 , x2 ° x1 , . . . , xn ° xn°1 }.
As´ı pues, la norma de una partici´on es la longitud del mayor subintervalo en que la partici´on divide a [a, b].
Si se selecciona un punto ti en cada subintervalo Ii = [xi°1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, entonces tales puntos se llaman etiquetas de los subintervalos Ii . Un conjunto de pares ordenados P˙ = {([xi°1 , xi ], ti )}ni=1 de subintervalos y etiquetas correspondientes recibe el nombre de partici´ on etiquetada de I (Figura 4.1).
t1 a x0 t2 x1 t3 x2 tn x3 xn 1 xn b Figura 4.1: Una partici´on etiquetada de [a, b].
Como cada etiqueta puede elegirse de infinitas formas, cada partici´on puede etiquetarse de infinitas maneras. La norma de una partici´on etiquetada se define como para una partici´on ordinaria y no depende de la elecci´on de las etiquetas.
1 4.1. La integral de Riemann 2 Si P˙ es la partici´on etiquetada dada anteriormente, se define la suma de Riemann de una funci´on acotada f : [a, b] °! R correspondiente a P˙ como el n´ umero ˙ = S(f ; P) n X i=1 f (ti )(xi ° xi°1 ).
˙ es la suma de las Si la funci´on f es positiva en [a, b], entonces la suma de Riemann S(f ; P) ´areas de n rect´angulos cuyas bases son los subintervalos Ii = [xi°1 , xi ] y cuyas alturas son f (ti ).
Y f O x0 t1x1 t2 x2 t3 x3 t4 x4 t5 x5 t6 x6 X Figura 4.2: Una suma de Riemann.
Definici´ on 4.1.1 Una funci´on acotada f : [a, b] °! R se dice que es integrable Riemann en [a, b] si existe un n´ umero L 2 R tal que para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si P˙ es cualquier ˙ < ±, entonces partici´ on etiquetada de [a, b] con kPk ˙ ° L| < ".
|S(f ; P) El conjunto de las funciones integrables Riemann en [a, b] se designa por R[a, b].
Se demuestra que si f 2 R[a, b], entonces el n´ umero L est´a un´ıvocamente determinado. Recibe el nombre de integral de Riemann de f en [a, b]. En lugar de L se escribe usualmente L= Z a b f o Z b f (x) dx.1 a R Nuestra notaci´ on moderna para la integral, ab , fue introducida por J. B. J. Fourier (1768-1830) en un manuscrito presentado en 1807 al Institut de France con el t´ıtulo M´ emoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides. La notaci´ on es utilizada en su c´ elebre obra Th´ eorie analytique de la chaleur, publicada en 1822. La monograf´ıa de 1807 permaneci´ o in´ edita hasta que finalmente se ha publicado incluida en el libro Joseph Fourier 1768-1830: A survey of his life and work, MIT Press, 1972, de I. Grattan-Guinness y J. R.
Ravetz.
1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.1. La integral de Riemann 3 El siguiente teorema resulta u ´til pues expresa la integral como l´ımite de sumas de Riemann: Teorema 4.1.1 Sea f 2 R[a, b] y (P˙ n ) una sucesi´ on cualquiera de particiones etiquetadas de [a, b] tal que l´ım kP˙ n k = 0. Entonces n!1 Z b f = l´ım S(f ; P˙ n ).
n!1 a A partir de la definici´on de integral es posible deducir las siguientes propiedades fundamentales: Teorema 4.1.2 Sean f, g 2 R[a, b].
(a) Si k 2 R, se tiene que kf 2 R[a, b] y Z b kf = k a (b) f + g 2 R[a, b] y Z Z b f.
a b (f + g) = a Z b f+ a Z b g.
a (c) Si f (x) ∑ g(x) para todo x 2 [a, b], entonces Z b Z b f∑ g.
a a Una funci´on s : [a, b] °! R es una funci´ on escalonada si tiene solamente un n´ umero finito de valores distintos, tomando cada valor en uno o m´as subintervalos de [a, b]. Por ejemplo, la funci´on s : [°4, 5] °! R definida por 8 3 > > ° si °4 ∑ x < °2, > > 2 > > > > > 2 si 1 ∑ |x| ∑ 2, > > > > > > 5 > <° si °1 < x < 0, 2 s(x) = > > 1 si 0 ∑ x < 1, > > > > > > > °2 si 2 < x ∑ 4, > > > > > > > :° 1 si 4 < x ∑ 5, 2 es una funci´on escalonada. En la Figura 4.3 vemos su gr´afica.
Si J es un subintervalo de [a, b] y se define sJ : [a, b] °! R por sJ (x) = 1 para x 2 J y sJ (x) = 0 en otro caso, se dice que sJ es una funci´ on escalonada elemental en [a, b]. Se demuestra que si J Rb tiene extremos c < d, entonces sJ 2 R[a, b] y a sJ = d°c. Asimismo, se demuestra que una funci´on escalonada cualquiera s puede expresarse como una combinaci´on lineal de funciones escalonadas elementales m X s= k j sJ j , j=1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.1. La integral de Riemann 4 donde Jj tiene extremos cj < dj . Por tanto, el teorema 4.1.2(a,b) implica que Teorema 4.1.3 Si s : [a, b] °! R es una funci´on escalonada, entonces s 2 R[a, b].
Y adem´as Z b s= a m X j=1 kj (dj ° cj ).
Ejemplo Para la funci´on escalonada s definida anteriormente, se tiene µ ∂ Z 5 3 5 s = ° (°2 ° (°4)) + 2(°1 ° (°2)) + ° (0 ° (°1)) 2 2 °4 µ ∂ 1 + 1(1 ° 0) + 2(2 ° 1) + (°2)(4 ° 2) + ° (5 ° 4) 2 = ° 5.
Y 2 y sx 1 4 4 5 X 2 1 0.5 0 1 2 1.5 2 2.5 Figura 4.3: Gr´afica de la funci´on escalonada s.
Los dos teoremas siguientes muestran dos clases importantes de funciones integrables.
Teorema 4.1.4 Si f : [a, b] °! R es continua en [a, b], entonces f 2 R[a, b].
Teorema 4.1.5 Si f : [a, b] °! R es mon´otona en [a, b], entonces f 2 R[a, b].
La integral verifica la siguiente propiedad de aditividad respecto al intervalo de integraci´on.
Teorema 4.1.6 (Teorema de aditividad) Sea f : [a, b] °! R y c 2 (a, b). Entonces f 2 R[a, b] si, y s´olo si, sus restricciones a los intervalos [a, c] y [c, b] son ambas integrables Riemann. En este caso Z b Z c Z b f= f+ f.
a a c Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.1. La integral de Riemann 5 Corolario 4.1.1 Si f 2 R[a, b] y si [c, d] Ω [a, b], entonces la restricci´ on de f a [c, d] est´ a en R[c, d].
Corolario 4.1.2 Si f 2 R[a, b] y si a = c0 < c1 < . . . < cm = b, entonces las restricciones de f a cada uno de los subintervalos [ci°1 , ci ] son integrables Riemann y Z m Z X b f= a ci f.
ci°1 i=1 Hasta ahora hemos considerado la integral de Riemann sobre un intervalo [a, b] donde a < b. Es conveniente definir la integral de forma m´as general: Definici´ on 4.1.2 Si f 2 R[a, b] y si Æ, Ø 2 [a, b] con Æ < Ø, se define Z Ø Æ f =° Z Z Ø f y Æ Æ f = 0.
Æ Con este convenio, se verifica el resultado siguiente: Teorema 4.1.7 Si f 2 R[a, b] y si Æ, Ø, ∞ 2 [a, b], entonces Z Ø f= Æ Z ∞ f+ Æ Z Ø f, ∞ en el sentido de que la existencia de cualesquiera dos de estas integrales implica la existencia de la tercera integral y la igualdad anterior.
El siguiente teorema muestra c´omo obtener, por composici´on, nuevas funciones integrables.
Teorema 4.1.8 (Teorema de composici´ on) Sea f 2 R[a, b] de forma que f ([a, b]) Ω [c, d] y sea ' : [c, d] °! R continua. Entonces ' ± f 2 R[a, b].
Corolario 4.1.3 Si f 2 R[a, b], entonces |f | 2 R[a, b] y ØZ b Ø Z b Ø Ø Ø f ØØ ∑ |f |.
Ø a a El producto de dos funciones f y g puede escribirse en la forma fg = § 1£ (f + g)2 ° f 2 ° g 2 .
2 Por tanto, el teorema de composici´on nos permite concluir lo siguiente: Teorema 4.1.9 (Teorema del producto) Si f, g 2 R[a, b], entonces f g 2 R[a, b].
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.1. La integral de Riemann 6 Aplicaci´ on de la integral al c´ alculo de ´ areas de regiones planas No daremos aqu´ı una definici´on rigurosa del concepto de ´ area. La teor´ıa de la medida es la parte de la matem´atica que se ocupa de ese asunto. Simplemente, retomamos el significado geom´etrico de una suma de Riemann para una funci´on positiva como suma de ´areas de rect´angulos y, teniendo presente la definici´on de integral, entenderemos que el valor de dicha integral representa el ´area de la regi´on bajo la gr´afica de la funci´on, cuando la funci´on es continua.
Definici´ on 4.1.3 Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b] y sea R la regi´ on limitada por la gr´afica de f , el eje de abscisas y las rectas x = a, x = b.
(1) Si f (x) ∏ 0 para todo x 2 [a, b], entonces ´ Area de R = Z b f (x) dx.
a (2) Si el signo de f (x) cambia un n´ umero finito de veces en [a, b], entonces Z ´ Area de R = a b |f (x)| dx.
Teorema 4.1.10 Sean f, g : [a, b] °! R continuas en [a, b] y sea R la regi´ on limitada por sus gr´aficas y las rectas x = a, x = b.
(1) Si f (x) ∑ g(x) para todo x 2 [a, b], entonces ´ Area de R = Z b a [g(x) ° f (x)] dx.
(2) Si el intervalo [a, b] puede descomponerse en un n´ umero finito de subintervalos en cada uno de los cuales f ∑ g o bien g ∑ f , entonces Z b ´ Area de R = |g(x) ° f (x)| dx.
a Las Figuras 4.4 y 4.5 ilustran las situaciones del teorema anterior. En la pr´actica, basta hallar los puntos de intersecci´on de las dos gr´aficas para reducir el problema a varios del primer tipo (cf.
Figura 4.5): Z a b |g(x) ° f (x)| dx = Z a c1 [g(x) ° f (x)] dx + Z c2 c1 [f (x) ° g(x)] dx + Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara Z b c2 [g(x) ° f (x)] dx.
4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 7 Y g O a X b f Figura 4.4: El ´area entre dos gr´aficas expresada como una integral: Rb a [g(x) ° f (x)] dx.
Y f g O a c1 c2 b X Rb Figura 4.5: El ´area entre dos gr´aficas expresada como una integral: a |g(x) ° f (x)| dx.
4.2.
El Teorema Fundamental del C´ alculo Investigaremos ahora la conexi´on entre las nociones de derivada y de integral. Hay dos teoremas que tratan sobre este problema: uno integra una derivada y el otro deriva una integral. Estos teoremas, conjuntamente, constituyen el Teorema Fundamental del C´alculo. Hablando sin mucha precisi´on, implican que las operaciones de derivaci´on e integraci´on son inversas una de la otra.
Una funci´on F tal que F 0 (x) = f (x) para todo x de un intervalo cualquiera I de R se dice que es una primitiva de f en I.
Dos funciones derivables en I, F1 y F2 , cuya diferencia es constante, es decir F1 (x) ° F2 (x) = C para cada x 2 I tienen la misma derivada, pues F10 (x) ° F20 (x) = 0.
Rec´ıprocamente, si es F10 = F20 en I, entonces la diferencia F = F1 ° F2 tiene por derivada en I la funci´on nula, y entonces F es constante en I (cf. teorema 3.5.4 o corolario 3.5.1). Es decir: La condici´ on necesaria y suficiente para que dos funciones derivables F1 y F2 sean primitivas de la misma funci´on es que su diferencia sea una constante.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 8 Por esta raz´on, si conocemos una primitiva F de f , todas se obtienen sumando a F un n´ umero real arbitrario. Emplearemos el s´ımbolo Z f (x) dx para designar una primitiva cualquiera de f (en I).2 Si F es una primitiva de f (en I) se escribe Z f (x) dx = F (x) + C (C 2 R).
Se tienen las siguientes primitivas inmediatas: Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z xÆ+1 x dx = + C (Æ 6= °1) , Æ+1 Æ 1 dx = ln |x| + C , x e dx = e + C , x x ax a dx = +C, ln a x sen x dx = °cos x + C , cos x dx = sen x + C , 1 dx = tg x + C , cos2 x 1 dx = °cotg x + C , sen2 x p 1 dx = arcsen x + C , 1 ° x2 1 dx = arctg x + C , 1 + x2 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z (f (x))Æ · f 0 (x) dx = (f (x))Æ+1 + C (Æ 6= °1).
Æ+1 f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C.
f (x) ef (x) · f 0 (x) dx = ef (x) + C.
af (x) · f 0 (x) dx = af (x) + C.
ln a sen(f (x)) · f 0 (x) dx = °cos(f (x)) + C.
cos(f (x)) · f 0 (x) dx = sen(f (x)) + C.
f 0 (x) dx = tg(f (x)) + C.
cos2 (f (x)) f 0 (x) dx = °cotg(f (x)) + C.
sen2 (f (x)) f 0 (x) p 1 ° (f (x))2 dx = arcsen(f (x)) + C.
f 0 (x) dx = arctg(f (x)) + C.
1 + (f (x))2 2 Leibniz, en su manuscrito fechado el 29 de octubre de 1675, que tambi´ en cit´ abamos en el tema anterior, introduce por primera vez R el s´ımbolo para denotar la “suma de los segmentos que componen un ´ area”. Este s´ımbolo tiene la forma de una letra S estilizada y se R corresponde con la inicial de la palabra latina summa. Aunque en este manuscrito tambi´ en introduce el s´ımbolo d, todav´ıa escribe x y R 2 R R R 2 3 x . Obtiene que x = x2 y que x2 = x3 . El s´ımbolo apareci´ o impreso por primera vez en el art´ıculo publicado por Leibniz con el t´ıtulo “De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum”, en la revista Acta Eruditorum, vol. 5 (1686), p´ ags. 292-300 (Leibnizens Mathematische Schriften (ed. C. I. Gerhardt), vol. V (1858), p´ ags. 226-233), donde ya aparece la notaci´ on m´ as consistente R que incluye dx. En este art´ıculo no aparece exactamente el signo , quiz´ as por dificultades de impresi´ on; el signo que lo sustitu´ıa era muy parecido, si bien ten´ıa amputada la mitad inferior. Era simplemente la letra min´ uscula s, tal y como se imprim´ıa en aquella ´ epoca. Para R R Leibniz, significa suma y una expresi´ on del tipo f (x) dx, que hoy para nosotros designa una primitiva cualquiera de la funci´ on f , es literalmente una suma de t´ erminos f (x) dx, que representan rect´ angulos de ´ area infinitesimal de altura f (x) y anchura infinitamente peque˜ na dx.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 9 Desde luego, si F y G son primitivas de f y g respectivamente, entonces F + G es una primitiva de f + g, y si k 2 R, kF es una primitiva de kf . Se escribe Z (f (x) + g(x)) dx = Z Z f (x) dx + kf (x) dx = k Z Z g(x) dx, f (x) dx.
Ejemplos (1) Z n (an x + an°1 x n°1 + · · · + a0 ) dx = an = (2) Z µ 1 x+ p x ∂2 dx = = Z µ Z x dx + an°1 Z x n°1 dx + · · · + a0 an n+1 an°1 n x + x + · · · + a0 x + C.
n+1 n p 1 x +2 x+ x 2 n ∂ dx = Z 2 x dx + 2 Z x 1/2 dx + Z Z dx 1 dx x 1 3 4 3/2 x + x + ln |x| + C.
3 3 (3) Z 2 cos x dx = = Z 1 + cos 2x 1 dx = 2 2 Z 1 dx + 2 Z 1 cos 2x dx = 2 Z 1 dx + 4 Z 2 cos 2x dx 1 1 x + sen 2x + C.
2 4 La t´ ecnica basada en la regla del producto La derivada del producto de dos funciones derivables u y v est´a relacionada con ellas y sus derivadas por la llamada “regla del producto”: (uv)0 = u0 v + uv 0 .
Puesto que uv es una primitiva de (uv)0 , al conocer una primitiva de alguno de los sumandos u0 v o uv 0 se conoce tambi´en una primitiva del otro. Por ejemplo, si G es una primitiva de u0 v, entonces uv ° G es una primitiva de uv 0 . El inter´es de este hecho radica en que si f es una funci´on de la cual no sabemos encontrar directamente una primitiva y la expresamos como el producto uv 0 para determinadas u y v, y resulta que de u0 v s´ı conocemos una primitiva, G, entonces uv ° G es una primitiva de f . Se escribe Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) ° u0 (x)v(x) dx.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 10 Cuando f es el producto de dos funciones elegiremos una de ellas como u y la otra como v 0 .
Naturalmente, esta elecci´on se puede hacer de dos maneras distintas y suele suceder que s´olo una es la adecuada, porque la otra complicar´ıa m´as el problema en lugar de resolverlo. Adem´as, de la que se designe v 0 deberemos conocer directamente una primitiva v. Tambi´en aplicaremos la t´ecnica poniendo f = uv 0 , u = f, v 0 = 1.
Ejemplos (a) f (x) = xex .
Si u(x) = x y v 0 (x) = ex , entonces f = uv 0 . Una primitiva de v 0 es v(x) = ex y u0 (x) = 1.
Entonces Z x x xe dx = xe ° Z ex dx = xex ° ex + C = (x ° 1)ex + C.
(b) f (x) = x cos x.
Con u(x) = x y v 0 (x) = cos x, se obtiene u0 (x) = 1 y v(x) = sen x y Z x cos x dx = x sen x ° Z sen x dx = x sen x + cos x + C.
(c) f (x) = ln |x|, (x 6= 0).
Hacemos u(x) = f (x) y v 0 (x) = 1. Resulta u0 (x) = 1/x y v(x) = x, luego Z ln |x| dx = x ln |x| ° Z 1 dx = x ln |x| ° x + C = x(ln |x| ° 1) + C.
(d) f (x) = arcsen x.
p Aqu´ı: u(x) = f (x), v 0 (x) = 1; u0 (x) = 1/ 1 ° x2 , v(x) = x. Luego: Z arcsen x dx = x arcsen x ° Z 1 = x arcsen x + 2 1 = x arcsen x + 2 p Z Z x dx 1 ° x2 p °2x dx 1 ° x2 (1 ° x2 )°1/2 (°2x) dx 1 (1 ° x2 )1/2 · +C 2 1/2 p = x arcsen x + 1 ° x2 + C.
= x arcsen x + Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 11 (e) f (x) = ex cos x.
Aqu´ı: u(x) = ex , v 0 (x) = cos x; u0 (x) = ex , v(x) = sen x. Luego: Z x x e cos x dx = e sen x ° Z ex sen x dx.
(1) Ahora: u(x) = ex , v 0 (x) = sen x; u0 (x) = ex , v(x) = °cos x. Luego: Z e sen x dx = °e cos x + Z ex cos x dx = x x Z ex cos x dx.
(2) De (1) y (2) resulta 1 x e (sen x + cos x) + C.
2 La t´ ecnica de cambio de variable La regla de la cadena proporciona otra herramienta para el c´alculo de primitivas. Si queremos hallar una primitiva de f (x), es u ´til a veces hacer un cambio de variable x = '(t) de tal manera que ' y su inversa '°1 sean derivables. Si podemos encontrar una primitiva G(t) del producto g(t) = f ('(t)) '0 (t) entonces la funci´on F (x) = G('°1 (x)) es una primitiva de f (x), pues utilizando dos veces la regla de la cadena se obtiene F 0 (x) = G0 ('°1 (x)) ('°1 )0 (x) = g('°1 (x)) ('°1 )0 (x) = f (x) '0 ('°1 (x)) ('°1 )0 (x) = f (x) (' ± '°1 )0 (x) = f (x).
Se escribe Z f (x) dx = Z f ('(t)) '0 (t) dt, x = '(t).
Ejemplos (a) f (x) = p 1 ° x2 , x 2 [°1, 1].
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 12 Utilizamos el cambio de variable definido por h º ºi x = '(t) = sen t, t 2 ° , 2 2 t = '°1 (x) = arcsen x, x 2 [°1, 1].
En este caso g(t) = p Una primitiva de esta funci´on es G(t) = 1 ° sen2 t cos t = |cos t| cos t = cos2 t.
1 1 1 t + sen 2t = (t + sen t cos t).
2 4 2 Una primitiva F de f se obtiene poniendo arcsen x en lugar de t p 1 F (x) = (arcsen x + x 1 ° x2 ).
2 As´ı pues Z p 1 ° x2 dx = p 1 (arcsen x + x 1 ° x2 ) + C.
2 p (b) f (x) = x 1 + x, x ∏ °1.
El objetivo es evitar la ra´ız cuadrada, y ello se consigue si 1 + x se convierte en t2 , es decir, el cambio de variable es x = '(t) = t2 ° 1, t ∏ 0 p t = '°1 (x) = 1 + x, x ∏ °1.
Resulta g(t) = (t2 ° 1) |t| 2t = 2t4 ° 2t2 .
Una primitiva G de g es G(t) = 2 5 2 3 t ° t 5 3 y una primitiva F de f es F (x) = As´ı pues Z 2 2 (1 + x)5/2 ° (1 + x)3/2 .
5 3 p 2 2 x 1 + x dx = (1 + x)5/2 ° (1 + x)3/2 + C.
5 3 Primitivas de funciones racionales Una funci´on racional es el cociente de dos funciones polin´omicas P (x)/Q(x). Si el grado de P es mayor o igual que el de Q se hace la divisi´on, obteni´endose un cociente C y un resto R de grado inferior al de Q. Resulta pues que P (x) R(x) = C(x) + .
Q(x) Q(x) Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 13 Nos ocuparemos por tanto de las funciones racionales P (x)/Q(x) tales que el grado de P sea menor que el grado de Q. Consideraremos solamente el caso en que Q(x) se expresa como producto de factores de la forma (x ° a)n donde n 2 N y a 2 R. A cada factor (x ° a)n le asociamos la funci´on n X k=1 Ak , (x ° a)k donde los Ak son n´ umeros reales que se determinar´an despu´es. Finalmente, la funci´on P (x)/Q(x) se identifica con la suma de todas las funciones asociadas a los factores de Q(x). Esta identificaci´on permite determinar de manera u ´nica los coeficientes Ak . Por u ´ltimo, observemos que Z Ak dx = Ak ln |x ° a| + C x°a y, si n > 1, Z Ak Ak dx = (x ° a)1°n + C.
n (x ° a) 1°n Ejemplo x4 ° 3x2 + 1 .
x3 ° 3x ° 2 En primer lugar, efectuando la divisi´on, se obtiene f (x) = x4 ° 3x2 + 1 2x + 1 = x + .
x3 ° 3x ° 2 x3 ° 3x ° 2 Por otra parte x3 ° 3x ° 2 = (x + 1)2 (x ° 2).
Entonces 2x + 1 A B C = + + .
2 ° 3x ° 2 x + 1 (x + 1) x°2 Operando e identificando los numeradores, es x3 2x + 1 = A(x + 1)(x ° 2) + B(x ° 2) + C(x + 1)2 .
Para x = °1 se obtiene °1 = °3B, de donde B = 1/3.
Para x = 2 se obtiene 5 = 9C, de donde C = 5/9.
Para x = 0 se obtiene 1 = °2A ° 2B + C, luego A = °5/9.
Por tanto: Z x4 ° 3x2 + 1 dx = x3 ° 3x ° 2 Z Z 2x + 1 dx ° 3x ° 2 Z Z Z Z °5/9 1/3 5/9 = x dx + dx + dx + dx 2 x+1 (x + 1) x°2 = x dx + x3 1 2 5 1 5 x ° ln |x + 1| ° + ln |x ° 2| + C.
2 9 3(x + 1) 9 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 14 Teorema 4.2.1 (Teorema Fundamental del C´ alculo (primera forma)) Supongamos que existe un conjunto finito E Ω [a, b] y funciones f, F : [a, b] °! R tales que: (a) F es continua en [a, b], (b) F 0 (x) = f (x) para todo x 2 [a, b] \ E, (c) f 2 R[a, b].
Entonces Z a b f = F (b) ° F (a).
Notas Øb Ø (a) Es costumbre designar F (b) ° F (a) por F Ø .
a (b) Los puntos de E suelen llamarse puntos excepcionales; son puntos c donde F 0 (c) no existe, o bien donde F 0 (c) no es igual a f (c).
Ejemplos (a) Si F (x) = 12 x2 para todo x 2 [a, b], entonces F 0 (x) = x para todo x 2 [a, b]. Adem´as f = F 0 es continua, luego f 2 R[a, b]. Por tanto, el Teorema Fundamental (con E = ;) implica Z b 1 x dx = F (b) ° F (a) = (b2 ° a2 ).
2 a (b) Si G(x) = arctg x para x 2 [a, b], entonces G0 (x) = 1/(1 + x2 ) para todo x 2 [a, b]; G0 es continua, luego est´a en R[a, b]. El Teorema Fundamental (con E = ;) implica Z a b 1 dx = arctg b ° arctg a.
1 + x2 (c) Sea a > 0. Si A(x) = |x| para x 2 [°a, a], entonces A0 (x) = °1 si x 2 [°a, 0) y A0 (x) = 1 si x 2 (0, a]. As´ı pues A0 (x) = sgn(x) para x 2 [°a, a] \ {0}. Como la funci´on signo definida en [°a, a] es una funci´on escalonada, est´a en R[°a, a]. El Teorema Fundamental (con E = {0}) implica Z a °a sgn(x) dx = A(a) ° A(°a) = a ° a = 0.
Definici´ on 4.2.1 Si f 2 R[a, b], entonces la funci´on definida por Z x F (x) = f para x 2 [a, b] a recibe el nombre de integral indefinida de f con punto base a.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara (3) 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 15 En general, si f 2 R[a, b] y c 2 [a, b], la funci´on definida por Z x Fc (x) = f para x 2 [a, b] c se llama integral indefinida de f con punto base c. ¿Qu´e relaci´on existe entre Fa y Fc ? Se tiene µ Z x ∂ Z x Z x Z c Z c Fa (x) + (°Fc (x)) = f+ ° f = f+ f= f.
a c Por tanto, Fc = Fa ° a Z x a c f.
a Teorema 4.2.2 La integral indefinida F , definida por (3), es continua en [a, b]. De hecho, si |f (z)| ∑ M para todo z 2 [a, b], entonces |F (x) ° F (y)| ∑ M |x ° y| para todos x, y 2 [a, b].
Teorema 4.2.3 (Teorema Fundamental del C´ alculo (segunda forma)) Sea f 2 R[a, b] y supongamos que f es continua en un punto c 2 [a, b]. Entonces la integral indefinida F , definida por (3), es derivable en c y F 0 (c) = f (c).
Teorema 4.2.4 Si f es continua en [a, b], entonces la integral indefinida F , definida por (3), es derivable en [a, b] y F 0 (x) = f (x) para todo x 2 [a, b].
El teorema 4.2.4 puede resumirse as´ı: Si f es continua en [a, b], entonces la integral indefinida F , definida por (3), es una primitiva de f .
Veamos ahora que, en general, la funci´on definida por (3) no tiene por qu´e ser una primitiva.
Ejemplo Si f (x) = sgn(x) en [°1, 1], entonces f 2 R[°1, 1] y tiene la integral indefinida F (x) = |x| ° 1 con punto base °1. En efecto: Si °1 ∑ x < 0 Z F (x) = x °1 Si 0 ∑ x ∑ 1 F (x) = Z x °1 sgn(t) dt = Z sgn(t) dt = (°1)(x ° (°1)) = °x ° 1.
0 °1 sgn(t) dt + Z 0 x sgn(t) dt = (°1) · 1 + 1 · (x ° 0) = x ° 1.
Como F 0 (0) no existe, F no es una primitiva de f en [°1, 1].
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.2. El Teorema Fundamental del C´alculo 16 Las f´ormulas de los dos teoremas siguientes proporcionan m´etodos de extraordinaria importancia para calcular integrales.
Teorema 4.2.5 (Integraci´ on por partes) Sean u, v derivables en [a, b] y tales que u0 , v 0 2 R[a, b].
Entonces Z b Øb Z b Ø 0 uv = uv Ø ° u0 v.
a a a Un caso especial u ´til de este teorema es aquel en que u0 , v 0 son continuas en [a, b] y u, v son sus integrales indefinidas Z x Z x 0 u(x) = u, v(x) = v0.
a a Teorema 4.2.6 (Integraci´ on mediante cambio de variable) Sea J un intervalo cerrado con extremos Æ y Ø, y supongamos que ' : J °! R tiene derivada continua en J. Si f : I °! R es continua en un intervalo I que contiene a '(J), entonces Z '(Ø) Z Ø f (x) dx = f ('(t)) '0 (t) dt.
'(Æ) Æ En la pr´actica, se supondr´a adem´as ' estrictamente mon´otona.
Ejemplos (1) Queremos calcular Z 0 Consideremos el cambio de variable 1 p 1 ° x2 dx.
x = '(t) = sen t, t 2 [0, º/2].
Entonces Z 0 1 Z p 2 1 ° x dx = 0 º/2 |cos t| cos t dt = Z º/2 2 cos t dt = 0 µ ∂Øغ/2 1 1 º Ø = t + sen 2t Ø = .
Ø 2 4 4 Z 0 º/2 1 + cos 2t dt 2 0 R 1 1°ex (2) Ahora nuestro objetivo es calcular 0 1+e °x dx. Mediante el cambio de variable x = '(t) = ln t, t 2 [1, e], se obtiene Z 1 Z e Z e 1 ° ex 1°t 1 1°t dx = · dt = dt °x 0 1+e 1 1 + 1/t t 1 1+t ∂ Z eµ 2 1+e = ° 1 dt = 2 ln ° e + 1.
1+t 2 1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.3. Ejercicios 17 R º x sen x (3) Para calcular 0 1+cos 2 x dx, consideramos el cambio de variable x = '(t) = º ° t, t 2 [0, º].
Se tiene Z º Z 0 Z º Z º x sen x (º ° t) sen t º sen t t sen t I= dx = ° dt = dt ° dt, 2 2 2 2 1 + cos t 0 1 + cos x º 0 1 + cos t 0 1 + cos t de donde غ Ø sen t Ø = °º[arctg(°1) ° arctg 1] 2I = º dt = °º arctg(cos t) Ø 2 0 1 + cos t 0 ≥ º º ¥ º2 = °º ° ° = , 4 4 2 2 y, por tanto, I = º /4.
4.3.
Z º Ejercicios Los ejercicios se˜ nalados en rojo proporcionan resultados importantes que complementan la teor´ıa.
1. Calcula las primitivas de las siguientes funciones: ex (1) f (x) = , 4 + 9e2x (11) f (x) = x2 x , +x+1 1 (2) f (x) = p , 2x ° x2 1 + ln3 x (12) f (x) = , x(ln2 x ° ln x) (3) f (x) = tg3 x , (13) f (x) = 2 arctg x , x2 3x + 5 , ° x2 ° x + 1 (4) f (x) = x3 e°x , (14) f (x) = (5) f (x) = x2 sen x , (15) f (x) = p 3 (6) f (x) = sec x , xearcsen x (16) f (x) = p , 1 ° x2 (7) f (x) = p 1 p , x+ 3x 1 (8) f (x) = p , x ln x ° ln2 x (9) f (x) = x2 arctg x , 1 + x2 (10) f (x) = eax sen bx, g(x) = eax cos bx , x3 x2 , 1 + 2x p (17) f (x) = x cos x , (18) f (x) = cos(ln x) , 1 , 1 + ex r x°1 1 (20) f (x) = · .
x + 1 x2 (19) f (x) = p Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.3. Ejercicios 18 2. Calcula las siguientes integrales: Z 1 p (1) x2 1 ° x2 dx , (6) (2) e2 3 ln x dx , (7) 1 (3) Z (4) 3 2 4 2 (5) Z Z p |x| + x dx , 2 p x ln x dx , 1 1 dx , (1 + x2 )2 1 °2 Z 1 °1 0 Z Z |1 ° x | dx , p (8) 0 x2 ° 4 dx , x (9) Z º/2 cos x ln(sen x) dx , º/4 2 °2 Z x|x ° 1| dx , (10) Z 2º 0 |sen x ° cos x| dx .
3. Halla el ´area de la regi´on limitada por las curvas siguientes: (1) y = °x2 + 3x, y = 2x3 ° x2 ° 5x, p (2) y = |x| , 5y = x + 6, (3) y 2 = x, y = x ° 2.
4. Calcula los siguientes l´ımites: p p p n n e + e2 + · · · + n en (1) l´ım , n!1 n µ ∂ 1 1 (2) l´ım + ··· + , n!1 n+1 2n n X 1 (3) l´ım n , 2 n!1 n + k2 k=1 µ ∂ n°1 1 X 2 kº 2 (4) l´ım 3 k sen , n!1 n n k=1 1 (5) l´ım n!1 n (6) l´ım n!1 µ a 2a na sen + sen + · · · + sen n n n n X ln(n2 + k 2 ) ° 2 ln n n k=1 ∂ , a 6= 0, , n°1 1 Xp (7) l´ım 2 k(n ° k) , n!1 n k=1 sµ ∂µ ∂ µ ∂ 1 4 n2 2n (8) l´ım 1+ 2 1 + 2 ··· 1 + 2 .
n!1 n n n 5. Propiedad de traslaci´ on. Sea f 2 R[a, b] y c 2 R. Se define g : [a + c, b + c] °! R por R b+c Rb g(x) = f (x ° c). Demuestra que g 2 R[a + c, b + c] y que a+c g = a f .
6. Propiedad de dilataci´on o contracci´ on. Sea f 2 R[a, b], k un n´ umero real ° ¢distinto de cero e I el intervalo cerrado de extremos ka y kb. Se define g : I °! R por g(x) = f xk . Demuestra que g es R kb Rb integrable en I y que k1 ka g = a f .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.3. Ejercicios 19 7. Sea a > 0 y f 2 R[°a, a].
(1) Si f es par, demuestra que Ra °a (2) Si f es impar, demuestra que f =2 Ra °a Ra f.
0 f = 0.
8. Calcula la integral siguiente: Z º 0 sen x dx.
2 ° |cos x| ° sen2 x 9. Demuestra que si f es continua en [a, b], entonces Z b f (x) dx = a Z b f (a + b ° x) dx.
a 10. Sea f : [a, b] °! R una funci´on continua tal que f (x) ∏ 0 para todo x 2 [a, b]. Demuestra que Rb si a f (x) dx = 0, entonces f es la funci´on id´enticamente nula en [a, b].
11. Sea f una funci´on continua en [0, 1]. Demuestra que Z º Z º º xf (sen x) dx = f (sen x) dx.
2 0 0 Utiliza esta igualdad para calcular Z º 0 x sen2n x dx, n 2 N.
sen2n x + cos2n x 12. Demuestra que si f es continua en [a, b] y g es integrable en [a, b] con g(x) ∏ 0 para todo x 2 [a, b], entonces existe c 2 [a, b] tal que Z b f (x)g(x) dx = f (c) a Z b g(x) dx.
a 13. Sean f, g 2 R[a, b]. Demuestra la desigualdad de Bunyakovskii-Schwarz µZ b f (x)g(x) dx a ∂2 ∑ Z b 2 f (x) dx a Z b g 2 (x) dx.
a Demuestra que si adem´as f y g son continuas, la igualdad se da si, y s´olo si, f = ∏g para alg´ un ∏ 2 R.
14. Demuestra que si f 2 R[a, b], entonces µZ a b f (x) sen x dx ∂2 + µZ a b f (x) cos x dx ∂2 ∑ (b ° a) Z Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara a b f 2 (x) dx.
4.3. Ejercicios 20 15. Demuestra que si f 2 R[a, b] y toma valores positivos, entonces Z b Z b dx 2 (b ° a) ∑ f (x) dx .
a a f (x) Adem´as, si m y M son constantes reales tales que 0 < m ∑ f (x) ∑ M para x 2 [a, b], entonces Z b Z b dx (m + M )2 f (x) dx ∑ (b ° a)2 .
f (x) 4mM a a 16. Sean f, g 2 R[a, b] tales que m1 ∑ f (x) ∑ M1 y m2 ∑ g(x) ∑ M2 , x 2 [a, b], donde m1 , M1 , m2 y M2 son constantes reales dadas. Demuestra la desigualdad de Gr¨ uss Ø Ø Z b Z b Z b Ø 1 Ø 1 1 Ø f (x)g(x) dx ° f (x) dx g(x) dxØØ ∑ (M1 ° m1 )(M2 ° m2 ).
Øb ° a 2 (b ° a) a 4 a a El factor 1 4 no puede reemplazarse por una constante m´as peque˜ na.
17. Sean x e y n´ umeros reales tales que 0 < y ∑ x. Demuestra que µ ∂ µ ∂ 1 1 x(y + 1) (x ° y) ln 1 + ln 1 + ∑ ln .
x y y(x + 1) 18. Desigualdad de Hermite-Hadamard. Demuestra que si la funci´on f : [a, b] °! R es convexa, entonces µ ∂ Z b a+b 1 f (a) + f (b) f ∑ f (x) dx ∑ .
2 b°a a 2 19. Sean x e y n´ umeros reales positivos distintos y A, G, L sus medias aritm´etica, geom´etrica y logar´ıtmica respectivamente, es decir A= x+y , 2 G= p xy , L= y°x .
ln y ° ln x Demuestra que AL < GA si x, y ∏ e3/2 y AL > GA si x, y ∑ e3/2 .
20. Supongamos que f 2 R[a, b] y m ∑ f (x) ∑ M . Demuestra que si ' es continua y convexa en [m, M ], entonces µ ∂ Z b Z b 1 1 ' f (x) dx ∑ '(f (x)) dx.
b°a a b°a a Esta desigualdad se llama desigualdad de Jensen.
21. Sea f 2 R[0, 1] y |f (x)| ∑ 1, x 2 [0, 1]. Demuestra que s µZ 1 ∂2 Z 1p 2 1 ° f (x) dx ∑ 1 ° f (x) dx .
0 0 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 4.3. Ejercicios 21 Rb 22. Sea a > 0 y f : [a, b] °! R continua tal que a f (x) dx = 0. Demuestra que existe µ 2 (a, b) tal que Z µ f (x) dx = µf (µ).
a 23. Calcula µ Z l´ım x x!0 0 x ∂ µZ e dt · t2 x t2 e sen t dt 0 ∂°1 .
24. Calcula la derivada de las siguientes funciones: √Z 2 !3 √Z 2 ! x x 1 1 (a) F (x) = dt , (c) F (x) = sen dt , 1 + sen2 t 1 + sen2 t a a R 2 Z a Z x 1 2 dt b 1+t 1 1 (b) F (x) = dt , (d) F (x) = dt.
2 1 + sen2 t sen(x3 ) 1 + sen t a 25.1. Sean f, g y h funciones derivables y ' una funci´on continua, definidas en R. Si Z F (x) = g(x) h(x)'(t) dt , f (x) calcula F 0 (x).
25.2. Calcula la derivada de la siguiente funci´on: Z cos x G(x) = (1 + xt2 ) dt.
sen x 26. Halla los extremos relativos de la funci´on f : (0, +1) °! R definida por Z f (x) = x2 sen t esen t dt.
0 27. Sea f : R °! R definida por f (x) = Z 2x x p 1 dt.
t4 + t2 + 1 Demuestra que f es impar y que l´ım f (x) = 0.
x!+1 Obt´en los extremos relativos de f . ¿Son absolutos? Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara ...

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