Resumen T2 Trans. Fourier (2014)

Resumen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Senyals i sistemes -SIS
Año del apunte 2014
Páginas 5
Fecha de subida 20/11/2014
Descargas 34
Subido por

Vista previa del texto

Carlos Angulo SIS T2 Trans. Fourier T2. Trans. Fourier 𝑒 𝑠𝑡 𝑒 𝑠𝑡 𝐻(𝑆) SLI ∞ S continu i complex 𝒔 = 𝝈 + 𝒋𝟐𝝅𝒇 ℎ 𝜏 𝑒 −𝑠𝜏 𝑑𝜏 𝐻 𝑠 = Transformada de la Place ∞ ∞ S continu i imaginari 𝐻 𝑠 = 2𝜋 ℎ 𝜏 𝑒 − 𝜏 𝑑𝜏 Transformada de Fourier ∞ 2.1 Series de Fourier TF de Senyals periòdics 1 𝑓0 = 𝑇0 període ∞ Sèrie de Fourier 𝐶𝑛 𝑒 +𝑗2𝜋𝑛 𝑓0 𝑡 𝑥 𝑡 = Domini temporal 𝒇→𝒕 𝑛 no és la de discrets 𝑓0 , 𝑇0 freq, període Domini freqüencial 𝒕→𝒇 Si desplacem 𝑥(𝑡) la seva TF tindrà • La mateixa amplitud • Diferent fase 𝑛=−∞ 1 𝐶𝑛 = 𝑇0 Coeficient de Fourier • • • • 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 𝑑𝑡 <𝑇𝑜 > Només pot dependre de 𝒏 NO pot dependre de 𝑻, 𝒕, 𝒇𝟎 (Quan integrem no poden quedar al resultat) Hem d’intentar desenvolupar 𝐶𝑛 fins convertir-la en alguna senyal coneguda Els representem en freqüència donant valors a la 𝑛 i generant deltes amb amplitud en funció de 𝐶𝑛 Tº de Parseval 1 𝑃𝑥 = 𝑇0 𝑃𝑥 potencia mitjana d’un senyal periòdic ∞ 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑐𝑛 <𝑇0 > 𝑛=−∞ dom temps dom freq.
2 Senyal periòdic Tenim un senyal bàsic 𝑥𝑏 (𝑡) que repetim ∞ 𝑥 𝑡 = ∞ 𝑘=−∞ = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑐𝑛 𝑒 𝑗2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 𝑥𝑏 𝑡 − 𝑘𝑇0 = Fourier 𝑛=−∞ 1 𝑐𝑛 = 𝑇0 𝑇0 2 𝑇 − 0 2 𝑥𝑏 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 𝑑𝑡 Qualsevol senyal que tingui la T. Fourier per deltes és periòdic en temps • Hem d’identificar el patró de repetició • 𝑓0 = 𝑚𝑐𝑑 𝑓 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑐𝑠 ⇒ ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟‼‼ • 𝑓0 𝑁𝑂 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 → 𝑥 𝑡 𝑁𝑂 periòdic Resumen SIS T2 Trans. Fourier 1 Carlos Angulo SIS T2 Trans. Fourier 2.2 Transformada de Fourier • • Senyals NO periòdics Un senyal no periòdic el podem imaginar com un senyal periòdic on 𝑇0 → ∞ En el domini de freqüencial hi haurà tanta densitat de 𝛿 que la variable f passa a ser continua 𝑇0 → ∞ Domini freqüencial 𝐶𝑛 = 1 𝑇0 Domini freqüencial Ara és continua 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓0 𝑡 𝑑𝑡 ∞ <𝑇𝑜 > −∞ Ens passa de 𝑡 → 𝑓 Domini temporal Domini temporal ∞ Ara és una integral ∞ 𝐶𝑛 𝑒 +𝑗2𝜋𝑛 𝑓0 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑋 𝑓 = 𝑥 𝑡 = −∞ Ens passa de f → 𝑡 𝑛=−∞ Tº de Parseval (de senyals no periòdics) 𝑋 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 ∞ Transformada de Fourier 𝒕→𝒇 𝑋 𝑓 = Transformada Inversa de Fourier 𝒕←𝒇 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 −∞ ∞ ∞ 𝐸𝑥 = 𝑋 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 −∞ ∞ 𝑥 𝑡 2 𝑑𝑡 = −∞ 𝑋 𝑓 2 𝑑𝑓 −∞ dom temps dom freq.
A 𝑋 𝑓 2 se li diu Densitat Espectral de Potencia del senyal 𝑥(𝑡) Indica com esta distribuïda al potencia Espectralment Propietats de la transformada de Fourier 𝑿(𝒇) Hermètic • Linealitat • Simetries 𝑇𝐹 𝛼𝑥1 𝑡 + 𝛽𝑥2 𝑡 𝑋 𝑓 = 𝑋 ∗ −𝑓 ↔ = 𝛼𝑋1 𝑓 + 𝛽𝑋2 (𝐹) 𝑥 𝑡 parell → 𝑋 𝑓 parell 𝑥 𝑡 imparell → 𝑋 𝑓 imparell 𝑥 𝑡 és real → 𝑋 𝑓 és hermètic 𝑥 𝑡 és real i parell → 𝑋 𝑓 real i parell 𝑥 𝑡 és real i imparell → 𝑋 𝑓 imaginari pur i imparell • Desplaçament temporal • Escalat • Limitació temporal, enfinestrament • Convolució 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 → 𝑋 𝑓 · 𝐻(𝑓) • Multiplexació 𝑥 𝑡 · ℎ 𝑡 → 𝑋 𝑓 ∗ 𝐻(𝑓) • Derivació 𝑑 𝑥 𝑡 → 𝑗2𝜋𝑓 𝑋 𝑓 𝑑𝑡 𝑑 −𝑗2𝜋𝑡 𝑥 𝑡 → 𝑋(𝑓) 𝑑𝑓 • Dualitat 𝑥 𝑡 →𝑋 𝑓 𝑋 𝑡 → 𝑥(−𝑓) 𝑥 𝑡 − 𝑡0 → 𝑋 𝑓 · 𝑒 −𝑗2 𝜋𝑓𝑡0 𝑥 𝑎𝑡 → 1 𝑓 𝑋 𝑎 𝑎 |𝑋 𝑓 = 𝑋 −𝑓 ∠𝑋 𝑓 = −∠𝑋 ∗ (𝑓) Quan limitem en el domini del temps una funció mitjançant un pols rectangular (finestra) 𝑥 𝑡 ·⊓ 𝑡 𝑇 𝑋 𝑓 ∗ 𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑇) Cas particular Acos(2𝜋𝑓0 𝑡) ·⊓ 𝑡 𝑇 𝐴 𝛿 𝑓 − 𝑓0 + 𝛿 𝑓 + 𝑓0 2 ∗ 𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐 𝑓𝑇 = 𝐴𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐 𝑇 𝑓 − 𝑓0 2 + 𝑆𝑖𝑛𝑐 𝑇 𝑓 + 𝑓0 Dos Sinc’s desplaçades Resumen SIS T2 Trans. Fourier 2 Carlos Angulo SIS T2 Trans. Fourier Temps Taula Transformades 𝑋 𝑓 = Transformada Inversa de Fourier 𝒕←𝒇 𝑥 𝑡 = Freqüència 𝑥 𝑡 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 −∞ ∞ 𝑋 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 −∞ Temps Freqüència 𝛿(𝑡) 1 𝑢(𝑡) 1 1 + 𝛿(𝑓) 𝑗2𝜋𝑓 2 𝛿(𝑡 ∓ 𝑡0 ) 𝑒 ∓𝑗2𝜋𝑓𝑡0 𝑠𝑖𝑛𝑔(𝑡) 1 𝑗𝜋𝑓 𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 𝛿(𝑓 ∓ 𝑓0 ) 1 𝜋𝑡 −𝑗 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑓) 𝐴 cos(2𝜋𝑓0 𝑡) 𝐴 𝛿 𝑓 − 𝑓0 + 𝛿 𝑓 + 𝑓0 2 𝐴 cos 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃0 𝐴 𝑗𝜃 𝑒 0 𝛿 𝑓 − 𝑓0 + 𝑒 −𝑗𝜃0 𝛿 𝑓 + 𝑓0 2 𝐴 sin(2𝜋𝑓0 𝑡) 𝐴 𝛿 𝑓 − 𝑓0 − 𝛿 𝑓 + 𝑓0 2𝑗 𝐴 sin(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃0 ) 𝐴 𝑗𝜃 𝑒 0 𝛿 𝑓 − 𝑓0 − 𝑒 −𝑗𝜃0 𝛿 𝑓 + 𝑓0 2𝑗 𝑥(𝑡) cos(2𝜋𝑓0 𝑡) 1 𝑥 𝑓 − 𝑓0 + 𝑥 𝑓 + 𝑓0 2 𝑥(𝑡) sin(2𝜋𝑓0 𝑡) 1 𝑥 𝑓 − 𝑓0 − 𝑥 𝑓 + 𝑓0 2𝑗 ⊓ 𝑡 𝑇 𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑇) 1 𝑡 ⊓ 𝑇 𝑇 𝑡 ∧ 𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐 𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐 2 (𝑓𝑇) 𝑒 𝛼𝑡 𝑢 −𝑡 𝛼>0 1 𝛼 + 𝑗2𝜋𝑓 Per calculat la TF hem d’adaptar les funcions a les que coneixem per tal de poder fer servit la taula 𝑡 𝑡 𝑡 =⊓ ∗⊓ 𝑇 𝑇 𝑇 Trans. tren de deltes 𝑇 ⊓ 𝑓𝑇 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇0 ) 1 𝑇0 ⊓ 𝑓𝑇 𝑇 ∧ 𝑓𝑇 1 𝛼 − 𝑗2𝜋𝑓 ∞ 𝑋 𝐹 = 𝑓0 𝑛=−∞ 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓0 ) 𝑛=−∞ TF d’una senyal periòdic ∞ 𝑥 𝑡 = ∞ 𝑥𝑏 𝑡 − 𝑛𝑇0 = 𝑥𝑏 𝑡 ∗ 𝑛−∞ Àrees 𝑓0 = ∞ 𝑥 𝑡 = 𝑡 𝑇 1 𝑡 𝑆𝑖𝑛𝑐 𝑇 𝑇 𝑡 𝑆𝑖𝑛𝑐 2 𝑇 𝑆𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑇) 𝑒 −𝛼𝑡 𝑢 𝑡 𝛼>0 ∧ ∞ Transformada de Fourier 𝒕→𝒇 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇0 ) 𝑋 𝑓 = 𝑋𝑏 𝑓 · 𝑛=−∞ 1 𝑇0 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 −∞ ∞ 𝑥 0 = 𝑋(𝑓) 𝑑𝑡 −∞ 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓0 ) 𝑛=−∞ 𝑐𝑛 = ∞ 𝑋 0 = ∞ TF d’una senyal periòdic Resumen SIS 1 𝑛 𝑋 𝑇0 𝑏 𝑇0 ∞ 𝑋 𝑓 = 𝑐𝑛 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓0 ) 𝑛=−∞ 3 Carlos Angulo SIS T2 Trans. Fourier 2.3 SIS LI en dom f Un sis. LTI permet trobar la sortida en funció d’un c.l. i desplaçaments en el temps de la resposta del sistema a un senyal bàsic conegut Llavors qualsevol senyal s’expressa com ∞ 𝑇{·} 𝛿 (𝑡) 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 = ℎ 𝑡 = 𝑇{𝛿 𝑡 } 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 −∞ ∞ 𝛿 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 −∞ En Fourier ∞ ℎ 𝑡 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐻 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 ℎ 𝜏 𝑒 𝑗2𝜋𝑓(𝑡−𝜏) 𝑑𝜏 𝑦 𝑡 = −∞ Delta en 𝑓 ∞ 𝑦 𝑡 =𝑇 𝑥 𝑡 ∞ 𝑋(𝑓) 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = =𝑇 ∞ 𝑋(𝑓) 𝑇 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = −∞ −∞ ∞ 𝑋 𝑓 𝐻 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = −∞ 𝑌 𝑓 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 −∞ Filtres Treballem en 𝑓 • • • • Passabaix Passalt Passabanda Banda-eliminada ⊓ 𝑓 𝐵 𝑇𝐹 −1 𝐵𝑆𝑖𝑛𝑐 𝐵𝑡 Filtrem amb un pols rectangular centrat segons on convingui Si la senyal es simètricael filtre també Sistemes En el temps 𝑥(𝑡) En freq.
𝑦(𝑡) ℎ 𝑡 𝑋(𝑓) 𝑌(𝑓) 𝐻(𝑓) 𝑇𝐹 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦(𝑡) 𝑌 𝑓 = 𝑋 𝑓 · 𝐻(𝑓) 𝑇𝐹 −1 Conexió en cascades de sistemes LTI 𝐻1 (𝑓) 𝐻2 (𝑓) 𝐻𝑒𝑞 𝑓 = 𝐻1 𝑓 · 𝐻2 𝑓 𝑇𝐹 −1 ℎ𝑒𝑞 𝑡 = ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 (𝑡) 𝐻𝑒𝑞 (𝑓) Cas particular 𝑥 𝑡 = 𝐴0 cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑0 ) TF 𝑋 𝑓 = * 𝐴0 𝑗𝜑 𝑒 0 𝛿 𝑓 − 𝑓0 + 𝑒 −𝑗𝜑0 𝛿(𝑓 + 𝑓0 ) 2 · 𝐻 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑒 𝑗∠𝐻 ℎ 𝑡 =? ? ? 𝑓 = = 𝑇𝐹 −1 𝑦 𝑡 = 𝐴0 𝐻 𝑓0 cos 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑0 + ∠𝐻 𝑓0 𝑌 𝑓 = 𝐴0 𝐻 𝑓 − 𝑓0 𝑒 𝑗∠𝐻 2 Resumen SIS T2 Trans. Fourier 𝑓−𝑓0 + 𝐻 𝑓 + 𝑓0 𝑒 𝑗∠𝐻 𝑓+𝑓0 4 Carlos Angulo SIS T2 Trans. Fourier Sistemes i filtres bàsics Esquema Sortida Resposta impulsional 𝐻 𝑓 = 𝑢 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑢 −𝑓 − 𝑓𝑐 Filtre Passa-altes Filtre Passa-baixes 𝐻 𝑓 =⊓ Modulador 𝑥(𝑡) 𝑌 𝑓 = X 𝑦(𝑡) 𝑓 2𝑓𝑐 𝐴 𝑋 𝑓 − 𝑓0 + 𝑋 𝑓 + 𝑓0 2 𝐴 cos(2𝜋𝑓0 𝑡) Desmodulador 𝑥(𝑡) X F.Pass-Baix 𝑋(𝑡) 𝐴 cos(2𝜋𝑓0 𝑡) Resumen SIS 5 ...

Tags: