Examen Final Primavera 2012 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Introducción a las Comunicaciones
Año del apunte 2014
Páginas 12
Fecha de subida 08/04/2015
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ICOM.  18-­‐06-­‐2012     Examen  Final     Notas  Provisionales:  26-­‐06-­‐2012   Fecha  límite  alegaciones:  28-­‐06-­‐2012     Dept.  Teoria  del  Senyal  i  Comunicacions     Normas  para  la  realización  del  examen   • Entregar  los  problemas  por  separado.   • Se  prohibe  el  uso  de  teléfonos  móviles  y  calculadoras.   • Tener  visible  un  documento  de  identidad  con  fotografía.   • Presentación  de  alegaciones  a  través  de  la  Intranet  de  la  ETSETB.       Nombre:                                   Ejercicio  1  (50%).-­‐  Considere  la  señal  digital  offset  QPSK   +" +" n=!" n=!" s(t) = Ac # ai [n] p(t ! nT ) cos ( 2$ fC t ) ! Ac # aq [n] p(t ! nT ! T / 2) sin ( 2$ fC t ) donde  los  símbolos  se  corresponden  con  la  siguiente  constelación  quaternaria       b[k] b[k + 1] ai [n] aq [n] 0 0 A 2 A 0 1 A 2 !A 2 1 1 !A 2 !A 2 1 0 !A 2 A 2 2   y  la  secuencia   b[k]  son  bits  equiprobables  e  incorrelados  entre  sí.  Note  que   ai [n]  está  controlado  por   b[2n] ,  y   aq [n]  por   b[2n + 1] .  El  pulso  utilizado  es  un  pulso  rectangular  de  energía  unitaria  y  duración   el  periodo  de  símbolo  T.     a) Halle  el  equivalente  paso  bajo   bS (t)  de  la  señal  s(t).  Haga  un  dibujo  de  la  componente  en  fase  y   de  la  componente  en  cuadratura  para  la  secuencia  de  bits  b[k]=000110.   b) Halle  y  dibuje  la  densidad  espectral  de  potencia   SS ( f )  de  la  señal   s(t) .       La   señal   s(t)  se   transmite   por   un   canal   cuya   función   de   transferencia   es   H C ( f ) = j ! sign( f ) .   A   la   salida   de   éste   se   tiene   un   ruido   w(t)  aditivo   estacionario,   independiente   de   la   señal   transmitida,   de   media  nula,  y  blanco  con  densidad  espectral  de  potencia   SW ( f ) = N 0 2 .       c) Halle   el   equivalente   paso   bajo   de   la   señal   sin   ruido   a   la   salida   del   canal,   bSR (t) ,   siendo   sR (t) = s(t)* hc (t) .                 1   Suponga  el  receptor  y  detector  es  el  de  la  siguiente  figura   tki = kT w(t) ! sR (t) !"1$3,'' ! !"#$%&$' H( f ) 2 p(!t) BT / 2 yi (t) yi [k] ()*)+*,-' &)'' ./01,2,' ~ 2 cos(2! fRt + " R ) ! ˆ a[k] 2 !"1$3,'' ! p(!t) BT / 2 yq (t) yq [k] tkq = kT + T / 2   El   filtro   paso   banda   tiene   la   siguiente   función   de   transferencia,   y   BT  es  el   ancho   de  banda   aproximado   de  la  señal  transmitida.  El  filtro   H ( f )  tiene  una  banda  de  paso  y  bandas  de  transición  asimétricas  de   valor   B1 , B2 ! BT  .  Puede  suponer  que  este  filtro  deja  pasar  la  señal  útil  sin  apenas  distorsionarla,  y   filtra  el  ruido.     H( f ) 2 BT 1 B1 fC B2   d) Indique   el   valor   de   f R y ! R  para   que   el   demodulador   coherente   IQ   recupere   correctamente   la   componente  en  fase  y  cuadratura  de  la  señal  transmitida.       Indique  la  señal  a  la  salida  de  la  rama  superior  e  inferior  del  demodulador  IQ,  identificando  la   parte  de  señal  útil  y  la  de  ruido.  Halle  la  densidad  espectral  de  las  señales  de  ruido  en  cada  rama,   denotadas  por   in (t)  y   qn (t) ,  así  como  la  densidad  espectral  cruzada  entre  ambas  señales.     e) Halle   las   expresiones   de   las   señales   a   la   salida   de   los   filtros   adaptados   de   la   rama   superior   e   inferior,   yi (t)  y   yq (t) .   Halle   la   densidad   espectral   de   las   señales   de   ruido   en   estos   puntos,   denotadas  por   inD (t)  y   qnD (t) ,  así  como  la  densidad  espectral  cruzada  entre  ambas  señales.   f)   ¿Qué  valor  de   yi [k]  y   yq [k]  se  obtiene  en  cada  rama  tras  muestrear?     Compruebe   si   se   cumple   o   no   que   la   variable   aleatoria   y = yi [k] + j yq [k]  condicionada   al   símbolo  transmitido  es  circularmente  simétrica,  es  decir,  si   ( E " y ! my # )( y ! m ) y           2   a[k]$ = 0   % Ejercicio   2   (50%).-­‐   En   este   ejercicio   se   va   a   analizar   una   modulación   QAM   de   M=16   símbolos   no   equidistantes  en  la  cual  los  4  bits  que  determinan  cada  símbolo  cumplen  la  siguiente  característica:     El  primer  y  el  tercer  bit   se  hallan  más  protegidos  frente  al  ruido  que  el  segundo  y  el  cuarto  bit   ,     debido  a  que    transmiten  información  considerada  de  mayor  relevancia  que  la  que  se  envía  por   .   A  continuación  se  define  la  modulación  paso-­‐banda  digital  correspondiente:         Los  bits  a  codificar  son  equiprobables  e  independientes  y  se  producen  a  una  velocidad  de   .  El  pulso    es  un  pulso  root  raised  cosine  de  15%  rolloff  y  energía   La  tabla  de  codificación  de  símbolo  se  muestra  a  continuación  donde               00   01   11   10                   00   01   11   10     A  todos  los  efectos  considere  un  canal  ideal  (   :           )  y  señal  de  ruido  aditivo  blanco  Gaussiano    de  densidad  espectral  de  potencia   S w ( f ) = N 0 2 .     a) Escriba   la   expresión   de    en   función   de    y   de    y   halle   su   ancho   de   banda   medido  en  KHz.     b) Dibuje   el   espacio   de   señal   o   constelación   y   calcule   la   energía   promedio   símbolo   promedio  bit   y   la   energía   .     c) Demuestre   que   la   energía   obtenida    se   puede   expresar   en   función   de   donde    corresponde  a  la  energía  de  una  modulación  QPSK  cuyos  símbolos  son  de  amplitud   .  Relacione  el  par  de  bits  de  la  agrupación   término   correspondiente  a  cada     comentando   como   influyen   en   la   codificación.     (NOTA:   Si   lo   prefiere   puede   resolver  este  apartado  c  entre  los  apartados  f  y  g)   3   Se  utiliza  un  receptor  como  el  de  la  figura  en  la  que  el  demodulador  I&Q  se  halla  perfectamente   sincronizado  con  la  portadora  de  las  señal  transmitida.           d) Proporcione  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  (fdp)  de  cada  uno  de  los  términos  de   ruido  ( ni !" k #$ ,nq !" k #$ )  presente  en  cada  una  de  las  muestras  de  señal   .       e) Dé  la  expresión  de  la  fdp  de  la  muestra  de  señal  compleja   de  las  variables    (coincide  con  la  fdp  conjunta   )  condicionada  por  el  símbolo  asociado  a     A  partir  de  este  punto  considere  que  la  energía  del  pulso  es  igual  a  1:   .           f) Dibuje  sobre  el  espacio  de  señal  recibida  las  16  zonas  de  decisión  sabiendo  que  se  decide  con  el   criterio  de  mínima  distancia   y  halle  la  probabilidad  de  error  al  transmitir  el   símbolo   asociado   a    a   la   que   denominaremos   .   En   este   cálculo   puede  suponer  que  todos  los  productos  entre  dos  funciones  de  tipo  Q(.)  son  igual  a  cero.     g) Exprese   en  función  de  los  parámetros   .  A  partir  de  la  expresión  obtenida   compare  la  probabilidad  de  error  de  los  bits    respecto  a  la  de  los  bits                   FORMULARIO:     SS ( f ) = ( ma r ) 2 +# $ P(kr) 2 ! ( f " kr) + % a2 r P( f ) k="# 1 RS (! ) = "# RIs (! ) + RQs (! ) $% cos ( 2& fC! ) 2   1 1 ES = ⎡⎣ ESi + ESq ⎤⎦ = RI [0] + RQ [k] E p   2 2 + S In ( f ) = S n ( f + f0 ) + S n− ( f + f0 ) = SQn ( f ) ( 2   ) SQnIn ( f ) = − j ⎡⎣ S n+ ( f + f0 ) − S n− ( f − f0 ) ⎤⎦ = −S InQn ( f ) 1 Q(x) = 2!     +$ %e x " #2 2 d#   4      si    .     ICOM.  18-­‐06-­‐2012     Examen  Final     Notas  Provisionales:  26-­‐06-­‐2012   Fecha  límite  alegaciones:  28-­‐06-­‐2012     Dept.  Teoria  del  Senyal  i  Comunicacions     Normas  para  la  realización  del  examen   • Entregar  los  problemas  por  separado.   • Se  prohibe  el  uso  de  teléfonos  móviles  y  calculadoras.   • Tener  visible  un  documento  de  identidad  con  fotografía.   • Presentación  de  alegaciones  a  través  de  la  Intranet  de  la  ETSETB.       Nombre:                                   Ejercicio  1  (50%).-­‐  Considere  la  señal  digital  offset  QPSK   +" +" n=!" n=!" s(t) = Ac # ai [n] p(t ! nT ) cos ( 2$ fC t ) ! Ac # aq [n] p(t ! nT ! T / 2) sin ( 2$ fC t ) donde  los  símbolos  se  corresponden  con  la  siguiente  constelación  quaternaria       b[k] b[k + 1] ai [n] aq [n] 0 0 A 2 A 0 1 A 2 !A 2 1 1 !A 2 !A 2 1 0 !A 2 A 2 2   y  la  secuencia   b[k]  son  bits  equiprobables  e  incorrelados  entre  sí.  Note  que   ai [n]  está  controlado  por   b[2n] ,  y   aq [n]  por   b[2n + 1] .  El  pulso  utilizado  es  un  pulso  rectangular  de  energía  unitaria  y  duración   el  periodo  de  símbolo  T.     a) Halle  el  equivalente  paso  bajo   bS (t)  de  la  señal  s(t).  Haga  un  dibujo  de  la  componente  en  fase  y   de  la  componente  en  cuadratura  para  la  secuencia  de  bits  b[k]=000110.   +" +" n=!" n=!" bs (t) = is (t) + jqs (t) = Ac # ai [n]p(t ! nT ) + jAc # aq [n]p(t ! nT ! T / 2) = + - p1 (t) = =, - p (t) = - 2 .
1 T 1 T $ t ! T2 ' /   * &% T )( -+" +" 0 = Ac # ai [n]p1 (t ! nT ) + jAc # aq [n]p2 (t ! nT ) $ t ! 3T2 ' n=!" n=!" * &% T )( 1 b) Halle  y  dibuje  la  densidad  espectral  de  potencia   SS ( f )  de  la  señal   s(t) .     1   1 " R (! ) + RQs (! ) $ &cos ( 2' fC! ) % 2 # Is 1 S S ( f ) = "# S Is ( f ( fC ) + S Is ( f + fC ) + SQs ( f ( fC ) + SQs ( f + fC ) $% 4   * Ac2 A2 , E "# ai [n]$% = 0 .
, ( j' fT 2 S Is ( f ) = + 2 P ( f ) = T sinc( fT )e = sinc ( fT ) / 1 2 2 2 , -) ai = Ac A 2 , 0 * E " a [n]$ = 0 .
, , q % ( j3' fT SQs ( f ) = + # = S Is ( f ) / P2 ( f ) = T sinc( fT )e 2 2 2 ) = A A 2 , , c - aq 0 2 2 A A S S ( f ) = c "#sinc 2 (( f ( fC )T ) + sinc 2 (( f + fC )T ) $% 4 RS (! ) = { } { }   La   señal   s(t)  se   transmite   por   un   canal   cuya   función   de   transferencia   es   H C ( f ) = j ! sign( f ) .   A   la   salida   de   éste   se   tiene   un   ruido   w(t)  aditivo   estacionario,   independiente   de   la   señal   transmitida,   de   media  nula,  y  blanco  con  densidad  espectral  de  potencia   SW ( f ) = N 0 2 .       c) Halle   el   equivalente   paso   bajo   de   la   señal   sin   ruido   a   la   salida   del   canal,   bSR (t) ,   siendo   sR (t) = s(t)* hc (t) .     BS ( f ) = R 1 B ( f ) ! Bs ( f ) = { Bh ( f ) = j2" } = #" Qs ( f ) + j" I s ( f ) 2 h +% +% n=#% n=#% bS (t) = " bS (t)e j$ /2 = #" Ac & aq [n]p(t # nT # T / 2) + j" Ac & ai [n]p(t # nT ) R   Suponga  el  receptor  y  detector  es  el  de  la  siguiente  figura   tki = kT w(t) sR (t) ! ! !"#$%&$' H( f ) 2 !"1$3,'' BT / 2 yi [k] yi (t) p(!t) ()*)+*,-' &)'' ./01,2,' ~ 2 cos(2! fRt + " R ) ! ˆ a[k] 2 ! !"1$3,'' BT / 2 yq [k] yq (t) p(!t) tkq = kT + T / 2   El   filtro   paso   banda   tiene   la   siguiente   función   de   transferencia,   y   BT  es  el   ancho   de  banda   aproximado   de  la  señal  transmitida.  El  filtro   H ( f )  tiene  una  banda  de  paso  y  bandas  de  transición  asimétricas  de   valor   B1 , B2 ! BT  .  Puede  suponer  que  este  filtro  deja  pasar  la  señal  útil  sin  apenas  distorsionarla,  y   filtra  el  ruido.     H( f ) 2 BT 1 B1 2   fC B2   d) Indique   el   valor   de   f R y ! R  para   que   el   demodulador   coherente   IQ   recupere   correctamente   la   componente  en  fase  y  cuadratura  de  la  señal  transmitida.       Indique  la  señal  a  la  salida  de  la  rama  superior  e  inferior  del  demodulador  IQ,  identificando  la   parte  de  señal  útil  y  la  de  ruido.  Halle  la  densidad  espectral  de  las  señales  de  ruido  en  cada  rama,   denotadas  por   in (t)  y   qn (t) ,  así  como  la  densidad  espectral  cruzada  entre  ambas  señales.     sR (t) = 12 bS (t)e j 2π fCt + 12 b*S (t)e− j 2π fCt = α2 bS (t)e j(2π fCt+π /2) + α2 b*S (t)e− j(2π fCt+π /2) R R A la sortida del desmodulador volem bs (t), aleshores l'oscil lador local ha de ser (2π fC t + π / 2) 2FPb ⎡⎣ sR (t)e− j(2π fCt+π /2) ⎤⎦ = α ⋅ bS (t) Branca Superior ⇒ α ⋅ iS (t) + in (t) Branca Inferior ⇒ α ⋅ qS (t) + qn (t) SQnIn ( f ) = !SInQn ( f ) SIn ( f ) = SQn ( f ) !" j! BT   e) Halle   las   expresiones   de   las   señales   a   la   salida   de   los   filtros   adaptados   de   la   rama   superior   e   inferior,   yi (t)  y   yq (t) .   Halle   la   densidad   espectral   de   las   señales   de   ruido   en   estos   puntos,   denotadas  por   inD (t)  y   qnD (t) ,  así  como  la  densidad  espectral  cruzada  entre  ambas  señales.   +# +# n="# n="# yi (t) = ! Ac $ ai [n]p(t " nT ) * p("t) + in (t) * p("t) = ! Ac $ ai [n]Rp (t " nT ) + inD (t) +# yq (t) = ! Ac $ aq [n]p(t " nT " T / 2) * p("t " T / 2) + qn (t) * p("t " T / 2) = n="# +# = ! Ac $ aq [n]Rp (t " nT " T ) + qnD (t) n="# 2 S I ( f ) = S In ( f ) ! P( f ) = T S In ( f ) !sinc 2 ( fT ) nD SQ ( f ) = S I ( f ) nD SQ nD I nD f)   nD ( f ) = { PAESA} = SQ I ( f ) ! P( f ) = T SQ I ( f ) !sinc 2 ( fT ) 2 n n n n   ¿Qué  valor  de   yi [k]  y   yq [k]  se  obtiene  en  cada  rama  tras  muestrear?     3   Branca Superior ! tks = kT Branca Inferior ! tki = (k + 1)T yi (tks ) = " Ac ai [k] + inD (kT ) # yi [k]   yq (tki ) = " Ac aq [k] + qnD ((k + 1)T ) # yq [k] Compruebe   si   se   cumple   o   no   que   la   variable   aleatoria   y = yi [k] + j yq [k]  condicionada   al   símbolo  transmitido  es  circularmente  simétrica,  es  decir,  si   ( E " y ! my # )( y ! m ) y a[k]$ = 0   % y[k] = yi [k] + jyq [k] Condicionat a que es transmet el símbol a[k] = ai [k] + jaq [k] { } my = E !" yi [k] + jyq [k]#$ = mInD = mQnD = 0 = % Ac ai [k] + j% Ac aq [k] ( E ! y & my " )( y & m ) y 2 a[k]# = E !'( inD (kT ) + jqnD ((k + 1)T ) ) #( = RInD (0) & RQnD (0) + 2 j !" RQnDInD (T ) #$ ) 0 $ " $   4   Ejercicio  2   En  este  ejercicio  se  va  a  analizar  una  modulación  QAM  de  M=16  símbolos  no  equidistantes  en   la  cual  los  4  bits  que  determinan  cada  símbolo  cumplen  la  siguiente  característica:   El  primer  y  el  tercer  bit   se  hallan  más  protegidos  frente  al  ruido  que  el  segundo  y  el  cuarto     bit   ,  debido  a  que    transmiten  información  considerada  de  mayor  relevancia  que  la  que   se  envía  por   .   A  continuación  se  define  la  modulación  paso-­‐banda  digital  correspondiente:   Los  bits  a  codificar  son  equiprobables  e  independientes  y  se  producen  a  una  velocidad  de   .  El  pulso    es  un  pulso  root  raised  cosine  de  15%  rolloff  y  energía   La  tabla  de  codificación  de  símbolo  se  muestra  a  continuación  donde   00 01 11 10 00 01 11 10 A  todos  los  efectos  considere  un  canal  ideal  ( Gaussiano   :   )  y  señal  de  ruido  aditivo  blanco    de  densidad  espectral  de  potencia    en   función   de   .     a.
Escriba   la   expresión   de    y   de    y   halle   su   ancho   de   banda   b.
medido  en  KHz.   Dibuje   el   espacio   de   señal   o   constelación   y   calcule   la   energía   promedio   símbolo   energía  promedio  bit   .   c.
Demuestre   que   la   energía   obtenida    se   puede   expresar   en   función   de   y   la   donde    corresponde   a   la   energía   de   una   modulación   QPSK   cuyos   símbolos   son   de   amplitud   .   Relacione   el   par   de   bits   de   la   agrupación   correspondiente   a   cada   término     comentando   como   influyen   en   la   codificación.     (NOTA:  Si  lo  prefiere  puede  resolver  este  apartado  c  entre  los  apartados  f  y  g)     Se  utiliza  un  receptor  como  el  de  la  figura  en  la  que  el  demodulador  I&Q  se  halla  perfectamente   sincronizado  con  la  portadora  de  las  señal  transmitida.   d.
      Proporcione  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  (fdp)  de  cada  uno  de  los  términos   de  ruido  ( )  presente  en  cada  una  de  las  muestras  de  señal   .     5   e.
Dé   la   expresión   de   la   fdp   de   la   muestra   de   señal   compleja   conjunta   de   las   variables    (coincide   con   la   fdp   )   condicionada   por   el   símbolo   asociado   a   .     A  partir  de  este  punto  considere  que  la  energía  del  pulso  es  igual  a  1:   f.
Dibuje  sobre  el  espacio  de  señal  recibida  las  16  zonas  de  decisión  sabiendo  que  se  decide   con   el   criterio   de   mínima   distancia   y   halle   la   probabilidad   de   error   al   transmitir  el  símbolo  asociado  a   g.
     a  la  que  denominaremos   .  En   este  cálculo  puede  suponer  que  todos  los  productos  entre  dos  funciones  de  tipo  Q(.)  son   igual  a  cero.   Exprese   en   función   de   los   parámetros   .   A   partir   de   la   expresión   obtenida  compare  la  probabilidad  de  error  de  los  bits    .     6    respecto  a  la  de  los  bits    si   RESOLUCIÓN  ABREVIADA   Apartado  a)             Apartado  b)       Apartado  c)         • Se  puede  asociar  a  la  energía  de  los  bits   Se  puede  asociar  a  la  energía  de  los  bits   •   Apartado  d)                       Apartado  e)       Apartado  f)     7       Apartado  g)          Se  concluye  que  para  los  bits   igual  a   bits   es  de    la  BER  es  igual  a   y    para  los  bits    con  lo  que  la  ganancia  de  energía  equivalente  de  los  bits      la  BER  es    respecto  a  los   .       FORMULARIO:     SS ( f ) = ( ma r ) 2 +# $ P(kr) k="# 2 ! ( f " kr) + % a2 r P( f ) 2   ( ) 1 1 1 RS (! ) = "# RIs (! ) + RQs (! ) $% cos ( 2& fC! ) ES = ⎡⎣ ESi + ESq ⎤⎦ = RI [0] + RQ [0] E p   2 2 2                                                                 + − +$ #2 S In ( f ) = S n ( f + f0 ) + S n ( f − f0 ) = SQn ( f ) " 1 Q(x) = e 2 d# 2! %x SQnIn ( f ) = − j ⎡⎣ S n+ ( f + f0 ) − S n− ( f − f0 ) ⎤⎦ = −S InQn ( f )                   8   ...