Funciones de n variables (2010)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 2010
Páginas 3
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Descripción esquemática y detallada

Vista previa del texto

2 – Funcions de n variables Fins ara ens hem centrat en funcions amb una variable independent, i un altra de dependent. A partir d’ara també treballarem en relacions entre més variables.
Posant un exemple: suposem f ( x, y ) , una funció de dues variables, que avaluarem al punt ( x, y ) . La seva gràfica correspondrà ara al conjunt de punts ( x, y, z ) que compleixin que z = f ( x, y ) , definint, en el procés, una superfície.
Com en l’exemple anterior, una funció de dues variables es una regla que asigna un nombre real f ( x, y ) a cada conjunt ( x, y ) de nombres reals en un cert domini. Per a una funció f definida en el domini D ⊂ ℜ 2 , ho escriurem com: f : ℜ2 → ℜ On s’indica que la funció passa punts en dos dimensions a nombres reals. Quedant tot junt com: f : D ⊂ ℜ2 → ℜ Veient-ho ara d’una manera general: la funció “ f ” serà una aplicació que transforma un vector de ℜ n , en un vector de ℜm : f : D ⊂ ℜ n → ℜ m ⇒ ( x1 , x 2 ,..., x n ) → ( f 1 ( x1 , x 2 ,..., x n ), f 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ),..., f m (x1 , x 2 ,..., x n )) On “ D ” es el domini de “ f ”: conjunt de punts de ℜ n on la funció està definida, donant com ha resultat un vector de ℜm , que serà el condomini.
Operacions amb funcions de varies variables • • • ( f + g )( x, y ) = f ( x, y ) + g ( x, y ) ( f ⋅ g )( x, y) = f ( x, y ) ⋅ g ( x, y) ( f g )( x, y ) = f ( x, y ) g ( x, y ) sempre que g ( x, y ) ≠ 0 Domini d’una suma de funcións d’n variables f : D f ⊂ ℜ n → ℜ  f + g : D f ∩ Dg ⊆ ℜ n → ℜ → g : Dg ⊂ ℜn → ℜ  ( f + g )( x ) = f (x ) + g (x ) Quedant com la intersecció dels dominis. A part, cal eliminar els punts que anul·lessin el denominador, doncs es dividiria per zero. Ho podríem representar com: Df g = D f ∩ Dg − {x ∈ Dg / g ( x ) = 0} Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 2-1 1. Funcions sobre variables incloses en altres funcions Partim d’una equació de dues variables: f ( x, y ) = a , on funció “ f ” es el que uneix les variables “x” i “y”.
Hi ha cops que tindrem la funció que relaciona les dues variables de l’anterior relació: g (x ) = y Per tant podríem unir les dues relacions quedant: f ( x, y ) = a ⇒ ℜ 2 → ℜ   → f ( x, g ( x )) = a ⇒ ℜ → ℜ g (x ) = y ⇒ ℜ → ℜ  2. Corbes de nivell Ens permetran saber el comportament d’una funció: Les isoquantes son corbes de nivell de la funció de producció. Si en considerem una de genèrica, z = f (K , L ) , les isoquantes determinarà les combinacions de “ K ” y “ L ” per a un nivell de producció constant.
Considerant ℜ 2 , llavors f : ℜ 2 → ℜ ; definiríem la corba de nivell de f ( x, y ) de nivell k com: { C k = ( x, y ) ∈ ℜ 2 f ( x, y ) = k } Equacions de les figures més corrents: • Recta → a ⋅ x + b ⋅ y + c = 0 • Paràbola → a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = y • Circumferència → ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 (a, b) → centre on  r → radi • Esfera → ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r 3 (a, b, c) → centre on  r → radi • Paraboloide → a ⋅ ( z − z0 ) = b 2 ⋅ (x − x0 ) + c 2 ⋅ ( y − y0 ) 2 2 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 2 2 2 2 2 2 2-2 Procés per localitzar les Corbes de nivell, a partir del següent exemple: f : D ⊂ ℜ 2 → ℜ ⇒ ( x , y ) → f ( x, y ) = z Podent representar-ho com la següent equació: f ( x, y ) − z = 0 Per aconseguir les corbes de nivell haurem d’anar tallant per plans horitzontals paral·lels al pla “xy”, i projectar les interseccions sobre el pla “xy”.
Per tant, quan el pla on ens trobem és “ z = p ”, la projecció sobre el pla “xy” s’anomenarà Corba de nivell de “ f ” de la cota “ p ”; serà la corba plana de l’equació: f ( x, y ) = p Representant l’alçada sobre l’eix z.
Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 2-3 ...