Solucions Seminari 3 : Problema 1 detallat (2017)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2017
Páginas 2
Fecha de subida 18/06/2017
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Solució detallada problema 1 seminari 3 En aquest problema el dibuix de les dues restriccions ve donat per: 4 2 -2 0 z 0 0 -2-2 2 -4 x -4 -4 4 2 4y d’on es dedueix que la intersecció de les dues NO és compacta i per tant no es pot aplicar el TVE. Tots els punts de la intersecció de les restriccions són interiors. La funció Lagrangiana vindrà donada per x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 z 6 (x y + 3) i per tant el sistema de Lagrange ve donat per 2x 2y 2 x 2 y+ 2z + x2 + y 2 x y+3 = = = = = 0 0 0 z+6 0 Aquest sistema té les solucions p p x = 21 2 32 ; y = 21 2 + 32 ; z = 12 ; = 1; = 0 ; p p x = 12 2 32 ; y = 32 21 2; z = 12 ; = 1; = 0 x = 23 ; y = 23 ; z = 32 ; = 3; = 6 : En els dos primers punts, la Lagrangiana és x2 + y 2 + z 2 2 = z +z x2 + y 2 z 6 6 que és convexa. Per tant els dos punts són mínims. D’una altra banda, en l’últim punt la Lagrangiana pren la forma x2 + y 2 + z 2 = 2 2x 6x 3 x2 + y 2 2 z 2 6 2y + 6y + z + 3z; 1 6 (x y + 3) que té com a Hessina una matriu diagonal amb vaps -4,-4 i 2. Per tant no és ni còncava ni convexa.
Podem raonar que aquesta funció no té màxim s’ha de fer un argument directe. Notem que f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 z 2 i que en la nostra restricció z no està a…tada, de manera que pot ser tant gran com volguem, el que implica que z 2 i per tant f (x; y; z) poden ser tan grans com volguem. Per tant no hi na màxim.
2 ...