Resumen y formulario Oscilaciones (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2011
Páginas 35
Fecha de subida 13/08/2014
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Exámen.

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OSCILADORES ÍNDICE NOTACIÓN GENERAL......................................................................................................................................................... 2 MOVIMIENTO OSCILATORIO: IDEAS BÁSICAS ................................................................................................................... 2 MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE (OAS) .................................................................................................. 3 FORMULARIO DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE ....................................................................................................... 9 MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (MOA) .................................................................................................... 10 MOA SOBREAMORTIGUADO....................................................................................................................................... 14 MOA CRÍTICO .............................................................................................................................................................. 16 MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO ........................................................................................................................... 18 CASO SIMPLIFICADO DEL MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO .................................................................................. 22 FORMULARIO DEL OSCILADOR AMORTIGUADO ........................................................................................................... 24 MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO (MAF) .................................................................................................................. 25 RESONANCIA (EN VELOCIDAD O EN ENERGÍA) EN EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA ................................................ 32 RESONANCIA EN AMPLITUD EN EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA ............................................................................ 34 FORMULARIO DEL OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO ................................................................................................. 35 NOTACIÓN GENERAL 𝑥𝑒 − Variable 𝑥 con subíndice e (de equilibrio) indica posición o longitud de equilibrio.
𝑥, 𝑥̇ , 𝑥̈ − Una variable cualquiera 𝑥 con uno o dos puntos sobre sí misma indica derivada primera o segunda de la variable con respecto al tiempo, es decir: 𝑥̇ = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 o 𝑥̈ = 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2 . En este caso, dado que 𝑥 es el desplazamiento, 𝑥̇ , 𝑥̈ son velocidad y aceleración, respectivamente. Nota: Aunque trabajemos con valores concretos para la velocidad y la aceleración, las expresaremos siempre con esta notación para no ir variando de una fórmula a otra.
TEMA 1 – MOVIMIENTO OSCILATORIO LEY DE ELASTICIDAD DE HOOKE (para muelles o resortes ideales): FUERZA DEL MUELLE SOBRE UNA MASA ADHERIDA ( 𝑵 ) 𝐹(𝑥) = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 ) 𝑘 (𝑁�𝑚) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 � (𝑥 − 𝑥𝑒 ) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA DEL MUELLE ( 𝑱 ) 𝑥 𝑥 𝑈(𝑥) = � |𝐹|𝑑𝑥 = 𝑘 � |𝑥 − 𝑥𝑒 | 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥𝑒 𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑒 )2 = 𝑈(𝑥) 2 Nota: La expresión para la energía potencial elástica del muelle es la misma que la del trabajo realizado para desplazar la masa adherida al muelle con respecto a la posición de equilibrio del sistema, es decir: 𝑊(𝑥) = 𝑈(𝑥) = 𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑒 )2 2 MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE o MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (𝑶𝑨𝑺) FÓRMULA GENERAL Y SOLUCIÓN Para hallar la fórmula general del 𝑂𝐴𝑆 combinamos la ley de Hooke con la 2ª ley de Newton: � 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒: 𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 ) 2ª 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛: 𝐹 = 𝑚 · 𝑥̈ ⟹ −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 ) = 𝑚 · 𝑥̈ Tomando 𝑥𝑒 = 0 y reordenando los términos nos queda una importante ecuación diferencial: 𝑥̈ 𝑚 + 𝑘𝑥 = 0 ⟹ 𝑘 𝑥̈ 𝑚 𝑘𝑥 0 + = ⟹ 𝑥̈ + 𝑥 = 0 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 Ahora definimos, por convención y conveniencia, el cuadrado de la frecuencia angular, para osciladores simples, como: 𝓌𝑜2 ≝ 𝑘 𝑚 Lo cual nos permite re-expresar la EDO de forma más sencilla: 𝑥̈ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 0 Se trata de una EDO lineal de segundo orden, cuya solución 𝑥(𝑡) en este caso es una suma de funciones sinusoidales del tipo: 𝐵 · sin(𝓌𝑜 𝑡) + 𝐶 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) Por el teorema de la suma de armónicos se sabe que la combinación lineal de funciones sinusoidales con una misma frecuencia angular (un mismo periodo) resulta en otra función sinusoidal (seno o coseno), cuya amplitud y fase inicial se puede calcular a partir de las dos primeras, por ejemplo: 𝐵 · cos(𝓌𝑜 𝑡) + 𝐶 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2 2 ⎧𝐴 = �𝐵 + 𝐶 𝐶 ⎨ 𝛼 = 𝑡𝑔 � � ⎩ 𝐵 Como trataremos con movimientos arbitrarios, bastará recordar que nuestra solución a la EDO lineal de segundo orden puede expresarse en forma de función seno o coseno y tendrá una amplitud (A) y una fase (α).
𝜋 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = 𝐴 · sin �𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼 + � 2 𝜋 𝑥(𝑡) = 𝐴 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛽) = 𝐴 · cos �𝓌𝑜 𝑡 + 𝛽 + � 2 Para simplificar usaremos sólo la función coseno a partir de ahora. Así pues, la solución y sus dos primeras derivadas nos dan respectivamente la expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración del 𝑂𝐴𝑆, a saber: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑚) 𝑚 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 � � 𝑠 𝑚 𝑥̈ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜2 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 � 2 � 𝑠 FRECUENCIA ANGULAR, PERIODO Y FRECUENCIA Idea: La frecuencia angular puede entenderse, por ejemplo, como la velocidad en que la función sobre la gráfica tiempo-posición varía su ángulo de inclinación respecto a los ejes o como una especie de velocidad angular si trasladamos el movimiento sobre una circunferencia.
𝑥 𝑥̇ 𝛼 𝐴 𝜔 Como ya vimos antes, el cuadrado de la frecuencia angular está definido. Luego: 𝓌𝑜 2 ≝ 𝑘 𝑘 𝑟𝑎𝑑 ⟹ 𝓌𝑜 = � 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 � � 𝑚 𝑚 𝑠 El periodo o periodo de oscilación será el tiempo que tarda el oscilador en recorrer una vuelta completa sobre esa circunferencia o también puede entenderse como el tiempo que tarda la función desplazamiento del OAS en “repetirse”. En cualquier caso, dependerá de la frecuencia angular: 𝑇= 2𝜋 𝑚 = 2𝜋� 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 (𝑠) 𝓌𝑜 𝑘 Finalmente, dado que la frecuencia es el número de repeticiones periódicas por segundo, es decir, la inversa del periodo: 𝑓=𝜐= Nótese que en general: 1 𝓌𝑜 1 𝑘 � 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑠 −1 ), (𝐻𝑧) = = 𝑇 2𝜋 2𝜋 𝑚 ↑ 𝓌𝑜 ⟺ ↓ 𝑇 ⟺ ↑ 𝑓 ↓ 𝓌𝑜 ⟺ ↑ 𝑇 ⟺ ↓ 𝑓 POSICIÓN Y AMPLITUD SEGÚN CONDICIONES INICIALES 𝒙𝒐 , 𝒙̇ 𝒐 (solución particular de la EDO del OAS): Sean 𝑥𝑜 y 𝑥̇ 𝑜 posición y velocidad inicial dadas, con sus valores respectivos, igualaremos estos dos valores iniciales a las ecuaciones generales para el desplazamiento y la velocidad en el momento 𝑡 = 0 o momento inicial, es decir: 𝑥(0) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 · 0 + 𝛼) = 𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜 𝑥̇ (0) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 · 0 + 𝛼) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥̇ 𝑜 A partir de este sistema de dos ecuaciones trataremos de aislar la amplitud A para obtener su valor según condiciones iniciales. Una forma de hacerlo es aislando las expresiones sinusoidales y aplicar una identidad pitagórica conocida: 2 𝑥𝑜 ⎧ cos2(𝛼) = �𝑥𝑜 � ⎪ 𝐴 𝐴 ⟺� ⟺ � 2 𝑥̇ 𝑜 𝑥̇ 𝑜 ⎨sin2 (𝛼) = � sin(𝛼) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥̇ 𝑜 � ⎪ −𝐴 · 𝓌𝑜 −𝐴 · 𝓌𝑜 ⎩ cos(𝛼) = 𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜 2 𝑥̇ 𝑜 𝑥𝑜2 · 𝓌𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 𝑥𝑜 2 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� cos2 (𝛼) + sin2 (𝛼) = 1 ⟹ � � + � � =1⟺ =1⟺ 𝐴 −𝐴 · 𝓌𝑜 𝐴2 · 𝓌𝑜2 𝑖𝑑. 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 ⟺ 𝑥𝑜2 · 𝓌𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 𝑥̇ 𝑜2 𝑥̇ 2 2 2 2 2 + 𝑜 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝑚) � = 𝐴 ⟺ 𝑥 + = 𝐴 ⟺ 𝐴 = 𝑥 𝑜 𝑜 𝓌𝑜2 𝓌𝑜2 𝓌𝑜2 Nótese, por tanto, que la amplitud será constante durante todo el movimiento OAS y sólo dependerá de la posición inicial respecto al punto de equilibrio, la velocidad inicial, la masa del cuerpo adherido al muelle y la constante elástica del muelle (𝑥𝑜 , 𝑥̇ 𝑜 , 𝑚, 𝑘).
Si desconocemos la fase inicial pero disponemos de los valores de las condiciones iniciales, también podemos resolver la ecuación de posición 𝑥(𝑡) ∀𝑡. Para ello la manipularemos con la propiedad trigonométrica del coseno de la suma de ángulos y emplearemos las dos ecuaciones ya conocidas para 𝑥(0) y 𝑥̇ (0) : 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) ������������������������ 𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) · 𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 𝐴 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) · 𝑠𝑖𝑛(𝛼) � 𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜 −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥̇ 𝑜 ⟹ 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥̇ 𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝓌𝑜 Esta ecuación constituye la solución particular de la posición del OAS (para condiciones iniciales dadas). Si la derivamos una y dos veces obtendremos, además, las ecuaciones para la velocidad y la aceleración, respectivamente: 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥̇ 𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜, (𝑚) 𝓌𝑜 𝑚 𝑥̇ (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥̇ 𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, � � 𝑠 𝑚 𝑥̈ (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜2 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) − 𝑥̇ 𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 � 2 � 𝑠 Por tanto, ∀𝑡 podemos conocer los valores de 𝑥(𝑡) , 𝑥̇ (𝑡) y 𝑥̈ (𝑡) si son conocidas las constantes 𝑥𝑜 , 𝑥̇ 𝑜 , 𝑚, 𝑘, es decir: posición inicial, velocidad inicial, masa del cuerpo adherido al muelle y constante elástica del muelle.
Idea: Alternativamente podríamos hallar, junto con la amplitud (A), la fase (α) a partir de las condiciones iniciales y aplicar, por tanto, las fórmulas de desplazamiento, velocidad y aceleración vistas al principio del tema.
𝑥𝑜 ⎧𝐴 · cos(𝛼) = 𝑥𝑜 ⟺ cos(𝛼) = 𝐴 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝐴= �𝑥𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 𝓌𝑜2 𝑥𝑜 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � = arccos 𝐴 Otra expresión para la misma fase sería: ⟹ cos(𝛼) = 𝑥̇ 2 �𝑥𝑜2 + 𝑜2 𝓌𝑜 𝑥̇ 𝑜 ⎧−𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝛼) = 𝑥̇ 𝑜 ⟺ sin(𝛼) = − 𝐴 · 𝓌𝑜 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝐴= �𝑥𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 𝓌𝑜 2 𝑥𝑜 𝑥𝑜 �𝑥𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 𝓌𝑜2 ⟹ 𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑟𝑎𝑑) ⟹ sin(𝛼) = −𝑥̇ 𝑜 𝑥̇ 2 𝓌𝑜 · �𝑥𝑜2 + 𝑜2 𝓌𝑜 −𝑥̇ 𝑜 −𝑥̇ 𝑜 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 � � = arcsin 𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑟𝑎𝑑) 2 𝐴 · 𝓌𝑜 �𝓌𝑜 · 𝑥𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 Donde A y α son sustituibles en las ecuaciones del movimiento del OAS conocidas: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑥̈ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 2 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) ⟹ ENERGÍA POTENCIAL, CINÉTICA Y MECÁNICA EN EL OAS Al principio del tema vimos la expresión de la energía potencia para el muelle ideal. Además, la expresión de la energía cinética es la habitual, así pues, para la posición de equilibrio 𝑥𝑒 = 0, tenemos que: 𝑛𝑜𝑡.
1 2 ⎧𝑈 � ⎪ (𝑥) ⎯� 𝐸𝑝 (𝑥) = 2 · 𝑘 · 𝑥 1 ⎨ 𝐸𝑐 (𝑥) = · 𝑚 · 𝑥̇ 2 ⎪ 2 ⎩ Pero como el desplazamiento y la velocidad (𝑥(𝑡) , 𝑥̇ (𝑡) ) del OAS dependen del tiempo, debemos re-escribir las dos ecuaciones sustituyendo las 𝑥, 𝑥̇ por las expresiones de 𝑥(𝑡) , 𝑥̇ (𝑡) correspondientes: ⎧ ⎪ 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝐸𝑝 (𝑡) = 1 · 𝑘 · [𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)]2 2 ⟹ ⟹ � 1 ⎨ 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2 ⎪𝐸𝑐 (𝑡) = · 𝑚 · [−𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)] 2 ⎩ ⟹ 2 𝑘·𝐴 2 ⎧𝐸 ⎪ 𝑝 (𝑡) = 2 · cos (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐽) ⎨ 𝑘 · 𝐴2 ⎪ 𝐸𝑐 (𝑡) = · sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐽) 2 ⎩ Finalmente, dado que la energía mecánica es la suma de cinética y potencial: 𝐸𝑚 = 𝑘 · 𝐴2 𝑘 · 𝐴2 · [cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) + sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼)] = = 𝐸𝑚 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 (𝐽) 2 2 Nótese que la energía mecánica se mantiene constante en el tiempo, mientras que la cinética y la potencial varían.
Gráficamente podemos hacernos una idea de los balances energéticos en relación al desplazamiento: Ejemplo arbitrario con A=1.5, α=4, m=50, k=3. Tiempo en el eje horizontal e imágenes de las funciones en el vertical.
Las coincidencias entre los máximos y mínimos relativos de las distintas funciones NO son casualidad ;) PROMEDIO DE LA ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA DEL OAS IDEAS BÁSICAS PARA EL CÁLCULO DE VALORES PROMEDIOS Sea 𝑓 una función periódica cualquiera, es decir, del tipo 𝑓(𝑡+𝑇) = 𝑓(𝑡) , ∀𝑡 ∈ ℝ , entonces su valor promedio <𝑓> será: Teniendo en cuenta que 𝑇 = 2𝜋 , 𝓌𝑜 ˂𝑓˃ = 1 𝑇 � 𝑓 𝑑𝑡 𝑇 0 (𝑡) dos resultados importantes de integrales de funciones trigonométricas con el valor del periodo como límite de integración son: 2𝜋 𝓌𝑜 � 0 sin2 (𝓌𝑜 𝑡 2𝜋 𝓌𝑜 � 0 2𝜋 𝓌𝑜 + 𝛼) = � 0 cos2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = 2𝜋 𝓌𝑜 sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = � 0 𝜋 𝓌𝑜 cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) = 0 CÁLCULO DEL VALOR PROMEDIO PARA LA ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA DEL OAS: Teniendo en cuenta las ideas básicas, ya podemos calcular los valores promedios para 𝐸𝑝 (𝑡) , 𝐸𝑐 (𝑡) y 𝐸𝑚 : 2𝜋 2𝜋 1 𝓌𝑜 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 · 𝜋 𝓌𝑜 ˂𝐸𝑝 ˃ = � · cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = · � cos 2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = ⟹ 2 2𝜋 · 2 2𝜋 · 2 · 𝓌𝑜 𝑇 0 0 2𝜋 ˂𝐸𝑝 ˃ = 𝑘𝐴2 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐽) 4 2𝜋 1 𝓌𝑜 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 · 𝜋 𝓌𝑜 ˂𝐸𝑐 ˃ = � · sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = · � sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑑𝑡 = ⟹ 2 2𝜋 · 2 2𝜋 · 2 · 𝓌𝑜 𝑇 0 0 ˂𝐸𝑐 ˃ = 2𝜋 𝑘𝐴2 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐽) 4 2𝜋 1 𝓌𝑜 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 𝓌𝑜 · 𝑘 · 𝐴2 · 2𝜋 𝓌𝑜 ˂𝐸𝑚 ˃ = � 𝑑𝑡 = · � 𝑑𝑡 = ⟹ 2 2𝜋 · 2 2𝜋 · 2 · 𝓌𝑜 𝑇 0 0 𝑘𝐴2 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝐽) ˂𝐸𝑚 ˃ = 2 FORMULARIO DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE: LEY DE HOOKE, TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL DEL MUELLE EDO 𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒 ) 𝑊(𝑥) = 𝑈(𝑥) = 𝑘 (𝑥 − 𝑥𝑒 )2 2 𝑁 𝐽 𝑇= 𝑓= 2𝜋 𝑚 = 2𝜋� 𝓌𝑜 𝑘 𝓌𝑜 1 𝑘 � = 2𝜋 2𝜋 𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑠 𝑠 −1 , 𝐻𝑧 ENERGÍAS CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA 𝐸𝑐 (𝑡) = 𝐸𝑝 (𝑡) = 𝑘 · 𝐴2 · sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2 𝑘 · 𝐴2 · cos 2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2 𝐽 𝐽 𝐽 𝑘𝐴2 4 𝐽 ˂𝐸𝑚 ˃ = 𝑘𝐴2 4 𝑘𝐴2 2 𝑥̈ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜2 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) AMPLITUD Y FASE SEGÚN CONDICIONES INICIALES 𝑥̇ 𝑜2 𝓌𝑜2 𝑥𝑜 −ẋ o 𝛼 = arccos � � = arcsin � � 𝐴 A · 𝓌o 𝐽 𝐽 𝑚 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠2 𝑚 𝑟𝑎𝑑 ECUACIONES DEL OAS SEGÚN CONDICIONES INICIALES 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥̇ 𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝓌𝑜 𝑥̇ (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) + 𝑥̇ 𝑜 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) PROMEDIOS ENERGÉTICOS ˂𝐸𝑝 ˃ = 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝐴 = �𝑥𝑜2 + 𝑘 · 𝐴2 𝐸𝑚 = 2 ˂𝐸𝑐 ˃ = ECUACIONES GENERALES DEL OAS 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) FRECUENCIA ANGULAR, PERIODO Y FRECUENCIA 𝑘 𝓌𝑜 = � 𝑚 𝑥̈ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 0 𝑥̈ (𝑡) = −𝑥𝑜 · 𝓌𝑜2 · 𝑐𝑜𝑠(𝓌𝑜 𝑡) − 𝑥̇ 𝑜 · 𝓌𝑜 · 𝑠𝑖𝑛(𝓌𝑜 𝑡) 𝑚 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠2 MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (MOA): IDEA BÁSICA: PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE LA EDO LINEAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL MOA Como ya vimos en el OAS, la EDO del movimiento oscilatorio es el resultado de igualar la segunda ley de Newton con la ley de Hooke. En realidad debemos entender la igualación como una forma de ecuación de equilibrio, es decir: ∑𝐹 = 𝐹1 + ⋯ + 𝐹𝑛 = 𝑚 · 𝑥̈ Donde, en el caso del OAS, sólo actúa una fuerza: la del muelle sobre la masa adherida, que expresábamos según la ley de Hooke: 𝐹ℎ = −𝑘 · 𝑥 Con lo cual nos quedaba: −𝑘 · 𝑥 = 𝑚 · 𝑥̈ En el caso del MOA, sin embargo, la idea fundamental es que no actúa sólo la fuerza del muelle sobre la masa adherida sino que además actúa una especie de fuerza de oposición al movimiento (que puede ser una fuerza de rozamiento o de viscosidad de un fluido (agua, aire…), etc.). Podemos expresar esta fuerza como: 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑) 𝑥̇ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐹𝑟 = −𝑏 · 𝑥̇ � 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜/𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 Por lo tanto, si aplicamos de nuevo la ecuación de equilibrio: 𝐹ℎ + 𝐹𝑟 = 𝑚 · 𝑥̈ ⟺ −𝑘 · 𝑥 − 𝑏 · 𝑥̇ = 𝑚 · 𝑥̈ Y manipulando un poco la ecuación obtenemos la EDO lineal de segundo orden para el MOA: 𝑚 · 𝑥̈ + 𝑘 · 𝑥 + 𝑏 · 𝑥̇ = 0 ⟺ 𝑥̈ + 𝑘 𝑏 · 𝑥̇ + · 𝑥 = 0 𝑚 𝑚 Análogamente a como hicimos con el OAS, para simplificar la ecuación definiremos por convención 𝓌𝑜 y γ como: Con lo cual obtenemos una EDO de la forma: 𝓌𝑜2 ≝ 𝑘 𝑏 ; 2γ ≝ 𝑚 𝑚 𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝓌𝑜 2 𝑥 = 0 La solución 𝑥(𝑡) es este caso es una combinación lineal de funciones exponenciales: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 + ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) Donde 𝐶1 , 𝐶2 son constantes que dependerán de las condiciones iniciales, y el valor α es de la forma: 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 Observación: La expresión de α no es una definición, sino una consecuencia de la resolución de la EDO.
Matemáticamente, se trata de la expresión de las raíces de la ecuación característica. Es decir, suponiendo conocidos los valores 2𝛾 y 𝓌𝑜2 , si nuestra EDO lineal de segundo orden era: 𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝓌𝑜 2 𝑥 = 0 Su ecuación característica o polinomio característico viene a ser una ecuación polinómica de segundo grado con coeficientes 2𝛾 y 𝓌𝑜2: 𝛼 2 + (2𝛾)𝛼 + (𝓌𝑜2 ) = 0 Así, vemos que la resolución de esta ecuación, suponiendo α como incógnita a resolver, nos da la expresión de α ya vista: 2 2 −2𝛾 ± �(2𝛾)2 − 4𝓌𝑜2 2 �−𝛾 ± �𝛾 − 𝓌𝑜 � 𝛼 = = = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 2 2 ± Nota: Si alguien quiere abundar en las matemáticas que fundamentan todos estos desarrollos, se puede remitir a libros donde se explique el método de resolución para EDOs lineales de orden n con coeficientes constantes.
FRECUENCIA NATURAL (𝔀𝒐 ), FRECUENCIA ANGULAR DEL MOA (𝔀𝟏 ), COEFICIENTE DE ARMOTIGUAMIENTO (𝒃) Y TASA DE AMORTIGUAMIENTO (𝜸): Si bien hemos definido de nuevo la frecuencia angular como 𝓌𝑜2 ≝ 𝑘 𝑚 con el fin de simplificar la EDO que debíamos resolver, esta frecuencia, que ahora llamaremos frecuencia angular natural o frecuencia natural (𝓌𝑜 ), que es la propia de un oscilador armónico simple, en general NO es la frecuencia angular propia de un oscilador amortiguado.
La frecuencia natural y la frecuencia del MOA, en el caso general, son las siguientes: 𝓌𝑜2 ≝ 𝑘 𝑘 𝑟𝑎𝑑 ⟺ 𝓌𝑜 = � 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 � � 𝑚 𝑚 𝑠 𝑟𝑎𝑑 � 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑂𝐴, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 � 𝑠 Y como ya vimos antes, la tasa de amortiguamiento (𝛾) está definida. Por tanto: 2γ ≝ 𝑏 𝑏 ⟺ γ= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 2𝑚 𝑚 Nótese que si 𝐹𝑟 es una fuerza de rozamiento o de oposición al movimiento cualquiera, como ya vimos al inicio del tema: 𝐹𝑟 = 𝑏 · 𝑥̇ Teniendo en cuenta que la fuerza de rozamiento (𝐹𝑟 ) tiene por unidad el 𝑁 y la velocidad (𝑥̇ ) los que las unidades del coeficiente de amortiguamiento serán 𝑏= 𝑘𝑔 𝑠 : 𝑚 𝑠 es fácil observar 𝑁·𝑠 𝑘𝑔 𝑑𝑡 𝐹𝑟 = 𝐹𝑟 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑) � �,� � 𝑥̇ 𝑚 𝑠 𝑑𝑥 Teniendo en cuenta la expresión de la frecuencia angular del MOA, la relación entre 𝓌𝑜2 y 𝛾 2 determinará el tipo de movimiento amortiguado.
TIPOS DE MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO: Según la relación entre 𝓌𝑜2 y 𝛾 2 , existen tres tipos de movimientos amortiguados, a saber: • SOBREAMORTIGUADO �𝜸𝟐 > 𝔀𝟐𝒐 � : El sistema tiende al equilibrio (decae exponencialmente) sin oscilar.
Cuanto mayor es 𝛾, más lentamente vuelve al equilibrio. Se trataría de una puerta siendo frenada por un mecanismo (muelle) demasiado “duro”, con lo que se cerraría lentamente.
• CRÍTICO �𝛄𝟐 = 𝔀𝟐𝐨 � : El sistema vuelve al equilibrio lo más rápido posible, sin oscilar. Es el típico movimiento de una puerta siendo frenada por un mecanismo (muelle) que evita el portazo, pero la frena en el proceso lo menos posible.
• DÉBILMENTE AMORTIGUADO �𝜸𝟐 < 𝔀𝟐𝒐 � : El sistema oscila mientras la amplitud decrece gradualmente hasta anularse. Sería el movimiento de una puerta oscilatoria típica de los hospitales, que va y viene reduciendo periódicamente su amplitud hasta cerrarse.
Para encontrar las ecuaciones generales para cada tipo de MOA partiremos de la expresión del valor α vista anteriormente, que desarrollaremos según la relación entre 𝓌𝑜2 y 𝛾 2 de cada caso: 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 Luego, aplicaremos el resultado en la función general del desplazamiento y la desarrollaremos: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 + ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) Finalmente, para encontrar las constantes 𝐶1 y 𝐶2 , debido a que dependen de las condiciones iniciales de cada problema, las trataremos de generalizar para el caso 𝑡 = 0 en que: 𝑥(0) = 𝑥𝑜 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 MOA SOBREAMORTIGUADO �𝜸𝟐 > 𝔀𝟐𝒐 �: 𝛾 2 > 𝓌𝑜2 ⟹ 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 ⟹ ⎧ 𝛼 + = −𝛾 + �𝛾 2 − 𝓌 2 ; 𝛼 + ∈ ℝ 𝑜 ⎪ ⎨ ⎪ 𝛼 − = −𝛾 − �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 ; 𝛼 − ∈ ℝ ⎩ Si sustituyéramos 𝛼 ± en la ecuación del desplazamiento nos quedaría algo como: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 + ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾·𝑡 · �𝐶1 · 𝑒 ��−𝛾+�𝛾2 −𝓌2𝑜 �·𝑡� ��𝛾2 −𝓌2𝑜 �·𝑡 + 𝐶2 · 𝑒 + 𝐶2 · 𝑒 �−�𝛾2 −𝓌2𝑜 �·𝑡 ��−𝛾−�𝛾2 −𝓌2𝑜 �·𝑡� � ⟹ ⟺ Para ahorrar “tinta virtual” haremos los desarrollos sin sustituir 𝛼 ± con sus fórmulas.
Supongamos ahora que 𝑥(0) = 𝑥𝑜 y 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 (donde 𝑥𝑜 y 𝑥̇ 𝑜 son valores cualesquiera): 𝑥(0) = 𝐶1 · 𝑒�𝛼 + ·0� + 𝐶 2 · 𝑒 (𝛼 − ·0) = 𝐶1 + 𝐶2 = 𝑥𝑜 Para encontrar 𝐶1 y 𝐶2 necesitamos una segunda ecuación: debemos derivar 𝑥(𝑡) y aplicar luego 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 : 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 𝑥̇ (𝑡) = 𝛼 + · 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 + ·𝑡� + ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) + 𝛼 − · 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 𝑥̇ (0) = 𝛼+ · 𝐶1 + 𝛼− · 𝐶2 = 𝑥̇ 𝑜 − ·𝑡) Nótese que nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 𝐶1 y 𝐶2 . Lo resolvemos: � 𝐶1 + 𝐶2 = 𝑥𝑜 𝛼+ · 𝐶1 + 𝛼− · 𝐶2 = 𝑥̇ 𝑜 𝐶1 = 𝑥𝑜 − 𝐶2 ⟹� 𝐶2 = 𝛼+ · (𝑥𝑜 − 𝐶2 ) + 𝛼− · 𝐶2 = 𝑥̇ 𝑜 ⟹ 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼+ 𝑥𝑜 𝛼− − 𝛼+ 𝐶1 = 𝑥𝑜 − 𝐶2 = 𝑥𝑜 − 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼+ 𝑥𝑜 𝛼− − 𝛼+ Con lo cual, las fórmulas del MOA sobreamortiguado para condiciones iniciales dadas serían: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 + ·𝑡� 𝑥̈ (𝑡) = (𝛼 + )2 · 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 + ·𝑡� 𝑥̇ (𝑡) = 𝛼 + · 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 Donde, como ya hemos visto, 𝐶1 , 𝐶2 , 𝛼 ± ∈ ℝ + ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) + 𝛼 − · 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) + (𝛼 − )2 · 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) EJEMPLO DE MOA SOBREAMORTIGUADO: Datos iniciales: 𝑚 = 1 𝑘𝑔, 𝑏 = 5 Primero calculamos 𝛾 2 y 𝓌𝑜2 : 𝑘𝑔 𝑠 𝑁 , 𝑘=4 γ= 𝑚 , 𝑥𝑜 = 2 𝑚 𝑠 , 𝑥̇ 𝑜 = 7 𝑚 𝑠2 𝑏 5 25 = ⟹ 𝛾2 = 2·𝑚 2 4 𝓌𝑜 = � 𝑘 4 = � = 2 ⟹ 𝓌𝑜2 = 4 𝑚 1 Vemos que efectivamente 𝛾 2 > 𝓌𝑜2 , luego es sobreamortiguado. A continuación calculamos las raíces de la ecuación característica asociada a la EDO general o, lo que es lo mismo, calculamos los valores α con su fórmula correspondiente: 5 5 3 25 𝛼 + = −𝛾 + �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 = − + � − 4 = − + = −1 2 2 2 4 5 3 𝛼 − = −𝛾 − �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 = − − = −4 2 2 Finalmente, encontramos nuestras constantes 𝐶1 y 𝐶2 ya sea planteando el sistema de dos ecuaciones 𝑥(0) = 𝑥𝑜 y 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 o aplicando directamente las fórmulas encontradas anteriormente: 𝐶1 = 𝑥𝑜 − 𝐶2 = 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼+ 𝑥𝑜 𝛼− − 𝛼+ 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼+ 𝑥𝑜 𝛼− − 𝛼+ =2− = 7 − (−1) · 2 =5 −4 + 1 7 − (−1) · 2 = −3 −4 + 1 Por tanto, nuestras ecuaciones particulares para este MOA sobreamortiguado arbitrario serán: 𝑥(𝑡) = 5𝑒 −𝑡 − 3𝑒 −4𝑡 𝑥̇ (𝑡) = −5𝑒 −𝑡 + 12𝑒 −4𝑡 Gráficamente: 𝑥̈ (𝑡) = 5𝑒 −𝑡 − 48𝑒 −4𝑡 Vemos que las tres ecuaciones decaen exponencialmente hacia el cero, lo cual ocurre en cualquier MOA sobreamortiguado y, como veremos más adelante, también en el MOA crítico.
Nota: El máximo relativo inicial de la 𝑥(𝑡) se debe a las condiciones iniciales: posición positiva con desplazamiento en sentido positivo (alejándose del punto de equilibrio).
MOA CRÍTICO �𝛄𝟐 = 𝔀𝟐𝐨 �: γ2 = 𝓌o2 ⟹ 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 = −𝛾 ⟹ 𝛼 ± = 𝛼 = −𝛾 ; 𝛼 ± ∈ ℝ ⟹ 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �(−𝛾)·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 �(−𝛾)·𝑡� ⟺ 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾·𝑡 · (𝐶1 + 𝐶2 ) Debido a que 𝐶1 y 𝐶2 son constantes arbitrarias, su suma no deja de ser otra constante arbitraria a la cual podemos llamar 𝐷 o como queramos. Luego: 𝑥(𝑡) = 𝐷 · 𝑒 𝛼·𝑡 Así pues, una ecuación útil para nuestro desarrollo será: 𝑥(𝑡)1 = 𝑒 𝛼·𝑡 La otra ecuación linealmente independiente que verifica la EDO del MOA en el caso crítico es: 𝑥(𝑡) 2 = 𝑡 · 𝑒 𝛼·𝑡 Combinando linealmente las dos, nos queda la ecuación general para cualquier oscilador amortiguado crítico, que es: 𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2 𝑡) · 𝑒 (𝛼·𝑡) Nota: La explicación matemática completa de estos últimos pasos puede encontrarse en: http://mathworld.wolfram.com/CriticallyDampedSimpleHarmonicMotion.html Ahora debemos resolver 𝐶1 y 𝐶2 con un sistema de dos ecuaciones. Así pues, supongamos 𝑥(0) = 𝑥𝑜 y 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 ∶ 𝑥(0) = (𝐶1 + 𝐶2 · 0) · 𝑒 (𝛼·0) = 𝐶1 = 𝑥𝑜 𝑥̇ (𝑡) = 𝐶2 · 𝑒 (𝛼·𝑡) + �(𝐶1 + 𝐶2 · 𝑡) · 𝛼 · 𝑒 (𝛼·𝑡) � ⟹ 𝑥̇ (0) = 𝐶2 · 𝑒 (𝛼·0) + �(𝐶1 + 𝐶2 · 0) · 𝛼 · 𝑒 (𝛼·0) � = 𝐶2 + 𝛼 · 𝐶1 = 𝑥̇ 𝑜 ⟹ 𝐶2 = 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼𝑥𝑜 Finalmente, las ecuaciones particulares del MOA crítico para condiciones iniciales dadas serán: 𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2 𝑡) · 𝑒 (𝛼·𝑡) 𝑥̇ (𝑡) = [𝐶2 + 𝛼(𝐶1 + 𝐶2 𝑡)] · 𝑒 (𝛼·𝑡) 𝑥̈ (𝑡) = [𝛼2𝐶2 + 𝛼 2 (𝐶1 + 𝐶2 · 𝑡)] · 𝑒 (𝛼·𝑡) EJEMPLO DE MOA CRÍTICO: Datos iniciales: 𝑚 = 1 𝑘𝑔, 𝑏 = 4 Primero calculamos 𝛾 2 y 𝓌𝑜2 : 𝑘𝑔 𝑠 , 𝑘=4 γ= 𝑁 𝑚 , 𝑥𝑜 = 10 𝑚 𝑠 , 𝑥̇ 𝑜 = −8 𝑚 𝑠2 𝑏 4 = = 2 ⟹ 𝛾2 = 4 2·𝑚 2 𝓌𝑜 = � 𝑘 4 = � = 2 ⟹ 𝓌𝑜2 = 4 𝑚 1 Vemos que efectivamente 𝛾 2 = 𝓌𝑜2, luego es amortiguado crítico. Como ya vimos antes, las raíces de la ecuación característica asociada a la EDO general o, lo que es lo mismo, el valor α del MOA crítico siempre es 𝛼 = −𝛾, luego: 𝛼 = −2 Finalmente, encontramos nuestras constantes 𝐶1 y 𝐶2 ya sea planteando el sistema de dos ecuaciones 𝑥(0) = 𝑥𝑜 y 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 o aplicando directamente las fórmulas encontradas anteriormente: 𝐶1 = 𝑥𝑜 = 10 𝐶2 = 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼𝑥𝑜 = −8 + 2 · 10 = 12 Por tanto, nuestras ecuaciones particulares para este MOA sobreamortiguado arbitrario serán: 𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2 𝑡) · 𝑒 (𝛼·𝑡) = (10 + 12𝑡) · 𝑒 −2𝑡 𝑥̇ (𝑡) = [𝐶2 + 𝛼(𝐶1 + 𝐶2 𝑡)] · 𝑒 (𝛼·𝑡) = (−8 − 24𝑡) · 𝑒 −2𝑡 Gráficamente: 𝑥̈ (𝑡) = [𝛼2𝐶2 + 𝛼 2 (𝐶1 + 𝐶2 · 𝑡)] · 𝑒 (𝛼·𝑡) = (−8 + 48𝑡) · 𝑒 −2𝑡 Nótese que tampoco oscila (al igual que el sobreamortiguado) y si comparamos el gráfico del desplazamiento con el mismo gráfico del MOA sobreamortiguado es fácil ver que el caso crítico parece tender “más rápido” al cero. En condiciones similares, el caso crítico es que el que decae exponencialmente “más rápido”.
MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO �𝜸𝟐 < 𝔀𝟐𝒐 �: 𝛾 2 < 𝓌𝑜2 ⟹ 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 ⟹ ⎧ 𝛼 + = −𝛾 + �𝛾 2 − 𝓌 2 ; 𝛼 + ∈ ℂ 𝑜 ⎪ ⎨ ⎪ 𝛼 − = −𝛾 − �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 ; 𝛼 − ∈ ℂ ⎩ La particularidad en el cálculo de la fórmula general del MOA débilmente amortiguado se encuentra en que α (las raíces de la ecuación característica asociada a la EDO general) es un número complejo. Sin embargo, es posible simplificar las expresiones y pasarlas a trigonométricas haciendo uso de la fórmula de Euler. Lo veremos a continuación: En primer lugar recordemos que la frecuencia del MOA era: 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 Por lo tanto, como estamos trabajando con complejos, podemos re-expresar los valores α de la siguiente manera: 𝛼 + = −𝛾 + �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 = −𝛾 + �(−1) · (𝓌𝑜2 − 𝛾 2 ) = −𝛾 + 𝑖 · �(𝓌𝑜2 − 𝛾 2 ) = −𝛾 + 𝓌1 𝑖 𝛼 − = −𝛾 − �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 = −𝛾 − �(−1) · (𝓌𝑜2 − 𝛾 2 ) == −𝛾 − 𝑖 · �(𝓌𝑜2 − 𝛾 2 ) = −𝛾 − 𝓌1 𝑖 Ahora aplicamos esta expresión en el desarrollo de la fórmula general: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �(−𝛾+𝓌1 𝑖)·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 �(−𝛾−𝓌1 𝑖)·𝑡� 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 −𝛾𝑡 · 𝑒 (𝑖𝓌1 𝑡) + 𝐶2 · 𝑒 −𝛾𝑡 · 𝑒 (−𝑖𝓌1 𝑡) Aplicamos ahora la fórmula de Euler, que relaciona exponenciales complejas con expresiones trigonométricas: 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 · �𝐶1 · 𝑒 (𝑖 𝓌1 𝑡) + 𝐶2 · 𝑒 (−𝑖𝓌1 𝑡) � 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 · [(𝐶1 cos(𝓌1 𝑡) + 𝑖 · 𝐶1 sin(𝓌1 𝑡)) + (𝐶2 cos(𝓌1 𝑡) − 𝑖 · 𝐶2 sin(𝓌1 𝑡))] 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 · [(𝐶1 cos(𝓌1 𝑡) + 𝑖 · 𝐶1 sin(𝓌1 𝑡)) + (𝐶2 cos(𝓌1 𝑡) − 𝑖 · 𝐶2 sin(𝓌1 𝑡))] 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 · [cos(𝓌1 𝑡) (𝐶1 + 𝐶2 ) + 𝑖 · sin(𝓌1 𝑡)(𝐶1 − 𝐶2 )] Dado que 𝐶1 y 𝐶2 son arbitrarias podemos sustituir su suma o resta por otras dos constantes arbitrarias, que llamaremos, por ejemplo, D y E, respectivamente. Además, debido a que la solución de la ecuación es, necesariamente, un número real, se verifica que tanto la parte real como la parte imaginaria son, por separado, ecuaciones solución: 𝑥(𝑡)1 = 𝑒 −𝛾𝑡 · 𝐷 · cos(𝓌1 𝑡) 𝑥(𝑡) 2 = 𝑒 −𝛾𝑡 · 𝐸 · sin(𝓌1 𝑡) Por lo tanto, la ecuación general será combinación lineal de ambas. Nótese el enorme parecido con el planteamiento de la ecuación general de las OAS (ver página 2). Usando el mismo procedimiento que para la OAS llegamos, por tanto, a una ecuación similar (aunque con una función exponencial decreciente añadida y cambiando la notación al gusto de cada uno): 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 En este caso debemos resolver A y 𝜙 según las condiciones iniciales, por lo tanto supongamos que 𝑥(0) = 𝑥𝑜 y 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 𝑥(0) = 𝐴 · cos(𝜙) = 𝑥𝑜 𝑥̇ (𝑡) = (−𝐴 · 𝓌1 · sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 ) + (−𝛾 · 𝐴 · cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 ) ⎧ ⎪ 𝑥̇ (0) = (−𝐴 · 𝓌1 · sin(𝜙)) + (−𝛾 · 𝐴 · cos(𝜙)) = 𝑥̇ 𝑜 𝐴 · cos(𝜙) = 𝑥𝑜 ⟹ ⎨(−𝐴 · 𝓌 · sin(𝜙)) + (−𝛾 · 𝐴 · cos(𝜙)) = 𝑥̇ 1 𝑜 ⎪ ⎩ tg(𝜙) = 𝐴= 𝑥𝑜 cos(𝜙) 𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾 −𝑥𝑜 · 𝓌1 ⟹𝐴= ⎧ ⎪ 𝑥𝑜 cos(𝜙) ⎨ 𝑥𝑜 · 𝓌1 · sin(𝜙) 𝑥𝑜 𝛾 cos(𝜙) − = 𝑥̇ 𝑜 ⎪− cos(𝜙) cos(𝜙) ⎩ ⟹ 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �− 𝑥𝑜 𝐴= 𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾 𝑥̇ + 𝑥 𝛾 cos �𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �− 𝑥𝑜 · 𝓌𝑜 �� 𝑜 1 𝑥𝑜 · 𝓌1 ⟹ � 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ����������������� (𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾)2 + (𝑥𝑜 · 𝓌1 )2 𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾 2 𝐴 = 𝑥𝑜 · �� � + 1 = 𝑥𝑜 · � = (𝑥𝑜 · 𝓌1 )2 𝑥𝑜 · 𝓌1 𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾 2 𝑥𝑜 2 2 � · �(𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾) + (𝑥𝑜 · 𝓌1 ) = � � + 𝑥𝑜2 = 𝐴 = 𝑥𝑜 · 𝓌1 𝓌1 Finalmente, las ecuaciones del MOA débilmente amortiguado serán: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + 𝛾 cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] 𝑥̈ (𝑡) = 𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [(2𝛾𝓌1 )sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + (𝛾 2 − 𝓌21 )cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] Dado que en la función desplazamiento de este tipo de movimiento amortiguado sí que se producen oscilaciones periódicas (aunque con amplitud decreciente), podemos calcular su pseudo-periodo de la forma habitual: 𝑇′ = 2𝜋 𝓌1 EJEMPLO DE MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO: Datos iniciales: 𝑚 = 1 𝑘𝑔, 𝑏 = 8 Primero calculamos 𝛾 2 y 𝓌𝑜2 : 𝑘𝑔 𝑠 , 𝑘 = 81 γ= 𝑁 𝑚 , 𝑥𝑜 = 10 𝑚 𝑠 , 𝑥̇ 𝑜 = −8 𝑚 𝑠2 𝑏 8 = = 4 ⟹ 𝛾 2 = 16 2·𝑚 2 𝑘 81 𝓌𝑜 = � = � = 9 ⟹ 𝓌𝑜2 = 81 𝑚 1 Vemos que efectivamente 𝛾 2 < 𝓌𝑜2, luego es MOA débilmente amortiguado.
Calculamos ahora su frecuencia angular: 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 = �92 − 42 = √65 ≅ 8.0623 Su fase y amplitud, según condiciones iniciales serán: 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �− 𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾 𝑥𝑜 · 𝓌1 � = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �− −8 + 40 10 · √65 � ≅ −0.3778 −8 + 40 2 𝑥̇ 𝑜 + 𝑥𝑜 𝛾 2 2 � � � + 𝑥𝑜 = � � + 100 ≅ 10.7589 𝐴= � 𝓌1 √65 Luego sus ecuaciones de movimiento serán: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 = 10.7589 · 𝑒 −4𝑡 · cos�√65 · 𝑡 − 0.3778� 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + 𝛾 cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] = 𝑥̇ (𝑡) = −10.7589 · 𝑒 −4𝑡 · �√65 · sin�√65 · 𝑡 − 0.3778� + 4 · cos�√65 · 𝑡 − 0.3778�� 𝑥̈ (𝑡) = 𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [(2𝛾𝓌1 )sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + (𝛾 2 − 𝓌21 )cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] = 𝑥̈ (𝑡) = 10.7589 · 𝑒 −4𝑡 · ��4 · √65�sin�√65 · 𝑡 − 0.3778� + (−49)cos�√65 · 𝑡 − 0.3778�� Gráficamente: Observación: Tanto la velocidad como la aceleración, al igual que es desplazamiento, son funciones que oscilan periódicamente con amplitudes que decaen exponencialmente.
Advertencia: El cálculo de la fase inicial parece ser sensible al “cuadrante” donde se encuentra.
ENERGÍAS CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA DE LOS MOA: Como ya vimos en el tema de los OAS: 1 2 ⎧𝐸 = 𝑝 ⎪ (𝑡) 2 · 𝑘 · 𝑥(𝑡) 1 ⎨ ⎪𝐸𝑐 (𝑡) = · 𝑚 · 𝑥̇ (𝑡) 2 2 ⎩ Por lo tanto, basta sustituir las ecuaciones de movimiento 𝑥(𝑡) y 𝑥̇ (𝑡) propias de cada tipo de MOA en las expresiones de la energía potencial y cinética: MOA SOBREAMORTIGUADO: 2 𝑘 + − ⎧ 𝐸𝑝 (𝑡) = · �𝐶1 · 𝑒�𝛼 ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒(𝛼 ·𝑡) � 2 ⎪ 2 𝑚 + �𝛼+ ·𝑡� + 𝛼− 𝐶 · 𝑒(𝛼− ·𝑡) � 2 ⎨𝐸𝑐 (𝑡) = 2 · �𝛼 𝐶1 · 𝑒 ⎪ 𝐸𝑚 (𝑡) = 𝐸𝑝 (𝑡) + 𝐸𝑐 (𝑡) ⎩ MOA CRÍTICO: 𝑘 ⎧ 𝐸𝑝 (𝑡) = · (𝐶1 + 𝐶2 𝑡)2 · 𝑒2(𝛼·𝑡) 2 ⎪ 𝑚 2 2(𝛼·𝑡) ⎨𝐸𝑐 (𝑡) = 2 · [𝐶2 + 𝛼(𝐶1 + 𝐶2 𝑡)] · 𝑒 ⎪ 𝐸𝑚 (𝑡) = 𝐸𝑝 (𝑡) + 𝐸𝑐 (𝑡) ⎩ MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO: ⎧ ⎪ ⎨𝐸𝑐 (𝑡) = ⎪ ⎩ 𝐸𝑝 (𝑡) = 𝐴2 · 𝑒−2𝛾𝑡 · 𝑘 2 · cos2 (𝓌1 𝑡 + 𝜙) 𝐴2 · 𝑒−2𝛾𝑡 · 𝑚 · [𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + 𝛾 cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)]2 2 𝐸𝑚 (𝑡) = 𝐸𝑝 (𝑡) + 𝐸𝑐 (𝑡) Ojo con la notación: Para cada tipo de movimiento los valores 𝐶1 , 𝐶2 , 𝛼 ± ,𝐴 y 𝜙 se calculan de forma distinta a partir de las condiciones iniciales y las ecuaciones generales de cada uno.
Nota: Las gráficas están basadas en los ejemplos vistos anteriormente.
CASO SIMPLIFICADO DEL MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO �𝜸𝟐 ≪ 𝔀𝟐𝒐 � Como ya vimos con anterioridad, las ecuaciones de movimiento del MOA débilmente amortiguado eran: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 Y su frecuencia: 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + 𝛾 cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 Para el MOA débilmente amortiguado simplificado, sin embargo, asumiremos que debido a que 𝛾 2 ≪ 𝓌𝑜2 , la frecuencia es muy próxima a la frecuencia natural de un oscilador armónico simple, es decir: 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 ≅ �𝓌𝑜2 ≅ 𝓌𝑜 Además, la ecuación de la velocidad, por el mismo motivo, se simplificará de la siguiente forma: 𝑥̇ (𝑡) = −𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + 𝛾 cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] ≅ −𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · 𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) Por lo tanto, las ecuaciones del MOA débilmente amortiguado ideal, quedarán de la siguiente forma: 𝓌𝑜 = � 𝑘 𝑚 𝑥(𝑡) ≅ 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 𝑥̇ (𝑡) ≅ −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 𝑥̈ (𝑡) ≅ −𝐴 · 𝓌2𝑜 cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 Con 𝐴, 𝜙 que dependen de las condiciones iniciales. Suponiendo condiciones iniciales 𝑥(0) = 𝑥𝑜 y 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 𝑜 : 𝜙 ≅ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �− 𝑥̇ 𝑜 𝑥𝑜 𝓌𝑜 𝑥𝑜 � = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � 𝐴 ≅ �𝑥𝑜2 + 𝑥̇ 𝑜2 𝓌𝑜2 𝐴 Y si calculamos energías cinética, potencial y mecánica, así como sus promedios, de la forma habitual y teniendo en cuenta la similitud del desarrollo con el que hicimos con las energías del OAS: 2 𝑘 · 𝐴2 −𝛾𝑡 ⎧𝐸 ⎧ ˂𝐸 ˃ ≅ 𝑘𝐴 · 𝑒−𝛾𝑡 · 𝑒 · cos 2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 𝑝 (𝑡) ≅ 𝑝 2 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑘 · 𝐴2 −𝛾𝑡 𝑘𝐴2 −𝛾𝑡 · 𝑒 · sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) ⟷ ˂𝐸𝑐 ˃ ≅ ·𝑒 𝐸𝑐 (𝑡) ≅ ⎨ ⎨ 2 4 ⎪ ⎪ 2 𝑘 · 𝐴2 −𝛾𝑡 ⎪ ⎪ ˂𝐸 ˃ ≅ 𝑘𝐴 · 𝑒−𝛾𝑡 𝐸𝑚 ≅ ·𝑒 2 2 ⎩ ⎩ 𝑚 POTENCIA DISIPADA MEDIA E INSTANTÁNEA PARA EL MOA DÉBILMENTE AMORTIGUADO: Como puede observarse, las expresiones de los promedios energéticos decrecen exponencialmente. Esto equivale a decir que el MOA débilmente amortiguado ideal pierde energía por cada unidad de tiempo (potencia disipada). Es lógico suponer que la fuerza responsable de la pérdida de energía es la fuerza de rozamiento o de viscosidad de un fluido (aire o algún líquido), que es precisamente la que diferencia al MOA del OAS.
Recordemos que esta fuerza de “rozamiento” se expresaba como: 𝐹𝑟 = −𝑏 · 𝑥̇ Ahora bien, si quisiéramos calcular el diferencial de trabajo de esta fuerzan en función del tiempo emplearíamos la expresión conocida para el cálculo del trabajo: 𝑑𝑊 = 𝐹𝑟 · 𝑑𝑥 Sin embargo, queremos calcular la potencia, es decir, el diferencial de trabajo entre el diferencial de tiempo: 𝑃= 𝑑𝑥 𝑑𝑊 = 𝐹𝑟 · = 𝐹𝑟 · 𝑥̇ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Por tanto, teniendo en cuenta la expresión de nuestra fuerza, nos queda que: 𝑃 = −𝑏 · 𝑥̇ · 𝑥̇ = −𝑏 · 𝑥̇ 2 Finalmente, teniendo en cuenta la velocidad del MOA débilmente amortiguado ideal nos quedará que: 2 2 𝑃(𝑡) = −𝑏 · 𝐴 · 𝓌𝑜2 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−2𝛾𝑡 = −2 · 𝛾 · 𝑘 · 𝐴 · 𝑒−2𝛾𝑡 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) Y si calculamos su promedio de la forma habitual: 2𝜋 2𝜋 2 − 𝓌𝑜 · 𝑏 · 𝐴 · 𝓌𝑜2 𝓌𝑜 𝓌𝑜 𝓌𝑜 2 � −𝑏 · 𝐴 · 𝓌𝑜2 · sin2(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−2𝛾𝑡 𝑑𝑡 = � sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−2𝛾𝑡 · 𝑑𝑡 ≅ ˂𝑃˃ = 2𝜋 0 2𝜋 0 2 2𝜋 2 − 𝓌𝑜 · 𝑏 · 𝐴 · 𝓌𝑜2 · 𝑒−2𝛾𝑡 𝜋 − 𝓌𝑜 · 𝑏 · 𝐴 · 𝓌𝑜2 · 𝑒−2𝛾𝑡 𝓌𝑜 � sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) 𝑑𝑡 = · = ≅ 2𝜋 2𝜋 𝓌𝑜 0 2 𝑏 · 𝐴 · 𝓌𝑜2 · 𝑒−2𝛾𝑡 2 = −𝛾 · 𝑘 · 𝐴 · 𝑒−2𝛾𝑡 ˂𝑃˃ = − 2 Nota: 𝑒 −2𝛾𝑡 es tomado como “aproximadamente” constante (licencia matemática) y por eso la sacamos fuera de la integral.
FORMULARIO DEL MOVIMIENTO OSCILADOR AMORTIGUADO EDO 𝑥(𝑡) = 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 0 + ·𝑡� CASO SOBREAMORTIGUADO ⟺ 𝛾 2 > 𝓌𝑜2 𝜶+ −𝛾 + �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 𝜶− −𝛾 − �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 CASO CRÍTICO ⟺ 𝛾 2 = 𝓌𝑜2 𝛂 𝑪𝟏 −𝛾 𝑥𝑜 𝑥𝑜 − 𝑪𝟐 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼𝑥𝑜 𝑪𝟏 𝝓 𝑥̇ + 𝑥𝑜 𝛾 2 �𝑥𝑜2 + � 𝑜 � 𝓌1 𝑥𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � 𝐴 𝑨 𝝓 + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 𝑪𝟐 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼 + 𝑥𝑜 𝛼− − 𝛼+ 𝑥̇ 𝑜 − 𝛼 + 𝑥𝑜 𝛼− − 𝛼+ 𝑥̇ 𝑜2 𝓌𝑜2 𝒙(𝒕) 𝒙(𝒕) + ·𝑡� + 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 𝑘 · 𝐴2 −2𝛾𝑡 ·𝑒 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2 −𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [𝓌1 sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + 𝛾 cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] 𝑘 · 𝐴2 −2𝛾𝑡 ·𝑒 · cos2 (𝓌𝑜 𝑡 + 𝛼) 2 𝑷(𝒕) + ·𝑡� 2 + 𝛼 − · 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 −2 · 𝛾 · 𝑘 · 𝐴 · 𝑒−2𝛾𝑡 · sin (𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) γ= − ·𝑡) 𝓌1 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 𝒙̈ (𝒕) + ·𝑡� + (𝛼 − )2 · 𝐶2 · 𝑒 (𝛼 − ·𝑡) [𝛼2𝐶2 + 𝛼 2 (𝐶1 + 𝐶2 · 𝑡)] · 𝑒 (𝛼·𝑡) 𝒙̈ (𝒕) 𝐴 · 𝑒 −𝛾𝑡 · [(2𝛾𝓌1 )sin(𝓌1 𝑡 + 𝜙) + (𝛾 2 − 𝓌12 )cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙)] −𝐴 · 𝓌𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 𝑘 · 𝐴2 −2𝛾𝑡 ·𝑒 2 𝑏 2𝑚 (𝛼 + )2 · 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 𝒙̇ (𝒕) 𝑬𝒎 (𝒕) 𝔀𝟏 𝐱̈ (𝐭) [𝐶2 + 𝛼(𝐶1 + 𝐶2 𝑡)] · 𝑒 (𝛼·𝑡) 𝑬𝒑 (𝒕) 2 𝛼 + · 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 𝒙̇ (𝒕) 𝐱̇ (𝐭) 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 𝐴 − ·𝑡) 𝛄 𝑘 𝓌𝑜 = � 𝑚 𝛼 ± = −𝛾 ± �𝛾 2 − 𝓌𝑜2 𝒙(𝒕) 𝑥𝑜 𝔀𝒐 𝒙̇ (𝒕) 𝐴 · cos(𝓌1 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � 𝑬𝒄 (𝒕) 𝐶1 · 𝑒 �𝛼 (𝐶1 + 𝐶2 𝑡) · 𝑒 (𝛼·𝑡) CASO DÉBILMENTE AMORTIGUADO SIMPLIFICADO ⟺ 𝛾 2 ≪ 𝓌𝑜2 �𝑥𝑜2 + − ·𝑡) 𝐱(𝐭) CASO DÉBILMENTE AMORTIGUADO ⟺ 𝛾 2 < 𝓌𝑜2 𝑨 𝜶± SOLUCIÓN GENERAL 𝒙̈ (𝒕) ˂𝑬𝒄 ˃ 𝑘𝐴2 −2𝛾𝑡 ·𝑒 4 −𝐴 · 𝓌2𝑜 cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒 −𝛾𝑡 ˂𝑬𝒑 ˃ 𝑘𝐴2 −2𝛾𝑡 ·𝑒 4 ˂𝑷˃ 2 −𝛾 · 𝑘 · 𝐴 · 𝑒−2𝛾𝑡 ˂𝑬𝒎 ˃ 𝑘𝐴2 −2𝛾𝑡 ·𝑒 2 MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO (MAF) PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE LA EDO LINEAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL MAF Como ya vimos en el caso del movimiento oscilatorio amortiguado, podíamos entender la igualación del sumatorio de fuerzas con la ley segunda ley de Newton como una especie de ecuación de equilibrio.
En el OAS sólo actuaba una fuerza, la del muelle sobre la masa adherida (𝐹ℎ ): 𝐹ℎ = −𝑘 · 𝑥 En el MOA actuaba, además, una fuerza de rozamiento (debida a un rozamiento mecánico, la viscosidad de un medio, etc.): 𝐹𝑟 = −𝑏 · 𝑥̇ Para el movimiento armónico forzado añadiremos una tercera fuerza que, al contrario que las anteriores, no será una fuerza necesariamente restitutiva y, por lo tanto, no le pondremos signo negativo. Además, debido a que el movimiento armónico forzado es relevante en el estudio de diversos tipos de fuerzas actuando sobre un sistema, generalizaremos la fuerza en función del tiempo (𝐹(𝑡)) y la definiremos de una forma u otra según cada problema.
Por lo tanto, nuestra ecuación de equilibrio será de la forma: −𝑘 · 𝑥 − 𝑏 · 𝑥̇ + 𝐹(𝑡) = 𝑚 · 𝑥̈ Manipulamos la ecuación aislando nuestra fuerza en función del tiempo y dividiendo entre m todos los términos: 𝑚 · 𝑥̈ + 𝑏 · 𝑥̇ + 𝑘 · 𝑥 = 𝐹(𝑡) ⟺ 𝑥̈ + 𝐹(𝑡) 𝑏 𝑘 · 𝑥̇ + · 𝑥 = 𝑚 𝑚 𝑚 Finalmente, usamos las definiciones típicas para 𝓌𝑜 y γ, y obtenemos nuestra EDO lineal de segundo orden: 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹(𝑡) 𝑚 Esta EDO tiene como solución general la suma de la solución homogénea y la solución particular: 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡) La ecuación homogénea cumple que es solución a: 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 0 Mientras que la ecuación particular cumplirá que es solución a: 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹(𝑡) 𝑚 La ecuación particular, por tanto, dependerá de la 𝐹(𝑡) que usemos en cada problema (veremos ejemplos más adelante). Mientras que la homogénea será la misma ecuación que verificada la EDO del MOA (nótese que es la misma EDO) y, por conveniencia, usaremos la solución del MOA débilmente amortiguado ideal, es decir: 𝑥ℎ(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 𝑥̇ 𝑜2 ⎧ ⎪ 𝐴 = �𝑥𝑜2 + 2 𝓌𝑜 ⎨ ⎪ 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 �𝑥𝑜 � ⎩ 𝐴 Debido a que nuestra solución homogénea es una ecuación exponencial decreciente, es lógico pensar que con el paso del tiempo “desaparecerá su efecto” sobre la ecuación general, y a partir de cierta t sólo “actuará”, prácticamente, el segundo término (la solución particular).
Mientras actúen las dos ecuaciones hablaremos de RÉGIMEN TRANSITORIO, mientras que a partir del t en que prácticamente sólo actúe la ecuación de la solución particular hablaremos de RÉGIMEN PERMANENTE.
Matemáticamente, supondremos que cuando t tiende al infinito y la ecuación homogénea, por tanto, tiende a cero, estaremos en régimen permanente.
Existen varios casos de interés según el tipo de fuerza 𝐹(𝑡) que interviene en el MAF. Nosotros estudiaremos dos de ellos: el caso para una fuerza constante y el caso para una fuerza periódica o sinusoidal.
CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN PARTICULAR PARA UNA FUERZA CONSTANTE Y SOLUCIÓN GENERAL PARA ESTE CASO: Como ya dijimos, la solución particular depende de cada problema. En concreto depende de la expresión de la fuerza 𝐹(𝑡) de cada problema. El caso más sencillo es el caso de una fuerza constante, es decir, que no dependa del tiempo: 𝐹(𝑡) ≡ 𝐹 𝑐𝑡𝑒.
Con lo cual la EDO cuya solución sería la solución particular es del tipo: 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹 𝑚 Lo que equivale a decir que necesitaremos una ecuación que derivada dos veces, más derivada una vez, más ella misma sin derivar, con sus respectivos coeficientes, equivalga a No es difícil ver que al ser 𝑥 cualquiera constante: 𝐹 𝑚 𝐹 𝑚 .
un resultado constante, nuestra solución será una expresión constante, ya que, para un 𝑥̈ = 0 (la segunda derivada de la constante es cero) 2γ𝑥̇ = 0 (la primera derivada de una constante multiplicada por cualquier coeficiente es cero) 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝓌𝑜2 𝑥 (la constante sin derivar multiplicada por un coeficiente quedará tal cual) Así pues, nuestra solución será el resultado de igualar: 0 + 0 + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹 𝐹 𝐹·𝑚 𝐹 ⟹ 𝑥= = ⟹ 𝑥= 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑀𝐴𝐹, 𝐹 𝑐𝑡𝑒.
2 𝑚·𝑘 𝑚 𝑘 𝑚 · 𝓌𝑜 Ahora añadimos la solución particular a la solución general, es decir, sumada a la solución homogénea que ya vimos antes: 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡) ⟺ 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + 𝐹 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑀𝐴𝐹, 𝐹 𝑐𝑡𝑒.
𝑘 EJEMPLO DE MAF CON FUERZA CONSTANTE: Una masa colgada del techo por un muelle está bajo el efecto de la fuerza de la gravedad, que es una fuerza que no depende del tiempo (cte. ∀𝑡). Primero identificamos la expresión de la fuerza cte.: 𝐹𝑔 = −𝑚𝑔 Finalmente, sustituimos en nuestra expresión general, que será la expresión para el régimen transitorio: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + 𝐹𝑔 𝑚𝑔 = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 − 𝑘 𝑘 Para hallar la expresión del régimen permanente aplicamos el límite para 𝑡 ⟶ ∞ a la ecuación homogénea, lo que, como ya dijimos, la anulará. Por lo tanto, la expresión para el régimen permanente es: 𝑥(𝑡) = − 𝑚𝑔 𝑘 CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN PARTICULAR PARA EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA Y SOLUCIÓN GENERAL PARA ESTE CASO: El caso de más interés en los MAF es el de una fuerza periódica sinusoidal, es decir, del tipo: 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡� o 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin�𝓌𝑓 𝑡� Ojo con la notación: No confundir la frecuencia angular propia del sistema (𝓌𝑜 ) con la propia de la fuerza (𝓌𝑓 ).
Por tanto, nuestra EDO a solucionar, en este caso, será: 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹(𝑡) 𝑚 Donde 𝐹(𝑡) dependerá del tiempo y será una de las dos expresiones anteriores. Para generalizar y resolver la EDO para las dos posibles expresiones al mismo tiempo, se emplea la fórmula de Euler (pasamos las dos expresiones trigonométricas a una sola exponencial) y re-expresamos la fuerza como: 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · 𝑒 𝑖𝓌𝑓𝑡 Nótese que si volvemos a trigonométricas usando la fórmula de Euler, la parte real será la correspondiente a la función coseno y la parte imaginaria a la función seno. En cualquier caso, nuestra EDO a solucionar será de la forma: 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹𝑜 · 𝑒 𝑖𝓌𝑓𝑡 𝑚 𝑧̈ + 2γ𝑧̇ + 𝓌𝑜2 𝑧 = 𝐹𝑜 · 𝑒 𝑖𝓌𝑓𝑡 𝑚 Si usamos notación 𝑧 (típica cuando se trabaja en complejos) en lugar de 𝑥 la EDO será de la forma: La solución particular asociada a esta EDO (cuyo razonamiento matemático puede buscarse en internet o, parcialmente, en los apuntes oficiales de la asignatura) es: 𝑧𝑝(𝑡) = 𝐹𝑜 · 𝑒 𝑖𝓌𝑓𝑡 −𝑚𝓌𝑓 + 𝑘 + 𝑖𝑏𝓌𝑓 Con lo cual, según el tipo de función (coseno o seno) que define nuestra fuerza periódica, y desarrollando la exponencial por Euler según el caso, la solución particular en reales será: 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡� ⟹ 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin�𝓌𝑓 𝑡� ⟹ 𝑥𝑝(𝑡) = Donde la expresión de 𝛿 es: 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐹𝑜 𝜋 · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 2 𝑘 2 2 𝓌𝑓 · �𝑏 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝓌 � 𝑓 𝐹𝑜 𝜋 · sin �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 2 𝑘 2 2 𝓌𝑓 · �𝑏 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝓌 � 𝑓 𝑏 𝑘 2 �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝓌� 𝑓 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑚𝓌𝑓 − 𝑘⁄𝓌𝑓 �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝑘 2 𝓌𝑓 � Debido a una serie de convenciones (más información en los apuntes oficiales), se define el módulo de la impedancia en función de la frecuencia angular de la fuerza como: 𝑍(𝓌𝑓) = �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝑘 � 𝓌𝑓 2 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 Con lo cual nuestra solución particular simplificada, para cada tipo de fuerza periódica, quedará de la forma: 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡� ⟹ 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐹𝑜 𝜋 · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin�𝓌𝑓 𝑡� ⟹ 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐹𝑜 𝜋 · sin �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑂𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 Donde: 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑂𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑘 𝑚𝓌𝑓 − 𝓌 𝑓 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 � � 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑍(𝓌𝑓) 𝑍(𝓌𝑓) 𝑏 Y si sustituimos en la ecuación general, sumando la particular a la homogénea: 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + 𝐹𝑜 𝜋 · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + 𝜋 𝐹𝑜 · sin �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑂𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑂𝐹 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑜 Nótese que en régimen permanente, cuando la ecuación homogénea se anule, sólo nos quedará la expresión de la solución particular.
POTENCIA ABSORVIDA MEDIA E INSTANTÁNEA Y POTENCIA DISIPADA MEDIA E INSTANTÁNEA PARA EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA: Como ya vimos en el caso del MOA débilmente amortiguado ideal, cuya solución general es la misma que la solución homogénea del MAF con fuerza periódica. Las exponenciales decrecientes en las ecuaciones del movimiento implicaban que el sistema perdiese energía en función del tiempo, a lo cual llamábamos potencia disipada.
Ahora nos interesan las implicaciones en cuanto a potencia de la ecuación particular cuando ya estamos en régimen permanente. Debido a que la ecuación particular no es exponencial decreciente (es sinusoidal) podemos anticipar que no habrá una potencia disipada, sino que la fuerza suministrará potencia al sistema, es decir, habrá una potencia absorbida.
Análogamente a como hicimos en el cálculo de la potencia en el MOA débilmente amortiguado ideal y considerando el caso para 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡�, calcularemos en primer lugar la potencia absorbida debido a la fuerza periódica: 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝑑𝑥𝑝 𝑑𝑊 = 𝐹(𝑡) · = 𝐹(𝑡) · 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Derivamos, por tanto 𝑥𝑝(𝑡) y la metemos dentro de la expresión de la potencia: 𝑥𝑝(𝑡) = Por lo tanto: 𝐹𝑜 𝜋 −𝐹𝑜 𝜋 𝐹𝑜 · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � ⟹ 𝑥̇ 𝑝(𝑡) = · sin �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � = · cos�𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 𝑍�𝓌𝑓� 𝑍�𝓌𝑓� 2 2 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝐹𝑜2 𝑍�𝓌𝑓� · cos�𝓌𝑓 𝑡� · cos�𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 Para calcular la potencia absorbida promedio en un periodo usamos la propiedad trigonométrica del coseno de la suma de ángulos en primer lugar y la integral habitual después: 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 𝐹𝑜2 𝑍�𝓌𝑓� · cos�𝓌𝑓 𝑡� · cos�𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� = 2𝜋 2𝜋 𝐹𝑜2 𝑍�𝓌𝑓� · �cos2�𝓌𝑓 𝑡� 𝑐𝑜𝑠(𝛿) − cos�𝓌𝑓 𝑡� sin�𝓌𝑓 𝑡� sin(𝛿)� 𝓌𝑓 𝓌𝑓 𝓌𝑓 𝓌𝑓 𝐹𝑜2 = � 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) 𝑑𝑡 = � · �cos2 �𝓌𝑓 𝑡� 𝑐𝑜𝑠(𝛿) − cos�𝓌𝑓 𝑡� sin�𝓌𝑓 𝑡� sin(𝛿)� 𝑑𝑡 = 2𝜋 0 2𝜋 0 𝑍�𝓌𝑓� 2𝜋 2𝜋 𝓌𝑓 𝐹𝑜2 𝓌𝑓 𝓌𝑓 = · · �� cos2 �𝓌𝑓 𝑡� 𝑐𝑜𝑠(𝛿) 𝑑𝑡 − � cos�𝓌𝑓 𝑡� sin�𝓌𝑓 𝑡� sin(𝛿) 𝑑𝑡 � = 2𝜋 𝑍�𝓌𝑓� 0 0 2𝜋 2𝜋 𝓌𝑓 𝐹𝑜2 𝓌𝑓 𝓌𝑓 = · · 𝑐𝑜𝑠(𝛿) · �� cos2�𝓌𝑓 𝑡� 𝑑𝑡 − 𝑡𝑔(𝛿) � cos�𝓌𝑓 𝑡� sin�𝓌𝑓 𝑡� 𝑑𝑡 � = 2𝜋 𝑍�𝓌𝑓� 0 0 = 𝓌𝑓 𝐹𝑜2 𝓌𝑓 𝐹𝑜2 𝜋 𝜋 𝐹𝑜2 · · 𝑐𝑜𝑠(𝛿) · � − 𝑡𝑔(𝛿) · 0� = · · · 𝑐𝑜𝑠(𝛿) = · 𝑐𝑜𝑠(𝛿) = ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 2𝜋 𝑍�𝓌𝑓� 2𝜋 𝑍�𝓌𝑓� 𝓌𝑓 2 · 𝑍�𝓌𝑓� 𝓌𝑓 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 Nota: el valor 𝑐𝑜𝑠(𝛿) en la ecuación anterior recibe el nombre de factor de potencia.
Nótese que como la expresión de δ es: 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � Podemos re-expresar ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 como: 𝑏 𝑍(𝓌𝑓) � ⟺ 𝑐𝑜𝑠(𝛿) = ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 = 𝑏 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑍�𝓌𝑓� 𝐹𝑜2 𝑏 · 𝐹𝑜2 · 𝑐𝑜𝑠(𝛿) = 2 2 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 · 𝑍�𝓌 𝑓� Ahora, para calcular la potencia instantánea y media disipada volvemos de nuevo a la definición de potencia, pero esta vez evaluaremos la fuerza de oposición al movimiento, que como ya vimos en el caso débilmente amortiguado ideal, definíamos a partir de un coeficiente de rozamiento o viscosidad multiplicado por la velocidad: 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = 𝑑𝑥𝑝 𝑑𝑊 = 𝐹𝑟 (𝑡) · = 𝐹𝑟 (𝑡) · 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) = −𝑏 · 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) · 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) = −𝑏 · 𝑥̇ 𝑝 2(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Sustituyendo la derivada del desplazamiento ya conocida en la fórmula obtenemos que: 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = −𝑏 · 𝐹𝑜2 2 𝑍�𝓌 𝑓� · cos 2�𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 Integramos de la forma habitual para encontrar la potencia disipada media en un periodo: ˂𝑃˃𝑑𝑖𝑠 2𝜋 2𝜋 𝓌𝑓 𝓌𝑓 𝓌𝑓 𝓌𝑓 −𝑏 · 𝐹𝑜2 = � 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) 𝑑𝑡 = � · cos 2�𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� 𝑑𝑡 = 2 2𝜋 0 2𝜋 0 𝑍�𝓌 � 2𝜋 𝑓 𝓌𝑓 −𝑏 · 𝐹𝑜2 𝓌𝑓 −𝑏 · 𝐹𝑜2 𝜋 −𝑏 · 𝐹𝑜2 𝓌𝑓 = · 2 · � cos2 �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� 𝑑𝑡 = · 2 · = = ˂𝑃˃𝑑𝑖𝑠 2 2𝜋 𝑍�𝓌 � 2𝜋 𝑍�𝓌 � 𝓌𝑓 2 · 𝑍�𝓌 0 � 𝑓 𝑓 𝑓 Luego, la potencia media disipada en un periodo es igual, pero de signo contrario, a la potencia media absorbida en el mismo periodo. Es decir, la potencia suministrada por la fuerza al sistema se disipa totalmente en el rozamiento.
RESONANCIA (EN VELOCIDAD O EN ENERGÍA) EN EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA: Como ya vimos al plantear la EDO del MAF, existe una frecuencia angular propia del sistema (𝓌𝑜 ) y una frecuencia angular propia de la fuerza (𝓌𝑓 ). El valor de la frecuencia angular del sistema o frecuencia angular natural es la habitual: 𝓌𝑜 = � 𝑘 𝑚 Mientras que la propia de la fuerza 𝓌𝑓 nos la tienen que facilitar directa o indirectamente (dándonos, por ejemplo, el periodo o la frecuencia de la fuerza).
Ahora bien, cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural del sistema, se da lo que se conoce como resonancia en velocidad o resonancia en energía (no confundir con resonancia en desplazamiento, cuyo caso veremos más adelante).
𝓌𝑜 = 𝓌𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 En este caso, todas las expresiones encontradas anteriormente (para la impedancia, desplazamiento, velocidad, etc.) pasan a tener como frecuencia angular la frecuencia natural. De lo que podemos observar diversas consecuencias: 𝑍�𝓌𝑓� = �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑜 − 2 2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘2𝑚 ⎞ = �𝑏 2 + 𝑚2 + � = �𝑏 2 + ⎛𝑚� − − 2𝑚𝑘 = �𝑏 2 = 𝑏 ⟹ 𝓌𝑜 𝑚 𝑚 𝑘 �𝑘 ⎝ 𝑚⎠ 𝑍�𝓌𝑓� = 𝑏 𝟏ª 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑏 𝑏 � = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(1) = 0 = 𝛿 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � 𝑍�𝓌𝑓� En régimen permanente vemos que: 𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑥𝑝 (𝑡) = 𝐹𝑜 𝜋 · cos �𝓌𝑜 𝑡 − � ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) 𝓌𝑜 · 𝑏 2 𝐹𝑜 𝜋 · sin �𝓌𝑜 𝑡 − � ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡) 𝓌𝑜 · 𝑏 2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 En consecuencia, las expresiones de la velocidad serán: 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) = 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 𝐹𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝟐ª 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝟑ª 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 (𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎) Si calculamos las potencias disipadas y absorbidas instantáneas y medias, teniendo en cuenta que nuestras expresiones de desplazamiento, velocidad y fuerza.
𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) ⎧ 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝐹(𝑡) · 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) 𝐹𝑜 ⎪ 𝑥̇ 𝑝 (𝑡) = · cos(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) � ⟹ 𝑏 ⎨ 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = −𝑏 · 𝑥̇ 𝑝 2(𝑡) 𝐹 𝑜 ⎪ 𝑥̇ ) ⎩ 𝑝 (𝑡) = 𝑏 · sin(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = 𝐹𝑜2 · cos 2(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 𝐹𝑜2 · sin2(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 −𝐹𝑜2 · cos2(𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos(𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 −𝐹𝑜2 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡) ⟺ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin(𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 𝟒ª 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎𝑠) 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 Integrando de la forma habitual para calcular la potencia media nos quedará que: ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 = ˂𝑃˃𝑑𝑖𝑠 𝐹𝑜2 2𝑏 −𝐹𝑜2 = 2𝑏 𝟓ª 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏: 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 (𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑑𝑎) 𝑠𝑜𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎𝑠 Al igual que en el caso MAF en el que no hay resonancia, la potencia absorbida, en general, se disipa íntegramente mediante el rozamiento.
En resumen, para este caso particular de MAF con fuerzas periódicas: la impedancia será mínima e igual a b la fuerza está en fase con la función velocidad del sistema 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐧𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐞𝐧 𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 la amplitud de la función velocidad es máxima ⟹ � 𝓌f = 𝓌o ⎨potencias instantáneas absorbidas y disipadas son iguales (signo contrario) ⎪ las transferencias de energía son máximas ⎩ ⎧ ⎪ RESONANCIA EN AMPLITUD EN EL MAF CON FUERZA PERIÓDICA: En el caso de resonancia en velocidad o energía que vimos antes, la amplitud del desplazamiento no es máxima (no confundir con la de la velocidad, que sí lo es). Si quisiéramos calcular la relación necesaria entre la frecuencia angular de la fuerza y la frecuencia natural del sistema que implicaría una amplitud de desplazamiento máxima (y, por consiguiente, el fenómeno de resonancia en amplitud) debemos resolver un pequeño problema de máximos y mínimos: Nuestra ecuación desplazamiento en el caso del MAF con una fuerza periódica en régimen permanente era: 𝑥𝑝(𝑡) = 𝐹𝑜 𝜋 · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 Donde la expresión de la amplitud es, por tanto: 𝐴(𝓌𝑓) = 𝐹𝑜 = 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 𝐹𝑜 𝑘 2 𝓌𝑓 · �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝓌 � 𝑓 Que podemos considerar como una función cualquiera. Al igual que con una función cualquiera, para calcular sus posibles máximos y mínimos, la derivamos y la igualamos a cero (lógicamente, aquí derivamos en función de 𝓌𝑓 , que viene a ser nuestra 𝑥): 𝐴′(𝓌𝑓) = 𝐹𝑜 · �𝑏 2 𝓌𝑓 + 2𝑚𝓌𝑓 · �𝑚𝓌𝑓2 − 𝑘�� 2 3� 2 �𝑏 2 𝓌𝑓2 + �𝑚𝓌𝑓2 − 𝑘� � 𝓌𝑓 = �𝓌𝑜2 − 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝓌𝑓 = 0 ������������� 𝑏2 = �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 2𝑚2 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 Observación: Recordemos que esta es la frecuencia de la fuerza que provocaría la resonancia en amplitud. Si el sistema estuviese muy ligeramente amortiguado (𝛾 2 ≪ 𝓌𝑜2 ) esta frecuencia sería prácticamente la misma que la del sistema (𝓌𝑓 ≅ 𝓌𝑜 ), en este caso tendríamos condiciones de resonancia en amplitud muy próximas a las de la resonancia en velocidad. En la práctica, las frecuencias que provocan la resonancia en amplitud y la resonancia en velocidad son muy próximas entre sí.
La expresión de la amplitud máxima posible para cualquier MAF será entonces: 𝐴�𝓌𝑓� = 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐹𝑜 𝐹𝑜 𝐹𝑜 �������������������������� 𝐴�𝓌𝑓� = = 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 𝑏 · 𝓌𝑓 𝑏 · �𝓌𝑜2 − 𝛾 2 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 En resumen: � 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐧𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐞𝐧 𝐚𝐦𝐩𝐥𝐢𝐭𝐮𝐝 𝔀𝐟 = �𝔀𝟐𝐨 − 𝛄𝟐 ⟹ la amplitud de la función desplazamiento es máxima FORMULARIO DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO: EDO 𝓌𝑜 𝑥̈ + 2γ𝑥̇ + 𝓌𝑜2 𝑥 = 𝐹(𝑡) 𝑚 𝑘 𝓌𝑜 = � 𝑚 SOLUCIÓN HOMOGÉNEA xh(t) = A · cos(𝓌o t + ϕ) · e−γt (para todos los casos) γ 𝐴= 𝐴 �𝑥2𝑜 + γ= 𝜙 𝑥̇ 2𝑜 𝓌2𝑜 CASO 𝑭(𝒕) PERIÓDICA SINUSOIDAL DEL TIPO 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡� MÓDULO DE LA IMPEDANCIA 𝑍(𝓌𝑓) = �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝑘 � 𝓌𝑓 FASE 2 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � 𝑏 𝑍(𝓌𝑓) 𝑥𝑝(𝑡) � 𝑍(𝓌𝑓) = �𝑏 2 + �𝑚𝓌𝑓 − 𝑘 � 𝓌𝑓 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � 𝑏 𝑍(𝓌𝑓) � 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡) (depende del caso) 𝐴 𝑥𝑝(𝑡) 𝑥𝑝(𝑡) RÉGIMEN PERMANENTE 𝑥𝑝(𝑡) = RÉGIMEN PERMANENTE 𝐹𝑜 𝜋 = · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 FASE 2 SOLUCIÓN PARTICULAR: RÉGIMEN PERMANENTE CASO 𝑭(𝒕) cte.
𝑥𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � � CASO 𝑭(𝒕) PERIÓDICA SINUSOIDAL DEL TIPO 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin�𝓌𝑓 𝑡� MÓDULO DE LA IMPEDANCIA 𝑏 2𝑚 SOLUCIÓN GENERAL: RÉGIMEN TRANSITORIO RÉGIMEN TRANSITORIO 𝐹 𝑘 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + 𝐹 𝑘 RÉGIMEN TRANSITORIO 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + RÉGIMEN PERMANENTE 𝐹𝑜 𝜋 = · sin �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 𝐹𝑜 𝜋 · cos �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 RÉGIMEN TRANSITORIO 𝑥(𝑡) = 𝐴 · cos(𝓌𝑜 𝑡 + 𝜙) · 𝑒−𝛾𝑡 + 𝐹𝑜 𝜋 · sin �𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿 − � 𝓌𝑓 · 𝑍�𝓌𝑓� 2 POTENCIAS ABSORVIDAS Y DISIPADAS, INSTANTÁNEAS Y MEDIAS, PARA EL CASO 𝑭(𝒕) PERIÓDICA SINUSOIDAL, 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡� ⋁ 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin�𝓌𝑓 𝑡� POTENCIA INSTANTÁNEA ABSORBIDA POTENCIA MEDIA ABSORBIDA POTENCIA INSTANTÁNEA DISIPADA POTENCIA MEDIA DISIPADA 2 2 2 𝑏 · 𝐹𝑜 −𝑏 · 𝐹𝑜 −𝑏 · 𝐹𝑜2 𝐹𝑜 2 ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃 = · cos 𝑡 − 𝛿� ˂𝑃˃ = �𝓌 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = · cos�𝓌𝑓 𝑡� · cos�𝓌𝑓 𝑡 − 𝛿� 𝑑𝑖𝑠 (𝑡) 𝑓 𝑑𝑖𝑠 2 2 2 2 · 𝑍�𝓌 𝑍�𝓌 2 · 𝑍�𝓌 𝑍�𝓌𝑓� � � � 𝑓 𝑓 FENÓMENO DE RESONANCIA (RESONANCIA EN VELOCIDAD o ENERGÍA) CON EL SISTEMA OSCILADOR: 𝓌𝑓 = 𝓌𝑜 , 𝛿 = 0, 𝑍�𝓌𝑓� = 𝑏 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · cos�𝓌𝑓 𝑡� 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑜 · sin�𝓌𝑓 𝑡� RÉGIMEN PERMANENTE 𝐹𝑜 𝜋 𝑥𝑝 (𝑡) = · cos �𝓌𝑜 𝑡 − � 𝓌𝑜 · 𝑏 2 𝐹𝑜 𝜋 𝑥𝑝 (𝑡) = · sin �𝓌𝑜 𝑡 − � 𝓌𝑜 · 𝑏 2 POTENCIA ABSORBIDA 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝑃𝑎𝑏𝑠 (𝑡) = 𝐹𝑜2 𝑏 · cos2(𝓌𝑜 𝑡) 𝐹𝑜2 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 POTENCIA DISIPADA 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = 𝑃𝑑𝑖𝑠 (𝑡) = −𝐹𝑜2 𝑏 · cos2 (𝓌𝑜 𝑡) −𝐹𝑜2 · sin2 (𝓌𝑜 𝑡) 𝑏 FENÓMENO DE RESONANCIA (EN AMPLITUD) CON EL SISTEMA OSCILADOR: 𝓌𝑓 = �𝓌o2 − γ2 POTENCIA MEDIA ABSORBIDA POTENCIA MEDIA DISIPADA −𝐹𝑜2 2𝑏 2𝑏 2 𝐹𝑜 −𝐹𝑜2 ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 = ˂𝑃˃𝑑𝑖𝑠 = 2𝑏 2𝑏 AMPLITUD DEL DESPLAZAMIENTO (MÁX. POSIBLE) 𝐹𝑜 𝐹𝑜 𝐴= = 𝑏 · 𝓌𝑓 𝑏 · �𝓌o2 − γ2 ˂𝑃˃𝑎𝑏𝑠 = 𝐹𝑜2 𝑓 ˂𝑃˃𝑑𝑖𝑠 = ...