Colección de Problemas (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Cálculo I
Año del apunte 2013
Páginas 64
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

Cap´ıtol 1 Conceptes b` asics 1.1 Enunciats exercicis 1. Sigui a i b reals positius. Partint de a < b arribem a a > b per les passes successives: ⇒ a<b ⇒ a2 < b2 (−a)2 < (−b)2 ⇒ −a < −b ⇒ a>b Quin error hem com´es? On seria l’error si a i b fossin negatius.
2. Poseu-vos exemples i raoneu, segons siguin a i b, quina desigualtat heu de posar en lloc de ? per a cadascuna de les seg¨ uents implicacions: (a) a ≤ b ⇒ 1 a ? 1b .
(b) a ≤ b amb a i b del mateix signe ⇒ a2 ? b2 .
(c) a ≤ b amb a i b del mateix signe ⇒ |a| ? |b|.
3. Resoleu les inequacions seg¨ uents: (a) −6x + 7 ≤ 2x − 9.
(b) x2 − 3x + 1 > 4x − 5.
(c) (x + 1)(x + 2)(x − 4) < 0.
(d) 10(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) − (x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) ≥ 0.
4. Resoleu les inequacions seg¨ uents: x x+2 (a) > 3 − 2x.
(b) < 0.
x+1 3x − 4 (c) x+3 x−3 ≤ .
x−1 x+1 (d) x−1 1 ≤ .
x2 − x − 12 x+2 5. Trobeu els nombres reals que compleixen: (a) 4x − 28 < x2 − 4x − 12 < x − 6.
(b) 2x − 5 > x2 − 5x + 1 ≥ 2x − 11.
2 6. Resoleu les inequacions seg¨ uents: (a) |x − 3| ≥ 2.
(b) |x − 1| + |x + 3| < 8.
(c) |2x − 6| > 9 − x.
(d) 2|x − 2| − 3|x − 5| ≤ 1.
7. Resoleu les inequacions: 2x − 2 (a) ≤ 1.
x+4 (b) |x2 − 4| > 3x.
(c) |x2 + 7x − 8| ≥ |7x + 8|.
(d) |x2 − x − 6| < |x2 − 9x + 14|.
8. (*) Siguin a i b positius. Demostreu que les seves mitjanes: aritm`etica A = a+b , 2 √ geom`etrica G = ab , harm`onica H = 1 a 2 + 1 b , compleixen: H ≤ G ≤ A. Quan valen les igualtats? 9. Resoleu les equacions trigonom`etriques seg¨ uents: ( ) (a) sin 3x = − 12 .
(b) sin π4 + 2x = (c) cos (1 2 (x ) + π) = √ 3 2 .
√ ( ) (d) tg 2x + π3 = − 3.
√ 3 2 .
uents: 10. Resoleu les equacions trigonom`etriques seg¨ (a) sin x = 1 + 2 cos2 x.
(b) sin2 x = cos2 x.
(c) sec x + tg x = 0.
(d) 6 cos2 (x) 2 + cos x = 1.
uents: 11. Resoleu les equacions trigonom`etriques seg¨ (a) sin 2x = 2 cos x.
(b) sin 2x cos x = 6 sin3 x.
(c) sin 4x = sin 2x.
(d) tg x = √ 2 cos x.
uents: 12. Demostreu les identitats trigonom`etriques seg¨ (a) 1 + tg2 α = 1 cos2 α .
(c) sec α − cos α = tg α sin α.
− (b) tg β 1+sec β (d) 1 sin α cos α tg β 1−sec β − cos α sin α = 2 sin β .
= tg α.
13. Demostreu les identitats trigonom`etriques seg¨ uents: (a) sec x sin x − ( (c) tg x + sin x cos x (b) cos 2x = 1 − 2 sin2 x.
= cot x.
) cos x 2 sin x = 1 cos2 x + 1 sin2 x = 1 cos2 x · 1 .
sin2 x (d) sin x+cos x−1 sin x−cos x+1 uents: 14. Demostreu les identitats trigonom`etriques seg¨ (a) sin2 α − cos2 α = sin4 α − cos4 α.
15. Per les funcions hiperb`oliques sh x = se satisfan les identitats seg¨ uents: (a) th x = sh x ch x , ch2 x − sh2 x = 1.
(c) sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y.
( (b) sin α + sin β = 2 sin ex −e−x , 2 ch x = ex +e−x , 2 α+β 2 th x = = cos x sin x+1 .
) ( cos ex −e−x ex +e−x α−β 2 ) .
demostreu que (b) ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y.
(d) sh 2x = 2 sh x ch x, ch 2x = ch2 x + sh2 x.
3 16. Aqu´ı teniu les gr`afiques d’algunes funcions elementals aparellades amb les seves inverses (restringint la funci´o al domini convenient) Observeu la simetria d’una i altra respecte de la recta y = x. Feu per comprendre els elements de les gr`afiques seg¨ uents: 8 4 K 2,5 5 2,5 K 1 K3 √ Les funcions x2 amb x i ex amb ln x (observeu-ne la simetria) 6 K5 5 5 K6 sin x amb arcsin x, tg x amb arctg x (observeu els respectius dominis i recorreguts) 6 6 K5 K1 5 5 K6 cosh x amb argch x i sinh x amb argsh x 4 17. Resoleu les equacions seg¨ uents: (a) log4 x = − log4 2 + log4 5 − 2 log4 3 + (c) log √ 4 x3 − log √ 1 2 log4 9.
(b) 5 ln x − ln 32 = ln x2 .
( ) (d) 2 log(x − 9) − log x − 32 = 1.
10 = 14 .
√ 3 8x = 512.
(e) logx 5 = 3.
(f) (g) 2x = 15.
(h) 27 · 31−x = 1.
(i) √ 3 2 2 45−x = 8x −4 2x−12 .
(j) 22x−1 = √ 3 1 2 4x − 4 .
(k) 2x + 2x+1 = 24.
(l) 53−2x − 5−x = 53−x − 1.
(m) 4x − 2x = 992.
(n) 5x−2 = 4x+1 .
(o) th x = 21 .
(p) sh x + ch 2x = 1.
5 1.2 Respostes als exercicis 1. Si a, b s´on positius (−a)2 < (−b)2 ̸⇒ −a < −b.
Si a, b s´on negatius a < b ̸⇒ a2 < b2 .
2. (a) Si a, b tenen el mateix signe a ≤ b ⇒ 1 a ≥ 1b . Si tenen signe contrari a ≤ b ⇒ 1 a ≤ 1b .
(b) Si a, b s´ on positius a ≤ b ⇒ a2 ≤ b2 . Si a, b s´on negatius a ≤ b ⇒ a2 ≥ b2 .
(c) Si a, b s´ on positius a ≤ b ⇒ |a| ≤ |b|. Si a, b s´on negatius a ≤ b ⇒ |a| ≥ |b|.
3. (a) [2, +∞). (−∞, 1) ∪ (6, +∞). (c) (−∞, −2) ∪ (−1, 4). (d) (−∞, −4] ∪ {−3} ∪ [− 32 , +∞).
√ √ 4. (a) (− 32 , −1) ∪ ( 32 , +∞). (b) (−2, 34 ). (c) (−∞, −1) ∪ [0, 1). (d) [−5, −3) ∪ (−2, 4).
5. (a) (−1, 4) ∪ (4, 6).
(b) (1, 3] ∪ [4, 6).
6. (a) (−∞, 1] ∪ [5, +∞).
7. (a) [− 23 , 6].
( 52 , 4).
(b) (−5, 3).
(b) (−∞, 1) ∪ (4, +∞).
(c) (−∞, −3) ∪ (5, +∞).
(d) (−∞, 4] ∪ [10, +∞).
(c) (−∞, −14] ∪ [−4, 0] ∪ [4, +∞).
(d) (−∞, 1) ∪ 8. Les igualtats valen si i nom´es si a = b.
2kπ 9. (a) x = 7π 18 + 3 , x = 8π π 3 + 4kπ. (d) x = 6 + 11π 18 kπ 2 .
+ 2kπ 3 .
π 4 + kπ 2 .
10. (a) x = π 2 + 2kπ. (b) x = 11. (a) x = (d) x = π 2 π 4 + kπ. (b) x = kπ, x = + 2kπ, x = 3π 4 + 2kπ.
π 6 (b) x = π 24 + kπ, x = 5π 24 + kπ. (c) x = − 2π 3 + 4kπ, x = (c) No t´e soluci´o. (d) x = + kπ, x = 5π 6 2π 3 + kπ. (c) x = + 2kπ, x = kπ 2 , x= π 6 4π 3 + 2kπ.
+ kπ, x = 5π 6 + kπ.
12.
13.
14.
15.
16.
√ 17. (a) x = 56 . (b) x = 2. (c) x = 10. (d) x = 24. (e) x = 3 5. (f ) x = 9. (g) x = lnln15 2 .
1 5 (h) x = ±2. (i) x = 10 . (k) x = 3. (l) x = 0, x = 3. (m) x = 5.
9 , x = −1. (j) x = 2 , x = 2 √ 2 (n) x = log(5/4) . (o) x = ln23 . (p) x = 0, x = ln 5−1 2 .
6 7 Cap´ıtol 2 Funcions reals de variable real L´ımits i continu¨ıtat 2.1 Enunciats exercicis 1. Trobeu el domini de les funcions definides per: √ √ f (x) = x(x2 − 1), g(x) = 2x + |x − 2|, x r(x) = sin x−cos x.
h(x) = ln(1 − ln x), x k(x) = arcsin 1−x , uents 2. Considereu les funcions f (x) = 2x , g(x) = x2 , h(x) = sin x. Expresseu les funcions seg¨ en termes de f, g, h.
F (x) = sin2 (2x ) sin x 2 G(x) = 2sin x + 22 H(x) = 2sin x J(x) = 2sin x 2 K(x) = 22 sin x 3. Coneguda la gr`afica d’una funci´o f : R −→ R, raoneu com s’obtindria la gr`afica de cadascuna de les funcions: f1 (x) = −f (x) f5 (x) = f (x) + 1 f2 (x) = f (−x) f6 (x) = f (x − 1) f3 (x) = |f (x)| f7 (x) = f (2x) f4 (x) = 2f (x) f8 (x) = (f (x))2 4. Partint de les gr`afiques de x → ex i de x → sin x, doneu esquem`aticament la gr`afica de les funcions seg¨ uents: x → e−x x → sin(x + π2 ) x → |ex − 1| x → |sin x| x → ex−3 x → sin2 x 2 x → (ex − 1) x → sin(2πx) 1 . Trobeu-ne el domini A ⊂ R. Estudieu si f : A → R ´es injectiva x+1 i/o exhaustiva. Determineu el recorregut B = f (A) ⊂ R de la funci´o f . Raoneu que f : A → B ´es bijectiva i determineu f −1 .
5. (a) Sigui f (x) = (b) Si g(x) = x + 1, doneu f´ormules expl´ıcites per a les funcions: g ◦ f , f ◦ g, g ◦ f −1 , f −1 ◦ g.
6. (*) Considerem la funci´o f : R → R definida per f (x) = x2 + 6x − 3.
8 (a) Trobeu a, b ∈ R tals que f (x) = (x − a)2 + b.
(b) Determineu J = f (R) ⊂ R, el recorregut de la funci´o f .
(c) Trobeu tots els intervals I ⊂ R tals que f : I → J ´es bijectiva. Per a cada un d’aquests intervals, determineu f −1 : J → I.
7. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: (a) lim x→+∞ −x4 3x5 + 4x − 9 .
+ 9x3 + 5x2 − 9x + 6 2x3 + 4x2 − 9 .
x→∞ 5x2 − x6 (b) lim 7x2 − 15x4 + 4x − 15x3 .
x→+∞ x2 + 3x4 − 10x + 2001 √ √ 5 x− 3x (f) lim √ .
x→∞ 2 3 x + 1 7x3 − 3x8 .
x→−∞ −2x8 − x5 + 5x2 − 9x + 6 (d) lim (c) lim (e) lim x→+∞ (1 − x)(2 − x)(3 − x) .
(x − 1)(2x − 1)(3x − 1) √ (5x − 1) x + 1 √ (h) lim .
x→+∞ (2x − 1) 3x + 2 + 10x √ √ x x + 7x2 + 3x2 x (g) lim √ .
√ x→+∞ x 2x3 + 6x x + 1992 8. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: (√ ) √ (a) lim x2 + 1 − x2 + 7 .
(b) lim x→∞ (c) lim x→+∞ ( (e) lim x→∞ x→+∞ ) (√ 9x2 + x − 3x .
x2 + 6x − (√ (d) lim (√ x→+∞ ) √ 2x4 − 5 .
x3 − 5x + 1 − x2 + ax − √ ) x3 + 7 .
) √ x2 + bx .
( ( ) ( )) (f) lim ln 2x4 − x − ln 57 + x4 .
x→∞ 9. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: ( 2 ) x2x+1 x − 5x + 1 (a) lim .
x→+∞ x2 + 3x + 4 ( (b) lim x→+∞ x2 − λx x2 + λx )x .
10. Trobeu la relaci´o que hi ha d’haver entre a i b per a que ( lim x→+∞ x+a x+2 )ax+b ( = lim x→+∞ ( 11. Per a quins valors de λ es compleix 12. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: ex − e−x (a) lim .
x→−∞ ex + 1 x (c) lim (−1) x→+∞ [x] · 2x2 + 1 .
x2 − 1 lim x→+∞ x2 + λx x2 + x x+b x+1 )2x+a .
)λx = e.
|x| .
x→−∞ x (b) lim (d) lim (−1) [x] x→+∞ · x2 + 11 .
x+3 uents, en els punts que s’indiquen: 13. Estudieu els l´ımits laterals de les funcions seg¨ 1 x−1 (en 1) , |x| , x | sin x| , x [x] , x 9 1 ex , 1 e |x| , e− |x| 1 (en 0) .
14. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: sin x + cos x (a) lim .
x→π cos x − sin x x2 + 5x − 14 .
x→2 −3x + 6 (b) lim x2 − x .
x→1 x2 + x − 2 (c) lim (e) lim + x→−1 (√ ) √ − ln (x + 1) − − ln (3x + 3) .
( (g) lim x→−1 −x + 5 2x2 + 4 x2 − 2x − 15 .
x→5 x3 − x2 − 100 ( ) 1 1 (f) lim − .
x→0 x4 x2 (d) lim x ) x+1 ( .
(h) lim x→3 15. Sigui f : R → R definida per: { ex x+a f (x) = x2 x+6 ) x (x−3)3 .
si x < 0 si x ≥ 0 Com s’ha d’escollir a per tal que la funci´o sigui cont´ınua? 16. Sigui f : R → R definida per   f (x) = −2 sin x A sin x + B  cos x x ≤ −π/2 −π/2 < x < π/2 x ≥ π/2 Com s’han d’escollir A i B per tal que la funci´o sigui cont´ınua? 17. Considereu la funci´o f : R → R definida per f (x) = x[x]. Estudieu la seva continu¨ıtat i classifiqueu-ne les discontinu¨ıtats.
18. Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o: { f (x) = 1/ ln |x| x ̸= 0, 1, −1 0 x = 0, 1, −1 19. Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o definida en R per f (x) = [2 sin x]. Classifiqueu-ne les discontinu¨ıtats.
20. Estudieu la continu¨ıtat de les funcions: f : R \ {0} → R h : R \ {0} → R { 1 f (x) = sin , x g:R→R g(x) = 1 , x k:R→R k(x) = h(x) = x sin { sin x1 0 x sin x1 0 x ̸= 0 x=0 x ̸= 0 x=0 21. Combineu un esquema gr`afic i el Teorema de Bolzano per estudiar el nombre d’arrels i la seva situaci´o aproximada, per a les equacions: (a) x − sin x − 1 = 0.
(b) x sin x = 1.
22. Raoneu quantes arrels tenen les seg¨ uents equacions i separeu-les: (a) ex + x = 10.
(b) x − ln x = 2.
(c) x2 + sin x = 2.
(separar les arrels ´es donar intervals disjunts, tals que en cadascun hi hagi una arrel i nom´es una) 23. Estudieu l’exist`encia de m`axim i de m´ınim absolut de la funci´o f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1, en l’interval [−2, 3].
24. La funci´o f (x) = 6x2 − 2x, t´e m`axim i m´ınim absolut en l’interval [−3, 3]? I en l’interval (−∞, 0]? 10 2.2 Respostes als exercicis 1. Domini de f , [−1, 0] ∪ [1, +∞). Domini de g, [−2, +∞). Domini de h, (0, e). Domini de k, (−∞, 1/2]. Domini de r, R \ {π/4 + kπ , k ∈ Z}.
2. F = g ◦ h ◦ f , G = f ◦ h + f ◦ f ◦ h , H = f ◦ g ◦ h , J = f ◦ h ◦ g , K = g ◦ f ◦ h .
3. Per exemplificar la relaci´o entre les gr`afiques, s’ha triat f (x) = (x−1) sin x, sense cap rerafons profund. En els seg¨ uents gr`afics hi ha la gr`afica de f i la de cadascuna de les fi (i = 1, . . . , 8).
3 3 2 2 y y 1 –4 –3 –2 –1 0 1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 1 x 2 3 4 3 4 3 4 x –1 –1 –2 –2 –3 –3 f1 (x) = −f (x), f2 (x) = f (−x) 6 4 3 y 2 2 y 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 x 2 x –1 –2 –2 –3 f3 (x) = |f (x)|, f4 (x) = 2f (x) 4 3 3 y 2 2 y 1 1 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 x x –1 –1 –2 –2 –3 –3 f6 (x) = f (x − 1) f5 (x) = f (x) + 1, 11 3 3 2 2 y y 1 –4 –3 –2 –1 0 1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 x 3 4 x –1 –1 –2 –2 –3 –3 f8 (x) = (f (x))2 f7 (x) = f (2x), 4. En cada dibuix hi apareix la funci´o de partida, ex , sin x, amb el gr`afic de cadascuna de les funcions de l’enunciat. Es tracta que, si no ho heu fet abans, enteneu ara la traducci´o geom`etrica de la relaci´o entre ambdues gr`afiques.
5 5 4 4 3 3 y –3 –2 y 2 2 1 1 0 –1 1 2 3 –3 –2 0 –1 1 x 2 3 x e−x |ex − 1| 4 3 2 y 2 1 y 1 –2 0 2 4 x –3 –2 0 –1 x (ex − 1)2 ex−3 , | sin x| sin(x + π/2), sin2 x, sin(2πx) 12 1 2 ´ injectiva la funci´o f : A → R perqu`e tots els 5. (a) A = R \ {−1}, B = f (A) = R \ {0}. Es nombres reals tenen una u ´nica antiimatge (l’antiimatge del nombre y ´es 1−y y ) llevat del 0 que no ´es imatge de cap nombre. No ´es exhaustiva f : A → R ja que el 0 t´e conjunt antiimatge buit. La funci´o f : A → B ´es bijectiva amb inversa f −1 : B → A donada per 1 f −1 (x) = − 1.
x x+2 1 (b) (g ◦ f )(x) = amb domini R \ {−1}. (f ◦ g)(x) = , amb domini R \ {−2}.
x+1 x+2 1 x (g ◦ f −1 )(x) = , amb domini R \ {0}. (f −1 ◦ g)(x) = − , amb domini R \ {−1}.
x x+1 6.
a) f (x) = (x + 3)2 − 12 b) J = [−12, +∞).
c) f restringida a I1 = (−∞, −3], indiquem-la f1 , ´es una bijecci´o amb [−12, +∞). Similarment, f2 bijectiva I2 = [−3, ∞) amb [−12, +∞). Les funcions inverses respectives, (−∞, −3] ← [−12, +∞) : f1−1 [−3, +∞) ← [−12, +∞) : f2−1 √ √ s´on f1−1 (x) = −3 − 12 + x , f2−1 (x) = −3 + 12 + x.
7. (a)∞, (b) 0, (c) 32 , (d) −5, (e) − 16 , (f) − 12 , (g) 8. (a)0, (b) 0, (c) 16 , (d) a−b 2 , √3 , 2 (h) 5 √ .
2 3 (e) ∞, (f) ln 2.
9. (a)e−8 , (b) e−2λ .
10. a2 − 2a − 2b + 2 = 0.
11. λ = √ 1± 5 2 .
12. (a)∞, (b) −1, (c) no existeix, (d) ∞.
13. S’indica primer el l´ımit per l’esquerra i despr´es el l´ımit per la dreta: −∞, +∞ 14. (a)1, (b) −3, (c) 13 , (d) − 1, 1 8 65 , + ∞, 0 − 1, 1 0, +∞ + ∞, +∞ 0, 0 (e) 0, (f) ∞, (g) e− 2 , (h) ∞.
1 15. Mireu la gr`afica.
2 2 y y 0 –2 2 x –2 0 2 x A l’esquerra amb a = 1.75, a la dreta amb a = 1 ´es cont´ınua.
16. Mireu la gr`afica.
13 2 x Si A = −1, B = 1, la funci´o ´es cont´ınua.
´ cont´ınua arreu excepte en els punts de Z \ {0}, en els que presenta discontinu¨ıtats de salt.
17. Es Noteu que el salt en n ̸= 0 ´es L+ − L− = n. El vostre raonament us ha de dur a la gr`afica: 5 4 3 y 2 1 –2 0 –1 1 2 x x[x] ´ cont´ınua en R \ {−1, 1}. En −1 i en 1 t´e discontinu¨ıtats de salt infinit, qu`e tamb´e es 18. Es descriuen com discontinu¨ıtats de segona esp`ecie.
4 y 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x –2 –4 1/ ln |x| 19. Discontinu¨ıtat evitable en π2 + 2kπ. Discontinu¨ıtat de salt 1 en 2kπ, π6 + 2kπ i 11π 6 + 2kπ.
7π + 2kπ, π + 2kπ i + 2kπ.
Amb k un enter arbitrari.
Discontinu¨ıtat de salt −1 en 5π 6 6 14 20. f ´es cont´ınua en tot el seu domini R \ {0}.
g ´es cont´ınua excepte en 0, on t´e una discontinu¨ıtat de segona esp`ecie.
f ig 1 1 y –3 –2 y 0 –1 1 2 3 –3 –2 0 –1 1 x –1 1 –2 3 2 3 –1 1 y –3 2 x y 0 –1 1 2 3 –3 –2 0 –1 1 x x –1 –1 hik h ´es cont´ınua en tot el seu domini R \ {0}.
k ´es cont´ınua en tot R.
21. Raoneu posant, per exemple, les equacions en la forma: (a) sin x = x − 1 1 x (b) = sin x Observeu llavors les interseccions de les gr`afiques de sin x amb x − 1, i de sin x amb 1/x.
2 y 0 –5 5 x –2 2 y 0 –10 –2 10 x i ara observeu el nombre d’arrels i la seva distribuci´o, per a cadascuna de les equacions.
22. Similarment, poseu les equacions en la forma: (a) ex = 10 − x (b) x − 2 = ln x Contesteu observant les interseccions en les gr`afiques seg¨ uents: 15 (c) sin x = 2 − x2 12 2 10 1 2 8 y 0 6 y 2 0 2 x 3 4 1 K1 4 K2 1 2 4 6 x 8 10 12 K4 K2 K3 K3 K2 K1 0 K1 1 2 3 4 A m´es l’´ us del teorema de Bolzano aplicat a les funcions f (x) = ex +x−10, g(x) = x−ln x−2 i h(x) = x2 + sin x − 2 us permet, detectant canvis de signe, aproximar les solucions. Per exemple, f (2) = −0.6 . . . < 0 f (3) = 13, 0 · · · > 0 i l’arrel de f es en (2, 3).
23. La funci´o ´es a les hip`otesis del Teorema de Weierstrass, funci´o cont´ınua i interval tancat. Per tant t´e m`axim absolut i m´ınim absolut (s´on, respectivament, f (−2) = 33, f (2) = −31) 24. S´ı, en l’interval [−3, 3], pel Teorema de Weierstrass (s´on, respectivament, f (−3) = 60, f ( 16 ) = − 61 ). En (−∞, 0] t´e m´ınim absolut (que ´es f (0) = 0) per`o no m`axim absolut.
16 17 Cap´ıtol 3 Derivaci´ o (I): teoremes de valor mitj` a i regla de l’Hˆ opital 3.1 Enunciats exercicis 1. Calculeu la derivada de les funcions seg¨ uents: (a) f (x) = (1 − x)p .
(1 + x)q (b) f (x) = (x5 − x3 + 2x − 4)7 .
√ 3 (1 − x) (e) f (x) = .
2 5 .
(x + 4)5 √ (g) f (x) = tg (x + 2).
(d) f (x) = ex .
ln x (m) f (x) = 3 · 7x−ln x .
( ( ))2 (p) f (x) = arctg x2 .
(s) f (x) = cos2 (arctg x) .
x (√ ) 2x 3 +arctg(5 ) (v) f (x) = x3 .
(j) f (x) = (h) f (x) = (x3 − x)2 (3x2 − 2).
√ x−1 (k) f (x) = .
x+1 e 1−x (n) f (x) = e (1 − x) .
(q) f (x) = arcsin x · arccos x.
x (t) f (x) = (2x) .
(w) f (x) = (arctg x) 5x cos x .
(c) f (x) = (f ) f (x) = 3(x − 7)5 .
5 √ 4 log4 (4x).
( ) 1−x (i) f (x) = ln .
1+x sin (x + 1) (l) f (x) = .
x(+ 1 ( )) 2 (o) f (x) = cos cos x .
√ √ (r) f (x) = x arctg x.
x+3 (u) f (x) = (ln x) .
(x) f (x) = xarctg x .
2. Comproveu que la funci´o |x| no ´es derivable en x = 0.
3. Amb la definici´o de derivada, lim x→a doneu-ne el valor.
esin x − 1 (a) lim , x→0 x (b) lim x→0 f (x) − f (a) = f ′ (a) , interpreteu els l´ımits seg¨ uents i x−a ln(7 + sin x) − ln 7 .
x 18 4. Calculeu la funci´o derivada, per a les funcions: (1 − x)p .
(1 + x)q ( ) √ (c) f (x) = ln x + x2 + 1 .
(a) f (x) = (e) f (x) = 1 .
cosn x 1 x2 − 1 ln .
4 x2 + 1 (d) f (x) = cos x .
sin2 x (f ) f (x) = (2 − x2 ) cos x + 2x sin x .
√ √ 1 a+x b √ (g) f (x) = √ ln √ 2 ab a−x b (a > 0, b > 0) .
(h) f (x) = 1 x 1 √ 2 x a − x2 + a2 arcsin 2 2 a x+a a x (k) f (x) = ln √ + arctg .
2 2 b b x +b 1 (l) f (x) = x x .
1 .
x (n) f (x) = 2 tg √ √ (o) f (x) = x + 4 x + 4 ln( x − 1) .
(p) f (x) = − (q) f (x) = x ln(x2 + 1) − 2x + 2 arctg x .
(r) f (x) = (s) f (x) = a2 (a > 0) .
( ) 1 1 2x (j) f (x) = arctg x + ln 1 + .
2 4 1 + x2 x √ (i) f (x) = 2 arctg .
1 + 1 − x2 (m) f (x) = − arctg x − (b) f (x) = 1 (−b cos bx + a sin bx) eax .
+ b2 5. Considerem la funci´o f : R → R definida per:  2  x −a bx2 + cx + 1 f (x) =  2 x +d x −x .
2 ) 1( 4 2x + 4x3 + 6x2 + 6x + 3 e−2x .
4 1 (a cos bx + b sin bx) eax .
a2 + b2 ) √ 1 ( 1 √ (t) f (x) = x x2 + 1 + ln x + x2 + 1 .
2 2 si x < −1 si − 1 ≤ x ≤ 1 si x > 1 Trobeu els valors de les constants a, b, c, d ∈ R que fan que f sigui derivable en R.
{ sin x1 x ̸= 0 6. Considereu la funci´o f definida per f (x) = . Discutiu la continu¨ıtat i la 0 x=0 2 derivabilitat de les funcions f , xf , x f . Alguna d’aquestes funcions ´es de classe C 1 ? 7. Doneu les equacions de les rectes tangents a les gr`afiques de les funcions seg¨ uents en els punts que s’indiquen.
(a) f (x) = xx , en el punt d’abscissa 1.
sin x − cos x , en el punt d’abscissa π/3.
(b) g(x) = ln sin x + cos x 8. Trobeu les rectes tangents a la gr`afica de la funci´o f (x) = x2 − 3x + 1 que passen pel punt (0, 0). Feu el mateix amb el punt (1, 2).
9. Doneu totes les rectes tangents a la gr`afica de la funci´o f (x) = ln x. Quina d’elles passa pel punt (0, k)? 10. Per a quin valor de λ la corba y = eλx i la recta y = x s´on tangents? 19 11. Hi ha alguna recta que sigui tangent, simult`aniament, a les par`aboles d’equacions y = −x2 i y = x2 − 2x + 5? 12. Quina ´es la recta tangent a la corba que compleix x sin y + y cos x = 0, en el punt ( π2 , π)? 13. Escriu l’equaci´o de la recta tangent (o rectes tangents) a la corba d’equaci´o y = x2 + 4x + 1 que t´e una inclinaci´o de 45◦ respecte de l’eix d’abscisses positiu.
sol: y = x − 5 4 [ )] ( punt de tang`encia − 32 , 11 4 14. Escriu l’equaci´o de la recta tangent a la corba d’equaci´o y = x2 + 2x + 2 que ´es paral·lela a la recta d’equaci´o 8x + 2y − 3 = 0.
15. Considereu la corba d’equaci´o y = x3 − 3x2 + 5x + 1 (a) Trobeu l’equaci´o de la recta tangent (o rectes tangents) a aquesta corba que tene pendent igual a 5 (b) Comproveu que no hi ha cap recta tangent a aquesta corba que tingui pendent igual a 1 (c) Hi ha cap valor del pendent al qual correspongui una u ´nica recta tangent? 16. Donada la par`abola d’equaci´o y = x2 − 2x + 5 i la recta que l’´es secant als punts d’abscisses x1 = 1 i x2 = 3, trobeu l’equaci´o de la recta tangent a la par`abola que ´es paral·lela a aquesta secant esmentada.
17. Trobeu l’equaci´o de la recta que ´es perpendicular a la corba de equaci´o y = ln x en el punt d’abscissa x = 2.
18. Considereu la seg¨ uent funci´o: f (x) = x3 +3x−1 x2 (a) Trobeu l’equaci´o de la recta tangent al gr`afic de la funci´o en el punt d’abscissa x = 2.
(b) Especifiqueu els intervals on creix i on decreix: trobeu els seus m`axims i m´ınims locals.
√ 19. Apliqueu el m`etode de Newton a la funci´o f (x) = x2 − 2 per tal d’aproximar 2. Si prenem x = 1 com a punt inicial, quantes iteracions calen per arribar a obtenir-ne deu xifres decimals correctes? 20. Trobeu els zeros del polinomi p(x) = x3 − 3x + 1 amb quatre xifres decimals correctes.
21. Donats r i s positius, sigui f : [a, b] → R, definida per f (x) = (x − a)r (b − x)s . Raoneu que es pot aplicar el teorema de Rolle a f i determineu el punt ξ ∈ (a, b) que predica el teorema.
22. Apliqueu el Teorema del Valor Mitj`a per demostrar les seg¨ uents desigualtats: b−a b−a < arctg b − arctg a < , per a 0 ≤ a < b.
1 + b2 1 + a2 x+1 1 1 (b) < ln < , per a tot x > 0.
x+1 x x x (c) x < arcsin x < √ , per a tot x ∈ (0, 1).
1 − x2 (a) 23. Proveu que l’equaci´o cos x + 2 cos(2x) + . . . + 100 cos(100x) = 0 t´e soluci´o en (0, π).
20 24. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: x x (a) lim .
(b) lim .
x→0 sin x x→0 tg x 3 sin x x (d) lim .
(e) lim 4x .
x→π x − π x→+∞ e 2 (g) lim x3 (ln x) . (h) lim xex .
x→−∞ x→0+ (c) lim x→0 sin 3x .
sin 4x (f) lim+ x3 ln x.
x→0 1 (i) lim x x .
x→+∞ 25. Trobeu els l´ımits seg¨ uents. Observeu que no es pot aplicar el Teorema de L’Hˆopital.
x2 sin x1 , x→0 sin x (a) lim (b) lim x→+∞ x − sin x x + sin x 26. Trobeu els valors de a i b que fan que la funci´o f (x) = a ln x + bx2 + x tingui extrems relatius en x = 1 i en x = 2. De quin tipus s´on? 27. Estudieu l’exist`encia i valor del m`axim i del m´ınim absoluts de les funcions seg¨ uents en els intervals que s’indiquen.
(a) f (x) = x4 − 8x3 + 22x2 − 24x + 5 en l’interval [0, 5].
(b) g(x) = xx en l’interval (0, 2].
(c) h(x) = xp (1 − x)q , on p, q > 0, en l’interval [0, 1].
28. Sigui f : [0, π] → R, amb f (x) = e−x cos x.
(a) Raoneu que f t´e m`axim (M ) i m´ınim (m) absoluts. Trobeu-los.
(b) Doneu el nombre de solucions de les equacions seg¨ uents en l’interval [0, π]: (i) ex + 20 cos x = 0, (ii) ex−1 + 9 cos x = 0.
21 3.2 Respostes als exercicis 1. Aplicant les regles de derivaci´ o s’obt´e: ( )6 ( 4 ) (a) f ′ (x) = 7 x5 − x3 + 2x − 4 5x − 3x2 + 2 .
4 (b) f ′ (x) = 3 (x − 7) .
−25 (c) f ′ (x) = 6.
(x + 4) 3 1/2 (d) f ′ (x) = − (1 − x) .
4 3 −3/4 (e) f ′ (x) = (log4 (4x)) .
4x ln 4 ( ) 1 −1/2 (f ) f ′ (x) = (tg (x + 2)) 1 + tg2 (x + 2) .
2( )( )( ) ( )2 (g) f ′ (x) = 2 x3 − x 3x2 − 1 3x2 − 2 + x3 − x 6x.
2 .
(h) f ′ (x) = 2 x −1 1 (i) f ′ (x) = x ).
2( x (ln x) e (ln x − ex ) √ 1 x+1 √ (j) f ′ (x) = − x − 1 .
2 2 x−1 (x + 1) 1 (k) f ′ (x) = 2 ((x + 1) cos (x + 1) − sin (x + 1)) .
(x + 1) ( ) 1 ′ x−ln x (l) f (x) = 3 · 7 ln 7 1 − .
x e e−1 (m) f ′ (x) = −e1−x (1 − x) − e · e1−x (1 − x) .
x −2e ′ (n) f (x) = 2x .
e −1 ( ) ′ 2 (o) f (x) = 2x sin x · sin cos x2 .
4x (p) f ′ (x) = arctg x2 .
1 + x4 1 (arccos x − arcsin x).
(q) f ′ (x) = √ 1 − x2 √ 1 arctg x √ (r) f ′ (x) = .
+ 2 (x + 1) 2 x −2 (s) f ′ (x) = cos (arctg x) sin (arctg x) .
1 + xx2 ′ (t) f (x) = (2x) (1 +(ln 2x) .
) x+3 1 x+3 (u) f ′ (x) = (ln x) ln (ln x) + .
x ln x) (( ) x 3 3 5x ln x 3 x (v) f ′ (x) = xx+ 2 arctg(5 ) 1+ ln x + 1 + arctg (5 ) .
x 2x ( 2 1 + 52 ) x cos x 5x cos x (w) f ′ (x) = 5 (arctg x) (cos x − x sin x) ln (arctg x) + .
1 + x2 arctg x ) ( arctg x ln x + .
(x) f (x) = xarctg x 1 + x2 x 2. Aplicant la definici´o de derivada, heu de comprovar que el l´ımit lim x→0 |x| − |0| x−0 no existeix.
3. (a) Expresseu la derivada de esin x en 0. El seu valor ´es 1.
´ la derivada de ln(7 + sin x) en 0. Es 1/7.
(b) Es 22 4. Fent els c`alculs corresponents s’obt´e: (a) f ′ (x) = ((q − p)x − p − q) (1 − x)p−1 .
(1 + x)q+1 1 (c) f ′ (x) = √ .
x2 + 1 (e) f ′ (x) = n (b) f ′ (x) = x .
x4 − 1 (d) f ′ (x) = − sin x .
cosn+1 x 1 + cos2 x .
sin3 x (f) f ′ (x) = x2 sin x.
1 .
a − bx2 (h) f ′ (x) = √ a2 − x 2 .
1 (i) f ′ (x) = √ .
1 − x2 (j) f ′ (x) = 1 .
(x + 1)(x2 + 1) (g) f ′ (x) = (k) f ′ (x) = a2 + b2 .
(x + a)(x2 + b2 ) (l) f ′ (x) = x x −2 (1 − ln x).
1 1 − cos x .
1 + cos x 1 .
x4 + x2 √ x+1 (o) f ′ (x) = √ .
x−1 (n) f ′ (x) = (q) f ′ (x) = ln(1 + x2 ).
(r) f ′ (x) = eax cos bx.
(s) f ′ (x) = eax sin bx.
(t) f ′ (x) = (m) f ′ (x) = (p) f ′ (x) = x4 e−2x .
√ x2 + 1.
5. a = −1, b = 1, c = 0, d = 1.
6. Les funcions f , xf i x2 f s´on de C ∞ (R \ {0}). La funci´o f no ´es cont´ınua en 0. La funci´o xf ´es cont´ınua per`o no derivable en 0. Finalment, la funci´o x2 f ´es una vegada derivable en 0 per`o la derivada no ´es cont´ınua en 0. Per tant, cap d’aquestes funcions ´es de classe C 1 (R).
7. (a) x − y = 0.
√ (b) 4x − y + ln(2 − 3) − 4π/3 = 0.
8. x + y = 0 i 5x + y = 0 s´on les rectes tangents a la gr`afica de f que passen per (0, 0). No hi ha cap recta tangent a la gr`afica de f que passi pel punt (1, 2).
9. x−λy+λ ln λ−λ = 0 per a tot λ > 0. La recta tangent que passa per (0, k) ´es y = e−k−1 x+k.
10. λ = 1e .
11. Hi ha dues rectes simult` aniament tangents a les dues par`aboles, d’equacions y = −4x + 4, y = 2x + 1.
12. y = −2x + 2π.
13. y = x − 5 4 ( ) amb punt de tang`encia − 32 , 11 4 .
14. y = −4x − 7 amb punt de tang`encia (−3, 5).
15. a) y = 5x + 1, y = 5x − 3, b), c) pendent= 2.
16. y = 2x + 1.
23 17. y = −2x + 4 + ln 2.
18. (a) y = 14 x + 94 { creix a (−∞, −2) ∪ (−2, 0) (b) t´e un m`axim relatiu a x = −2 19. La transformaci´o de Newton ´es ara N (x) = on els deu decimals ja s´on correctes.
x2 +2 2x .
Aplicant-la 4 vegades s’obt´e 1.4142135623 . . .
−1 e 20. La transformaci´o de Newton ´es N (x) = 2x 3x2 −3 . Partint de x0 = 2, amb 4 iteracions s’obt´ 1.5320 . . .. De x0 = 0 en 3 iteracions tenim 0.3472 . . .. Amb x0 = −2 arribem a −1.8793 . . .
en 3 iteracions.
3 21. ξ = br+as r+s .
22. Apliqueu el Teorema del Valor Mitj`a a les funcions: (a) f : [a, b] → R amb f (x) = arctg x.
(b) g : [x, x + 1] → R amb g(t) = ln t.
(c) h : [0, x] → R amb h(t) = arcsin t.
23. Considereu la funci´o auxiliar f (x) = sin x + sin(2x) + . . . + sin(100x) que ´es derivable en tota la recta. Apliqueu el Teorema de Rolle a f en [0, π]. Tamb´e podeu fer l’exercici usant el Teorema del Valor Mitj`a.
24. (a)1, (b)1, (c)3/4, (d)1, (e)0, (f)0, (g)0, (h)0, (i)1.
( ) x2 sin x1 1 ( x ) 25. (a) Expressant = x sin , notem que, per a x → 0, el primer factor sin x x sin x tendeix a 0 i el segon a 1. Per tant, el l´ımit ´es 0.
(b) En la forma 1− x − sin x = x + sin x 1+ sin x x sin x x , ´es clar que, per a x → +∞, el l´ımit ´es 1.
26. S’obt´e a = − 23 i b = − 16 . La funci´o f (x) = − 23 ln x − 16 x2 + x t´e un m´ınim relatiu en (1, 56 ) i un m`axim relatiu en (2, − 23 ln 2 + 43 ).
27. (a) El m`axim absolut ´es 60 i s’assoleix en x = 5. El m´ınim absolut ´es −4 i s’obt´e en x = 1 i en x = 3.
(b) El m`axim absolut ´es 4 i s’assoleix en x = 2. El m´ınim absolut ´es (1/e)1/e = 0.69220 . . .
i s’obt´e en x = 1/e.
(c) El m`axim absolut ´es x = 0 i en x = 1.
pp q q (p+q)p+q i s’assoleix en x = p p+q .
El m´ınim absolut ´es 0 i s’obt´e en 28. (a) El m`axim absolut ´es 1 i s’assoleix en x = 0. El m´ınim absolut ´es − i s’obt´e en x = 3π 4 .
√ 2 − 34 π 2 e = −0.0670 . . .
(b) Conv´e fer un esquema de la gr`afica. Llavors, posant les equacions en la forma (i) 1 1 f (x) = − 20 = −0.05, (ii) f (x) = − 9e ≃ −0.0408, ´es clar que la primera equaci´o t´e dues arrels en [0, π] i la segona en t´e una.
24 25 Cap´ıtol 4 Derivaci´ o (II): teorema de Taylor 1. Recordeu que f i g, infinit`esims en el punt a, ´es a dir lim f = 0, lim g = 0, s´on equivax→a x→a f ´ convenient que tingueu incorporada la taula seg¨ lents (f ≃ g) quan lim = 1. Es uent x→a g d’infinit`esims equivalents: u ≃ sin u ≃ tg u ≃ arcsin u ≃ arctg u ≃ eu − 1 ≃ ln(1 + u) ≃ sh u ≃ argsh u (u → 0) Proveu les equival`encies de la taula.
2. Usant el Teorema de L’Hˆopital, la taula d’infinit`esims equivalents i una mica de gr`acia, calculeu els l´ımits seg¨ uents: ln(1 + x2 ) x→0 cos x − x − e−x (a) lim (d) lim− ln x ln(1 − x) x→1 ( (g) lim x→π/2 x− π) tg x 2 π ( πx ) tg x→0 x 2 (b) lim (e) lim+ ln x sin x x→e x→0 1 x→0 x (f ) lim x→0 1/ ln x (h) lim+ (sin x) x→0 2e (j) lim (ln x) x2 −e2 (c) lim+ xx (k) lim+ x→0 ( )sin x 1 x 3. Sigui f : R → R una funci´o cont´ınua tal que f (x) = ´ f derivable en 0 ? f (0) ? Es 26 ( 1 1 − sin x tg x ) 1/x (i) lim+ (cos x) x→0 (l) 1 lim (tg x) sin x−cos x x→π/4 1 − esin x per a tot x ̸= 0. Quant val x 4. Determineu el polinomi de Taylor P T (f, a, N ) amb: (a) (b) (c) (d) (e) f (x) = 3 sin 2x − 2 cos 3x, f (x) = x5 , f (x) = x2 ex − xe−x , 2 f (x) = e√x −2x , f (x) = 3 x, a = 0, a = 1, a = 0, a = 0, a = 8, N N N N N = 5.
= 5.
= 6.
= 4.
= 3.
5. Trobeu el polinomi P , de grau m´es petit, que compleix P (−1) = 3, P ′ (−1) = 2,P ′′ (−1) = −2, P ′′′ (−1) = 12.
6. Repasseu els polinomis de Taylor de funcions elementals de la taula seg¨ uent. S’espera, no solament, que els sabeu usar, sin´o tamb´e que, si cal, sapigueu obtenir-los.
ex = N ∑ x2 x3 xN xn + o(xN ) = 1 + x + + + ··· + + o(xN ) n! 2! 3! N ! n=0 cosh x = N ∑ x2n x2 x4 x2N + o(x2N +1 ) = 1 + + + ··· + + o(x2N +1 ) (2n)! 2! 4! (2N )! n=0 sinh x = N ∑ n=0 x2n+1 x3 x5 x2N +1 + o(x2N +2 ) = x + + + ··· + + o(x2N +2 ) (2n + 1)! 3! 5! (2N + 1)! cos x = N ∑ (−1)n 2n x2 x4 x2N x + o(x2N +1 ) = 1 − + + · · · + (−1)N + o(x2N +1 ) (2n)! 2! 4! (2N )! n=0 sin x = N ∑ (−1)n 2n+1 x3 x5 x2N +1 x + o(x2N +2 ) = x − + + · · · + (−1)N + o(x2N +2 ) (2n + 1)! 3! 5! (2N + 1)! n=0 1 1+x = ln(1 + x) = N ∑ (−1)n+1 n (−1)N +1 N 1 1 x + o(xN ) = x − x2 + x3 + · · · + x + o(xN ) n 2 3 N n=1 arctg x = N ∑ (−1)n 2n+1 (−1)N 2N +1 1 1 x + o(xN +2 ) = x − x3 + x5 + · · · + x + o(x2N +2 ) 2n + 1 3 5 2N + 1 n=0 (1 + x) α N ∑ (−1)n xn + o(xN ) = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)N xN + o(xN ) n=0 = ( ) ( ) ( ) α n α 2 α N N x + o(x ) = 1 + αx + x + ··· + x + o(xN ) n 2 n n=0 N ∑ 7. Feu servir la taula anterior de polinomis de Taylor, per donar, a cadascun dels seg¨ uents infinit`esims en 0, un d’equivalent de la forma cxn : (a) ex − 1 − x (b) 2 cosh x + 2 sinh x − 2 − 2x − x2 (d) x − sin x (e) x − 1 + (g) ln 1−x 1+x (h) 1 − 1 1+x (c) cos x + cosh x − 2 (f ) arctg 2x − 2x + 2x3 √ 1 1+x+ x 2 (i) ex + ln 27 1−x e 8. Sigui P = P T (f, a, N ) i Q = P T (g, a, N ),´es a dir, P i Q s´on els polinomis de Taylor de les funcions f i g en el punt a, de grau fins a N . Es compleixen les propietats generals seg¨ uents: P T (λf + µg) = λP + µQ P T (f ′ , a, N − 1) = P ′ ∫ x (F ′ = f ) P P T (F, a, N + 1) = F (a) + a P T (f g, a, N ) = (P Q) |truncat a (x − a)N P T (f ◦ g, 0, N ) = (P ◦ Q) |truncat a xN , (a = 0) (g(0) = 0) Les fareu servir en aquest i en d’altres exercicis. Useu-les per a calcular el polinomi de Taylor, P , de les funcions seg¨ uents, en el punt i de grau que d’indica: (a) (b) (c) (d) (e) f (x) = sin x cos x 2 f (x) = e−x cos x 1 1+x f (x) = ln 2 1−x √ f (x) = ∫ 4 − x2 a=0 a=0 N =4 N =5 a=0 N =5 a=0 N =4 f (x) = a=0 N =6 x e−t dt 2 0 uents infinit`esims en 0, trobeu-ne un d’equivalent de la forma cxn : 9. Per a cadascun dels seg¨ 1 (a) sin x − x + x3 6 (b) 1 − cos ax 1 (c) tg x − x − x3 3 (d) √ 1 1 − x2 − 1 + x2 .
2 10. Establiu les igualtats: tg x arcsin x 1 = x + x3 + 3 1 = x + x3 + 6 2 5 x + o(x6 ) 15 3 5 x + o(x6 ) 40 ax sigui el m´es 1 + bx2 semblant possible a tg x en les proximitats de 0. (Useu el resultat de l’exercici 10.) 11. Calculeu els valors dels par`ametres a i b que fan que la funci´o g(x) = 12. Trobeu els valors de les constants a, b tals que lim (x−3 sin 3x + ax−2 + b) = 0.
x→0 13. Donada la funci´o f (x) = sin 4x sin 3x , calculeu lim f (x) i tamb´e limπ f (x).
x→0 x→ 2 x sin 2x 14. Determineu el l´ımit quan x → 0 de les funcions (a) f (x) = tg 2x − 2 tg x .
sin 2x − 2 sin x 28 √ √ 2 3 1 + 3x − 2 1 + 2x + x2 .
x − sin x 1 2 (c) j(x) = − .
1 − cos x x2 (b) g(x) = 15. Donada la funci´o f (x) = 2 sin x − sin 2x, calculeu: 1 f (x) .
(a) lim (1 + f (x)) x3 .
(b) lim x→0 x→0 f (π − x) sin2 x ( √ )x 2a 16. Calculeu: lim cos on a > 0 .
x→+∞ x 1 17. Considereu la funci´o f : (−1, 0) ∪ (0, +∞) → R definida per f (x) = (1 + x) x . Raoneu: (a) Com hauria de definir-se f en 0 per a que la funci´o f , ara estesa a (−1, +∞) sigui cont´ınua.
1 (1 + x) x − e (b) Calculeu: lim x→0 x i interpreteu aquest l´ımit.
18. Les funcions seg¨ uents s´on infinits quan x → +∞. Ordeneu-los segons el seu ordre de magnitud: √ √ √ x, ln7 x, x73 , x2 ln3 x, x x, xln x , e x.
les funcions seg¨ uents quan x → +∞.
19. Usant l’exercici anterior, determineu els l´ımits de √ √ 2 ln7 x − 3 x x73 − x x (a) √ .
(b) √x .
2 x√− ln7 x x + 11√ln7 x e x x73 − x x √ (c) ln x .
(d) .
x + x73 3x x − xln x 20. Siguin f (x) = x cos x i g(x) = a sin x + bx.
(a) Calculeu a i b perqu`e la difer`encia f (x) − g(x) sigui el m´es petita possible a les proximitats de x = 0.
(b) Pels valors dels par`ametres a i b calculats anteriorment, trobeu: lim x→0 f (x) − g(x) .
x (1 − cos x) (1 − cos2 x) 21. Expresseu les funcions seg¨ uents com a suma del polinomi de Taylor, en el punt i amb el grau indicats, i del residu en la forma de Lagrange.
(a) f (x) = sin2 x, en el punt a = 0 i de grau 4.
√ (b) g(x) = x, en el punt a = 4 i de grau 4.
(c) h(x) = ln(1 + x2 ), en el punt a = 0 i de grau 3.
22. Calculeu, amb error menor que 10−6 , l’arrel quadrada de e.
23. Trobeu els extrems relatius, els intervals de monotonia, punts d’inflexi´o, intervals de concavitat i convexitat, de les funcions, definides en R, seg¨ uents: (a) f (x) = x3 − 4x2 + 4x.
(c) h(x) = (x2 + 2x)ex .
(b) g(x) = x4 − 4x.
2 (d) k(x) = xe−x .
Amb la informaci´o obtinguda representeu gr`aficament cadascuna de les funcions.
29 24. Determineu els intervals de concavitat i convexitat i els punts d’inflexi´o de les funcions seg¨ uents: (a) f (x) = x4 − 2x3 + 3x + 1.
(b) g(x) = x2 .
(x − 1)2 25. Sigui f (x) = ax2 + bx + cx−1 . Determineu els valors dels par`ametres a, b i c que fan que f tingui un punt d’inflexi´o en x = −2 i que l’equaci´o de la recta tangent a la gr`afica de f en aquest punt sigui 7x + 2y + 6 = 0.
26. Raoneu que la funci´o f (x) = par`abola. Trobeu-ne l’equaci´o.
x4 − 2x3 + x2 − 3x ´es asimpt`otica, per a x → ±∞, a una x2 + x + 2 27. Determineu, en funci´o del valor de la constant k, el nombre de solucions (reals) de l’equaci´o: x4 − 4x3 + 4x2 + k = 0.
28. Trobeu el valor p > 0 que maximitza l’angle entre les corbes y = xp , y = x2p en tallar-se en el punt (1, 1).
29. Calculeu les dimensions del rectangle d’`area m`axima que es pot inscriure en la porci´o del pla limitada per la par`abola d’equaci´o y 2 = 25x i la recta d’equaci´o x = 16.
30. Un riu fa una corba descrita per l’equaci´o y = x2 . La ciutat de Pa`ellia es troba al punt (0, 1).
En quin punt del riu caldr`a captar-ne les aig¨ ues perqu`e la canonada (recta) fins a Pa`ellia sigui la m´es curta possible? 30 4.1 Respostes als exercicis 1. Podeu comprovar que s´on infinit`esims equivalents aplicant la definici´o i ajudant-vos amb la Regla de l’Hˆopital.
2.
(a) − 1 (g) − 1 (b) π 2 /2 (h) e (c) 1 (i) 1 (d) 0 (j) e1/e (e) 0 (k) 1 (f ) 1/2 √ (l) e 2 .
1 3. h(0) = −1. La funci´o h ´es derivable en 0 i h′ (0) = − .
2 27 4 4 5 x + x .
4 5 1 + 5(x − 1) + 10(x − 1)2 + 10(x − 1)3 + 5(x − 1)4 + (x − 1)5 .
1 2 1 1 −x + 2x2 + x3 + x4 + x5 + x6 .
2 3 8 20 10 19 1 − 2x + 3x2 − x3 + x4 .
3 6 1 1 5 2 + (x − 8) − (x − 8)2 + (x − 8)3 .
12 288 20736 4. (a) −2 + 6x + 9x2 − 4x3 − (b) (c) (d) (e) 5. P = 6 + 6x + 5x2 + 2x3 .
6. Heu repassat la taula? 7.
(a) 12 x2 , (b) 13 x3 , (f ) − 23 x3 , (g) − 2x , (c) 1 4 12 x , (h) 18 x2 , (d) 16 x3 , (e) x2 , (i) − 16 x3 .
8.
(a) P = x − 23 x3 .
(c) P = x + 31 x3 + 15 x5 .
1 5 (e) P = x − 31 x3 + 10 x .
4 (b) P = 1 − 32 x2 + 25 24 x .
1 2 1 4 (d) P = 2 − 4 x − 64 x .
9.
1 1 5 (a) sin x − x + x3 ≃ x 6 120 2 5 1 3 x (c) tg x − x − x ≃ 3 15 1 (b) 1 − cos ax ≃ a2 x2 .
2 √ 1 1 (d) 1 − x2 − 1 + x2 ≃ − x4 2 8 10. Posant tg′ x = cos−2 x, podeu calcular f`acilment les primeres cinc derivades.
1 1 = (1 − x2 )− 2 .
Calculeu primer el polinomi de Taylor de grau 4 de √1−x 2 11. a = 1, b = −1/3.
12. a = −3 , b = 9 .
2 sin 4x sin 3x = 6, x→0 x sin 2x 13. lim limπ x→ 2 4 sin 4x sin 3x = .
x sin 2x π 31 14.
√ √ 2 3 1 + 3x − 2 1 + 2x + x2 (b) lim = 14.
x→0 x − sin x tg 2x − 2 tg x (a) lim = −2 .
x→0 ( sin 2x − 2 sin x ) 1 2 1 (c) lim − 2 = .
x→0 1 − cos x x 6 1 15. (a) lim (1 + f (x)) x3 = e , x→0 (b) lim x→0 f (x) 1 = .
4 f (π − x) sin2 x 16. e−a .
1 17. (a) S’ha de definir f (0) = limx→0 f (x) = limx→0 (1 + x) x = e.
(0) (b) El l´ımit ´es − 2e . Notem que hem fet limx→0 f (x)−f , per tant ´es la derivada de f en 0.
x √ √ √ 18. ln7 x ≺ x ≺ x2 ln3 x ≺ x73 ≺ xln x ≺ e x ≺ x x .
19. (a) − 3/2 (b) − 1 (c) + ∞ (d) − 1/3 20. (a) a = 3, b = −2.
(b) El numerador ´es equivalent a 1 5 60 x i el l´ımit ´es 1 30 .
1 2 21. (a) sin2 x = x2 − x4 + sin(2ξ)x5 , per a cert ξ entre 0 i x.
3 15 √ 1 1 1 5 7 −9/2 (b) x = 2 + (x − 4) − (x − 4)2 + (x − 4)3 − (x − 4)4 + ξ (x − 4)5 , per 4 64 512 16384 256 a cert ξ entre 4 i x.
(c) ln(1 + x2 ) = x2 − ξ 4 − 6ξ 2 + 1 4 x , per a cert ξ entre 0 i x.
2(ξ 2 + 1)4 22. Usem el Teorema de Taylor amb residu en la forma de Lagrange: (n+1) ex = 1 + x + 1 2 1 (ex ) (ξ) n+1 x + · · · + xn + x , 2! n! (n + 1)! on ξ ´es entre 0 i x. Donant a x el valor 1/2, es veu que el residu ´es menor que 10−6 per a 7 ∑ √ 1 1 n = 7. Llavors: e = + error = 1.6487211 . . . + error, amb 0 < error < 10−6 .
k! 2k k=0 23. (a) f presenta un m´ınim relatiu en (2, 0), un m`axim relatiu en ( 23 , 32 e una u ´nica inflexi´o 27 ) i t´ en ( 43 , 16 27 ).
(b) g t´e un m´ınim relatiu, que resulta ser l’absolut, en (1, −3). No t´e inflexions.
√ √ √ √ √ (c) h t´e un m´ınim relatiu en (−2 + 2, h(−2 + 2)) = (−2 + 2, (2 √− 2 2)e−2+ 2 , un √ √ √ √ −2− 2 m`axim relatiu en (−2 − 2, h(−2 − 2)) = (−2 − 2, (2√+ 2 2)e i dues inflexions: √ √ √ √ √ −3+ 3 √ (−3 + 3, h(−3 + 3)) =√ (−3 + 3, (6 − 4 3)e i (−3 − 3, h(−3 − 3)) = √ √ (−3 − 3, (6 + 4 3))e−3− 3 .
√ √ √ √ (d) k t´e un m`axim relatiu en ( 22 , 22 e−1/2 ) i un m´ınim relatiu en (− 22 , − 22 e−1/2 ) (ambdos √ √ √ √ resulten ser extrems absoluts) i tres inflexions: (0, 0), ( 26 , 26 e−3/2 ) i (− 26 , − 26 e−3/2 ).
32 3 2 2 1 1 K1 K1 0 1 2 0 3 1 2 K1 K1 K2 K2 K3 K3 0,5 0,5 K 0 2 K 8 K 6 K 4 K 0 2 2 2 K K 0,5 0,5 24. (a) La segona derivada ´es 12(x2 − x). T´e inflexions per a x = 0 i x = 1. La funci´o ´es convexa, segona derivada positiva, en (−∞, 0) ∪ (1, +∞) i c`oncava, segona derivada negativa, en (0, 1).
(b) g ′′ = 2(2x + 1)(x − 1)−4 . Nom´es s’anul.la per a x = −1/2, que ´es una inflexi´o. La funci´o ´es convexa en (−1/2, +∞) i c`oncava en (−∞, −1/2).
25. a = 1/4, b = −2, c = 2.
x−4 26. Efectuant la divisi´o, podem expressar f (x) = x2 − 3x + 2 + 2 . Noteu ara que la x +x+2 ( ) x−4 par`abola x → x2 − 3x + 2, compleix: lim f (x) − (x2 − 3x + 2) = lim = 0.
x→±∞ x→±∞ x2 + x + 2 5 y –2 –1 0 1 2 3 x f t´e una as´ımptota parab`olica 33 4 Observeu el numerador x − 4. Adoneu-vos que f (x) i par`abola as´ımptota es tallen, en (4, 6).
27. Estudieu els extrems relatius i la gr`afica de la funci´o f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + k. Obtindreu dos m´ınims relatius: (0, k) i (2, k), i un m`axim relatiu (1, k + 1). El dibuix de l’esquerra correspon a k = −2. Observeu que llavors l’equaci´o donada t´e dues arrels simples.
1 2 x –1 1 2 3 y 0 –1 –1 1 0 1 2 3 x y –2 –1 –3 –2 k = −2 k = −1.5 , k = −1 , k = −0.5 , k = 0 , k = 0.5 Aneu augmentant k, ´es a dir, despla¸cant amunt la gr`afica i raoneu el resultat seg¨ uent: k < −1, dues arrels simples.
k = −1, una arrel doble i dues de simples.
−1 < k < 0, quatre arrels simples.
k = 0, dues arrels dobles.
0 < k, cap arrel.
No oblideu que aquest polinomi sempre t´e quatre arrels en C. Aqu´ı el que hem discutit ´es quantes d’elles s´on reals.
√ 28.
2 2 .
29. Les dimensions s´on 32 3 i 40 3 √ 3.
√ 30. En qualsevol dels dos punts (± 2 1 2 , 2 ).
La longitud de la canonada ser`a 34 √ 3 2 .
35 Cap´ıtol 5 Integraci´ o (I) 5.1 Enunciats exercicis 1. Calculeu les primitives que s’indiquen seguint l’exemple realitzat a cada cas.
∫ ∫ √ 3 2 3 (a) x(x + 1) dx. Exemple a seguir: per calcular sin2 x cos x dx agafem el canvi de ∫ √ ∫ 3 2/3 variable t = sin x, obtenim dt = cos x dx i llavors sin2 x cos x dx = (sin x) cos x dx = ∫ 3 3 t2/3 dt = t5/3 = sin5/3 x.
5 5 ∫ ∫ ∫ sin 5x 1 tg 5x = dx. Exemple a seguir: per calcular dx agafem el canvi de (b) cos 5x x ln x∫ ∫ ∫ 1 1 1 x variable t = ln x, obtenim dt = x1 dx i llavors dx = dx = dt = x ln x ln x t ln |t| = ln | ln x|.
∫ √x ∫ 2 2 √ (c) dx. Exemple a seguir: per calcular xe3x dx agafem el canvi de variable t = x ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 2 3x2 , obtenim dt = 6x dx i llavors xe3x dx = 6xe3x dx = et dt = et = e3x .
6 6 ∫ ∫ ( ) e−3x cos e−3x dx. Exemple a seguir: per calcular x cos(7x2 ) dx agafem el canvi de (d) ∫ ∫ 1 variable t = 7x2 , obtenim dt = 14x dx i llavors x cos(7x2 ) dx = 14x cos(7x2 ) dx = 14 ∫ 1 1 cos t dt = sin t = sin(7x2 ).
14 14 √ ∫ ∫ ( 5x ) sin x 5x √ (e) e sin e dx. Exemple a seguir: per calcular dx agafem el canvi de √ x ∫ ∫ √ √ sin x 1 1 √ √ sin x dx = dx i llavors variable t = x, obtenim dt = 2√ dx = 2 x x 2 x 36 ∫ 2 ∫ (f) (g) (h) (i) (j) sin t dt = −2 cos t = −2 cos √ x.
∫ x2 1 dx.
Exemple a seguir: per calcular dx agafem el canvi de x cos2 (ln x) cos2 (x3 ) ∫ ∫ x2 1 3x2 variable t = x3 , obtenim dt = 3x2 dx i llavors dx = dx = 2 3 cos (x ) 3 cos2 (x3 ) ∫ 1 1 1 1 dx = tg(t) = tg(x3 ).
2 3 cos t 3 3 ∫ ∫ x2 x √ √ dx. Exemple a seguir: per calcular dx agafem el canvi de va6 1−x 7 − x4 ∫ ∫ x 1 x x2 √2 x dx i llavors √ √ √ riable t = √ , obtenim dt = dx = dx = 7 7 4 4 7 7−x 1 − x7 √ ∫ ( 2) ∫ √2 x 1 7 1 1 x x 7 √ √ √ √ √ .
dx = dx = arcsin ( ) ( ) 2 2 2 7 7 2 7 x2 x2 1− √ 1− √ 7 7 ∫ ∫ x x2 dx agafem el canvi de variable dx.
Exemple a seguir: per calcular x 4 + a4 cos2 (x3 ) ∫ ∫ 1 1 1 x−a 1 t = b , obtenim dt = b dx i llavors dx = 2 ( x−a )2 dx = 2 2 (x − a) + b b 1+ b ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 x−a b dx = arctg t = arctg .
( x−a )2 dx = 2 b b 1 + t b b b 1+ b ∫ ∫ x 1 √ √ dx. Exemple a seguir: per calcular dx agafem el 4 2 x −1 cos x sin x − cos2 x canvi de variable t = tg x una vegada fetes unes transformacions ∫ trigonom`etriques, obte∫ 1 1 2 √ √ dx = dx = nint dt = (1+tg x) dx i llavors 2 2x cos2 x tg2 x − 1 cos x sin x − cos ∫ ∫ 1 1 2 √ cos x √ dx = dt = argch t = argch(tg x).
2 2 t −1 tg x − 1 ∫ ∫ x3 e3x √ √ . Exemple a seguir: per calcular dx agafem el canvi de vae6x + 1 x8 + 1 4 riable t = x una fem unes∫transformacions trigonom` ∫ vegada ∫ etriques, obtenint dt = 3 3 x 1 4x 1 1 1 √ √ √ 4x3 dx i llavors dx = dx = dx = argsh t = 8 2 4 2 4 4 4 x +1 t +1 (x ) + 1 ) 1 1 ( 4 √ 8 3 argsh(4x ) = ln x + x + 1 .
4 4 2. Calculeu les primitives que s’indiquen mitjan¸cant un canvi de variable o considerant-les quasiimmediates: 37 ∫ (a) (d) ∫ 2 ∫ ∫ 6 (x + 1)(x + 2x + 5) dx x(4x2 − 5)3 dx x2 dx +2 ∫ 2 2x dx (j) 3 7 ∫ (x + 1) x √ (m) dx 3x2 + 6 ∫ 2 (p) xe−x dx ∫ 1 (s) dx ln x ∫ x arcsin x e √ (v) dx 1 − x2 (g) x3 3. Trobeu les integrals indefinides zero): ∫ (a) x cos x dx ∫ (d) arctg x dx ∫ (g) x2 e2x dx ∫ (j) x sin 2x dx ∫ (m) ln x dx ∫ (p) (x2 − 3x + 5) sin 3x dx ∫ (s) eax sin bx dx 2x (b) dx 2+1 x ∫ (e) 12x dx ∫ 2x2 (h) dx 3 ∫ 6x + 1 √ (k) x + 1 dx ∫ (n) e−x dx ∫ ex (q) dx x ∫ e +1 1 (t) dx 2 (x + 1) arctg x ∫ (c) ∫ (x + 1)8 dx 1 dx 3x +5 ∫ 1 (i) dx 2 ∫ x√+ 2x + 1 (l) x 1 − x2 dx ∫ (o) e2x+1 dx ∫ sin x − cos x (r) dx ∫ sin x + cos x (u) esin x cos x dx (f ) seg¨ uents pel m`etode d’integraci´o per parts (a i b diferents de ∫ (b) ∫ 2 ∫ x sin x dx ln x dx ∫ x2 (h) arcsin x dx ∫ (k) cos(2x)ex dx ∫ (n) x2 ln x dx ∫ (q) x2 e−x dx ∫ (t) x cosh x dx (e) 4. Calculeu les integrals indefinides seg¨ uents: ∫ 1 + cos x √ (a) dx x + sin x ∫ ln x (d) dx ∫ √x (g) x ln x(ln x + 1) dx ∫ sin(ln x) (j) dx x ∫ (m) cos(2x + 5) dx ∫ 1 (p) dx 2 ∫ x(1 + ln x) 3x (s) dx 1 + x2 ∫ √ 3 (v) (2x + x2 )5 (2x + x2 )2 (x + 1) dx ∫ x dx (y) 1 + x4 (c) (f ) (i) ∫ ∫ ∫ ex sin x dx e3x cos 2x dx x3x dx ln x √ dx ∫ x (o) x2 cos 2x dx ∫ (r) eax cos bx dx ∫ 2 (u) x3 e−x dx (l) ∫ cos( x1 ) dx x2 ∫ 2 (ln x) + 1 (e) dx x ∫ (h) ex cos x dx ∫ cos(tg x) (k) dx ∫ cos2 x (n) tg x dx ∫ (q) (x2 − 4) sin x dx ∫ (t) x2 (ln x)2 dx ∫ 1 √ sin8 x cos x dx (w) 3 ∫ (z) (ln x)2 dx (b) ∫ (c) (f ) ∫ 1 x2 e1/x dx ln 2x dx √ sin x √ dx (i) ∫ 3 x (l) x sin(x2 ) dx ∫ 1 √ (o) dx x(x + 1) ∫ (r) ∫ ∫ x cos 3x dx arcsin x + arc cos x √ dx 1 − x2 ∫ tg x e (x) dx cos2 x (u) 5. Trobeu l’`area compresa entre la corba y = sin x, l’eix d’abscisses i les rectes x = 0 i x = π.
38 6. Trobeu l’`area d’un (qualsevol) dels dos recintes compresos entre la corba f (x) = −x2 + 2x − 3 i les dues rectes d’equacions y = −6 i x = 2.
∫ k 7. Trobeu quant ha de valer la constant k pequ`e es verifiqui: (x + k) dx = 2.
1 8. Trobeu l’`area dels dos recintes delimitats per la corba d’equaci´o y = x2 − 4 i les rectes d’equacions y = 0 i x = −3.
9. Considereu el recinte delimitat pel gr`afic de la funci´o f (x) = 3x2 +1 i tres rectes, les equacions de les qulas s´on: y = 0, x = −1 i x = a, on a ´es un par`ametre constant m´es gran que −1.
Trobeu quant ha de valer a perqu`e l’`area del recinte en q¨ uesti´o sigui 12 unitats d’`area.
10. Trobeu l’`area de l’´ unic recinte tancat limitat pero la corba y = ln x i les rectes y = 1 i x = 5.
11. Les gr`afiques de les funcions f (x) = 9x − 3x2 i g(x) = 3x − 24 delimiten un u ´nic recinte tancat. Trobeu l’`area de la part d’aquest recinte que est`a per sota de l’eix d’abscisses.
12. Considereu la funci´o f (x) = −x2 +a2 , on a ´es una constant (a > 0). Digueu quant ha de valer a perqu`e el recinte delimitat per la gr`afica de f (x) i l’eix d’abcsisses tingui una superf´ıcie d’una u.`a.
13. Les gr`afiques de les funcions f (x) = 5x − x2 , g(x) = −7x i h(x) = −14 delimiten diversos recintes tancats. Trobeu l’`area del que inclou el punt P (0, −3).
14. Trobeu l’`area del recinte delimitat per les dues gr`afiques de les funcions f (x) = −x2 + x + 2 i g(x) = 2x2 − 5x − 7.
15. Les gr`afiques de les funcions f (x) = 9 − x2 i g(x) = x2 − 4x + 3 delimiten un u ´nic recinte tancat. Trobeu l’`area de la part d’aquest recinte que est`a al primer quadrant.
16. Siguin les funcions f (x) = x2 i g(x) = mx, amb m > 0. Ajusteu el valor del par`ametre m perqu`e l’`area del recinte delimitat per les gr`afiques de les dues funcions sigui de 2 unitats.
17. Considereu les funcions f (x) = 4x − x2 i g(x) = −x. Sigui M el recinte tancat delimitat per la gr`afiques d’aquestes funcions.
(a) Trobeu l’`area de la part de M que est`a per sota de l’eix d’abscisses.
(b) Ajusteu el par`ametre constant a perqu`e la gr`afica de la funci´o h(x) = (4 − a)x divideixi M en dues parts d’igual `area.
∫3 18. Ajusteu el valor del par`ametre a perqu`e la funci´o f (x) = ax2 + 1 verifiqui: 1 f (x) dx = 58 3 .
19. Trobeu l’`area del recinte tancat per la gr`afiques de les funcions: f (x) = (x − 2)2 i g(x) = −x2 + 4.
20. Les gr`afiques de les funcions f (x) = 3 − 2x − x2 , g(x) = x2 − 4x + 3 i h(x) = 0 delimiten tres recintes tancats. Trobeu l’`area del que est`a totalment incl`os en el primer quadrant.
21. (*)Trobeu l’`area compresa entre les corbes y = f (x) i y = g(x), amb: f (x) = x2 − 6x + 8 i 2 g(x) = − x3 + 10 3 x.
22. (*)Trobeu l’`area del recinte (o recintes) compr`es entre les gr`afiques de les seg¨ uents funcions f (x) = x3 − 4x2 − 21x i g(x) = −14x − 10.
23. Trobeu la soluci´o de les equacions diferencials seg¨ uents: ∫ e (a) f ′′ (x) = x23 sabent que f ′ (1) = 1 i 1 f (x) dx = 0.
39 (b) f ′′ (x) = 6x, f (1) = 3, x (c) (2y + 1) dy = x2d+5 ∫2 f (x) dx = 15 4 .
√ sabent que y( 5) = 1.
1 24. Calculeu les primitives seg¨ uents (a > 0 i b > 0) ∫ ∫ 5 (a) sin 3x cos 3x dx (b) (x + 1)(x2 + 2x)10 dx ∫ (d) ∫ (g) ∫ (j) ∫ (h) 1 dx x ln x ln ln x (k) √ 1 b2 x2 + a2 sin 2x √ dx sin x (e) 1 dx a2 + b2 x2 ∫ (m) ∫ x dx 2 cos (x2 ) ∫ ∫ x2 sin(x3 ) dx (c) ∫ (f ) ∫ 1 dx ex + e−x (i) 1 √ dx a2 − b2 x2 (l) ∫ tg x − 1 dx tg x + 1 1 dx x ln2 x 1 √ dx b2 x2 − a2 dx 25. Calculeu les seg¨ uents primitives de funcions racionals: ∫ (a) (d) (g) (j) (m) ∫ ∫ ∫ ∫ 7x − 2 dx x2 + x − 2 x+3 dx x2 + x + 2 1 dx 3 x −1 1 dx x3 + 1 (x − 1)2 dx (x + 1)(x2 + 4x + 9) ∫ (b) (e) (h) (k) ∫ ∫ ∫ ∫ (n) 1 dx x2 + 2x + 2 x3 dx 2 (x + x − 2)(x2 + x + 2) 1 dx 4 x −1 1 dx x4 + 1 (x − 1)3 dx (x + 1)2 (x2 + 4x + 9) ∫ 1 dx 2 − 6x + 13 x ∫ 1 (f ) dx 2−1 x ∫ 1 (i) dx 2 ∫ x +1 x−1 (l) dx x+1 (c) 26. Recordeu les relacions trigonom`etriques: cos2 α = 1 (1 + cos 2α) , 2 sin2 α = 1 (1 − cos 2α) , 2 que rebaixen els exponents parells. Ajudant-vos d’aquestes relacions obteniu una primitiva per a cadascuna de les funcions seg¨ uents: ∫ ∫ ∫ (a) cos2 x sin2 x dx , (b) cos2 x sin4 x dx (c) sin4 2x dx .
´ a dir: 27. Tractarem ara d’expressar primitives per a funcions racionals trigonom`etriques. Es ∫ R(cos x, sin x) dx , on R ´es un quocient de polinomis (funci´o racional) en les dues variables cos x, sin x.
L’estrat`egia a seguir ´es efectuar el canvi de variable que s’indica, si s’`es en el cas seg¨ uent: (a) Si R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), conv´e fer el canvi sin x = t.
(b) Si R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x) conv´e fer el canvi cos x = t.
(c) Si R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x) conv´e fer el canvi tg x = t.
40 Feu un exemple de cada cas: ∫ ∫ cos3 x sin3 x (a) dx , (b) dx , sin x 1 + cos2 x ∫ (c) ∫ tg3 x dx , (⋆⋆) 1 dx 2 + cos x Fixeu-vos que en el cas (⋆⋆), no es pot aplicar cap dels canvis anteriors. En donarem ara un x que serveix per a qualsevol funci´o racional trigonom`etrica. El canvi ´es tg = t. Llavors, 2 (⋆⋆) x = 2 arctg t , cos x = 1 − t2 , 1 + t2 sin x = 2t , 1 + t2 x′ = 2 .
1 + t2 Resoleu ara l’exemple (⋆⋆) amb aquest canvi.
28. Rellegiu els comentaris fets en l’Exercici 27 i treballeu les primitives seg¨ uents: ∫ ∫ ∫ 1 1 1 (a) dx (b) dx (c) dx cos x sin x 1 + tg x ∫ ∫ ∫ 1 1 sin x (d) dx (e) dx (f ) dx 2 cos x + sin x 1 + cos x + sin x cos x − sin2 x Si podeu fer alg´ un dels canvis particulars (sin x = t, cos x = t, tg x = t) feu-lo. Si no es pot, acudiu llavors al canvi general (tg x2 = t).
29. Calculeu les seg¨ uents primitives de funcions irracionals.
√ ∫ ∫ √ x x √ (a) dx , (b) dx .
3 x+1 x+1 30. Calculeu les primitives seg¨ uents de funcions irracionals quadr`atiques: (a) ∫ √ 7 + 6x − x2 dx , ∫ (c) x2 √ dx , x2 − 1 (b) ∫ √ 8x − x2 dx , ∫ (d) 41 1 dx .
(1 + x2 )3/2 5.2 Respostes als exercicis 1.
1 ln | cos 5x| 5 ( ) 1 (e) − cos e5x 5 1 x2 (h) 2 arctg 2 2a a 2 √x 2 ln 2 (f ) tg(ln x) ) √ 1 ( (i) ln x2 + x4 − 1 2 (a) 1 2 (x + 1)4 8 ( ) 1 (d) − sin e−3x 3 1 (g) arcsin(x3 ) 3 ) √ 1 ( (j) ln e3x + e6x + 1 3 (b) − 1 2 (x + 2x + 5)7 + C 14 1 (4x2 − 5)4 + C (d) 32 1 (g) ln x3 + 2 + C 3 1 (j) − (x3 + 1)−6 + C 9 1√ 2 (m) 3x + 6 + C 3 1 −x2 (p) − e +C 2 (s) ln(ln |x|) + C (v) earcsin x + C (b) ln x2 + 1 + C 12x +C (e) ln 12 1 (h) ln 6x3 + 1 + C 9 3 2 (k) (x + 1) 2 + C 3 (n) − e−x + C (c) 2.
(a) (q) ln |ex + 1| + C 1 (x + 1)9 + C 9 1 (f ) ln |3x + 5| + C 3 1 (i) − +C x+1 3 1 (l) − (1 − x2 ) 2 + C 3 1 (o) e2x+1 + C 2 (r) − ln |sin x + cos x| + C (t) ln | arctg x | +C (u) esin x + C (c) 3.
(a) x sin x + cos x + C (c) 21 ex (sin x − cos x) + C 1 (e) − ln|x| x − x +C 1 2x 2 (g) 2 e (x − x + 12 ) + C (i) 3x ( lnx3 − (ln13)2 ) + C (k) 52 ex (sin 2x + 12 cos 2x) + C (m) x ln x − x +( C ) (o) 12 x cos 2x + 12 x2 − 14 sin 2x + C (q) − (x2 + 2x + 2)e−x + C ax (s) a2e+b2 (−b cos bx + a sin bx) + C 2 (u) − 12 (x2 + 1)e−x + C 4.
√ (a) 2 x + sin x + C (d) 12 (ln |x|)2 + C (g) 23 (x ln |x|)3/2 + C (j) − cos(ln |x|) + C (m) 21 sin(2x + 5) + C (p) arctg(ln |x|) + C (s) 32 ln 1 + x2 + C 3 (v) 28 (2x + x2 )14/3 + C 1 (y) 2 arctg(x2 ) + C (b) (2 − x2 ) cos x + (2x sin x)+ C (d) x arctg x − 12 ln 1 + x2 + C 1 3x (f ) 13 e (3 cos 2x √ + 2 sin 2x) + C (h) x arcsin x + 1 − x2 + C (j) 14 sin 2x − 12 x cos 2x + C √ √ (l) 2 x ln |x| − 4 x + C (n) (13 x3 ln x )− 19 x3 + C( ) (p) 12 x − 34 cos 3x + 21 x2 − 32 x + 49 sin 3x + C 1 ax (r) a2 +b +C 2 (a cos bx + b sin bx)e (t) x sh x − ch x + C (b) − sin( x1 ) + C (e) 13 (ln |x|)3 + ln |x| + C (h) 21 ex (sin x + cos x) + C (k) sin(tg x) + C (n) − ln |cos x| + C (q) 2x sin x + (6 − x2 ) cos x + C 2 3 (t) 13 x3 (ln |x|)2 − 29 x3 ln |x| + 27 x +C 9 1 (w) 9√3 sin x + C (z) x(ln |x|)2 − 2x ln |x| + 2x + C 5. 2u.` a.
6. 9u.` a. o b´e 53 u.` a.
7. k = 5 3 o b´e k = −1 42 (c) e−1/x + C (f ) x ln |2x| − x + C √ (i) − 23 cos x + C 2 (l) − 21 cos(x √ )+C (o) 2 arctg x + C (r) 31 x sin x + 91 cos 3x + C (u) 12 ((arcsin x)2 − (arccos x)2 ) + C (x) etg x + C 8.
7 a.
3 u.` 32 a.
3 u.` i 9. a = 2 10. 5 ln 5 − 10 + e 11.
189 a.
2 u.` √ 12. a = 13.
3 3 4 88 a.
3 u.` 14. 32u.` a.
15.
50 a.
3 u.` 16. m = 17.
√ 3 12 (a) 61 u.` a.
6 5 (b) a = √ .
3 2 18. a = 2 19.
8 a.
3 u.` 20.
22 a.
3 u.` 21.
250 a.
9 u.` 22.
937 a.
12 u.` [ 99 4 u.` a. + 160 a.
3 u.` 2 ] (b) f (x) = x3 −4x+6, e , 23. (a) f (x) = x1 +2x+ 1−e (c) y 2 +y = √1 5 ( arctg x √ 5 ) π +2− 4√ .
5 24. Vinculant cada enunciat amb la derivada d’una funci´o, obtenim: (a) − (d) 1 cos6 3x 18 1 tg(x2 ) 2 1 (g) arctg ab ( ) b x a ( 1 2 (x + 2x)11 22 (c) − (e) √ 4 sin x sin x 3 (f ) − ln | cos x + sin x| b x a (i) − (h) arctg ex 1 (k) arcsin b (j) ln | ln ln x| 1 (m) argsh b (b) ( ) b x a 1 cos(x3 ) 3 1 ln x 1 (l) argch b ( b x a ) ) 1 1 1 1 1 3 1 1 x− sin 4x , (b) x− sin 4x − sin3 2x , (c) x − sin 4x + sin 8x .
8 32 16 64 48 8 8 64 L’aparen¸ca d’aquests resultats pot ser molt diversa, segons com s’hagi enfocat el c`alcul.
25. (a) 26. De la descomposici´o en fraccions simples i el c`alcul de primitives terme a terme, resulta: 43 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) 16 5 ln |x + 2| + ln |x − 1| 3 3 arctg(x + 1) + C 1 x−3 arctg( )+C 2 2 ( ) 1 5√ 2x + 1 2 √ 7 arctg ln(x + x + 2) + 2 7 7 ( ) 2x + 1 2 1 1 5√ 2 √ 7 arctg ln |x + 2| + ln |x − 1| + ln(x + x + 2) − 3 12 8 28 7 1 x−1 ln 2 x+1 √ ( ) 1 2x + 1 1 3 2 √ ln |x − 1| − ln(x + x + 1) − arctg 3 6 3 3 1 1 x−1 − arctg x ln 4 x+1 2 arctg x √ ( ) 1 2x − 1 1 3 √ ln |x + 1| − ln(x2 − x + 1) + arctg 3 6 3 3√ √ √ √ ( ) (√ ) 2 √ x + 2 2x + 1 2 2 √ ln + arctg 2x + 1 + arctg 2x − 1 8 4 4 x2 − 2x + 1 x − 2 ln |x + 1| ( ) 1 17 √ x+2 2 2 √ ln |x + 1| + ln(x + 4x + 9) − 5 arctg 3 6 15 5 ( ) 4 1 x+2 22 13 73 √ 2 √ 5 arctg + ln |x + 1| − ln(x + 4x + 9) − 3 x+1 9 18 45 5 S’espera que sabeu fer la descomposici´o en fraccions simples i el c`alcul d’una primitiva corresponent a arrel real simple, m´ ultiple i arrels complexes simples. Per a c`alculs llargs i pesats, per`o met`odics com aquests, es recorre a eines tipus Maple.
cos3 x ´es imparella en cosinus (per tant podem fer el canvi sin x = t), ´es sin x tamb´e imparella en sinus (per tant podem fer el canvi cos x = t), tamb´e canviar de signe cosinus i sinus mant´e no altera la funci´o (poden doncs usar tamb´e tg x = t. Finalment, com sempre es pot fer el canvi general tg x2 = t. Presentarem les primitives que s’obtenen seguint cadasc´ un d’aquests camins.
1 (sin x = t) resulta la primitiva: F (x) = ln | sin x| − sin2 x , 2 1 2 (cos x = t) ara s’arriba a G(x) = ln | sin x| + cos x , 2 1 2 (tg x = t) resulta: H(x) = cos x + ln | cos x| + ln | tg x| , 2 x x 1 x (tg 2 = t) obtenim: K(x) = −2 cos2 + 2 cos4 + ln sin x .
2 2 2 En general s’aconsella usar alg´ un dels tres primers canvis, si es pot. En altre cas, usarem el canvi general de tg x/2.
En aquest exemple, els c`alculs m´es senzills corresponen als dos primers canvis. Ja sabeu que les quatre primitives obtingudes han de diferir nom´es en constants. Mireu-ho i arribareu a les igualtats: G = F + 1/2, H = F + 1/2, K = F − ln 2.
sin3 x ´es imparella en sinus, farem el canvi cos x = t. Obtindreu, (b) Com que x → 1 + cos2 x com primitiva, la funci´o F (x) = cos x − 2 arctg(cos x).
(c) La funci´o x → tg3 x ´es en el mateix cas que la funci´o de l’apartat (a). Farem ara el 1 canvi t = tg x. Sense dificultats arribem a la primitiva: G(x) = tg2 x + ln | cos x|.
2 27. (a) L’expressi´o 44 (⋆) Ara fem el canvi general: ∫ 1 dx = 2 + cos x ∫ 1 2+ 1−t2 1+t2 2 dx = 2 1 + t2 ∫ ) (√ √ 1 3 3 x =2 arctg tg t2 + 3 3 3 2 28. (a) Podeu fer el canvi sin x = t (seria el preferent) o b´e el general tg x2 = t. Presentem una mateixa primitiva, sota diversos aspectes: (x π) 1 + sin x 1 + sin x 1 , x → ln tg + , x → ln .
x → ln 2 1 − sin x 2 4 cos x (b) Ara cos x = t ´es apropiat. Donem, com abans, tres primitives, amb aspectes diversos, qu`e en aquest cas expressen la mateixa funci´o: x→ 1 1 − cos x , ln 2 1 + cos x x → ln tg x , 2 x → ln 1 − cos x .
sin x 1 1 x + ln | cos x + sin x| 2 2 (d) Ara el recurs ´es el canvi tg x/2 = t. Passareu a una funci´o racional i arribareu a la √ √ tg x2 − 1 + 2 2 √ .
primitiva: x → ln 2 tg x2 − 1 − 2 x (e) Amb el canvi tg x/2 = t, obtindreu: x → ln 1 + tg .
2 (f) La funci´o ´es imparella en sinus. Fem, doncs, cos x = t. Despr´es d’un c`alcul, es t´e la √ √ 2 2 cos x + 1 primitiva: x → ln √ .
4 2 cos x − 1 (c) Fem el canvi tg x = t i obtenim la primitiva: x → 29. (a) El canvi de variable x = t6 fa desapareixer 6 7 6 5 les arrels. El problema amb t passa per efectuar una divisi´o. S’obt´e: x → x 6 − x 6 + 7 5 ( 1) 1 1 2x 2 − 6x 6 + 6 arctg x 6 .
x x+1 = t2 , qu`e elimina l’arrel quadrada i transforma el problema en buscar t2 una primitiva per: t → 2 . Calculada, passada a la variable x i simplificant, (1 − t2 )2 √ (√ √ ) s’obt´e: x → x2 + x + ln x + 1 − x .
(b) Fem el canvi 30. (a) De 7 + 6x − x2 = 16 − (x − 3)2 , el nostre c`alcul pot seguir: √ ( )2 ∫ √ ∫ ( x−3 7 + 6x − x2 dx = 4 1− dx = fem el canvi 4 x−3 4 ) = sin t · · · = 8t + 8 sin t cos t = (desfem el canvi) · · · = √ 1 x−3 (x − 3) 7 + 6x − x2 + 8 arcsin .
2 4 (b) De 8x − x2 = 16 − (x − 4)2 , calculem: √ ( )2 ∫ √ ∫ ( x−4 2 8x − x dx = 4 1− dx = fem el canvi 4 8t + 8 sin t cos t = (desfem el canvi) · · · = √ 1 x−4 (x − 4) 8x − x2 + 8 arcsin .
2 4 45 x−4 4 ) = sin t · · · = (c) El pas a trigonometria hiperb`olica, x = ch t, proporciona: ∫ x2 1 1 1 √ 1 √ dx = · · · = sh t ch t + t = · · · = x x2 − 1 + argch x , 2 2 2 2 2 x −1 ( ) √ on tamb´e pot expressar-se en la forma equivalent: argch x = ln x + x2 − 1 .
(d) Fent x = sh t, la integral es transforma en: ∫ 1 sh t x ··· = dt = th t = √ .
=√ 2 ch2 t 1 + x2 1 + sh t 46 47 Cap´ıtol 6 Integraci´ o (II) 1. Considereu la funci´o f : [−1, 2] → R definida per { |x| si − 1 ≤ x ≤ 1 f (x) = 3 − 2x si 1 < x ≤ 2 ∫ 2 Dibuixeu-ne la gr`afica i determineu el valor de f dx.
−1 2. Sigui f : [−a, a] → R una funci´o integrable que tingui paritat. Raoneu que: ∫ a ∫ a ∫ si f ´es parella llavors f =2 f, si f ´es imparella llavors −a a f =0.
−a 0 3. Usant el resultat de l’Exercici 2 sobre integraci´o i paritat, raoneu les igualtats seg¨ uents: ∫ π 3 (a) −π 3 ∫ x2 sin x dx = 0 , 2 + cos 7x 1 (x − x sin πx + 1) dx = 2 , 3 (c) −1 2 ∫ a ∫ π ( ) 6 2x − 7x3 + 3x4 + 11x5 dx = a5 , 5 −a (b) ∫ 3 π sin3 x cos4 x dx .
4 sin x cos x dx = (d) −π 2 π 2 4. Calculeu les integrals seg¨ uents: ∫ 2 (a) 1 ∫ (d) a ∫ x2 + 1 dx , x3 + 3x √ a2 − x2 dx ∫ 6 |x2 − 8x + 15| dx , (b) 2 ∫ (a > 0) , 0 0 48 π/3 1 (e) π/2 (c) 1 √ dx , x+ x+1 ∫ π/2 (f ) 0 1 dx , sin x sin x dx , 1 + sin x 5. Calculeu les integrals seg¨ uents: que ∫ 2 2 (a) dx (x + 1)(x + 2)(x + 3) ∫0 π/3 1 (d) dx sin x cos x ∫π/6 1√ (g) x2 + 6 dx ∫ 02π (j) ex cos 2x dx ∫0 λ √ 1 (m) 1 − dx (λ ≥ 1) x 1 es d´ona: ∫ 1 2 x +1 (b) dx (x + 1)2 ∫0 π/4 1 (e) dx 3x cos ∫0 2 √ (h) 9 − x2 dx ∫01 (k) x arctg x dx −1 ∫ 2 1 (n) dx 4 1 x (x + 3) 6. Determineu a i b per a que es compleixi: ∫ π 1 (ax + bx2 ) cos nx dx = 2 n 0 ∫ 3 x dx 2 + 9) (x + 1)(x ∫0 π 2 + sin x (f ) dx 2 + cos x ∫ 0e (i) x3 ln2 x dx ∫ 11 (l) x arcsin x dx (c) 0 per a tot enter positiu n.
7. Sigui f : R → R cont´ınua i a : I → R, b : I → R, funcions derivables. Un teorema (de Leibniz) estableix que la funci´o: ∫ b(x) H(x) = f (t) dt ´es derivable i H ′ (x) = f (b(x))b′ (x) − f (a(x))a′ (x) .
a(x) Apliqueu aquest resultat a calcular: ∫ 4x4 √ √ (a) Per a la funci´o: H(x) = cos t dt , obteniu H ′ ( π).
4 ∫ 2x2 x 1 (b) Calculeu lim 6 sin t2 dt .
x→0 x x2 √ ∫ π2 sin x π √ 8. (*) Proveu que dx = .
√ 4 sin x + cos x 0 (Indicaci´ o : feu el canvi t = π/2 − x).
9. (*) Per a tot n ≥ 0 enter, definim: ∫ π2 Cn = cosn x dx , 0 ∫ Sn = π 2 sinn x dx .
0 (a) Proveu que Cn = Sn per a tot n ≥ 0. Indicarem an (n ≥ 0) aquest valor com´ u.
n−1 (b) Proveu la recurr`encia: an = an−2 , per a n ≥ 2.
n (c) Usant la recurr`encia establiu: { ∫ π2 ∫ π2 (n − 1)!! 1 si n ´es imparell n n cos x dx = sin x dx = δn , on δn = π si n ´es parell n!! 0 0 2 10. Determineu, a partir de la definici´o, quines de les integrals impr`opies seg¨ uents s´on convergents i, si ´es el cas, doneu-ne el valor.
∫ +∞ ∫ +∞ 1 1 (a) dx , (b) dx , 1 + x 1 + x2 ∫ 1+∞ ∫1 +∞ (c) e−x dx , (d) x−4 dx , 1 ∫0 +∞ 1 (e) dx , 2 −∞ x + 2x + 5 49 11. Estudieu la converg`encia de les seg¨ uents integrals impr`opies.
∫ +∞ (a) 1 ∫ +∞ (c) 2 ∫ +∞ (e) 2 ∫ +∞ (g) 0 ∫ +∞ (i) 1 ∫ 1 dx , x + sin x 1 ∫ (3 + 2x2 )1/7 dx (x3 − 1)1/5 +∞ (d) 1 ∫ 1 − 4 sin 2x dx , x3 + x1/3 (f ) 1 dx , 1 + x3 (h) 1 √ dx .
x2 + x (j) √ +∞ (b) +∞ 0 ∫ +∞ ln(x2 + 1) dx , x ( ) 2 1 − cos dx , x x √ dx , 1 + x4 e−x dx , 2 −∞ ∫ +∞ 1 ) ( 1 1 tg − sin dx .
x x uents integrals impr`opies, per als valors de λ que les fan convergents.
12. Calculeu les seg¨ ) ) ∫ +∞ ( ∫ +∞ ( 1 x λ λx − dx , (b) − dx .
(a) x2 + 1 2x + 1 2x2 + 1 2x + 1 1 2 ∫ +∞ 13. Estudieu la integral impr`opia −∞ 1 dx (b > 0) i, si ´es el cas, calculeu-la.
(x − a)2 + b2 14. Sigui a > 0. Estudieu i calculeu les integrals impr`opies: ∫ +∞ ∫ (a) e−ax cos bx dx , (b) 0 +∞ e−ax sin bx dx .
0 15. Sigui λ > 0. Estudieu la converg`encia i calculeu, si ´es el cas, les integrals impr`opies: ∫ +∞ ∫ +∞ (a) x2 e−λx dx , (b) P (x)e−λx dx , a a on P ´es un polinomi de grau g.
50 6.1 Respostes als exercicis 1. Podem descomposar la integral de la funci´o: 1 0.5 0 –1 1 2 x –0.5 –1 ∫ ∫ 2 com: f (x) dx = −1 ∫ 2. Descomposeu ∫ 0 f (x) dx.
−1 ∫ a ∫ 1 |x| dx+ (3−2x) dx = − 1 −1 x dx+0 = 0 1 1 + +0 = 1 .
2 2 a f . Transformeu despr´es, amb el canvi x = −t, la integral f+ −a ∫ 0 x dx+ 1 ∫ 0 f= −a ∫ 2 0 −a 3. (a) Observeu que l’interval ´es sim`etric respecte de 0 i que la funci´o ´es imparella.
(b) Com que l’interval [−a, a] ´es sim`etric, x, x3 , x5 s´on funcions imparelles i x4 ´es parella, es compleix: ∫ a ∫ a ∫ a ( ) ( ) 2x − 7x3 + 3x4 + 11x5 dx = 2x − 7x3 + 11x5 dx + 3 x4 dx = −a −a −a ∫ a 6 = 0+6 x4 dx = a5 .
5 0 (c) L’interval [−1, 1] ´es sim`etric. Llavors: ∫ 1 ∫ 1 ∫ x3 − x2 sin πx + 1 = x3 − −1 −1 ∫ 1 1 x2 sin πx + 1 = 0 + 0 + 2 = 2, −1 −1 ja que les funcions x3 , x2 sin πx, s´on imparelles.
(d) Efectuem: ∫ π ∫ 3 4 sin x cos x dx = −π 2 π 2 ∫ 3 3 sin x cos x dx + −π 2 ∫ π 4 π sin3 x cos4 x dx , 4 sin x cos x dx = π 2 π 2 ja que la integral de la funci´o imparella x → sin3 x cos4 x, sobre l’interval sim`etric [−π/2, π/2] ´es nul.la.
1 7 ln .
3 2 (b) Per fer-ho a m`a hem d’observar el signe de x2 − 8x + 15. Dibuixant aquesta par`abola, veiem que ´es negativa en (3, 5) i positiva en la resta. Llavors, la integral ser`a: ∫ 6 ∫ 3 ∫ 5 |x2 − 8x + 15| dx = (x2 − 8x + 15) dx + (−x2 + 8x − 15) dx + 4. (a) Podeu treballar directament i obtindreu 2 2 ∫ 3 6 4 4 4 (x − 8x + 15) dx = + + = 4 .
3 3 3 2 5 51 ∫ π/2 (c) Recordant l’Exercici 28(b), tenim: π/3 [ ]π/2 1 1 − cos x 1 dx = ln = ln 3 .
sin x sin x 2 π/3 (d) El canvi natural ´es x = a sin t (tamb´e seria bo x = a cos t. Noteu que l’interval d’integraci´o passa a ser [0, π/2]. Llavors, ∫ a ∫ √ a2 − x2 dx = 0 π/2 √ ∫ π/2 a2 cos2 t a cos t dt = a2 0 cos2 t dt = 0 1 2 πa .
4 (e) El canvi x = t2 amb t ∈ [0, 1] permet calcular la integral: ∫ 0 1 1 √ dx = 2 x+ x+1 ∫ 1 0 √ 3 t dt = · · · = ln 3 − π.
t2 + t + 1 9 (f) No podem aplicar cap dels casos simplificats presentats en l’Exercici 7. Ens queda el recurs tg x2 = t, i resulta: ∫ 0 5.
π/2 sin x dx 1 + sin x ∫ = 0 1 1 2t 1+t2 2t + 1+t 2 5 (a) ln √4 √ ) 2 1 ( (e) + ln 1 + 2 2 2 ) 1 ( 4 (i) 5e − 1 32 (√ ) √ √ (m) λ2 − λ + ln λ− λ−1 2 dt = 4 1 + t2 ∫ (b) 2 − 2 ln 2 2√ 3π 3 ) 1 ( 2π (j) e −1 5 ( ) 1 8 (n) 6 − ln 81 5 (f ) ln 3 + 1 0 t π = ··· = − 1.
(t + 1)2 (t2 + 1) 2 3 3 π− ln 2 40 20 (√ √ √ ) 7 42 + 6 (g) + 3 ln 2 6 π (k) − 1 2 (c) (d) ln 3 √ 9 2 5 + arcsin 2 3 π (l) 8 (h) 6. Calculem la integral per parts. Resulta: ∫ π (−1)n a + (−1)n 2πb − a (ax + bx2 ) cos nx dx = .
n2 0 L’enunciat es complir`a si i nom´es si (−1)n a + (−1)n 2πb = 1 + a , per a tot n. En particular,n parell, s’ha de complir a + 2πb − a = 1 i tamb´e, n senar, −a − 2πb − a = 1. Resolent el sistema: a = −1, b = 1/(2π).
) ∫ π( 1 2 1 x − x cos nx dx = 2 , (∀n ∈ N) .
2π n 0 M´es endavant, interpretareu integrals com aquesta com coeficients de Fourier d’una funci´o.
√ √ 7. (a) Usant el Teorema de Leibniz obtindreu H ′ ( π) = 20π π.
(b) Dels Teoremes de L’Hˆopital i de Leibniz resulta que el l´ımit ´es 7/3.
√ √ ∫ π/2 ∫ π/2 sin x cos x √ √ 8. Raoneu que les integrals dx, dx s´on iguals i √ √ sin x + cos x sin x + cos x 0 0 sumeu-les.
9. (a) El canvi de variable x = π/2 − t transforma la integral Cn en Sn .
52 (b) Sigui n ≥ 2. Una mica d’enginy permet d’aplicar el m`etode per parts: ∫ an = π 2 ∫ cosn x dx = 0 π 2 (1 − sin2 x) cosn−2 x dx = 0 ∫ π 2 an−2 − ( ) sin x sin x cosn−2 x dx = 0 an−2 + ]π 1 [ 1 1 sin x cosn−1 x 02 − an = an−2 − an , n−1 n−1 n−1 d’on s’obt´e la recurr`encia.
∫ π 2 (c) Del resultat anterior ´es clar que conegudes a0 = 0 π i a1 = 1= 2 an s’expressar`a en termes d’elles. Aix´ı si n ´es parell: an = π 2 cos x = 1, tota 0 n−1 n−1n−3 n−1n−3 31 (n − 1)!! π an−2 = an−4 = · · · = ··· a0 = .
n n n−2 n n−2 42 n!! 2 Similarment, si n ´es senar: an = ∫ 10. Estudiant ∫ lim M →+∞ n−1 n−1n−3 42 (n − 1)!! an−2 = · · · = ··· a1 = .
n n n−2 53 n!! M f , obtenim: a (a) ´es divergent, (c) ´es convergent amb valor 1, (e) ´es convergent amb valor π/2.
(b) ´es convergent amb valor π/4, (d) ´es convergent amb valor 1/3, 11. Fent u ´s del criteris de converg`encia i, en un cas, de la converg`encia absoluta, s’obt´e: (a) divergent.
(c) divergent, (e) convergent (absolutament), (g) convergent, (i) convergent, (b) divergent, (d) convergent, (f) divergent, (h) convergent, (j) convergent.
λx 1 (2λ − 1)x2 + λx − 1 − = , estableix que la integral sobre x2 + 1 2x + 1 (x2 + 1)(2x + 1) [2, +∞) ser`a convergent si i nom´ ( ) es si λ = 1/2. Es calcula la integral sobre [2, M ], 1 5M 2 + 5 1 5 obtenint: ln . Fent el l´ımit, per a M → +∞, resulta: ln .
2 4 4M + 4M + 1 4 4 ) ∫ +∞ ( ∫ +∞ 2 x λ (2 − 2λ)x + x − λ (b) Com abans expressant: − dx = dx, 2+1 2x 2x + 1 (2x2 + 1)(2x + 1) 1 1 ´es clar que la integral ser`a convergent si i nom´es si λ = 1. Llavors, ) ( ) ∫ M ( 1 1 1 2M 2 + 1 x − dx = ln 3 + ln .
2x2 + 1 2x + 1 4 4 4M 2 + 4M + 1 1 12. (a) El c`alcul: Fent-ne el l´ımit per a M → +∞, obtenim el valor de la integral: 53 3 1 ln .
4 2 13. Comparant amb la funci´o 1/x2 decidim que ´es convergent. Ara calculem la integral: ∫ M −M ∫ +∞ −∞ 1 dx (x − a)2 + b2 = 1 dx (x − a)2 + b2 = [ ( )]M ∫ 1 M 1 x−a 1 dx = arctg = 2 b2 −M ( x−a b b −M b ) +1 ( ( ) ( )) 1 M −a −M − a arctg − arctg .
b b b ( ( ) ( )) 1 M −a −M − a lim arctg − arctg = b M →+∞ b b 1 ( π ( π )) π − − = .
b 2 2 b 14. Les dues s´on convergents amb valor: (a) a , a2 + b2 (b) b .
a2 + b2 g e−aλ 2 2 e−aλ ∑ P (k) (a) (a λ + 2aλ + 2), (b) .
λ3 λ λk k=0 (en (b) usem la primitiva vista en l’exercici 4 de c`alcul de primitives) 15. Les dues s´on convergents amb valor: (a) 54 55 Cap´ıtol 7 Transformaci´ o de Laplace 7.1 Enunciats exercicis 1. Demostreu, fent servir la definici´o de la transformada de Laplace: L[eat cos bt] = s−a .
(s − a)2 + b2 2. Calculeu la transformada de Laplace de les seg¨ uents funcions, fent servir la taula de transformades b`asiques i les propietats de la transformada: (a) t2 + t + 1.
(b) e−t − e−2t .
(c) e−4t sin 3t.
3. Trobeu el valor de les seg¨ uents integrals impr`opies, utilitzant la definici´o de la transformada de Laplace i la taula de transformades b`asiques: ∫ ∞ ∫ ∞ 2 −2x (a) (x + x)e dx.
(b) xe−x sin xdx.
0 0 4. Calculeu la transformada de Laplace de les seg¨ uents funcions: (a) sinh 2t.
(c) t2 e−t cos 2t.
(b) cos2 at.
(d) sin t cos 2t.
5. Trobeu les antitransformades de les funcions seg¨ uents: 1 s s .
(b) 2 .
(c) 2 .
(a) 2 s −1 s −4 s +9 2 3 2 s 2 − 5s + 2s + 7s s (d) 2 .
(e) .
(f) .
4 s − s − 20 s (s − 3)3 s+1 100 (g) 2 .
(h) .
s + 4s + 13 (s + 1)2 (s2 + 6s + 25) 6. Una ona de dent de serra ´es la funci´o peri`odica de per´ıode 1 tal que f (t) = t per 0 ≤ t < 1.
(a) Calculeu la seva transformada de Laplace.
(b) Demostreu que f (t) = t − [t] i trobeu a partir d’aqu´ı la transformada de la funci´o part entera, [t].
56 7. Trobeu la transformada de Laplace de l’ona quadrada: { 1 si [t] ´es parella, f (t) = −1 si [t] ´es imparella.
8. Utilitzeu la transformada del sinus i la propietat de transformaci´o de funcions peri`odiques per obtenir la transformada de: { sin 2πt si 0 ≤ t ≤ 1, f (t) = 0 altrament.
9. Calculeu la transformada de Laplace de les funcions seg¨ uents definides a trossos: { { t si 0 ≤ t < 1, 0 si 0 ≤ t < 2, (a) f (t) = (b) g(t) = e1−t si t ≥ 1.
t2 si t ≥ 2.
10. Resoleu els seg¨ uents problemes de valors inicials utilitzant la transformaci´o de Laplace: (a) (b) (c) (d) (e) (f) y ′′ + 2y ′ + y = et , y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
y ′′ + y = sin t, y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
y ′′ + y ′ + y = 1 + e−t , y(0) = y ′ (0) = 0.
y ′′ − 2y ′ + y = tet , y(0) = 1, y ′ (0) = 0.
y ′′′ − y = cos t, y(0) = y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = −1.
y ıv + 2y ′′ + y = 0, y(0) = y ′′ (0) = 1, y ′ (0) = y ′′′ (0) = 0.
11. Resoleu seg¨ uents sistemes d’equacions diferencials{utilitzant la transformaci´ { els { { o de Laplace.
x′ = x + 4y x(0) = 3 x′ = −5x + 3y x(0) = 1 (a) (b) ′ y ′ = 2x − y y(0) = 0 y = −15x + 7y  ′  y(0) = 1 { ′ { x = 3x − y + z   x(0) = 1 x = 3x + y − e2t x(0) = 0 ′ y = 2x + z y(0) = −1 (c) (d) y ′ = 2x + 2y − e2t y(0) = 1  ′  z = x − y + 2z z(0) = 2   ′ { ′′ {  x(0) = 0  x + y ′ = 2z x =y x(0) = 1, x′ (0) = 1 y ′ + z ′ = 2x y(0) = 1 (f) (e) ′ ′ 5x + y = 2x + 4y y(0) = 0   ′ z + x′ = 2y z(0) = 2 12. Resoleu els problemes seg¨ uents de valors inicials: { 2, 0 ≤ t < 1, (a) x˙ + x = f (t), x(0) = 0, on f (t) = 0, t ≥ 1.
{ 0, 0 ≤ t < π, ′ (b) x ¨ + x = f (t), x(0) = 1, x (0) = 0, on f (t) = t, t ≥ π.
....
...
¨(0) = 1, on f (t) = (c) x + 3¨ x + 2x = f (t), x(0) = x(0) ˙ = x (0) = 0, x { 0, 0 ≤ t < 2, e−t , t ≥ 2.
13. Resoleu l’equaci´o ´ıntegro-diferencial ′′ ∫ ′ t x −x +x− x(τ )dτ = 1 0 amb les condicions inicials x(0) = 1, x′ (0) = 3.
14. Resoleu els problemes seg¨ uents de valors inicials: (a) x ¨ + 4x = 2 δ(t − π), x(0) = 1, x(0) ˙ = 0.
(b) x ¨ − 4x˙ + 4x = 3 δ(t − 1), x(0) = x(0) ˙ = 1.
15. Per a l’equaci´o x′′ − 2x′ + x = f (t), calculeu la funci´o de resposta impulsional i utilitzeu-la per a expressar la soluci´o que satisf`a les condicions inicials x(0) = 0, x′ (0) = 5.
57 7.2 Respostes als exercicis 1.
s2 + s + 2 .
s3 1 .
(b) 2 s + 3s + 2 1 (c) 2 .
s + 8s + 25 2. (a) 1 (subtituint s = 2 en la transformada de t2 + t).
2 1 (b) (subtituint s = 1 en la transformada de t sin t).
2 3. (a) 2 .
−4 s2 + 2a2 (b) .
s(s2 + 4a2 ) 4. (a) (c) (d) s2 2(s + 1)(s2 + 2s − 11) .
(s2 + 2s + 5)3 (s2 s2 − 3 .
+ 9)(s2 + 1) 5. (a) sinh t.
(b) cosh 2t.
(c) cos 3t.
5 4 (d) e5t + e−4t .
9 9 1 3 5 2 (e) t − t + 2t + 7.
3 2 ) ( 9 2 (f) t + 6t + 1 e3t .
2 ( ) 1 (g) cos 3t − sin 3t e−2t .
3 ( ) 3 (h) (5t − 1)e−t + cos 4t − sin 4t e−3t .
4 1 − (s + 1)e−s .
s2 (1 − e−s ) 1 (b) 2 s .
s (e − 1) 6. (a) 7.
1 − e−s .
s(1 + e−s ) 8. 2π 1 − e−s .
s2 + 4π 2 9. (a) 1 2s + 1 − e−s 2 .
s2 s (s + 1) 58 (b) e−2s 10. (a) 1 t 4e 4s2 + 4s + 2 .
s3 + 34 e−t + 12 te−t .
(b) cos t + 12 (sin t − t cos t).
(c) 1 + e−t − 2e− 2 cos ( 3 ) t (d) − t + 1 et .
6 t √ 3t 2 .
( √ √ ) √ 1 (e) − 16 et − 12 (cos t + sin t) + 23 e− 2 t cos 23t + 3 sin 23t .
(f) cos t + t sin t.
11. (a) x(t) = 2e3t + e−3t ; y(t) = e3t − e−3t .
(b) x(t) = et (cos 3t − sin 3t); y(t) = et (cos 3t − 3 sin 3t).
(c) x(t) = − 13 et + 12 e2t − 16 e4t ; y(t) = 23 et + 12 e2t − 61 e4t (d) x(t) = e2t + 4te2t ; y(t) = −2et + e2t − 4te2t ; z(t) = −2et + 4e2t .
(e) x(t) = et − 2e−2t ; y(t) = et ; z(t) = et + e−2t .
(f) x(t) = 2et + tet − e2t ; y(t) = 4et + tet − 4e2t .
{ 2 − 2e−t , 0 ≤ t < 1, 12. (a) x(t) = 2(1 − e−t ) − 2u(t − 1)(1 − e−(t−1) ) = 2(e − 1)e−t , t ≥ 1.
{ cos t, 0 ≤ t < π, (b) x(t) = (t + sin t + π cos t)u(t − π) + cos t = .
t + sin t + (π + 1) cos t, t ≥ π.
√ √ (c) x(t) = cos t − cos 2t + 16 e−2 u(t − 2)[e−(t−2) − 3 cos(t − 2) + 3 sin(t − 2) + 2 cos( 2(t − √ √ 2) − 2 sin 2(t − 2)].
13. x(t) = 2et + sin t − cos t.
{ cos 2t, 0 ≤ t < π, cos 2t + sin 2t, t ≥ π.
{ (1 − t)e2t , 0 ≤ t < 1, (b) x(t) = (1 − t)e2t (1 − 3e−2 u(t − 1)) = (1 − 3e−2 )(1 − t)e2t , t ≥ 1.
∫t 15. h(t) = tet , x(t) = 5h(t) + 0 h(τ )f (t − τ )dτ .
14. (a) x(t) = cos 2t + u(t − π) sin 2t = 59 Transformades de Laplace d’algunes funcions rellevants ∫ f (t) +∞ F (s) = e−st f (t) d t 0 1 1 s tn n! sn+1 eat 1 s−a (s > a) tn eat n! (s − a)n+1 (s > a) cos bt s s2 + b2 sin bt b s2 + b2 eat cos bt s−a (s − a)2 + b2 (s > a) eat sin bt b (s − a)2 + b2 (s > a) (Heaviside) u(t) 1 s u(t − a) e−as s (delta de Dirac) δ(t) 1 δ(t − a) e−as 60 Principals propietats de la transformada de Laplace ∫ f (t) +∞ F (s) = f (t)e−st dt 0 λf (t) + µg(t) λF (s) + µG(s) f ′ (t) sF (s) − f (0) f (k) (t) sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f ′ (0) − · · · − f (k−1) (0) ∫ t F (s) s f (τ ) d τ 0 f (αt) 1 (s) F α α (α > 0) eat f (t) F (s − a) tf (t) −F ′ tk f (t) (−1)k F (k) ∫ f (t) t { u(t − a)f (t − a) = F (s) d s s 0 f (t − a) ∫ (convoluci´ o) +∞ 0t < a t≥a e−as F (s) f (u)g(t − u) du L(f ⋆ g) (s) = (F G)(s) t (f ⋆ g)(t) = 0 61 62 Cap´ıtol 8 S` eries num` eriques i s` eries de pot` encies 1. Calculeu els l´ımits de les successions: √ (b) bn = 4n2 + n − 2n.
n−1 (a) an = 2 .
n + 2n + 1 2. Estudieu els l´ımits de les successions ( )n ( )n k 2 (a) an = 1 + . (b) bn = .
n 3 (c) cn = ( )arctg n 1 (c) cn = 1 + cos .
n 1 + 2n + 3n .
1 + 2n−1 + 3n−1 (d) dn = √ n n.
on k ∈ R ´es una constant.
3. Calculeu el l´ımit: lim 1 + 1 2 + ... + 1 2n 4. Estudieu el car`acter de converg`encia de les s`eries num`eriques seg¨ uents: (a) ∑ n≥1 1 √ .
n+ n ∑ arctg n (b) .
n3 + 1 (c) n≥1 ∑ n≥2 1 .
(ln n)n (d) ∑ n 1969 n≥1 ( )n 3 .
4 5. Estudieu la converg`encia de les s`eries num`eriques: (a) √ n n .
√ n2 n + ln3 n n≥1 ∑ (b) ∑ 2n + n3 .
3n + n2 n≥1 (c) ∑ n≥1 1 .
1 + 2 + ··· + n (d) 6. Estudieu el car`acter de converg`encia de les s`eries num`eriques: ) ∑( 1 1 − cos .
n n≥1 ( ) ∑ 1 1 tg + sin (c) .
n n ( 2 ) n + 2n ln .
n2 + 1 n≥1 ( ) ∑ 1 1 tg − sin (d) .
n n (b) (a) n≥1 ∑ n≥1 63 ∑ n≥1 πn .
3n n1789 7. Estudieu la converg`encia absoluta i la converg`encia de les s`eries num`eriques: ∑ (a) (−1)n n≥1 ∑ (c) (−1)n n≥1 ∑ (−1)n .
nα n≥0 ∑ sin n (d) .
n2 n .
2 n − 5n + 1 n3 (ln a)n (b) (a > 1).
n≥1 8. Calculeu el radi de converg`encia i el camp de converg`encia de les s`eries de pot`encies: (a) ∑ an xn ∑ (−1)n+1 xn .
n n≥1 ∑ (e) (ln n) xn .
(a > 0).
(c) (b) n≥0 ∑ (−1)n+1 (d) (x − 1)n .
2n n2 n≥1 ∑ nn xn .
n≥1 (f ) n≥2 ∑ 1 xn .
n2 n≥1 9. Doneu les s`eries de Taylor centrades a l’origen de les funcions que segueixen. Indiqueu en cada cas el domini en qu`e la funci´o ´es igual a la suma de la s`erie corresponent.
(a) f (x) = 2 .
3+x (b) g(x) = 10 .
(3 + x)(1 − 3x) (c) h(x) = 1 .
4 + x4 1 (d) k(x) = (8 − x) 3 .
10. Obteniu les s`eries de Taylor en 0, de les funcions seg¨ uents: f ∫ x (a) x → g e−t dt.
2 (b) x → sin2 x.
h (c) x → arctg x .
k (d) x → x2 ln(1 + x) .
0 11. A partir de ∞ ∑ xn = ex , per a tot x, sumeu les s`eries: n! n=0 (a) ∑ n .
n! (b) n≥1 12. Fent u ´s de la igualtat (a) ∞ ∑ nxn−1 = n=1 8.1 ∑ n−1 .
n! n≥2 2. (a) ek , (b) 14 , (b) 0, ∑ n−2 n! n≥3 ∞ ∑ (−1)n+1 n x = ln(1 + x), per a −1 < x ≤ 1, establiu: n n=1 1 (1 − x)2 (|x| < 1) .
(b) ∞ ∑ 1 = x ln nxn−1 n=1 Respostes als exercicis 1. (a) 0, (c) π (c) 2 2 .
(c) 3, (d) 1.
3. 2.
4. (a) Divergent, (b) convergent, (c) convergent, (d) convergent.
5. (a) Divergent, (b) convergent, (c) divergent, (d) convergent.
64 ( x x−1 ) (|x| > 1) .
6. (a) Convergent, (b) divergent, (c) divergent, (d) convergent.
7.
(a) Condicionalment convergent.
(b) Per α > 1 absolutament convergent, per 0 < α ≤ 1 condicionalment convergent i per α ≤ 0 divergent.
(c) Per 1 < a ≤ e divergent i per e < a absolutament convergent.
(d) Absolutament convergent.
8. (a) 9.
1 a, (−a, a); (b) 1, (−1, 1]; (c) 0, {0}; (d) 2, [−1, 3]; (e) 1, (−1, 1); (f ) 1, [−1, 1].
∑ 2(−1)n xn , R = 3.
3n+1 n≥0 ∑ (−1)n √ (c) x4n , R = 2.
n+1 4 (a) n≥0 10.
(a) ∑ n≥0 (−1)n x2n+1 , R = ∞.
n!(2n + 1) ∑ (−1)n (c) x2n+1 , R = 1.
2n + 1 ∑ (−1)n (3n+1 + n+1 )xn , R = 1/3.
3 n≥0 ( ∑ 1/3) (−1)n (d) 2 xn , R = 8.
n 8n (b) n≥0 (b) (b) 1, (−1)n n≥0 (d) n≥0 11. (a) e, ∑ 22n+1 2n+2 x , R = ∞.
(2n + 2)! ∑ (−1)n−1 xn , R = 1.
n−2 n≥4 (c) 4 − e.
12. Utilitzeu les propietats de derivaci´o i/o integraci´o terme a terme dins el camp de converg`encia de les s`eries.
65 ...