TEMA 3. REVISIÓ DE CONCEPTES BÀSICS I (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Genética - 3º curso
Asignatura Biologia de sistemes
Año del apunte 2016
Páginas 16
Fecha de subida 26/03/2016
Descargas 9
Subido por

Vista previa del texto

Biologia de Sistemes TEMA 3: REVISIÓ DE CONCEPTES BÀSICS I Primer principi fonamental: als sistemes vius es compleix el principi de conservació de la matèria. La llei d’Einstein: 𝐸 = 𝑚 · 𝑐2 En principi aquesta llei està en contra de la conservació de la matèria, ja que diu que es pot convertir en energia de forma proporcional a la velocitat de la llum. Però això només passa en reaccions nuclears. Dins una cèl·lula aquesta conversió és infinitesimal i no cal tenir-la en compte. Per tant per nosaltres, la matèria sempre es conserva.
Una manera d’escriure aquest principi és el següent: 𝐴=𝐸−𝑆+𝐺 - A: acumulació (és una derivada que expressa la variació de la quantitat d’un component del sistema per unitat de temps).
E: entrada (quantitat de component que entra al sistema travessant els límits).
S: sortida (quantitat de component que surt del sistema travessant els límits).
G: generació (quantitat de component individual que se sintetitza formant un altre component o es consumeix/degrada formant un altre component; aquest element pot tenir signe positiu si s’està generant component, o negatiu si està desapareixent).
Exemple: balanç de contingut de lisina a una cèl·lula: 𝑑Lisina = Lis𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − Lis𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 + (Lis𝑠í𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖 − Lis𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚/𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑐𝑖ó ) 𝑑𝑡 ESTAT ESTACIONARI O NO ESTACIONARI: BALANÇ DE MATÈRIA EN UN BIORECTOR EN CONTINU – VOLUM CONSTANT En aquest esquema tenim un bioreactor per cultivar bacteris. És un cultiu continu, la qual cosa vol dir que entra i surt matèria contínuament sense variar-ne el volum. En aquest cas el bioreactor és un tanc d’aigua on l’entrada i la sortida són iguals: per exemple 1L/hora.
A l’entrada, però, l’aigua porta sal dissolta. I al principi a l’aigua de dins el bioreactor només hi ha aigua sense sals.
Per la sortida surt l’aigua de dins amb la composició que tingui en cada moment.
Per tant si a temps 0 la concentració de sal al tanc és de 0, i va passant al temps, com més aigua entri per l’entrada i conforme vagi sortint la inicial i es vagi reemplaçant, la concentració de sal a dins el tanc anirà augmentant.
En aquest cas, com no hi ha cap altre principi, cap reacció ni res, és fàcil descriure el sistema amb equacions: 19 Biologia de Sistemes 𝐴=𝐸−𝑆+𝐺 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 · 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝐶𝑠 𝑑𝑡 VCs és volum · concentració de sal, amb la qual cosa d(VCs) és la derivada de la quantitat de sal.
I dividit entre dt doncs és la variació de al quantitat de sal en funció del temps. Aquesta variació depèn de: - - Fentr · Csent : F ve de flow, es refereix al cabal d’entrada (litres/hora). Multiplicat per la concentració d’entrada (g/L), el resultat és la quantitat de sal que entra per unitat de temps (g/hora).
Fsort · Cs : la concentració de sal de sortida és la mateixa concentració de sal del tanc, per tant tant la concentració del tanc com la de sortida són Cs. Això multiplicat pel cabal de sortida ens dóna la quantitat de sal que surt per unitat de temps (g/hora).
Si el volum del tanc és constant: 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 = 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 = 𝐹 → 𝑉 = 𝑐𝑡 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) Com el volum és constant, el podem treure de dins de la derivada ja que deixa de ser una variable: 𝑉 𝑑𝐶𝑠 = 𝐹 · 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐹 · 𝐶𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑠 𝐹 = (𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 ) 𝑑𝑡 𝑉 A la banda esquerra de l’igual ens queda la derivada de la concentració de sal en funció del temps. Sabem que aquesta derivada és la pendent de la corba de la concentració en funció del temps. A la banda dreta de l’equació queden les constants (F, V i Csent) i les variables (que només en queda una, Cs). Com Cs va canviat al llarg del temps, la seva derivada també ho fa. Les unitats de la derivada són: mols/h·l F/V és l/hora entre litres, per tant les unitats d’aquestes parts són 1/h. És la inversa del temps. La inversa del temps es caracteritza amb la lletra tau (). Aquest terme és molt important, i sovint es fa servir per comparar sistemes, representant diferents conceptes.
En un bioreactor com aquest la lletra  representa el temps de residència. En aquest cas seria el temps que tarda a passar un volum x pel tanc.
Llavors ara aquestes equacions s’han de resoldre si volem veure com evolucionen en el temps.
Això vol dir separar les variables a les dues bandes de l’igual: en una banda posem el temps i en l’altra la concentració. I llavors fem integrals. Les constants podem decidir on les posem, en aquest cas hem posat la lletra  a la dreta perquè té més a veure amb el temps, i Csent a l’esquerra perquè té més a veure amb la concentració. Però realment és indiferent.
𝐶𝑠 1 1 𝑡 𝑑𝐶𝑠 = ∫ 𝑑𝑡  𝑡0 𝐶𝑠0 (𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 ) ∫ 20 Biologia de Sistemes Aquesta equació la trobarem bastant sovint en els sistemes. Hi ha llibres d’integrals ja resoltes (menoh mal) i l’únic que hem de fer és aplicar la solució.
Però això és només per una equació. I quan descrivim matemàticament un sistema, tindrem una equació per cada component. Podem tenir per exemple 50 equacions. Llavors el mètode de resoldre equacions integrals per un component (aquest d’aquí dalt) està bé quan tenim un component, però no quan en tenim 50. Per fer-ho amb 50 components hi ha el mètode numèric, que el fan màquines.
En els següents gràfics el valor de la  és 2h. Això vol dir que es triga 2 hores a canviar tot el contingut del tanc.
Quan ha passat el temps , ens trobem a un 63,21% del canvi total que s’ha de donar al sistema fins arribar a que s’estabilitzi. Aquest 63,21% és un valor específic d’aquest sistema.
Si tenim dos sistemes i volem veure quin és més ràpid podem mirar la . Un sistema amb uan  de 5 hores és més ràpid que un sistema amb una  de 10 hores. Necessita menys temps per canviar tot el contingut del tanc. La corba sempre s’acabarà estabilitzant al mateix punt, però el canvi serà més ràpid o més lent. I el 63,21%, per tant, es mantindrà sempre.
Al final, la concentració de sortida, o sigui la del tanc, serà igual que la d’entrada. Hi ha dues maneres de calcular això: 1. Agafar la fórmula a la qual havíem arribat, que explicava la variació de la concentració al llarg del temps, i posar el temps infinit i calcular a veure què passa. Llavors veuríem que a temps infinit s’estabilitza i la concentració del tanc és igual a la d’entrada.
21 Biologia de Sistemes 2. Sabem que en un estat estacionari, d’equilibri, la concentració no variarà, per tant la seva derivada serà 0. Llavors podem agafar l’equació de la derivada i substituir la derivada de la concentració per 0. Queda una equació algebraica que ens diu que la concentració del tanc és igual a la d’entrada.
𝑑𝐶𝑠 𝐹 = (𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 ) 𝑑𝑡 𝑉 0= 𝐹 (𝐶 − 𝐶𝑠 ) 𝑉 𝑠𝑒𝑛𝑡 0 = 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 = 𝐶𝑠 BIOREACTOR COM A SISTEMA EXPERIMENTAL: BALANÇ DE MATÈRIA EN UN BIORECTOR EN DISCONTINU En aquest cas tenim el bioreactor amb cèl·lules. La concentració de cèl·lules es representa com a X. La concentració de cèl·lules es mesura amb el pes sec d’aquestes dividit entre el volum de litres del bioreactor (gdW/L)(gDW vol dir grams de Dry Weight).
V és el volum del bioreactor, expressat en litres (L). El substrat en aquest cas serà carboni (Cs), que és la molècula limitant pel creixement de les cèl·lules, expressat en concentració també (mmol/L).
Per explicar el creixement cel·lular necessitem saber el rendiment (és a dir, quant pes sec de cèl·lules es genera per cada mmol de substrat), que serà YX/S i s’expressa amb les següents unitats: gDW/mmolSubstrat (o sigui grams de pes sec entre mmol de substrat – g/mmol). I també necessitem saber la velocitat de creixement cel·lular, que és µ i s’expressa amb les unitats següents: 1/h.
Ara necessitem dues equacions de balanç, perquè tenim dos variables que van canviant al bioreactor al llarg del temps: la concentració de cèl·lules (X) i la concentració de substrat (Cs).
Partim de la fórmula general de la conservació de la matèria: 𝐴=𝐸−𝑆+𝐺 Ara sí que hi ha generació dins el tanc: cèl·lules que apareixen i substrat que desapareix. Per això primer imaginarem un sistema en el qual no hi ha entrada ni sortida del reactor (E=0 i S=0). Això vol dir que les equacions tant per les cèl·lules com pel substrat quedaran reduïdes a explicar la generació: - Generació de cèl·lules: 𝑑(𝑉𝑋) =µ·𝑋·𝑉 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝑋) 𝑑𝑡 explica la variació de la quantitat de cèl·lules en funció del temps. Multiplicar el volum del tanc per la concentració del pes sec cel·lular fa que ens quedem amb el pes sec cel·lular sol. Amb la qual cosa les unitats de la part esquerra de l’equació són gDW/h.
22 Biologia de Sistemes A la part dreta de l’equació tenim: µ · 𝑋 · 𝑉. La µ pot ser constant o variable. 𝑋 · 𝑉 és concentració del pes sec cel·lular per volum, amb la qual cosa tenim quantitat total de pes sec cel·lular (gDW). Això multiplicat per la velocitat de creixement ens dóna la variació del pes sec cel·lular en funció del temps. Com a la part esquerra de l’equació, aquí les unitats queden: gDW/h.
- Generació de substrat (carboni): 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) = −𝑟𝑠 · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) 𝑑𝑡 explica la variació de la quantitat de carboni en funció del temps. Multiplicar la concentració de carboni (Cs) per volum (V) fa que ens quedem amb la quantitat total de carboni dins el tanc, expressat en mmol. Això en funció del temps fa que a la part esquerra de l’equació les unitats quedin: mmol/h.
A la part dreta de l’equació tenim: −𝑟𝑠 · 𝑋 · 𝑉. 𝑋 · 𝑉 és la concentració de pes sec cel·lular per volum, és a dir, la quantitat total de pes sec cel·lular en el tanc (gDW). 𝑟𝑠 és la quantitat de carboni que mengen les cèl·lules per pes sec cel·lular i per unitat de temps, seria algo així com “la velocitat a la que mengen les cèl·lules”. 𝑟𝑠 té les següents unitats: mmol/gDW·h (quants mmol menja cada gram de pes sec de cèl·lules per cada hora). 𝑟𝑠 pot variar amb el temps. Això multiplicat per la quantitat de pes sec cel·lular en el tanc fa que a la banda dreta de l’equació hi quedi: mmol/h. Aquesta banda dreta té el signe negatiu perquè el carboni s’està perdent, a canvi de generar més cèl·lules.
Llavors, el sistema d’equacions queda de la següent manera: 𝑑(𝑉𝑋) =µ·𝑋·𝑉 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) = −𝑟𝑠 · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 Aquestes dues equacions estan lligada. Ja que les dues equacions contenen variables referents a l’altra. Per exemple, la segona equació conté X, la concentració del pes sec cel·lular. Això fa que les equacions dels sistemes generalment no es puguin resoldre per separat, sinó que s’han de resoldre alhora.
Com en les dues equacions tenim el volum a banda i banda de l’igual, i el considerem constant, el podem eliminar. Així queda un sistema més senzill. Si no consideréssim el volum com a constant, hauríem d’afegir una tercera equació al sistema.
𝑑𝑋 =µ·𝑋 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑠 = −𝑟𝑠 · 𝑋 𝑑𝑡 Però com hem dit abans, la µ, és a dir, la velocitat de creixement cel·lular, pot ser una variable i canviar al llarg del temps. Concretament varia en funció de la concentració de substrat (Cs).
L’equació que ho explica és l’equació de Monod, igual en estructura que la de Michaelis-Menten.
Aquesta equació té un plateau, que és la µmax, un valor màxim de velocitat de creixement.
23 Biologia de Sistemes µ= µ𝑚𝑎𝑥 · 𝐶𝑠 𝐾𝑠 + 𝐶𝑠 La Ks és la concentració de substrat a la qual la velocitat de creixement (µ) és la meitat de la µ velocitat de creixement màxima (µ = 𝑚𝑎𝑥 ).
2 I també hem dit que 𝑟𝑠 podia variar amb el temps. Concretament té una relació proporcionalment directa amb la velocitat de creixement de les cèl·lules (si creixen més ràpid consumiran més substrat), i proporcionalment indirecta amb el rendiment (com més baix sigui el rendiment de les cèl·lules a l’hora de convertir el substrat en massa cel·lular, més substrat necessitaran consumir): 𝑟𝑠 = µ 𝑌𝑋/𝑆 Ara agafem aquestes dues noves fórmules i les utilitzem per substituir µ i 𝑟𝑠 en les equacions del sistema: 𝑑𝑋 µ𝑚𝑎𝑥 · 𝐶𝑠 = ·𝑋 𝑑𝑡 𝐾𝑠 + 𝐶𝑠 𝑑𝐶𝑠 µ =− ·𝑋 𝑑𝑡 𝑌𝑋/𝑆 Ara en les dues equacions hi ha µ, que alhora depèn de Cs. Queda ben clar que aquestes dues equacions estan acoblades i s’han de solucionar a la vegada. No podem fer primer la integral d’una i després la de l’altra. Per solucionar les dues alhora s’utilitza el mètode numèric. Aquest sistema es posa en un programa perquè el solucioni. Li donem al programa els punts de partida (concentració de substrat i de pes sec cel·lular inicials) i ell ens calcula què passarà al llarg del temps. Ens generaria una gràfica com la de la dreta. Veiem que la concentració de cèl·lules va creixent conforma van consumint el substrat. Fins arribar al moment en que el substrat s’acaba i llavors les cèl·lules no poden créixer més.
També podem fer una gràfica del comportament de la velocitat de creixement de les cèl·lules (µ), per veure com evolucionar amb el temps.
Suposant que µ𝑚𝑎𝑥 = 0,2 (h-1), Ks = 50 (mmolt/L), YX/S = 10 (gDW/mmol).
24 Biologia de Sistemes BIOREACTOR COM A SISTEMA EXPERIMENTAL: BALANÇ DE MATÈRIA EN UN BIORECTOR EN CONTINU – VOLUM VARIABLE Què passa si com abans tenim cèl·lules i substrat dins un bioreactor, però ara el volum pot variar? Això vol dir que hi ha entrada i sortida del bioreactor, i necessitem una nova equació per definir el volum com una variable.
𝐴=𝐸−𝑆+𝐺 Les equacions de generació que hem vist abans les podem deixar igual. Aquestes són les que feien referència a la variació de pes sec cel·lular en funció del temps, i a la variació de carboni en funció del temps. Això sí, a aquestes equacions els hi haurem d’afegir els termes d’entrada i sortida, que abans eren 0 i per tant no els hem tingut en compte: 𝑑(𝑉𝑋) = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 · 𝑋𝑒𝑛𝑡𝑟 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝑋 + µ · 𝑋 · 𝑉 = 0 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝑋 + µ · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 · 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝐶𝑠 − 𝑟𝑠 · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 En tots els casos sempre hem de multiplicar el cabal d’entrada per la concentració d’entrada (sigui de cèl·lules o de carboni; en el cas de les cèl·lules la concentració d’entrada és 0, per tant 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 · 𝑋𝑒𝑛𝑡𝑟 = 0). I el mateix per la sortida: cabal de sortida per concentració de sortida. Així sabem la quantitat de cèl·lules i de substrat que entren i que surten.
Finalment, no ens hem d’oblidar del volum. La variació d’aquest al llarg del temps només dependrà del cabal d’entrada i del de sortida, assumint que la densitat és constant (=ct). El volum no té generació.
𝑑𝑉 = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 ·  − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 ·  𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑡 Llavors, el sistema d’equacions queda de la següent manera: 𝑑𝑉 = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝑋) = 0 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝑋 + µ · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 · 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝐶𝑠 − 𝑟𝑠 · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 Sempre sense oblidar-nos de les dues equacions que ens explicaven la relació entre la µ i la concentració de substrat, i la 𝑟𝑠 .
µ= µ𝑚𝑎𝑥 · 𝐶𝑠 𝐾𝑠 + 𝐶𝑠 𝑟𝑠 = µ 𝑌𝑋/𝑆 25 Biologia de Sistemes Ara el volum no és constant, per tant no el podem eliminar tant fàcilment com abans. Ara hem de fer les derivades tenint en compte també el volum. Per això apliquem la següent regla: - La derivada de dues variables és la derivada de la primera multiplicada per la segona més la derivada de la segona multiplicada per la primera: 𝑑(𝑉𝑋) 𝑑𝑋 𝑑𝑉 = 𝑉+ 𝑋 = 0 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝑋 + µ · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) 𝑑𝐶𝑠 𝑑𝑉 = 𝑉+ 𝐶 = 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 · 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 · 𝐶𝑠 − 𝑟𝑠 · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑠 Ara que hem separat les derivades de X i Cs del volum, podem aïllar-les: 𝑑𝑋 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑉 𝑋 =− ·𝑋+µ·𝑋− · 𝑑𝑡 𝑉 𝑑𝑡 𝑉 𝑑𝐶𝑠 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑉 1 = · 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑟𝑠 · 𝑋 − 𝐶𝑠 ( + ) 𝑑𝑡 𝑉 𝑉 𝑑𝑡 𝑉 BIOREACTOR COM A SISTEMA EXPERIMENTAL: BALANÇ DE MATÈRIA EN UN BIORECTOR EN CONTINU – VOLUM CONSTANT Si el volum del bioreactor és constant, perquè els cabals d’entrada i sortida són iguals (però no són 0, com en el cas d’abans), llavors les equacions queden de la següent forma: 𝐹𝑒𝑛𝑡𝑟 = 𝐹𝑠𝑜𝑟𝑡 = 𝐹; 𝑖 𝑉 = 𝑐𝑡 → 𝑑𝑉 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑋 𝐹 =− ·𝑋+µ·𝑋 𝑑𝑡 𝑉 𝑑𝐶𝑠 𝐹 = · (𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 ) − 𝑟𝑠 · 𝑋 𝑑𝑡 𝑉 Com sempre, assumint que: µ= µ𝑚𝑎𝑥 · 𝐶𝑠 𝐾𝑠 + 𝐶𝑠 𝑟𝑠 = µ 𝑌𝑋/𝑆 A més, ara que tenim dues constants, F (cabal tant d’entrada com de sortida) i V (volum del bioreactor), podem combinar-les en una: 𝐹 1 = =𝐷 𝑉  D és la taxa de dilució. Substituint això en les fórmules anteriors queda: 𝑑𝑋 = (µ − 𝐷) · 𝑋 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑠 = 𝐷 · (𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 ) − 𝑟𝑠 · 𝑋 𝑑𝑡 26 Biologia de Sistemes Per resoldre aquestes dues equacions, ara les posem en el programa que les resol alhora utilitzant el mètode numèric. Així podrem calcular l’evolució del sistema al llarg del temps.
Nosaltres li posem que primer ens trobem en un bioreactor en discontinu (l’exemple que hem vist abans), i quan s’arriba a l’estat estacionari perquè el substrat s’acaba, llavors engeguem una bomba d’entrada i de sortida perquè comenci a entrar substrat. Per tant es converteix en un bioreactor en continu amb volum constant. Per tant fins a la fase estacionari fem servir les equacions d’abans i a partir de llavors les noves.
Equacions del bioreactor en discontinu i gràfica que generava: 𝑑𝑋 µ𝑚𝑎𝑥 · 𝐶𝑠 = ·𝑋 𝑑𝑡 𝐾𝑠 + 𝐶𝑠 𝑑𝐶𝑠 µ =− ·𝑋 𝑑𝑡 𝑌𝑋/𝑆 A partir d’aquest punt, equacions del bioreactor en continu: 𝑑𝑋 = (µ − 𝐷) · 𝑋 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑠 = 𝐷 · (𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝐶𝑠 ) − 𝑟𝑠 · 𝑋 𝑑𝑡 Quan comencem a activar les bombes i el bioreactor es converteix en un bioreactor en continu, les cèl·lules disminueixen la seva concentració perquè se’n van per la sortida. Per això en la gràfica veiem aquesta disminució de la concentració del pes sec cel·lular (X). I també veiem com va entrant substrat, que va augmentant i disminuint la concentració alternativament perquè tal com entra està sent consumit per les cèl·lules. Al final, però, les concentracions tant de substrat com de cèl·lules s’estabilitzen. Estem en un estat estacionari: es generen tant pes sec cel·lular com el que es perd per la sortida, i entra tant substrat com el que es perd per consum de les cèl·lules i per pèrdua per la sortida.
Sabem que a l’estat estacionari les derivades són 0: 𝑑𝑋 = 0 → (µ − 𝐷) · 𝑋 = 0 → µ − 𝐷 = 0 𝑑𝑡 El sistema s’estabilitza quan la velocitat de creixement de les cèl·lules és igual a la relació entre el volum i el cabal (D), o sigui la taxa de dilució de les cèl·lules.
Recordem que la velocitat de creixement era una variable, que pot tenir diferents valors fins arribar a una µmax. Segons el cabal d’entrada i de sortida que posem nosaltres al sistema, i el 27 Biologia de Sistemes volum que posem al bioreactor, la taxa de dilució serà una o altra, amb la qual cosa la velocitat de creixement s’estabilitzarà a un valor o un altre.
µ=𝐷 Però hi ha una µmax, i si la taxa de dilució supera el valor d’aquesta llavors el sistema no s’estabilitzarà, perquè es perdran les cèl·lules per la sortida més ràpid del que són capaces de generar-ne consumint substrat. I al final no quedarà cap cèl·lula.
Per cada µ diferent que tingui el sistema, aquest s’estabilitzarà amb unes concentracions de substrat o unes altres. Si ja estem en una fase estable i canviem la D, el sistema es mourà, tornarà a oscil·lar una estona i al cap d’un temps es torna a estabilitzar en unes concentracions diferents.
La deducció del que passa en l’estat estacionari queda reflectit aquí: BALANÇ DE MATÈRIA D’UN COMPONENT EN UNA CÈL·LULA ASSUMINT CREIXEMENT ZERO Imaginem-nos que estem observant un component intracel·lular. Per exemple un metabòlit. Aquest component pot difondre a través de la membrana o pot ser transportat activament, amb la qual cosa pot entrar i sortir de la cèl·lula. A més pot ser un producte de la glicòlisi (per exemple), amb la qual cosa hi ha una biosíntesi d’aquest component dins la cèl·lula, amb una velocitat determinada (rBS). I pot ser que hi hagi un altre procés que el vagi degradant, també amb una velocitat determinada (rdeg).
Per tant tenim: entrada, sortida, biosíntesi i degradació. En l’esquema de la dreta només hi ha una fletxa de biosíntesi, però un component podria ser biosintetitzat per dues metabòliques diferents. En aquest cas hi hauria dues fletxes i dues rBS diferents.
Fem una equació per explicar la variació de la quantitat d’aquest metabòlit al llarg del temps: 𝐴=𝐸−𝑆+𝐺 𝑑(𝑉𝐶𝑠 ) = 𝑟𝐸 𝑉 − 𝑟𝑆 𝑉 + 𝑟𝐵𝑆 𝑉 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑉 𝑑𝑡 28 Biologia de Sistemes Multiplicant el volum de la cèl·lula per la concentració del component, tenim la quantitat de component en la cèl·lula (mmol). Això dividit pel temps fa que tinguem mmol/h.
Les unitats de les velocitats d’entrada, sortida, síntesi i degradació són en mmol per litre i per hora (mmol/L·h). Per tant quan multipliquem una d’aquestes velocitats pel volum de la cèl·lula, el resultat és la quantitat de component que entra/surt/es biosintetitza/es degrada, en mmol/h.
Per tant les dues bandes de l’igual tenen les mateixes unitats.
Si la cèl·lula no creix, podem assumir que el volum és constant (V=ct). En aquest cas l’equació es pot simplificar: 𝑑𝐶𝑠 = 𝑟𝐸 − 𝑟𝑆 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑑𝑡 Ara fem aquest cas encara més senzill: el component se sintetitza i es degrada. El component no difon per la membrana ni és transportat activament, per tant no hi ha entrada ni sortida (E=0, i S=0).
Posarem que la velocitat de síntesi és constant. Exemple: unes cèl·lules d’un cultiu consumeixen glucosa de forma constant en el temps; això farà que el component que generin (per exemple el piruvat) s’estigui generant també a una velocitat constant en el temps. La degradació d’un component, però, és normal que sigui proporcional a la quantitat que hi ha. Per tant hi ha una constant (k – amb unitats 1/h) multiplicant la concentració del component en la següent fórmula: 𝑟𝑑𝑒𝑔 = 𝑘 · 𝐶𝑆 𝑑𝐶𝑠 = 0 − 0 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑠 = 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 𝑑𝑡 A partir d’aquí ja podem separar les dues variables i resoldre l’equació diferencial: 𝐶𝑆 𝑡 1 ∫ · 𝑑𝐶𝑠 = ∫ 𝑑𝑡 𝐶𝑆0=0 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 𝑡=0 Com que només tenim una equació diferencial es pot resoldre analíticament. Aquesta forma d’equació es pot trobar a les taules de solucions.
∫ 𝑑𝑥 1 = ln(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 És una integral definida en un interval de concentració inicial i final: 𝐶𝑆 𝑡 1 · 𝑑𝐶𝑠 = ∫ 𝑑𝑡 𝐶𝑆0=0 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 𝑡=0 ∫ 1 [ln(𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 )]𝐶𝐶𝑠𝑠0=0 = 𝑡 − 𝑡0 = 𝑡 −𝑘 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 𝑙𝑛 ( ) = −𝑘𝑡 𝑟𝐵𝑆 29 Biologia de Sistemes 1− 𝑘 · 𝐶 = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑟𝐵𝑆 𝑆 𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 · (1 − 𝑒 −𝑘𝑡 ) 𝑘 Queda una fórmula en la qual tot són constants excepte el temps. Així podem calcular com varia la concentració al llarg del temps.
En aquesta fórmula també podem trobar la lletra .
= 1 𝑘 Les unitats de  són hores (h), i reflecteix el temps característic o temps de resposta (a vegades també es diu temps de relaxació). La fórmula podria quedar: 𝐶𝑆 =  · 𝑟𝐵𝑆 · (1 − 𝑒 −𝑘𝑡 ) Imaginem-nos un cas concret en que les constants tenen els següents valors: 𝑟𝐵𝑆 = 0,5 𝑚𝑚𝑜𝑙 𝐿·ℎ 𝑘 = 0,25 = 1 ℎ 1 =4ℎ 𝑘 La fórmula queda: 𝐶𝑆 = 4 · 0,5 · (1 − 𝑒 −0,25𝑡 ) A temps infinit quina concentració del component tindré? Substitueixo t per infinit.
𝐶𝑆 = 4 · 0,5 · (1 − 𝑒 −0,25·∞ ) = 4 · 0,5 = 2 𝑚𝑚𝑜𝑙/𝐿 Un simulador també ens pot calcular això. O una altra manera és pensar que al final la concentració del component no variarà, per tant la derivada serà 0.
𝑑𝐶𝑠 = 𝑟𝐵𝑆 − 𝑘 · 𝐶𝑆 = 0 𝑑𝑡 𝑟𝐵𝑆 = 𝑘 · 𝐶𝑆 𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 0,5 = = 2 𝑚𝑚𝑜𝑙/𝐿 𝑘 0,25  és el temps característic del sistema. És un temps de recanvi, el temps que es triga a canviar tot el volum.  sempre estarà acompanyant a la variable temps. Si volem comparar sistemes ens fixem en la . En el cas concret que estem veient =4 h. Anem a la fórmula i substituïm el temps per 4h i mirem en quina concentració ens trobem.
𝐶𝑆 = 4 · 0,5 · (1 − 𝑒 −0,25·4 ) = 2 · 0,6321 = 1,2642 𝑚𝑚𝑜𝑙/𝐿 Dividint això entre la concentració final, que sabem que és 2 mmol/L, veiem que quan passa el temps característic del sistema () ens trobem en el 63,21% del canvi de concentració del component (el mateix percentatge que ens havia donat en altres sistemes).
30 Biologia de Sistemes Tot això ho podem veure en aquest gràfica que mostra com evoluciona la concentració del component al llarg del temps. Si un sistema fos més lent que aquest, llavors la  seria més gran, i per tant en un gràfic d’aquest tipus la ratlla blava trigaria més a creuar la ratlla vermella.
BALANÇ DE MATÈRIA D’UN COMPONENT EN UNA CÈL·LULA AMB CREIXEMENT En el cas anterior, per fer l’analogia complerta hem parlat de concentració i volum en una cèl·lula. Però en un laboratori normalment mesurarem la quantitat de cèl·lula en unitats de pes sec. Per tant normalment les unitats seran mmol de proteïnes per grams de pes sec (mmol/gDW). En els balanços haurem de fer servir aquests unitats.
X biomassa (pes sec cel·lular que hi ha total). Unitats: gDW r  velocitats (d’entrada, sortida, biosíntesi i degradació). Unitats: mmol/gDW·h La fórmula en aquest cas seria molt semblant a l’anterior: 𝑑(𝑋𝐶𝑠 ) = 𝑟𝐸 𝑋 − 𝑟𝑆 𝑋 + 𝑟𝐵𝑆 𝑋 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑋 𝑑𝑡 Les unitats, tant a la dreta com a l’esquerra de l’igual, són mmol/h. Ara hem dit que hi ha creixement de les cèl·lules, per tant X no serà constant, i la seva derivada no serà 0, sinó que dependrà de la velocitat de creixement de les cèl·lules i de la quantitat de pes sec cel·lular que hi hagi en cada moment: 𝑑𝑋 = µ𝑋 𝑑𝑡 Assumim que la velocitat de creixement (µ) és constant. Llavors l’aïllem: µ= 1 𝑑𝑋 · 𝑋 𝑑𝑡 Les unitats de la velocitat de creixment són 1/h. Anem a desenvolupar la fórmula que explica la variació de la quantitat de component al llarg del temps i a intentar simplificar-la. Recordem que la variable d’un producte era la derivada del primer element pel segon més la variable del segon element pel primer: 𝑑𝐶𝑆 𝑑𝑋 ·𝑋+ · 𝐶 = 𝑟𝐸 𝑋 − 𝑟𝑆 𝑋 + 𝑟𝐵𝑆 𝑋 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑋 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝐶𝑆 𝑟𝐸 𝑋 𝑟𝑆 𝑋 𝑟𝐵𝑆 𝑋 𝑟𝑑𝑒𝑔 𝑋 1 𝑑𝑋 = − + − − · ·𝐶 𝑑𝑡 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋 𝑑𝑡 𝑆 Veiem que a al banda dreta de l’igual, multiplicant a la concentració del component, ha aparegut la fórmula que definia la velocitat de creixement de les cèl·lules. Per tant podem substituir aquest terme: 31 Biologia de Sistemes 𝑑𝐶𝑆 = 𝑟𝐸 − 𝑟𝑆 + 𝑟𝐵𝑆 − 𝑟𝑑𝑒𝑔 − µ · 𝐶𝑆 𝑑𝑡 Quan una cèl·lula està creixent és normal que hi hagi un terme en les equacions de balanç que faci referència a aquest creixement i a com afecta això a la concentració dels components en el seu interior, ja que si la cèl·lula augmenta el volum llavors la concentració dels components disminuirà. És a dir, pateixen una dilució. Per això al terme µ · 𝐶𝑆 se l’anomena efecte de “dilució per creixement”. Hi ha sistemes en els quals aquest terme és molt important, però altres en els quals és negligible.
En aquesta última fórmula les unitats a les dues bandes de l’igual són mmol/h·gDW.
BALANÇ DE MATÈRIA D’UN COMPONENT EN UNA CÈL·LULA AMB CREIXEMENT (PART II) Ara ens trobem en la mateixa situació que abans però el component només és biosintetitzat, no es degrada. A més tampoc hi ha entrada ni sortida. Així, la fórmula a la qual hem arribat abans queda: 𝑑𝐶𝑆 = 0 − 0 + 𝑟𝐵𝑆 − 0 − µ · 𝐶𝑆 𝑑𝑡 𝑑𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 − µ · 𝐶𝑆 𝑑𝑡 El terme de dilució per creixement no desapareix, perquè la cèl·lula continua creixent, per tant la concentració dels components dins seu disminueix. Ara podem separar variables i resoldre l’equació diferencial.
𝐶𝑆 𝑡 1 · 𝑑𝐶𝑆 = ∫ 𝑑𝑡 𝐶𝑆0=0 𝑟𝐵𝑆 − µ · 𝐶𝑆 𝑡=0 ∫ 𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 · (1 − 𝑒 −µ𝑡 ) µ Ens queda una fórmula en la qual l’única variable és el temps, de manera que podem saber com evoluciona la concentració del component al llarg del temps. Per mantenir una concentració constant necessitem una biosíntesi mínima que compensi l’efecte de dilució que té el creixement de la cèl·lula. En aquest punt la derivada serà 0: 𝑑𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 − µ · 𝐶𝑆 = 0 𝑑𝑡 𝑟𝐵𝑆 = µ · 𝐶𝑆 𝐶𝑆 = 𝑟𝐵𝑆 µ Si per exemple: rBS = 0,5 mmol/L·h; µ = 0,25 1/h;  = 1/µ = 4 h.
𝐶𝑆 = 0,5 = 2 𝑚𝑚𝑜𝑙/𝐿 0,25 32 Biologia de Sistemes Si sabem la µ d’un sistema, podem agafar una mostra de cèl·lules i mesurar la concentració d’un component. D’aquesta manera podem calcular indirectament la velocitat de biosíntesi (rBS) d’aquest component.
En el punt estacionari en el qual la concentració del component no canvia sabem que la velocitat de biosíntesi és la mínima perquè aquesta concentració es mantingui estable. Però pot ser més gran.
En qualsevol sistema tenim un canvi al llarg del temps. Podem mirar el canvi que hi ha hagut entre dos moments i dividir-ho entre el temps. Així obtenim el pendent de mitjana que s’ha donat durant aquest interval de temps. Això dóna una idea de la velocitat a la qual s’està donant el canvi en aquest sistema. Aquest terme permet comparar sistemes. De fet és simplement una altra manera de calcular la : = ∆𝑥 𝑑𝑥 | 𝑑𝑡 | 𝑝𝑟𝑜𝑚 Les unitats de la  són: concentració entre concentració/temps = 1/temps (1/h).
A vegades per comparar sistemes es fa servir el temps de duplicació (td). Les unitats del temps de duplicació són el temps (h). Aquest és el temps que es tarda a tenir el doble de concentració respecte un punt x del temps.
𝑡𝑑 = ln(2) 𝑘 = 1 𝑘 La  i el td estan relacionats pel logaritme neperià de 2. Per tant podem comparar dos sistemes tant amb la  com amb el temps de duplicació per saber quin dels dos és més ràpid.
TEMPS CARACTERÍSTIC El temps que nosaltres hem d’estar observant un fenomen depèn del temps característic del sistema. Si un component canvia de concentració més lentament necessitarà que l’observem més temps per veure un canvi.
El temps característic o temps de relaxació és important per adequar el model a la “finestra temporal” per la qual fem el model.
Finestra temporal: interval de temps durant el qual “observem” o “simulem” el sistema. Les variables amb temps característic al voltant o dins de la “finestra temporal” són les que el model en descriu la dinàmica.
33 Biologia de Sistemes Les variables amb temps de relaxació molt menor a la finestra temporal es pot considerar que són “instantànies”. Les variables amb temps de relaxació molt més gran a la finestra temporal es poden considerar “congelades” (constants, estacionàries) als seus valors inicials.
Segons la rapidesa d’un sistema podem agafar unes unitats de mesura o unes altres per mesurar els canvis. Per exemple en els sistemes ràpids (temps de relaxació petit) ens anirà millor mesurar el temps en segons, mentre que en sistemes lents (temps de relaxació gran) podem preferir utilitzar dies.
(Incís: equilibri i estat estacionari no és el mateix! En un estat estacionari no té perquè haver-hi necessàriament equilibri químic).
34 ...

Comprar Previsualizar