Tema 4 (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Economia financiera
Año del apunte 2015
Páginas 7
Fecha de subida 01/05/2016
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ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio ECONOMÍA FINANCIERA: Valoración de activos en condiciones de incertidumbre. ARBITRAJE (II) 4. LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE VALORACIÓN DE ACTIVOS BAJO INCERTIDUMBRE 4.1. VALORACIÓN DE ACTIVOS CON PAGOS INCIERTOS: LAS IDEAS FUNDAMENTALES EJEMPLO: valoración de una mina (activo contingente)[I] [1] ¿Debería nuestra empresa adquirir la mina por 130 millones de euros? (¿Representa para los accionistas un valor mayor que el coste de adquirirla?) [2] ¿Tenemos información suficiente para valorar la mina? [3] ¿Necesitamos las probabilidades de cada estado? Intentemos utilizar los principios básicos del capítulo anterior: cartera réplica, ausencia de arbitraje, ..
 Consideremos la siguiente cartera: o Compra de 3 millones de Oz. de oro o Pedir préstamo por 604.8 millones de Euros (o, de forma equivalente, venta en corto de 640 millones de unidades del bb. 1) Claramente, esta cartera replica el valor (pagos) de la mina en el futuro y, por tanto la mina vale para un inversor lo que costaría replicar sus pagos en el mercado (145,2 mill). Claramente ningún inversor pagará más del coste de la cartera réplica de la mina.
De este modo, los accionistas pueden hacer un “arbitraje”: compran la mina y venden la cartera réplica, obteniendo un beneficio inmediato de 15,2 millones de euros.
¿Cómo hemos obtenido la cartera anterior que replica la mina? 1 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio Puntos a tener en cuenta:  Hay una fuente de incertidumbre: el precio del oro en el futuro.
 DOS estados de la naturaleza y TRES activos disponibles: o Esto significa que podemos combinar dos activos para replicar los pagos de un tercero. En realidad (bajo condiciones que veremos) podemos combinar dos activos para obtener cualquier vector de pagos en el futuro.
o Uno de los tres activos es redundante.
 Los precios de dos de esos activos son conocidos a través del mercado: oro y bono básico. Por tanto, no sólo podemos construir una cartera que replique los pagos de la mina, sino que además conocemos el coste exacto de esa cartera.
4.2. ACTIVOS ARROW-DEBREU Y LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE VALOR ACIÓN DE ACTIVOS (EFV) “Mercados dónde es posible replicar distintos activos financieros” Veamos primero un ejemplo: ACTIVO T=1 S= 1 S=2 1 20 0 2 10 0 3 2 4 4 5 0 Si hago el sistema veo que no tiene solución, entonces no puedo replicar los pagos del activo tres con el 2. Añadiendo el 4 puedo usar medio activo dos, por ejemplo.
El hecho que tengamos tantos activos como estados de la naturaleza NO implica que podamos replicar cualquier activo. Esto quiere decir que los argumentos de arbitraje solo nos valen para valorar el precio del activo 4, pero no del activo tres.
NOTACIÓN Y SUPUESTOS BÁSICOS  1 periodo y dos fechas (t = 0 y t = 1)  Incertidumbre en t =1 representada por S posible estados de la naturaleza, s = 1, 2, ...., S 2 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio  Caracterización de activos (acciones, bonos, etc.), j = 1, ..., j Cada activo financiero viene determinado por su precio y por sus pagos. El activo “j” tiene precio Pj y pagos Xj,… Donde, Xj es una variable aleatoria:  Definimos la matriz JxS de pagos de la economía X como: COLUMNAS: pagos cada activo/columna.
FILAS: son los estados.
Mediante esta matriz es fácil calcular los costes y pagos de una cartera.
Por ejemplo: z3 > 0  compro activo 3 z4 < 0  vendo activo 4 RECUERDA!!: z es el número de unidades del activo que compro de cada cartera.
 Denotamos una cartera expresada en nº de títulos como z = (z1, ..., zj, ..., zJ). Por tanto: PAGOS CATERA EN ESTADO S = nº de unidades de j · pago activo j en estado s 3 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio ACTIVOS ELEMENTALES O AAD DEFINICIÓN: Un activo elemental o activos Arrow-Debren es un activo que paga 1€ en un determinado estado futuro y 0 en todos los demás estados.
EJEMPLO ① Calucla el precio del AD3: PRECIO S=1 S=2 AD1 0,3 1 0 AD2 0,6 0 1 AD3 ¿? 7 10 Para hacerlo, debemos encontrar la cartera que la replica. Debo encontrar una cartera que me dé los mismos pagos en los mismos periodos: 0,7 del 1 y 10 del 2.
De este modo, el precio de AD3 es P3=1 · 0,3 + 10 · 0,6 ESQUEMA: Son el análogo a los bonos básicos para entornos inciertos: 1) Todo activo financiero puede ser considerado como una cartera de activos Arrow-debreu: A) Recordemos que es posible construir una cartera de bonos básicos equivalente al bono que paga cupones C 1 ··· C T y nominal N.
B) equivalente al activo complejo que ofrece pagos X j1 ··· X jS ∅𝑺 es el valor hoy de recibir 1 euro en el estado futuro s; ¿cómo valora el inversor el consumo en el estado futuro s? De forma análoga, es posible construir una cartera de AAD 2) Por tanto, todo activo puede ser valorado a partir de los precios de los AAD, pues su precio ha de ser igual al coste de la cartera de AAD que lo replica, de lo contrario, existiría arbitraje.
¿Cuántas unidades del AAD asociado al estado s deben comprarse para replicar un activo cuyo pago es Xjs? Deberíamos comprar exactamente XjS unidades de este AAD, de tal forma que obtendríamos un pago total de Xjs euros porque este AAD paga un euro en el estado s.
El coste de la cartera réplica sería ∅𝑆 𝑋𝑗𝑆 , y teniendo en cuenta todos los estados, el coste de la cartera réplica sería: ∅𝑆 𝑋𝑗1 + ∅𝑆 𝑋𝑗2 + ⋯ + ∅𝑆 𝑋𝑗𝑆 [ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE VALORACIÓN] que sería también el precio de no arbitraje del activo cuyo pago es XjS para s=1,…,S.
En el ejemplo inicial de la mina, ¿cuál es su precio en función de los precios de los AAD? 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑎 = 200∅1 + 50∅2 CASO GENERAL En general, para un activo genérico: Esta es la Ecuación Fundamental de Valoración (EFV) para entornos inciertos (compárese con la obtenida en el caso de bonos sin riesgo).
En la construcción hemos supuesto que los AAD existen y que podemos crear carteras con ellos [mercados completos].
4 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio ¿Qué ocurre si no existen? tendremos que ver si la estructura financiera existente es capaz de replicarlos o generarlos.
EJEMPLO: valoración de una mina (activo contingente)[II] ¿Podemos replicar el AAD 1 a partir de los existentes? Es decir, nos preguntamos si existe z = (z 1 , z2) tal que: Claramente, si la matriz 𝑋 = ( 280 1 ) es invertible, la solución existe y es única.
230 1 ¿Podemos replicar el AAD 2 a partir de los existentes? Es decir, nos preguntamos si existe z = (z 1 , z2) tal que: De nuevo, si la matriz 𝑋 = ( 280 1 ) es invertible, la solución existe y es única.
230 1 Por tanto, en ambos casos, las carteras réplicas de los AAD 1 y 2 existen si X es invertible.
Cuando esto se cumple, tenemos la posibilidad de crear AAD en los mercados financieros.
Existen carteras idénticas a ellos.
DEFINICIÓN: Decimos que la estructura financiera es completa o que los mercados son completos cuando la dimensión o rango de la matriz X es igual a S (número de activos lineal. indep. igual a número de estados de la naturaleza).
Cuando los mercados son completos podemos trabajar “como si los AAD existiesen”. Por tanto, en este caso y en ausencia de oportunidades de arbitraje, todo activo ha de tener un precio dado por la EFV.
Sabiendo esto, ¿cómo podemos calcular el precio de la mina ahora? EJEMPLO: valoración de una mina (activo contingente)[III] [1] ¿Son los mercados completos en el ejemplo? SI: [2] En ausencia de arbitraje la EFV, , debe ser satisfecha por todo activo: [3] Este sistema nos ha permitido obtener los precio de los AAD (que existen), que es todo lo que necesitamos para valorar la mina (usando de nuevo la EFV): ¡NOTA! Nótese cómo existe una relación muy clara entre los precios de los AAD y los tipos de interés de la economía: 5 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio ¿Existen en la práctica los activos Arrow-Debreu? 1) La pregunta es equivalente a si los mercados son completos. la respuesta depende de cómo se defina la fuente de incertidumbre. por ejemplo, los derivados financieros hacen que el mercado sea completo en muchas ocasiones con respecto a la incertidumbre sobre precios de acciones y otros activos financieros. otras fuentes de incertidumbre no menos importantes generan estados de la naturaleza posibles que no están asociados a activos financieros. p.ej. no existe un activo financiero (conocido) que pague a un estudiante si suspende economía financiera.
2) Algunos mercados, como NADEX (North American Derivatives Exchange) permiten negociar opciones binarias, es decir, opciones que pagan si ocurre un evento, como por ejemplo que un índice de acciones supere cierto nivel en una fecha concreta.
REGLAS PRÁCTICAS SOBRE VALORACIÓN Supongamos que tenemos una economía con J activos caracterizados por sus precios (P1, ..., PJ) y su matriz de pagos X. En el contexto de esta economía queremos ahora valorar un nuevo activo. ¿Cómo procedemos? MÉTODO DIRECTO: MÉTODO INDIRECTO: [1] Ver si el nuevo activo tiene pagos replicables con los [1] Comprobar si mercados son completos (X1 existe) activos existentes [2] En caso afirmativo, aplicando la EFV a los activos existentes, obtener precios de los AAD ( ∅𝑠 , s = 1, ...,S) [2] En caso afirmativo, obtener la cartera réplica con activos originales [3] Aplicar la EFV para calcular el precio del activo nuevo [3] Calcular coste de dicha cartera réplica utilizando sus pagos.
[4] Fijar “precio del nuevo activo = coste de la cartera réplica” Nota: Ambos métodos son aplicables al caso de valoración de la renta fija sin riesgo de default (tema 2).
EJEMPLO DATOS: MÉTODO DIRECTO: MÉTODO INDIRECTO: 6 ECONOMÍA FINANCIERA | Laura Aparicio Supongamos que los mercados son completos y que uno de los muchos activos de la economía es el activo libre de riesgo (ALR).
En ausencia de arbitraje, la EFV debe de ser cierta para todos ellos: La ecuación anterior aplicada al ALR implica: Ejemplo 1 El activo A paga 100 euros si el candidato A, actual presidente, gana las elecciones presidenciales. El activo B paga 100 euros si el único candidato de la oposición gana las elecciones. En el mercado X el activo A cotiza a 45 euros y el activo B a 55 euros. En el mercado Y el activo A cotiza a 52 euros y el activo B a 48 euros.
Existe un bono que vence en la fecha de las elecciones y paga un tipo de interés 0. Las ventas en corto NO están permitidas. ¿Existe una oportunidad de arbitraje en este mercado? En caso afirmativo, ¿Cómo explotarías la oportunidad de arbitraje? Ejemplo 2 Una letra del Tesoro a 12 meses emitida por el Reino de España tiene una TIR del 2% frente al 1% de un bono alemán (libre de riesgo) con el mismo vencimiento. ¿Cuál es el precio de un activo que paga 100 euros en caso de impago de España suponiendo que los inversores sólo recuperen el 50%? Nos piden que determinemos la rpima deun seguo que protege frente el riesgo de impago de Espanya:   Disponemos de dos activos con recios conocidos: o Letra española  TIR= 2%  Precio = o Letra alemana  TIR= 1% 𝑁 1+2% LETRA ESPAÑOLA LETRA ALEMANA  SEGURA IMPAGO SEGURO IMPAGO ESPAÑA ALEMANIA 𝑁 𝐸𝑆𝑃 1 + 2% 𝑁 𝐸𝑆𝑃 2 NESP 𝑁 𝐴𝐿𝐸 1 + 1% NALE NALE PRECIO Ahora construimos la siguiente tabla: Usamos la ecuación fundamental de valoración: ESPAÑA ⇛ 𝑁 1,02 = 𝑁 2 ALEMANIA ⇛ · ∅IMP + NESP · ∅PAGO 𝑁 1,01 = 𝑁 1 · ∅IMP + NALE · ∅PAGO Resolviendo encontramos que ∅𝐸𝑆𝑃 𝐼𝑀𝑃 = 0,0195. Si a los inversores no les preocupara el riesgo, esta seria la probabilidad de impago de España. Recordamos que estamos comprobando las expectativas de los inversores.
 Finalmente, multiplicando 0,0195 · 100, encontramos el precio del activo que paga 100 en caso de impago para España. Este será de 1,95€ 7 ...

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