Problemes equacions diferencials ordinarias (2009)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 3
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 1

Vista previa del texto

Matem` atiques 23816 Ci` encies Ambientals Problemes Curs 2008-2009 ´ A LES EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINARIES ` INTRODUCCIO 50. Comproveu que y(t) = et − t ´es soluci´o de l’equaci´o diferencial dy + y 2 = e2t + (1 − 2t)et + t2 − 1.
dt 51. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) dy − t sin tdt = 0 (b) y = 2t (c) ydt − tdy = 0 (d) y = 4y 2 (e) y = ty (f) y = 12 y(100 − y) (g) (y − 2)dt − (t − 1)dy = 0 (h) y = 5(2 − y)(3 − y) (i) (j) cos y sin t dy = et+y+3 dt dy = sin y cos t dt 52. Resoleu els seg¨ uents problemes de valor inicial: (a) t2 dt + 2ydy = 0 , y(0) = 2 dy = y sin t , y(π) = −3 (b) dt (c) y = 8t3 e−2y , y(1) = 0 (d) y = t3 (1 − y) , y(0) = 3 (e) dy dt = y 2 et , y(2) = 1 53. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials lineals: (a) y = 3y −t2 (d) y + 2ty = 2te (b) y + 2ty = 0 (c) y + (sin t)y = 0 (e) y + 2y = t2 + 2t (f) 2ty − y = 3t2 54. Trobeu la soluci´o dels seg¨ uents problemes de valor inicial : (a) y = 2t , y(1) = 2 (b) y = y , y(0) = 1 (c) y = 6t − 4, y(0) = 0 (d) y + y sin t = sin t cos t , y(0) = 1 (e) y − y tan t = sec t , y(0) = 0 (f) y + 4y = et , y(0) = −3 (g) y + ty − t3 = 0 , y(2) = 0 55. Resoleu l’equaci´o diferencial y + 2 56. Resoleu l’equaci´o diferencial y = y = x3 amb la condici´o inicial y(1) = 1.
x 2x2 (x2 + 1)(x − 1)2 11 amb y(0) = 1.
57. Mitjan¸cant el canvi de variable indicat, resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) y = (t + y)2 ( t + y = u ) (b) (t2 y 2 + 1)dt + 2t2 dy = 0 ( ty = u ) (c) (1 + t2 y 2 )y + (ty − 1)2 ty = 0 ( ty = u ) (d) (t2 y 3 + y + t − 2)dt + (t3 y 2 + t)dy = 0 ( ty = u ) 58. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) y y y y y y y y y y y y + y + 6y = 0.
+ y + y = 0.
+ 2y − 15y = 0.
+ 6y + 9y = 0.
− 4y + 13y = 0.
+ 25y = 0.
+ y = ex + 2.
− y = ex sin x.
+ 2y + 2y = x2 + sin x.
+ y + y = x3 .
− 3y + 2y = e−x .
− 4y = 5.
59. En l’organisme d’un malalt s’han trobat, a les vuit del mat´ı de cert dia, un mili´o de bacteris el promig de vida dels quals abans de dividir-se en dos ´es de quatre hores.
(a) Calculeu el nombre de bacteris a les vuit de la tarda.
(b) Determineu aproximadament quan va comen¸car l’enfermetat.
60. Les dimensions d’una classe s´on 12, 8 i 4 metres. Acabada de buidar, l’aire cont´e un 0 12% del seu volum en CO2 . Es vol renovar en deu minuts l’aire de manera que quedi nom´es un 0 06% de CO2 . Calculeu quants metres c´ ubics per minut han de renovar-se introduint aire de l’exterior, el percentatge de di`oxid de carboni del qual ´es del 0 04%.
61. Una tassa de caf`e calent es refreda de 95◦ C a 80◦ C en 5 minuts. Segons la llei de refredament de Newton, es compleix l’equaci´o T = k(M − T ), on T (t) ´es la temperatura del caf`e a l’instant t, k ´es una constant i M ´es la temperatura de l’habitaci´o on es troba la tassa de caf`e. Si M = 21◦ C, determineu en quin moment el caf`e arribar`a a la temperatura de 50◦ C.
62. El corrent sanguini porta un medicament cap a l’interior d’un `organ a ra´o de 3 cm3 /seg i surt a la mateixa velocitat. L’`organ t´e un volum l´ıquid de 125cm3 . Sigui x(t) la quantitat (en grams) de medicament a l’`organ a l’instant t. L’evoluci´o de x(t) es pot modelitzar mitjan¸cant l’equaci´ o diferencial 3x x = 3a − 125 on a ´es la concentraci´o (gr/cm3 ) de medicament a la sang que entra a l’`organ.
Si a = 0.05 gr/cm3 , trobeu la concentraci´o de medicament a l’`organ a l’instant t. Digueu en quin instant de temps la concentraci´o de medicament a l’`organ ser`a de 0.01 gr/cm3 .
x(t) (Indicaci´o: La concentraci´o ´es c(t) = gr/cm3 .) 125 12 63. Quan els romans iniciaren l’estudi demogr`afic del seu pa´ıs, formaven una comunitat d’un mili´ o d’habitants. La velocitat (o taxa instant`ania) de creixement de la poblaci´o era proporcional a la poblaci´o existent, la qual s’hagu´es doblat en 60 anys. Investigacions posteriors varen permetre establir dos nous fets: (i) que el n´ umero m`axim de romans que podien conviure en el pa´ıs era de 40 milions i, (ii) que la velocitat de creixement era proporcional no nom´es a la poblaci´o existent, sin´o que tamb´e ho era a la difer`encia entre la poblaci´o m`axima i l’existent.
Es demana : (a) Trobeu l’equaci´o que regeix la variaci´o de la poblaci´o en ambdues hip`otesis.
(b) Suposant que inicialment les velocitats de creixement eren iguals per ambd´os models, determineu el temps necessari per a qu`e es dupliqui la poblaci´o de romans. Representeu (de manera qualitativa) el nombre de romans respecte el temps. A quin valor tendeix la poblaci´o quan t −→ ∞ ? 64. Considerem el model de poblaci´o dP P = 0.3 1 − dt 200 P − 1 P, 50 on P (t) ´es la poblaci´o en temps t.
(a) Per quins valors de P est`a la poblaci´o en equilibri ? (b) Per quins valors de P est`a creixent la poblaci´o ? (c) Per quins valors de P est`a decreixent la poblaci´o ? 65. Considerem el seg¨ uent model de poblaci´o, on k i N s´on constants positives i P (t) denota la poblaci´o a l’instant t, dP = kP (N − P ).
dt (a) Si partim d’una poblaci´o inicial de 4N individus, qu`e passar`a quan t → ∞ ? (b) Si partim d’una poblaci´o inicial de N/4 individus, qu`e passar`a quan t → ∞ ? (c) Al cap d’un cert temps observem que cal modificar el model de poblaci´o, obtenint kN 2 dP = kP (N − P ) − .
dt 4 Qu`e passar`a en els casos anteriors quan t → ∞ ? 13 ...