Apunts funcions (2017)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Criminología y Políticas Públicas de Prevención + Derecho - 1º curso
Asignatura Instruments matemàtics i informàtics
Año del apunte 2017
Páginas 28
Fecha de subida 09/06/2017
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Funcions • • • • • • • Les funcions ens ajuden a especificar teories socials Traduir conjectures verbals en gràfics i equacions Són una competencia básica a desenvolupar que permet o Obtenir información sobre larelació entre variables o Obtenir informació sobre lapredicció i variació d’un fenomen o Tenir una bonabase per entendre l’estadística o Desenvolupar hipótesis d’investigació i posar-les a prova Relació entre dues magnituds sempre que a cada valor de la variable x li correspongui un únic valor de la variable y Els valors de la variable y (variable dependent) depenen dels valors que adopta la variable x (variable independent): f(x) = y Cada conjunt d’observacions d’una funció ve determinat pels valors ordenats d’x i y Les funcions es representen mitjançant equacions però no totes les equacions són funcions. Existeixen equacions que tan sols expressen relacions • • • Podem pensar en les funcions com una màquina que transforma uns valors en altres Defineixen la relació entre dues variables (o més) i l’operació que hem d’efectuar sobre x per tal de transformar-la en el valor y També podem pensar en les funciones com allò que ens permet dibuixar la relació entre dues variables al pla cartesià • Per exemple: f(x) = x2 + 1 (que és el mateix que y = x2 + 1) Elements importants } Dibuixar funcions al pla cartesià } Domini i recorregut/imatge } Principals funcions ◦ Lineal, quadràtica, exponencial, logarítmica } Funcions inverses } Trobar les constants i les arrels Representació de funcions } Les funcions es poden representar: ◦ Numèricament mitjançant una taula ◦ Algebraicament mitjançant una fórmula ◦ Gràficament ◦ Exemple: f(x) = 12x x f(x)=12x 0 0 1 12 2 24 3 36 4 48 5 60 6 72 7 84 8 96 9 108 10 120 Domini i imatge } Domini dom(f(x)): conjunt dels valors d’x pels quals existeix y } Imatge (o recorregut o rang) im(f(x)): conjunt dels valors d’ y pels quals existeix x. Per conèixer la imatge ens fixarem en la representació gràfica. } Exemple: f(x) = 3x x f(x)=3x -4 -12 -3 -9 -2 -6 -1 -3 0 0 1 3 2 6 3 9 4 12 } El domini de les funcions reals i polinòmiques és R (els números reals) } El domini de les funcions racionals (amb una divisió) i amb x al denominador és R, exceptuant aquells valors d’x al denominador pels quals aquest és 0 (donat que a/0 és indefinit) } El domini de les funcions radicals amb una arrel d’índex imparell és R (els números reals) } El domini de les funcions radicals amb una arrel parella està format per tots els valors d’x que fan el radicand major o igual a 0 (l’arrel amb índex par de valor negatiu és indefinida) } Reconeixement de tipus de funcions: ◦ Polinòmiques: quadràtica ◦ Exponencials ◦ Logarítmiques ◦ Funcions discontínues / definides a trossos } Identificació del tipus de funció a partir de la seva equació i gràfica } Funcions inverses } Operacions amb funciones elementals Funcions lineals } Funcions lineals: prenen la forma: f(x) = a + bx } La funció que s’expressa és una equació de primer grau } La gràfica és una recta } b és la pendent o constant de proporcionalitat, que mesura la inclinació de la recta. Podem interpretar b como la variació que es produeix en la variable dependent quan la variable independent varia en una unitat } a és el valor de y quan x = 0 (la constant) } Les funcions lineals són molt importants a les ciències socials. Moltes teories s'expressen així, on y és la variable dependent, per exemple: } f(x) = a + bx } La constant a és el punt d’y on la recta talla amb l’eix vertical } La pendent b és la inclinació de la recta (quan més gran, més inclinada) ◦ b > 0, pendent positiva ◦ b < 0, pendent negativa Pendent positiva Pendent negativa (creixent) (decreixent) x y = 1 + 1.5x y = 1 + 1x y = 1 + 0.5x 0 1 1 1 1 2,5 2 1,5 2 4 3 2 3 5,5 4 2,5 4 7 5 3 5 8,5 6 3,5 6 10 7 4 7 11,5 8 4,5 8 13 9 5 9 14,5 10 5,5 10 16 11 6 } Dues funcions són paral·leles únicament si la pendent és idèntica } Dues funcions són perpendiculars únicament si: } En un pla cartesià, sols hi ha una única recta que pot passar per dos punts: ◦ Si coneixem dos punts (2, 1) y (3, 5) ◦ Volem trobar la funció lineal expressada per l’equació: y = a + bx ◦ Primer hem de calcular la pendent amb la fórmula: ◦ Calculem b substituint ◦ De moment tenim que y = a + 4x ◦ Per calcular a, substituïm x i y d’un dels punts coneguts: ◦ La funció per tant és: y = -7 + 4x ◦ (Ara proveu amb 3 i 5) Funcions polinòmiques } Les funcions polinòmiques tenen components que eleven x a alguna ponència } En realitat, les funcions lineals són un cas especial de polinòmiques on x1 } A partir d’una potència elevada a 3 descriuen corbes (no són freqüents a les Ciències Socials) } El domini són tots els números reals a no ser que s’expliciti el contrari } La forma general d’una funció quadràtica és: f(x)=ax2+bx+c on a, b i c són números reals } La seva gràfica és una paràbola } Exemples: } f(x) = 4x2 + 12x - 9; a= 4, b= 12 , c= -9 } f(x) = 2x2 + 5x; a= 2, b= 5 , c= 0 } f(x) = x2 + 25; a= 1, b= 0 , c= 25 Funcions quadràtiques } Concavitat: ◦ El valor d’a indica el tipus de concavitat de la paràbola: – Si a < 0 es còncava cap a baix – Si a > 0 es còncava cap a dalt (convexa) } } Vèrtex: ◦ El punt mínim a una paràbola còncava cap a dalt (convexa) ◦ El punt màxim a una paràbola còncava cap a baix La coordenada del vèrtex ve donada pels punts: } La paràbola és simètrica respecte a la línia que passa pel vèrtex de forma perpendicular Tipus de funcions quadràtiques } Les arrels: són els punts de tall de la corba a l’eix x (és a dir, en la línia horitzontal que passa per y = 0) } Una funció quadràtica te dues arrels sobre x si: ◦ La paràbola és còncava cap a dalt i el vèrtex es troba sota l’eix d’x ◦ } Té una arrel sobre x si: ◦ } O bé si es còncava cap a baix i el vèrtex es troba sobre l’eix d’x El vèrtex es troba sobre l’eix d’x. No té cap arrel sobre x si: ◦ La paràbola és còncava cap a dalt i el vèrtex es troba per sobre de l’eix x ◦ O bé es còncava cap a baix i el vèrtex es troba sota l’eix d’x } Com trobem les arrels? } Es substitueix y per 0 i apliquem la fórmula quadràtica } Si tenim dues arrels, les coordenades seran (x1, 0) y (x2, 0) } Com trobem l’intercepte (punt de tall de la corba a l’eix vertical)? } Sols pot haver-hi un } Es substitueix x per 0 per obtenir-lo } La coordenada del punt és (0, c) } Què s’observa respecte als vèrtexs? ◦ El vèrtex d’x es situa al punt mig de les arrels (si hi ha) ◦ La posició del vèrtex a l’eix horitzontal x ve determinada per b (quant més negativa és b, més a l’esquerra es situa; quant més positiva és, més a la dreta) ◦ c determina on es situa el vèrtex a l’eix vertical y (quant més negativa es c, més avall; quant més positiva, més a dalt) } a determina el ràpid que creix o decreix la paràbola } Exercici a classe: Donada la funció quadràtica: f(x) = 2x2 + 5x -3 , determina: } ◦ El tipus de concavitat ◦ Les coordenades del vèrtex } És un punt mínim o un punt màxim? } En quin quadrant del pla cartesià es troba? ◦ El domini i la imatge ◦ Les arrels ◦ L’intercepte ◦ Representació gràfica Concavitat: ◦ Com a = 2 -> Còncava cap a dalt (convexa) Altres funcions polinòmiques Funcions logarítmiques i exponencials Funcions exponencials } La seva fórmula bàsica és y = b* ax + c, sent a un número real positiu } La seva gràfica és una hipèrbola } Si a > 1 la funció és creixent; si 0 < a < 1 és decreixent. } L'asímptota horitzontal d’una funció exponencial és aquella línia que estesa fins a l’infinit tendiria a 0 (depenent de la constant) } Hi ha una funció exponencial específica: f(x) = exp(x) = ex , on e = 2.7183. } Funció exponencial de base a>1; y=ax Funcióexponencial de base a>1: y = ax 9 8 7 6 a=3 5 4 a=2 3 2 a=1,5 1 a=1 0 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 base 1 } 0 base 1,5 0,5 base 2 1 1,5 2 2,5 base 3 x Funció exponencial de base a < 1; y = a Funcióexponencial de base a<1: y = ax 9 a=0,1 8 7 a=0,3 6 5 a=0,5 4 3 2 a=1 1 0 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 base 1 } Transformacions: y = b * 2x base 0,5 0 0,5 base 0,3 1 base 0,1 1,5 2 2,5 Transformacions: y = b· 2x 9 8 7 6 b=2 5 4 b=1 3 2 b=0,5 1 0 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 b=1 } 0 0,5 b=2 1 1,5 2 2,5 b = 0,5 Transformacions: y = 2Tx ra + b nsformacions: y = 2x + b 5 4 b=3 3 2 b=1 1 0 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 -2 -3 b=-4 -4 b=1 b=3 b = -4 Funcions logarítmiques } La seva expressió és: f(x) = logax } Es poden entendre com la inversa de les exponencials i viceversa } Si a > 1, la funció és creixent; si 0 < a < 1 és decreixent } L'asímptota vertical d’una funció logarítmica és aquella línia que estesa fins a l’infinit tendiria a 0 (depenent de la constant) Funcions discontinues } Tipus de discontinuïtat: ◦ Punts on la funció no està definida (no pertanyen al domini de la funció): gràfica a ◦ O bé, punts on la gràfica presenta un salt: gràfica b } Exemple: cost trucada telefònica en funció de la seva durada ◦ Cost d’establiment de trucada i primer minut de 20 cèntims i cost de 20 cèntims per minut addicional. t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99 0,9999 1 1,0001 1,01 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 Cost 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 t 1,9 1,99 1,9999 2 2,0001 2,01 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,99 2,9999 3,0001 3,01 3,1 3,2 Cost 40 40 40 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 80 80 80 80 Funcióesglaonada: cost d'una trucada telefònica 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Funcions definides a trossos } De vegades cal fer més d’una fórmula per especificar algebraicament una funció } Per exemple, el número de milions de membres de facebook de 2004 a 2009, que es pot aproximar mitjançant la següent funció (on t = 0 representa l’inici al 2004): } Un cas especial són aquelles funciones que prenen valors diferents però constants en diferents trams del domini (per exemple, les multes per excés de velocitat) x y Hasta 132 0 Desde / hasta 133/152 100 Desde / hasta 153/162 140 Desde / hasta 163/172 200 Desde / hasta 173/198 300 Desde / hasta 199/208 380 Desde / hasta 209/218 450 A partir de 219 520 Funcions inverses } } Si tenim una funció f(x) = y ◦ La funció inversa f-1 és aquella per la qual f(y) = x ◦ És a dir, substituïm x per y, i y per x, per aïllar y ◦ Una funció pot no tenir inversa Per exemple: x f(x)=2x f-1(x)=x/2 1 2 0,5 2 4 1 3 6 1,5 4 8 2 5 10 2,5 6 12 3 } } } Exemple: per calcular la inversa de y = 2x + 3 ◦ Substituïm x per y: x = 2y + 3 ◦ Aïllem y: y = 0.5x - 1’5 -> f1(x) = 0.5x – 1.5 Exemple: per calcular la inversa de y = x + 48 ◦ Substituïm x per y: x = y + 48 ◦ Aïllem y: y = x – 48 -> f1(x) = x – 48 Altres exemples: } f(x)=x2 no té inversa, perquè la “inversa” no és una funció Tot això per què? } A ciències socials expressem moltes relacions entre factors de forma no lineal: ◦ Pobresa i participació ◦ Difusió d’Internet ◦ Productivitat al mercat laboral ◦ PIB i esperança de vida ◦ Relació entre edat i vot } Es poden modelar mitjançant funcions polinòmiques, exponencials o logarítmiques } Una aproximació molt acceptable mitjançant una funció quadràtica Tot això per què? } L’aproximació seria la d’una funció exponencial } L’aproximació seria la d’una funció logarítmica Operacions amb funcions ...