Tema 2. Dinámica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 1º curso
Asignatura Fonaments de Mecànica
Año del apunte 2014
Páginas 38
Fecha de subida 09/10/2014
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Descripción

Teoría de dinámica, perteneciente al bloque de la física clásica.

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2 Dinámica de una partícula Leyes fundamentales: leyes de Newton 2.1.1 Sistemas de referencia inerciales. Primera ley de Newton 2.1.2 Conceptos de cantidad de movimiento y de fuerza.
Segunda ley de Newton 2.1.3 Fuerzas de acción y reacción. Tercera ley de Newton 35 35 2.2 Interacciones fundamentales 2.2.1 Fuerzas gravitatorias 2.2.2 Fuerzas electrostáticas 2.2.3 Fuerzas magnéticas 2.2.4 Interacciones nucleares 41 42 42 43 43 2.3 Fuerzas macroscópicas 44 2.4 Sistemas de referencia no inerciales 45 2.5 Teoremas fundamentales 2.5.1 Impulso mecánico. Conservación de la cantidad de movimiento 2.5.2 Momento angular de una partícula 49 2.6 Trabajo y energía 2.6.1 Trabajo de una fuerza 2.6.2 Teorema del trabajo energía 2.6.3 Potencia 2.6.4 Fuerzas conservativas 2.6.5 Energía potencial 53 53 54 55 55 57 2.7 Energía mecánica 2.7.1 Teorema de conservación de la energía mecánica 2.7.2 Efecto de las fuerzas no conservativas 2.7.3 Estudio cualitativo del movimiento mediante diagramas de energía potencial 60 60 61 2.1 36 39 49 50 62 33 2.8 Oscilador armónico 2.8.1 Ley de Hooke 2.8.2 Movimiento armónico simple 66 66 67 34 2.1 Leyes fundamentales: leyes de Newton Hasta ahora, hemos estudiado el movimiento de una partícula sin preguntarnos por las causas que lo originan (cinemática). La parte de la mecánica que estudia dichas causas se llama dinámica. En realidad la dinámica clásica nace con los estudios de Galileo Galilei (1564-1642) y de Isaac Newton (1643-1723). La base de la dinámica clásica son las famosas leyes de Newton, que fueron publicadas en su libro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687).
Vamos a definir la dinámica clásica o Newtoniana como aquella disciplina que se ocupa de estudiar el movimiento de partículas suficientemente grandes como para que no sea necesario considerar su estructura atómica, y con velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de la luz. En este marco, el movimiento de una partícula material queda determinado por la naturaleza y disposición de los otros cuerpos que forman lo que llamaremos “su medio ambiente”. Entendemos como “medio ambiente” el conjunto de cuerpos capaces de ejercer algún tipo de acción sobre el estado de movimiento de la partícula. Por lo tanto, el problema central de la dinámica clásica es el siguiente: Dada una partícula con unas condiciones iniciales determinadas (posición y velocidad) en un “medio ambiente” del que tenemos una descripción completa, deberemos determinar la ecuación del movimiento r ( t ) de la partícula. Para resolver este problema es necesario: I. Introducir el concepto de fuerza que permite relacionar el medio con el movimiento de la partícula. En consecuencia, las fuerzas deben intervenir en las leyes que permiten calcularlas (leyes de las fuerzas) y en las leyes del movimiento.
II. Asignar a cada cuerpo un valor de la masa, con el fin de justificar por qué dos partículas de la misma naturaleza en el mismo “medio ambiente” pueden experimentar aceleraciones diferentes.
III. Desarrollar métodos de cálculo que permitan conocer el movimiento de una partícula a partir de sus propiedades y las del medio que la rodea. Es decir, establecer las leyes de las fuerzas y del movimiento.
2.1.1 Sistemas de referencia inerciales. Primera ley de Newton Vamos a empezar por enunciar la primera ley de Newton. Para ello consideraremos el siguiente experimento: Un bloque de madera se empuja sobre una mesa durante un cierto tiempo y luego se suelta. El bloque recorre una distancia l1 y después se para.
Antes de Galileo, se creía que los cuerpos tendían al reposo al dejar de actuar la causa que producía el movimiento (Aristóteles). Sin embargo, si se repite el experimento anterior lubricando la superficie de la mesa, la distancia recorrida l2 es mayor ( l2 > l1 ).
Extrapolando estos resultados, se llega a la conclusión de que el cuerpo seguiría moviéndose en línea recta y a velocidad constante v0 , en caso de que fuéramos capaces de eliminar totalmente la fuerza de rozamiento existente entre el cuerpo y la mesa.
Galileo fue el primero en descubrir que para que un cuerpo cambie su velocidad se necesita que sobre él actúe una fuerza. En ausencia de fuerzas, la velocidad del cuerpo se mantiene constante. Este principio fue posteriormente adoptado por Isaac Newton como su primera ley.
Primera ley de Newton: Todo cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sobre él actúe alguna fuerza.
35 Cada observador lleva asociado un sistema de referencia que está constituido por tres ejes métricos ortogonales entre sí y un reloj. Vamos a suponer que el tiempo es universal para todos ellos, de tal manera que todos los observadores pueden sincronizar sus relojes y por lo tanto, miden el mismo tiempo. Es evidente que el estado de movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia desde el que se le observa.
Por ejemplo, si observamos un satélite geoestacionario, desde la Tierra parece parado, mientras que desde el Sol describe una trayectoria bastante compleja. Vamos a ver en qué sistemas de referencia es aplicable la 1ª ley de Newton. En estos sistemas, una partícula aislada, suficientemente alejada de las demás, no debe tener aceleración. Por lo tanto, estos sistemas, a los que llamaremos sistemas inerciales, son aquellos que están en reposo o se mueven siguiendo un movimiento rectilíneo uniforme respecto a las estrellas lejanas. De hecho, se puede saber si un observador es inercial o no analizando si para él se verifica la 1ª ley de Newton. Si el observador “ve” que un cuerpo libre tiene aceleración, entonces su sistema de referencia no es inercial.
Observaciones: 1. La 1ª ley de Newton no establece ninguna diferencia entre el estado de reposo y el correspondiente a un movimiento rectilíneo uniforme.
2. En la 1ª ley de Newton no se hace ninguna distinción entre los casos correspondientes a ausencia de fuerzas actuando sobre el cuerpo y resultante de las fuerzas nula. De hecho, la 1ª ley de Newton se puede enunciar también como: Primera ley de Newton: Si sobre un cuerpo no actúa fuerza neta su aceleración es nula.
3. Obsérvese que un sistema de referencia que se mueve de forma solidaria con una partícula libre es necesariamente inercial. Por ejemplo, el sistema de referencia asociado a un observador en una nave espacial con los motores parados, que se mueve o está en reposo lejos de cualquier masa, es un sistema inercial. También lo es el sistema de referencia de un observador en un tren que se mueve a velocidad constante y en línea recta.
2.1.2 Conceptos de cantidad de movimiento y de fuerza. Segunda ley de Newton Supongamos que en lugar de observar una partícula aislada, como lo hicimos en el apartado anterior para establecer la 1ª ley de Newton, consideramos dos partículas aisladas que están sujetas sólo a su interacción mutua. Como resultado de esta interacción, sus velocidades respectivas no son constantes, sino que varían con el tiempo, y sus trayectorias, en general, son curvas. Como una simplificación adicional, vamos a suponer que las partículas sólo interaccionan cuando están a una distancia pequeña la una de la otra. Observamos las partículas antes y después de la interacción, y medimos el cambio en la velocidad que han experimentado: ∆v1 = v1′ − v1 ; ∆v2 = v2′ − v2 .
De esta observación experimental podemos constatar que ∆v1 y ∆v2 son vectores paralelos de sentidos opuestos. Como segundo resultado experimental observamos que: ∆v1 = cte .
∆v2 36 v2′ v2 v2′ ∆v2 v2 v1 v1′ v1 ∆v1 v1′ Figura 2.1. Cambios en la velocidad de dos partículas interactuantes.
Además, cuando se determina la masa de cada una de las partículas (por ejemplo, midiéndola con una balanza) se observa que la constante de proporcionalidad en la expresión anterior no es más que la inversa del cociente de las masas, ∆v1 m2 = .
∆v2 m1 Esta expresión se puede utilizar para comparar las masas de dos partículas. Supongamos que conocemos la masa m1 de la partícula 1, podemos determinar la masa de la partícula 2 simplemente haciendo que interaccionen, y midiendo los cambios correspondientes de velocidad. La masa obtenida de esta forma se conoce como masa inercial. Por ejemplo, la masa del neutrón fue determinada por primera vez basándose en este método. Como consecuencia de todo esto, diremos que: la masa inercial de una partícula es una propiedad que determina como cambia su velocidad cuando interactúa con otros cuerpos.
En este sentido, podemos afirmar que la masa es una propiedad fundamental de la materia. La ecuación anterior se puede escribir de forma más general como la siguiente expresión vectorial: m1∆v1 = − m2 ∆v2 .
La forma en la que aparece la masa en esta ecuación sugiere la necesidad de introducir una nueva magnitud física: el momento lineal o cantidad de movimiento de la partícula, que definiremos como el producto de su masa y su velocidad.
p = mv .
El momento lineal (cantidad de movimiento) es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad. Es un concepto físico muy importante, ya que combina dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad. Sus unidades en el sistema internacional son kg m s-1 , no teniendo una denominación especial.
[ p ] = MLT -1 .
Llamaremos fuerza a toda acción que da lugar a la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo. Para comparar y medir fuerzas podemos utilizar un dinamómetro, que no es más que un muelle con un indicador y una escala calibrada (la fuerza aplicada es proporcional al alargamiento del muelle; ley de Hooke).
37 El dinamómetro se calibra a partir del peso de un cuerpo patrón de masa igual a 1 kg. La fuerza es una magnitud vectorial; de tal forma que si sobre un cuerpo hacemos F Figura 2.2. Representación esquemática de un dinamómetro (F. Salvat) actuar un conjunto de fuerzas Fi , se obtiene el mismo resultado que si aplicamos una única fuerza igual a la resultante (suma de las fuerzas aplicadas). Esto se puede verificar experimentalmente, y se observa, por ejemplo, que cuando la suma de fuerzas F1 que actúan sobre un objeto es cero, el efecto neto sobre el cuerpo es el mismo que F si no aplicamos ninguna fuerza. Si sobre un cuerpo hacemos actuar simultáneamente las fuerzas F1 y F2 , el movimiento F2 resultante es equivalente al que produciría Figura 2.3. Resultante de dos fuerzas.
la fuerza F = F1 + F2 , que es la suma vectorial de las otras dos. Por lo tanto, las fuerzas cumplen las reglas de la suma vectorial.
A partir de los conceptos introducidos, es fácil dar una versión generalizada de la 2ª ley de Newton, Segunda ley de Newton: La resultante de las fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento por unidad de tiempo.
dp d ( mv ) dm dv F= = =v +m  → F = ma dt dt dt dt m =cte La segunda ley de Newton relaciona dos magnitudes nuevas: la masa y la fuerza.
De hecho, en la versión más simple, cuando la masa del cuerpo es constante, se puede utilizar para definir el concepto de fuerza o de masa: • • Una fuerza se puede medir determinando la aceleración que produce en un cuerpo patrón (masa de 1 kg).
También se pueden medir masas, determinando las aceleraciones que una misma fuerza F causa sobre la masa patrón m1 = 1 kg y la masa m2 , objeto de estudio. De la 2ª ley de Newton tenemos que a ∝ F , siendo la constante de proporcionalidad la masa del cuerpo, por lo tanto, F = m1a1  m1 a2 = .
→ F = m2 a2  m2 a1 • • Para un cuerpo dado, la aceleración y la fuerza resultante son vectores paralelos.
La unidad de fuerza en el sistema internacional es el newton, N =1 kg m s-2 . La fuerza tiene dimensiones de [ F ] = MLT -2 .
38 Notar que, en realidad, la 1ª ley de Newton es un caso particular de la segunda. En efecto, si F = 0 → a = 0 y el movimiento es rectilíneo y uniforme (caso particular: reposo).
La 2ª ley de Newton sólo es válida en sistemas inerciales. Teniendo en cuenta que las masas y las fuerzas son independientes del sistema de referencia que se utiliza para observarlas, es obvio que, para un observador solidario a un sistema de referencia no inercial, no se verificará la segunda ley de Newton cuando observe el movimiento de un cierto objeto, ya que la aceleración medida por él será a ' = a − A ( A es la aceleración del observador no inercial respecto a un sistema de referencia inercial y a la aceleración del objeto medida respecto a un sistema inercial). Para explicar sus medidas, el observador no inercial deberá incluir fuerzas ficticias o de inercia en la 2ª ley de Newton.
2.1.3 Fuerzas de acción y reacción. Tercera ley de Newton Como ya hemos visto, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo dado son debidas a los otros cuerpos que forman su medio ambiente. Ahora bien, se comprueba experimentalmente que en la naturaleza no aparecen fuerzas aisladas. Si un cuerpo A ejerce una fuerza FAB sobre otro cuerpo, éste ejerce también una fuerza FBA sobre el cuerpo A . A estas parejas de fuerzas se les llama de acción y reacción. Esta propiedad constituye la 3ª ley de Newton.
Tercera ley de Newton: A toda fuerza de acción se opone una fuerza de reacción.
Las acciones (fuerzas) mutuas entre dos cuerpos son iguales en módulo y dirección, y de sentidos opuestos.
En consecuencia, FAB = − FBA . En cualquier caso, hay que tener cuidado con estas fuerzas de acción y reacción, ya que FAB está aplicada sobre B y FBA está aplicada sobre el cuerpo A ; por lo tanto, es incorrecto pensar que las fuerzas de acción y reacción se compensan, ya que no se pueden sumar al estar aplicadas sobre cuerpos diferentes.
Ejemplo: Consideremos un bloque de masa m que descansa sobre una mesa. ¿Qué fuerzas actúan sobre él? ¿Cuáles son sus reacciones? ¿Por qué el bloque se FMB mantiene en reposo? Sobre el bloque actúa el peso (fuerza con la que es atraído por la Tierra), de magnitud mg y dirección hacia el centro de la Tierra, y la fuerza de contacto que ejerce la mesa sobre el bloque FMB .
Ambas pueden mg considerarse aplicadas sobre el centro de gravedad del bloque, al que FBM consideraremos como una partícula. La reacción del peso es una fuerza − mg Figura 2.4. Fuerzas de acción y reacción que atrae la Tierra hacia el bloque, y entre un bloque de masa m y una mesa sobre la que reposa.
39 está aplicada en el centro de ésta. La reacción a la fuerza FMB es FBM = − FMB , y está aplicada sobre la mesa. La fuerza neta sobre el bloque es FMB + mg . Dado que la aceleración del bloque es nula ya que se encuentra en reposo, FMB + mg = 0 , es decir, FMB y mg son iguales en módulo y de sentido contrario. Es importante resaltar que FMB no es la reacción del peso del bloque y que esta fuerza de reacción actúa sobre el centro de la Tierra.
Ejemplo: Dos bloques están tocándose sobre una superficie sin rozamiento, tal como se indica en la figura. Se aplica una fuerza horizontalmente sobre el bloque m1 que empuja el conjunto hacia la derecha. a) Si m1 = 2 kg , m2 = 1 kg , F = 3 N , encontrar los valores de las fuerzas de contacto entre los bloques.
F F12 y F21 son fuerzas de acción y m1 m2 F12 reacción, por lo tanto, en módulo tendremos F21 que F12 = F21 = F ' .
Podemos escribir la 2ª ley de Newton para cada uno de los bloques, masa 1: F − F ' = m1a  F m2 → F ' = m2 a → F ' = F .
→ a = masa 2: F ' = m2 a m1 + m2 m1 + m2  Sustituyendo los datos obtenemos F ' = 1 N .
b) Vamos a considerar ahora el caso en que la fuerza F se aplica sobre m2 hacia la izquierda. En este caso, de forma análoga al anterior, tenemos que masa 1: − F ' = − m1a  F m1 → − F ' = − m1a → F ' = F .
→ a = masa 2: F '− F = − m2a  m1 + m2 m1 + m2 Sustituyendo los datos obtenemos F ' = 2 N .
c) La fuerza de contacto F ' es diferente en los dos casos, ya que en el primer caso, acelera la masa m2 , mientras que el segundo acelera la masa m1 . Dado que estas masas son diferentes, se necesitan valores distintos de la fuerza de contacto para producir sobre ellas la misma aceleración.
Ejemplo: Se tira de los dos bloques de la Figura 2.5, que están unidos por la cuerda B , con una fuerza F horizontal. Sean m1 , m2 , m A y mB las masas de los dos bloques y las dos cuerdas, respectivamente.
m2 T3 B T2 m1 T1 F A Figura 2.5. Dos masas unidas por la cuerda B que son arrastradas por la fuerza F que se ejerce sobre la cuerda A .
40 Podemos establecer el siguiente diagrama para las fuerzas de acción y reacción que actúan sobre los diferentes cuerpos que forman el sistema: Aplicando la 2ª ley de Newton a cada uno de los cuerpos que intervienen en el sistema se obtienen las siguientes ecuaciones: Cuerda A F − T1 = m Aa Cuerpo 1 T1 − T2 = m1a Cuerda B T2 − T3 = mB a Cuerpo 2 T3 = m2 a donde se ha supuesto que la aceleración es la misma para todos los cuerpos que forman el sistema, ya que todos ellos se mueven conjuntamente. Sumando las T1 A T3 B F T2 T1 m1 T2 m2 T3 Figura 2.6. Diagrama de fuerzas para los cuerpos de la Figura 2.5.
cuatro ecuaciones se eliminan las fuerzas de acción y reacción que se ejercen los distintos objetos entre sí y se obtiene, F F = ( m A + m1 + mB + m2 ) → a = .
m A + m1 + mB + m2 De estas ecuaciones se pueden despejar las expresiones de las fuerzas de ligadura T1 , T2 , T3 , T1 = F − m Aa = ( m1 + mB + m2 ) a T2 = T1 − m1a = ( mB + m2 ) a T3 = T2 − mB a = m2 a Cada fuerza, que actúa hacia la derecha del sistema, hace que la parte del sistema que queda por detrás se mueva con aceleración a . Hay que hacer notar que F − T1 ≠ 0 si m A ≠ 0 , y T2 − T3 ≠ 0 si mB ≠ 0 . Si m A = mB = 0 , las tensiones son iguales a lo largo de cada cuerda.
2.2 Interacciones fundamentales Las tres leyes de Newton constituyen las leyes del movimiento. Para completar los fundamentos de la Mecánica nos hace falta definir las leyes de las fuerzas. Las leyes de las fuerzas nos permitirán calcular la fuerza F que actúa sobre una partícula a través de una función de las propiedades de la partícula y de su medio ambiente. A partir de las leyes de las fuerzas y de la segunda ley de Newton podremos relacionar la aceleración a de un cuerpo con las propiedades de la partícula y del medio que la rodea.
Los cuerpos materiales son agregados de átomos. Un átomo está constituido por un núcleo y un número de electrones igual al número atómico ( Z ) del elemento. A su vez, el núcleo está constituido por Z protones y A − Z neutrones, siendo A el número de nucleones que contiene el átomo. Las partículas constituyentes del átomo tienen carga y 41 masa, excepto el neutrón que tiene carga cero, de tal forma que el átomo es eléctricamente neutro. Las cargas eléctricas se mueven en el interior del átomo, generando un campo magnético B .
La fuerza que actúa sobre un cuerpo será la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre las partículas que lo constituyen. Por otro lado, la fuerza que actúa sobre una partícula, como consecuencia de la presencia de un sólido en sus proximidades, es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen las partículas constituyentes del sólido sobre la partícula considerada. Por lo tanto, para poder establecer las llamadas leyes de las fuerzas bastará con conocer las distintas fuerzas que se pueden ejercer las partículas constituyentes entre sí. Estas interacciones elementales son de cuatro tipos diferentes: gravitatorias, electromagnéticas, nucleares fuertes y débiles.
2.2.1 Fuerzas gravitatorias r12 = − r21 rˆ21 F12 rˆ12 m2 m1 F21 La ley de la gravitación universal de Newton permite calcular la fuerza gravitatoria que se ejercen entre sí dos cuerpos de masas m1 y m2 que están separados una distancia r12 .
F12 = −G r2 r1 m1m2 rˆ12 r122 La constante de la gravitación vale G = 6.67428 × 10 −11 m 3kg -1s-2 , por lo que las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas. Las fuerzas F12 y F21 son o Figura 2.7. Fuerzas gravitatorias de acción fuerzas de acción y reacción, la una de la y reacción entre dos masas.
otra. La masa gravitatoria que aparece en la ley de la gravitación universal se puede asociar a la masa inercial que se definió a partir de la 2ª ley de Newton.
2.2.2 Fuerzas electrostáticas: Ley de Coulomb r12 = − r21 rˆ21 q1 F21 r1 F12 rˆ12 q2 q1q2 < 0 r2 o Figura 2.8. Fuerzas de interacción electrostática para dos cargas que cumplan q1q2 < 0 .
La ley de Coulomb describe la interacción electrostática entre dos cargas q1 y q2 .
F12 = 1 q1q2 rˆ12 4πε 0 r122 La constante en esta expresión vale 1 4πε 0 = 8.987551787 × 109 N m 2 C-2 , por lo tanto, la fuerza es atractiva o repulsiva dependiendo del signo relativo de las cargas. Para q1q2 > 0 la fuerza de interacción electrostática entre las dos cargas es repulsiva, mientras que para q1q2 < 0 es atractiva. En este caso, también 42 F12 = − F21 , ya que son fuerzas de acción y reacción.
Ejemplo: Interacciones gravitatorias y electrostáticas entre dos protones.
m = 1.672621637 × 10−27 kg q = e = 1.602176487 × 10−19 C 1.867 × 10−64 N r2 2.307 × 10−28 Felectr = N ∼ 1036 Fgrav r2 Las fuerzas gravitatorias y electrostáticas son centrales F12 ∝ r12 , y ambas son Fgrav = ( ) inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, por lo tanto, se pueden estudiar conjuntamente.
2.2.3 Fuerzas magnéticas i2 i1 F21 r1 F12 r12 = − r21 dl2 dl1 r2 o Figura 2.9. Interacción magnética entre dos elementos de corriente.
Las fuerzas de origen magnético aparecen entre cargas en movimiento.
Por ejemplo, la fuerza que se ejercen dos elementos de circuito entre sí es: d 2 F12 = ( ) µ0 i1dl1 × i2 dl2 × r12 , 4π r123 donde µ0 = 4π × 10−7 N A 2 . Las fuerzas entre dos circuitos cerrados verifican que F12 = − F21 (fuerzas de acción y reacción).
Las fuerzas gravitatorias, eléctricas y magnéticas son de largo alcance y por lo tanto, estrictamente, sólo se anulan para r→∞.
2.2.4 Interacciones nucleares La interacción nuclear fuerte es la responsable de mantener ligados los neutrones y protones en el núcleo atómico. Es una fuerza atractiva, unas 100 veces más intensa que la repulsión electrostática entre protones. Es una interacción de corto alcance y se anula rápidamente para distancias mayores que ∼ 1 fm . En el núcleo, existe también la interacción débil. Su efecto más notable es la desintegración beta de los núcleos. Se trata de una interacción unas 10,000 veces más débil que la interacción fuerte y es de muy corto alcance.
43 2.3 Fuerzas macroscópicas En la naturaleza, el número de partículas que integran un determinado cuerpo es siempre muy grande ( ∼ 1023 ), por lo que cualquier intento de considerar en detalle todos los pares de interacciones entre partículas constituyentes es completamente irrealizable desde el punto de vista práctico. Para describir problemas reales se recurre a unas fuerzas promedio. Un ejemplo de una de estas fuerzas promedio es el peso, que es la resultante de la interacción gravitatoria de las partículas de un cuerpo y el conjunto formado por todas las partículas que integran la Tierra.
F = mg El vector g apunta aproximadamente hacia el centro de la Tierra, indicando la vertical del lugar ( g ≃ 9.8 m s-2 ) .
Otro ejemplo de fuerza macroscópica promedio es la fuerza de rozamiento causado por la interacción entre los átomos de dos cuerpos en contacto. Si las superficies de los dos cuerpos que están en contacto son aproximadamente planas, la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal entre los dos cuerpos, y está dirigida tal como se Fr F indica en la Figura 2.10, oponiéndose al movimiento. Su módulo es igual a: Fr = µ N .
En esta expresión, µ es el coeficiente de N = mg rozamiento, que depende de la estructura de las superficies en contacto. El valor del Figura 2.10. Diagrama de fuerzas para un cuerpo que presenta rozamiento sobre coeficiente de rozamiento se puede reducir una superficie.
puliendo o lubricando las superficies en contacto. El coeficiente de rozamiento adopta valores distintos según el cuerpo esté en reposo sobre la superficie o se desplace respecto a ésta. En el segundo caso, se dice que µ es el coeficiente de rozamiento dinámico µdin . Cuando el cuerpo está en reposo sobre la superficie, el coeficiente de rozamiento (estático) µest no tiene un valor definido, ya que depende del módulo de la fuerza aplicada para intentar poner en movimiento el objeto. Por lo tanto, su valor crece hasta adoptar un valor máximo que corresponde al instante en el que la fuerza aplicada max es capaz de poner en movimiento el objeto. Si llamamos µest al valor máximo del max coeficiente de rozamiento estático, se puede verificar que, en general, µest > µdin .
Las ruedas de un vehículo minimizan de manera muy efectiva los efectos del rozamiento cuando ruedan sin deslizar sobre una superficie lisa. En este caso, la fuerza de rozamiento no realiza trabajo y sólo hay una contribución al rozamiento, mucho más pequeña, que es debida a la rodadura.
Ejemplo: Una plataforma de un tren va cargada de cajas que tienen un coeficiente de rozamiento con el suelo de 0.25. Si el tren se mueve a 50 km/h, ¿cuál es la distancia más corta en la que puede pararse sin que las cajas se desplacen? Fr a v0 N N = mg Fr = µ N = µ mg mg xf 44 Para que las cajas no resbalen al frenar es necesario que la fuerza de rozamiento sea capaz de decelerar las cajas al mismo tiempo que lo hace el tren; por lo tanto, Fr = µ mg = ma → a = µ g = 2.45 m s-2 .
El tiempo necesario para pararse será: v v v ( t p ) = v0 − a t p = 0 → t p = 0 = 0 .
a µg En ese tiempo, el espacio recorrido por el tren antes de pararse es: km 1000 m 1 h v0 = 50 = 13.9 m s-1 h 1 km 3600 s 2  v  1  v  v 2 1 v02 1 v02 = = 34.4 m x f = v0  0  − µ g  0  = 0 − µg 2 µg 2 µg  µg  2  µg  El rozamiento por viscosidad se da cuando un cuerpo se mueve en el interior de un fluido. Normalmente es proporcional a la velocidad relativa del cuerpo respecto al fluido si ésta es pequeña. Para velocidades grandes, es proporcional a potencias más elevadas de v .
2.4 Sistemas de referencia no inerciales Consideremos dos sistemas de referencia o y o ' con los ejes paralelos entre sí moviéndose el uno respecto al otro con una aceleración constante d 2R A= 2 , dt tal como se indica en la Figura 2.11, y supongamos que el sistema o es inercial.
Z t F Z' m t' r r' o X Y R o' Y' X' Figura 2.11. Sistema no inercial ( o ' ) en movimiento relativo respecto a un sistema inercial ( o ) .
Vamos a suponer que en el punto r hay una masa m sobre la que se aplica una fuerza F que medimos con un dinamómetro. Es evidente que los dos observadores medirán el mismo valor de la fuerza en el dinamómetro. Por ser o un sistema inercial, se cumplirá la 2ª ley de Newton y por lo tanto, respecto a o , tendremos que la aceleración a de la partícula viene dada por la siguiente expresión: 45 a= F .
m ɺɺ Ahora bien, y dado que A = R ≠ 0 , respecto de o ' tendremos, r'=r −R v ' = v −V , a' = a − A por lo tanto, en el sistema de referencia o ' se cumplirá una especie de 2ª ley de Newton modificada que tiene la siguiente forma: ma ' = ma − mA = F − mA .
Es decir, para el observador no inercial ( o ' ) parece como si sobre el cuerpo actuase, además de F , una fuerza ficticia (fuerza de inercia). Por ejemplo, cuando un autobús acelera, los pasajeros “notan” una fuerza que les empuja hacia atrás. Esa fuerza realmente no existe, y sólo se entiende el diagrama de fuerzas real que está actuando sobre un pasajero cuando se observa el autobús desde un sistema inercial (observador parado, fuera del autobús). Desde el exterior, vemos que el autobús acelera debido a la fuerza que ejerce el motor a través de las ruedas. Esta fuerza arrastra a todo el autobús en su conjunto. En particular, un pasajero en el interior del autobús, nota que el suelo del autobús le estira hacia delante (a través del rozamiento entre el suelo y los zapatos), y es por eso que se cae hacia atrás sino tiene ningún otro punto de sujeción más elevado que le ancle al autobús.
Otro caso interesante de sistema no inercial es el de un sistema de referencia que gira, con velocidad angular constante ω , respecto a un sistema inercial que supondremos en reposo por simplicidad. En realidad, este es el caso que ya estudiamos en el apartado 1.6.2. En este contexto, por ejemplo, es interesante analizar la fuerza ficticia de Coriolis que aparece en el sistema no inercial asociada a la aceleración de Coriolis. Para ello, vamos a considerar el ejemplo que se describe a continuación.
Supongamos una plataforma horizontal que gira a velocidad angular constante ω , tal como se indica en la figura. En el centro de la plataforma hay una persona que lanza una pelota, en dirección radial y con velocidad inicial v′ , hacia una segunda persona que se encuentra parada en un punto del perímetro exterior de la plataforma. Suponiendo que entre la plataforma y la pelota no hay rozamiento, vamos a analizar el movimiento de la pelota visto desde el sistema de referencia que se mueve solidario con la plataforma (no inercial) y desde un sistema exterior a la plataforma que supondremos inercial.
ω v′ R ∆s Trayectoria de la pelota desde el sistema no inercial 46 1. Desde el sistema inercial (observador exterior a la plataforma), se observa que la pelota recorre una trayectoria rectilínea, ya que después de ser lanzada no actúan fuerzas sobre ella y, por lo tanto, mantiene un movimiento rectilíneo a velocidad constante.
2. Desde el sistema no inercial, que se mueve solidario con la plataforma, la pelota aparentemente se desvía de la trayectoria recta por la acción de una fuerza ficticia (fuerza de Coriolis) FC = −2m ω × v′ , que es siempre perpendicular a v′ , y por lo tanto, sólo cambia la dirección del vector velocidad, pero no su módulo.
En realidad, la desviación respecto a la trayectoria recta de la pelota es sólo aparente, ya que se debe a que el receptor de la pelota ha girado un cierto ángulo ω t durante el tiempo t que la pelota ha tardado en ir desde el centro de la plataforma hasta el perímetro de la plataforma, y ya no se encuentra en el lugar al que llega la pelota (ver figura). El arco a lo largo del cual se ha desplazado la segunda persona durante el tiempo t es ∆s = Rω t = ω v′t 2 , donde hemos utilizado que R = v′t . Dado que hemos obtenido una dependencia cuadrática en el tiempo para el arco girado por la segunda persona en el tiempo t , este movimiento debe ser uniformemente acelerado, por lo tanto, 1 ∆s = a′t 2 = ω v′t 2 → a ′ = 2ω v′ , 2 donde la aceleración que acabamos de obtener coincide con el módulo de la aceleración de Coriolis.
3. Para que la pelota recorra una trayectoria recta respecto a la plataforma hay que hacer sobre ella la fuerza de Coriolis − FC = 2m ω × v′ . Desde el exterior a la plataforma (sistema inercial), la trayectoria será curvada (ver figura) debido a que la fuerza de Coriolis, en este caso, no es ficticia.
ω v′ FC R Trayectoria de la pelota vista desde el sistema inercial.
Desde el sistema no inercial la trayectoria es una recta.
Como ya vimos en el apartado 1.6.3, dado que la Tierra gira a velocidad angular ω respecto a un eje que atraviesa los polos, el movimiento de un objeto visto desde la superficie de la Tierra también estará afectado por estas fuerzas ficticias. Por ejemplo, si se dispara un proyectil de largo alcance desde el Polo Norte siguiendo un meridiano, por efecto de la rotación terrestre, conforme avanza el proyectil hacia el Ecuador, la superficie de la Tierra tiene cada vez una velocidad lineal hacia el Este mayor; de manera que, al no participar el proyectil de esta velocidad lateral dado que fue lanzado 47 desde el Polo Norte, el proyectil se retrasa con respecto a la superficie de la Tierra y, desde el punto de vista de un observador v' N terrestre, se desvía hacia la derecha de su trayectoria original. Evidentemente, desde un sistema inercial, exterior a la Tierra, el proyectil no se desvía. Si ahora el disparo se hace en sentido contrario, o sea desde el Ecuador hacia el Polo Norte siguiendo un meridiano, el proyectil parte con una cierta velocidad hacia el Este (ya que cuando estaba sobre la superficie de la Tierra participaba del movimiento de ésta). A medida que avanza sobre el meridiano se encuentra sobre un suelo que presenta cada vez menos velocidad lineal hacia el Este, en cambio, su velocidad lineal hacia el Este es cada vez mayor debido a la conservación del momento angular. El resultado será, de nuevo, una desviación aparente (desde la superficie de la Tierra) hacia la derecha.
ω Con frecuencia, estas fuerzas llamadas de inercia se consideran reales de forma incorrecta. Su origen proviene de utilizar sistemas de referencia no inerciales (para los que las leyes de Newton no son válidas) para analizar un movimiento.
Ejemplo: Consideremos una persona sobre una báscula que se encuentra en el interior de un ascensor. Es obvio que sobre la persona actúan su peso − mg y la fuerza N que ejerce la báscula sobre él, igual en módulo y de sentido contrario a la fuerza que él ejerce sobre la báscula. Por lo tanto, la fuerza neta real que experimenta la persona en el interior del ascensor es F = N + mg → F = N − mg , donde se ha supuesto que el sentido positivo del movimiento es hacia arriba.
a) Si el ascensor se mueve a velocidad constante, el observador dentro del ascensor se encuentra en un N sistema inercial, ya que a = 0 → F = 0 → N = − mg y en consecuencia, la báscula indica el peso real de la persona, ya que − N = mg es la fuerza que la persona hace sobre la báscula.
b) Si el ascensor sube con una aceleración a , entonces, desde el exterior del ascensor (observador en un sistema inercial), podremos escribir la 2ª ley de Newton, F = − mg + N = ma → N = m ( a + g ) , y la báscula indicará un peso incrementado respecto al real en la cantidad ma .
mg c) Si el ascensor desciende con aceleración − a , como en el caso anterior desde el exterior del ascensor tendremos que 48 F = −mg + N = −ma → N = m ( g − a ) , y la lectura de la báscula será menor que el peso real de la persona.
Visto desde el exterior del ascensor (sistema inercial) está claro lo que sucede en todos los casos. Sobre la persona actúan, como hemos visto, dos fuerzas: su peso mg y la fuerza que hace la báscula sobre sus pies N . Por lo tanto, desde el sistema inercial siempre se verifica que F = mg + N = ma .
En un sistema inercial nunca aparecen fuerzas de inercia ficticias.
Ejemplo: Una persona de 58 kg se encuentra encima de una plataforma (ver figura) de 14.5 kg. Encontrar la fuerza que ha de hacer sobre la cuerda para: a) subir con una aceleración de 61 cm s-2 ; b) subir a velocidad constante.
Vamos a considerar el sistema analizado desde el exterior de la plataforma, tal como lo vería un observador inercial. La fuerza F que ejerce la −T −T persona sobre la cuerda es igual en módulo y de sentido opuesto a la tensión T que aparece en la T cuerda. Si consideramos el sistema formado por la plataforma y la persona, la 2ª ley de Newton para este sistema será: T 2T − mg − Mg = ( m + M ) a , de donde podemos despejar el módulo de la F tensión, (m + M ) a + (m + M ) g = m + M a + g mg T= ( ) 2 2 -2 -2 a) Para a = 61 cm s = 0.61 m s se obtiene Mg que F = T = ( 58 + 14.5)( 0.61 + 9.8) / 2 = 377.4 N .
b) Para velocidad de subida constante ( a = 0) tendremos que F = T = ( 58 + 14.5)( 9.8 / 2 ) = 355.25 N .
Por lo tanto, la persona tiene que hacer una fuerza significativamente menor a su peso más el de la plataforma para elevarse.
2.5 Teoremas fundamentales 2.5.1 Impulso mecánico. Conservación de la cantidad de movimiento Dada una fuerza F que consideraremos constante, se define el impulso mecánico como el producto I = Ft.
Si la fuerza depende del tiempo, se puede generalizar esta definición descomponiendo el intervalo de tiempos considerado en intervalos de tiempos suficientemente pequeños ( dt ) para que F pueda considerarse constante en cada uno de ellos. De esta forma tendremos que 49 lim ∑ F ∆t = ∫ F ( t ) dt .
∆t → 0 Vamos a suponer que la fuerza actúa a partir de un instante t0 en que la partícula dI = Fdt → I = tiene cantidad de movimiento p0 = mv0 y hasta un instante t en que la partícula tiene cantidad de movimiento p = mv . El impulso mecánico que ha ejercido la fuerza F sobre la partícula entre t0 y t es t t t0 p dp dt = ∫ dp = p − p0 .
dt t0 p0 I = ∫ F ( t ) dt = ∫ Esta igualdad constituye el teorema del impulso mecánico.
Teorema del impulso mecánico: La variación de la cantidad de movimiento de una partícula es igual al impulso mecánico ejercido por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula.
I = p − p0 = ∆p Un corolario muy importante de este teorema es el que establece las condiciones para la conservación de la cantidad de movimiento.
Conservación de la cantidad de movimiento: Si sobre una partícula no actúan fuerzas externas, su cantidad de movimiento se mantiene constante.
Evidentemente, el teorema y el corolario, que acabamos de ver, están de acuerdo con la 1ª y 2ª leyes de Newton, ya que F = 0 → I = 0 → mv = mv0 .
2.5.2 Momento angular de una partícula Consideremos una partícula de masa m situada en r y que se mueve con velocidad v . Se define el momento angular o momento cinético de la partícula respecto al origen o como el momento de su cantidad de Z movimiento, θ L = r × p = r × ( mv ) , de manera que el módulo del vector momento angular es L = pr sin θ . En consecuencia, L p = mv L es diferente de cero cuando p y r no son r vectores paralelos, y la partícula realiza algún tipo de movimiento giratorio respecto a o . L depende de la posición del origen de o Y coordenadas respecto a la cual se calcula el momento de p , pero no depende de la X posición que ocupa el vector p sobre la recta Figura 2.12. Definición del momento directriz que define su dirección (el momento angular como el momento de la de un vector respecto a un punto fijo no varía cantidad de movimiento cuando el vector se desliza sobre su recta directriz; ver apartado 1.2.4). Por lo tanto, el momento angular de una partícula libre, 50 que se mueve a velocidad constante siguiendo una trayectoria rectilínea, es también constante.
Derivando la expresión que define el momento angular respecto al tiempo se obtiene, dL d dr dp = (r × p) = × p+r× = v × p+r ×F = r ×F = M , dt dt dt dt ya que v p . M = r × F es el momento de la fuerza respecto al punto o . Por lo tanto, la expresión anterior indica que la variación del momento angular por unidad de tiempo es igual al momento de la fuerza resultante sobre la partícula ( L y M deben estar calculados respecto al mismo punto de referencia o ).
Ejemplo: Una partícula de masa m se deja caer desde el punto A con velocidad inicial cero. a) ¿Cuál es el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula en un instante t ? b) Hallar el momento angular de la partícula respecto de o en función del tiempo. c) Verificar que dL dt = M .
Como se trata de una caída libre, la única fuerza que actúa sobre la partícula es su peso, F = − mg ˆj = ( 0, − mg , 0 ) .
a) Vamos a calcular el momento de la fuerza F respecto al origen o , ˆj iˆ kˆ Y ˆj o iˆ α A X r d M = r × F = r sin α F = mg 0 r cos α − mg 0 = − mgr sin α 0 = − mgd kˆ El resultado obtenido es un vector de módulo constante, dirigido perpendicularmente al plano XY y hacia dentro del papel.
b) Para calcular el momento angular de la partícula respecto a o hay que determinar, primero, el vector cantidad de movimiento, v = − gt ˆj → p = mv = −mgt ˆj .
A partir de este resultado podemos obtener L como, ˆj iˆ kˆ L = r × p = r sin α 0 r cos α 0 = − mgtr sin α kˆ = − mgtd kˆ .
−mgt 0 c) Es fácil comprobar que la derivada temporal de L coincide con el momento de la fuerza que hemos calculado en el apartado a), dL = − mgd kˆ = M .
dt Teniendo en cuenta que, tal como acabamos de ver, la derivada respecto al tiempo del momento angular de una partícula es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella, podemos enunciar el teorema de conservación del momento angular en la siguiente forma: 51 Teorema de conservación del momento angular: si el momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nulo, el momento angular de ésta se mantiene constante.
Ejemplo: Movimiento circular uniforme. El momento angular en un movimiento circular uniforme es igual a L = r × mv = ( − rnˆ ) × ( mvτˆ ) = rmv (τˆ × nˆ ) = mr 2ωkˆ .
El movimiento circular uniforme está causado por la acción de la fuerza centrípeta v2 Fc = man = m nˆ = mrω 2 nˆ , r que es un vector dirigido radialmente, hacia el centro de Z giro. Es obvio que el momento de la fuerza centrípeta respecto al centro de giro M = r × Fc es L o kˆ Y Fc nˆ τˆ p = mv cero, ya que r y Fc son vectores paralelos. Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme, el momento angular se conserva.
X Ejemplo: Fuerzas centrales. Se llama fuerza central a una fuerza dependiente de la posición que, en cada punto, tiene la dirección de un punto fijo, al que llamaremos centro de fuerzas, y cuyo módulo sólo depende de la distancia al centro de fuerzas.
Son ejemplos de fuerzas centrales la gravitatoria y la electrostática. Supongamos que el origen del sistema de referencia coincide con el centro de fuerzas. En ese caso, es fácil comprobar que toda fuerza central se puede escribir en la siguiente forma: F = f ( r ) rˆ .
Obviamente, el momento de una fuerza central respecto al origen de fuerzas es siempre cero, ya que M = r × F = f ( r ) r × rˆ = 0 .
En consecuencia, L = cte por el teorema de conservación del momento angular.
Este hecho tiene importantes consecuencias para la trayectoria de una partícula que se mueve sometida a la acción de una fuerza central. Dado que L es perpendicular a r y a v L = mr × v , entonces r y v deben ser vectores coplanarios y la ( ) trayectoria de la partícula está contenida en un único plano que es perpendicular al vector L . Un ejemplo de esta situación es la trayectoria elíptica de un planeta orbitando en torno a una estrella. En realidad, todas las clases de órbitas correspondientes a objetos que se mueven en el seno del campo gravitatorio creado por una estrella están contenidas en un plano que es perpendicular a L (órbitas elípticas, circulares, parabólicas e hiperbólicas).
52 2.6 Trabajo y energía 2.6.1 Trabajo de una fuerza Vamos a considerar, primero, movimientos en una dimensión. Supongamos que sobre un cuerpo que se mueve de x1 a x2 actúa F una fuerza F constante que apunta en una dirección arbitraria, tal como se indica en la Figura θ ∆x 2.13. El trabajo realizado sobre el cuerpo por la fuerza F es: x1 x2 W12 = F ⋅ ∆x = F ∆x cos θ .
Figura 2.13. Trabajo de una Es importante hacer notar que el trabajo es un fuerza constante sobre un cuerpo escalar que puede ser negativo o positivo que se desplaza en una dimensión.
dependiendo del signo del producto escalar. Si la fuerza varía a lo largo del desplazamiento, se puede dividir el recorrido en intervalos para los que F pueda considerarse constante y sumar el trabajo realizado en cada uno de ellos.
Vamos a considerar, ahora, el trabajo realizado por F sobre un cuerpo que recorre una trayectoria de forma arbitraria en tres dimensiones. Supongamos que en una región del espacio existe un campo de fuerzas F ( r ) , donde la fuerza depende de la posición.
Un ejemplo de campo de fuerzas es el campo gravitatorio creado por una estrella en su r2 entorno. Un cuerpo de masa m , en el interior de este campo gravitatorio, experimenta una fuerza que depende de la posición. Veamos cuál es el trabajo necesario para desplazar una partícula dr desde una posición inicial r1 hasta una posición F r ( ) final r2 siguiendo una trayectoria de forma determinada en el interior del campo de fuerzas F ( r ) . Primero, definiremos el trabajo elemental r1 necesario para realizar un desplazamiento dr como dW = F ( r ) ⋅ dr .
El trabajo total, necesario para recorrer la trayectoria desde r1 hasta r2 , se puede calcular realizando la siguiente integral de línea: Figura 2.14. Partícula que se desplaza siguiendo una determinada trayectoria en el seno de un campo de fuerzas.
r2 W12 = ∫ F ( r ) ⋅ dr .
r1 El trabajo es una magnitud escalar con dimensiones de energía, por lo tanto, tiene dimensiones de [W ] = M L2 T -2 .
53 Ejemplo: Un cuerpo se mueve según el eje X bajo la acción de cierta fuerza F ( r ) . Calcular el trabajo necesario para pasar de x1 a x2 en los siguientes casos: i) F = cte x2 W = ∫ F cos θ dx = F cos θ ( x2 − x1 ) x1 ii) F = − kxiˆ W= x2 ∫( )( ) x2 ( ) x2 −kx iˆ ⋅ iˆ dx = ∫ − kx iˆ ⋅ iˆ dx = − ∫ kx dx x1 x1 x1 x2  x2  x 2 − x12 = − k   = −k 2 2  2  x1 2.6.2 Teorema del trabajo-energía Vamos a considerar una partícula de masa m que se desplaza desde un punto r1 hasta un punto r2 siguiendo una determinada trayectoria, tal como se muestra en la Figura 2.14. Si sobre la partícula actúa una fuerza a lo largo de la trayectoria, podremos calcular el trabajo total realizado sobre ésta a partir de la siguiente integral de línea: r2 r2 2 2 dv dv dr dv W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ m ⋅ dr = ∫ m ⋅ dt = ∫ m ⋅ v dt dt dt dt dt r1 r1 1 1 2 2 2  1 d (v ⋅ v )  d 1 2 1 1  1 = ∫ m dt = mv dt = d  mv 2  = mv22 − mv12    ∫ ∫ dt  2 2  2  2  2 dt  1 1 1 donde para calcular la integral hemos utilizado la segunda ley de Newton, hemos supuesto que la masa m de la partícula no varía a lo largo de la trayectoria y hemos introducido una nueva magnitud que llamaremos energía cinética y que definiremos a partir de la siguiente expresión: 1 ( mv ) = p 2 T = mv 2 = 2 2m 2m A partir de los resultados anteriores se puede enunciar el siguiente teorema: 2 Teorema del trabajo-energía: El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética.
1 1 W12 = T2 − T1 = mv22 − mv12 2 2 Observaciones: 1. Si v = cte , ∆T = 0 ↔ W = 0 ⇒ o bien la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es cero o F ⊥ dr a lo largo de toda la trayectoria. En ese caso, la fuerza es perpendicular a la velocidad y, por lo tanto, sólo modifica la dirección del vector velocidad, pero no su módulo. Para que también varíe el módulo de la velocidad (y la fuerza externa realice trabajo sobre la partícula) es necesario que la componente de la fuerza en la dirección de la velocidad sea no nula.
54 2. Si ∆T < 0 ( T2 < T1 ) , el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas externas es negativo y, en consecuencia, la proyección de F a lo largo de dr tiene sentido opuesto a dr . La velocidad de la partícula va disminuyendo.
3. El teorema del trabajo-energía no es una ley independiente de la Mecánica. Se han definido los conceptos de trabajo y energía y, a partir de la 2ª ley de Newton se ha obtenido una relación entre ellos. La 2ª ley de Newton y el teorema trabajo-energía son métodos alternativos para establecer los principios básicos de la Mecánica. Pero mientras de la 2ª ley de Newton podemos obtener v , en el teorema trabajo-energía sólo está implicado v .
Ejemplo: Una bala de masa m choca contra una pared que ofrece una resistencia uniforme R . Si la velocidad inicial de la bala es v ¿hasta que profundidad penetra en la pared? ( i) Planteamiento dinámico F = ma mv R 2 2 2 1 2 mv R mv mv 2 s = vt − at = − = 2 R 2m R 2 2R a= R m ) ; v f = 0 = v − at → t = ii) Planteamiento según el teorema del trabajo-energía 1 1 1 W = ∫ F ⋅ dr = − Rs = m 02 − mv 2 → Rs = mv 2 2 2 2 → s= mv 2 .
2R 2.6.3 Potencia Vamos a considerar, ahora, la rapidez con la que el sistema intercambia trabajo con el exterior. Si en un tiempo ∆t se ha realizado el trabajo ∆W , definimos la potencia media en este periodo como ∆W Pm = .
∆t La potencia instantánea es: lim ∆W dW , P= = ∆t → 0 ∆t dt como dW = F ⋅ dr , entonces, F ⋅ dr = F ⋅v .
dt La unidad de potencia en el sistema internacional es el vatio (W): 1W=1 J/s = 1 Kgm2 s-3.
P= 2.6.4 Fuerzas conservativas Vamos a calcular el trabajo que se realiza en los dos experimentos siguientes para hacer que una partícula recorra una trayectoria cerrada que la retorna a la posición inicial al final del recorrido.
55 a) Un cuerpo asciende siguiendo la vertical hasta una altura h y después desciende hasta la posición inicial. El trabajo realizado por el peso del cuerpo vale: WAB = ( − mg ) h = − mgh < 0 B WBA = ( − mg )( − h ) = mgh > 0 h mg A Por lo tanto, el trabajo total realizado a lo largo del trayecto de ida y vuelta vale W = WAB + WBA = 0 .
En el trayecto de subida la fuerza peso se opone al desplazamiento y por eso el trabajo es negativo, mientras que en el trayecto de bajada, el peso y el vector desplazamiento son paralelos y del mismo sentido, por lo que el trabajo es positivo.
b) Un cuerpo se mueve describiendo una circunferencia de radio R sobre una superficie horizontal con la que presenta rozamiento. La fuerza de rozamiento Fr = µ mg se opone siempre al desplazamiento relativo de las dos superficies en contacto (cuerpo-plano horizontal) de forma que: W = − ∫ Fr ds = − Fr ∫ ds = − ( µ mg )( 2π R ) < 0 , donde la integral se extiende a lo largo de una vuelta completa.
En el primer ejemplo (a), el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo. Si sobre el cuerpo sólo actúa el peso, del teorema del trabajo-energía se deduce que el cuerpo regresa al punto de partida con la misma energía cinética que tenía cuando inició la r2 trayectoria (W = 0 → ∆T = 0) . Sin embargo, en el segundo ejemplo (b), el cuerpo pierde energía A cinética en cada vuelta ya que el trabajo total es negativo. Estos dos ejemplos, nos muestran que, en general, el trabajo realizado por una fuerza cuando la partícula se desplaza desde r1 hasta r2 depende de la r1 B trayectoria seguida, W12A ≠ W12B . Diremos que una fuerza F ( r ) es conservativa si el trabajo realizado para desplazar la partícula desde r1 hasta r2 no depende de la trayectoria seguida. Observar que, en ese caso, al invertir el sentido en el que se recorre la trayectoria, cambia el signo del trabajo realizado: r2 r1 r1 r2 W12A = ∫ F ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr = −W21A , por lo tanto, la condición que debe satisfacer una fuerza para ser conservativa se puede expresar también como W12A + W21B = 0 ; ∀A, B .
Una fuerza es conservativa si y sólo si el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo.
F ≡ conservativa ⇔ ∫ F ( r ) ⋅ dr = 0 ; para cualquier trayectoria cerrada 56 Ejemplos: a) Las fuerzas de rozamiento no son conservativas ya que el trabajo a lo largo de un desplazamiento dr es dW = − Fr dr , cantidad que es siempre negativa y, por lo tanto, en cualquier trayectoria cerrada será diferente de cero.
b) Las fuerzas en una dimensión, que dependen sólo de x , son conservativas ya que una trayectoria cerrada consiste en recorrer el circuito x1 → x2 → x1 , que corresponde al trabajo total x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x1 W11 = W12 + W21 = ∫ Fdx + ∫ Fdx = ∫ Fdx − ∫ Fdx = 0 .
c) Las fuerzas centrales, F ( r ) = f ( r ) rˆ , son conservativas, ya que dW = F ( r ) ⋅ dr = f ( r ) rˆ ⋅ dr = f ( r ) dr , y el trabajo sólo depende del desplazamiento radial. Por ejemplo, el trabajo total realizado por la fuerza central para ir de r1 a r2 es r2 r2 r1 r1 W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ f ( r ) dr .
Para las fuerzas gravitatorias y electrostáticas tenemos que C f (r) = 2 , r con C = −Gm1m2 y C = (1 4πε 0 ) q1q2 , respectivamente. Para esos casos, el trabajo realizado para llevar la partícula desde r1 a r2 será independiente de la trayectoria (fuerzas conservativas) y será igual a r2 r2 1 1 C C C  C W12 = ∫ 2 dr =  −  = − + = C  −  r r2 r1  r  r1 r2  r1 r1 2.6.5 Energía potencial Consideremos una fuerza conservativa que define un campo de fuerzas F ( r ) .
Dado que el trabajo será independiente de la trayectoria, escogemos un punto arbitrario de referencia r0 y definimos la función energía potencial (o simplemente el potencial) como, r0 U r0 ( r ) = ∫ F ( r ) ⋅ dr = Wr → r0 , r lo cual corresponde al trabajo que hace la fuerza cuando la partícula se desplaza de r a r0 siguiendo cualquier trayectoria. Si en lugar de r0 hubiéramos cogido cualquier otro punto de referencia, por ejemplo r1 , el cálculo que acabamos de hacer para U r0 podría descomponerse en dos partes, 57 r0 r1 r0 r1 r1 r r r1 r r0 U r0 ( r ) = ∫ F ( r ) ⋅ dr = ∫ F ( r ) ⋅ dr + ∫ F ( r ) ⋅ dr = ∫ F ( r ) ⋅ dr − ∫ F ( r ) ⋅ dr = U r1 ( r ) − U r1 ( r0 ) → U r1 ( r ) = U r0 ( r ) + U r1 ( r0 ) En consecuencia, las funciones energía potencial U ( r ) , definidas respecto a diferentes puntos de referencia, sólo difieren entre sí por una constante aditiva que es el valor del potencial en el punto de referencia r1 antiguo, respecto al nuevo punto de referencia U r1 ( r0 ) . Esto sugiere que podemos definir la U (r ) ( U r1 ( r0 ) r1 función energía potencial del campo de fuerzas F ( r ) a partir de la siguiente expresión: r0 r ) r0 U ( r ) = U r0 ( r ) + C = ∫ F ( r ) ⋅ dr + C , U r0 ( r ) r donde r0 es un punto fijo de referencia arbitrario y C es una constante arbitraria, igual al potencial en el punto de referencia, C = U ( r0 ) .
Vamos a calcular, ahora, el trabajo realizado por el campo de fuerzas para desplazar una partícula desde r1 a r2 , Figura 2.14. Definición de la función energía potencial respecto a dos puntos de referencia distintos  r0  = ∫ F ( r ) ⋅ dr = ∫ F ( r ) ⋅ dr + ∫ F ( r ) ⋅ dr = ∫ F ( r ) ⋅ dr + C −  ∫ F ( r ) ⋅ dr + C  r  r1 r1 r0 r1 2  r2 W12 r0 r2 r0 = U ( r1 ) − U ( r2 ) = −∆U Es decir, el trabajo realizado por el campo de fuerzas en el trayecto que va desde r1 a r2 es igual al incremento de la energía potencial cambiado de signo.
Hemos definido la energía potencial a partir de la fuerza. Sin embargo, también es posible recuperar los valores de la fuerza a partir de la energía potencial. De hecho, la fuerza puede obtenerse simplemente como el gradiente de la energía potencial cambiado de signo,  ∂U ˆ ∂U ˆ ∂U ˆ  F ( r ) = −∇U ( r ) = −  i+ j+ k .
∂y ∂z   ∂x Es fácil comprobar esta expresión haciendo el producto escalar por dr a ambos lados de la igualdad,  ∂U ∂U ∂U  dW = F ⋅ dr = −  dx + dy + dz = −dU , ∂y ∂z   ∂x e integrando, r2 r2 r1 r1 W12 = ∫ F ⋅ dr = − ∫ dU = U ( r1 ) − U ( r2 ) = −∆U .
De hecho, sólo tiene sentido físico la fuerza, que es el gradiente de la energía potencial cambiado de signo; por lo tanto, la constante arbitraria que define el origen de potenciales es irrelevante. Sólo tiene sentido físico la diferencia de potencial, que es la que define el campo de fuerzas.
58 Ejemplo: Campo gravitatorio terrestre en las proximidades de la superficie de la Tierra. La fuerza en este caso vale F = − mg , y vamos a suponer que está dirigida a lo largo del eje Z . Arbitrariamente elegimos el punto de referencia para calcular el potencial en z0 = 0 y U ( z0 ) = 0 . La energía potencial es igual a: U ( z ) = mgz 0 0 z z U ( z ) = ∫ F ( z ) dz = − mg ∫ dz = mgz .
Podemos comprobar fácilmente que está energía potencial define el campo de fuerzas gravitatorio a partir del cálculo de su derivada, F = −mg dU − = − mg = F .
dz Si hubiéramos elegido otro origen de Figura 2.15. Energía potencial potencial, la diferencia de potencial entre dos para el campo gravitatorio.
puntos cualesquiera hubiera sido la misma.
Por lo tanto, el campo de fuerzas definido por el potencial hubiera sido el mismo. A todos los efectos, los potenciales definidos a partir de diferentes orígenes de potencial son equivalentes.
U ( x) = 1 2 kx 2 F = − kx Figura 2.16. Energía potencial para el oscilador armónico.
Ejemplo: Campo de fuerzas creado por un oscilador armónico unidimensional. En este caso, F = −kx (ley de Hooke para un muelle), por lo tanto, la energía potencial asociada será: 0 0 1 U ( x ) = ∫ Fdx = − k ∫ x dx = kx 2 , 2 x x donde hemos supuesto x0 = 0 y U ( x0 ) = 0 .
También en este caso es fácil comprobar que dU − = − kx = F ( x ) .
dx Ejemplo: Campos gravitatorio y electrostático. Recordemos que ambos son campos centrales que pueden describirse a partir de la expresión general, C F ( r ) = 2 rˆ .
r Consideremos como origen de potencial un punto situado en ∞ al que asignaremos potencial cero; por lo tanto, ∞ ∞ ∞ ∞ C C  C ˆ ˆ  1 U ( r ) = ∫ F ( r ) ⋅ dr = ∫  2 r  ⋅ ( r dr ) = ∫ 2 dr =C  −  = r  r r  r r r r  r =C (x 1 2 + y2 + z2 ) 12 Como en los ejemplos anteriores es fácil comprobar que a partir de esta energía potencial se puede derivar el campo de fuerzas correspondiente. En efecto, 59  1  2x 1 2y 1 2z  −∇U = −C  − , − , −  2 ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2    ( x, y, z ) = C rˆ = F r 1 =C 2 ( ) 2 2 2 x + y + z ( x + y 2 + z 2 )1 2 r 2 1 r2 repulsiva f (r) = atractiva 1 f (r) = − 2 r U (r) = r 1 r 1 U (r) = − r r Figura 2.17. Potencial para los campos gravitatorio y electrostático.
Obsérvese que si un campo de fuerzas F ( r ) admite la definición de una función energía potencial U ( r ) , que verifique F ( r ) = −∇U , necesariamente el campo es conservativo y viceversa. En efecto, r2 r2 r1 r1 U ( r1 ) − U ( r2 ) = − ∫ dU = ∫ F ⋅ dr = W12 , ya que dU = ∇U ⋅ dr = − F ⋅ dr . Por lo tanto, W12 depende sólo de cuáles sean los puntos r1 y r2 , pero no de la trayectoria, por lo que F es una fuerza conservativa.
2.7 Energía mecánica 2.7.1 Teorema de conservación de la energía mecánica Vamos a considerar el movimiento de una partícula de masa m sometida a la acción de un campo de fuerzas conservativo F ( r ) . Sea U ( r ) la energía potencial asociada al campo de fuerzas F ( r ) . Por el teorema trabajo-energía tenemos que, r2 W12 = ∫ F ⋅ dr = T2 − T1 = ∆T , r1 pero además por ser F ( r ) conservativa, W12 = U ( r1 ) − U ( r2 ) = −∆U , que es la variación de la energía potencial cambiada de signo. Por lo tanto, igualando las dos expresiones se obtiene que: T2 − T1 = U ( r1 ) − U ( r2 ) → T1 + U ( r1 ) = T2 + U ( r2 ) .
Dado que r1 y r2 son dos puntos cualesquiera, la suma de las energías cinética y potencial en un punto cualquiera de la trayectoria debe ser igual a una constante, que es la energía mecánica de la partícula.
60 E = T (r ) + U (r ) .
Este resultado permite enunciar el siguiente principio de conservación: Principio de conservación de la energía mecánica: Si sobre un cuerpo actúan únicamente fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva.
Vamos a ver cuál es el sentido físico del principio de conservación de la energía.
Para ello recordemos que ∆T = −∆U , lo cual nos indica que la ganancia de energía cinética es igual a la pérdida de energía potencial o viceversa, es decir, la variación de la energía cinética es igual al trabajo desarrollado por el campo de fuerzas, lo cual no es más que la energía cedida por el campo. Nótese que ∆T > 0 ( ∆T < 0) si ∆U < 0 ( ∆U > 0) , lo cual equivale a decir que la energía cinética de la partícula aumenta (disminuye) cuando la partícula se mueve hacia potenciales más bajos (altos).
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas conservativas F1 … Fn , cada una de las cuales deriva de un potencial U1 …U n , la fuerza resultante F = ∑ Fi es también conservativa y deriva del potencial U = ∑U i . En ese caso, éste es el potencial que hay que incluir en la definición de la energía mecánica.
2.7.2 Efecto de las fuerzas no conservativas Supongamos que sobre la partícula actúan a la vez fuerzas conservativas y no conservativas, y sean F y F ' las resultantes correspondientes de estas fuerzas. Por el teorema trabajo-energía tenemos que r2 ( ) WT = ∫ F + F ' ⋅ dr = W + W ' = ∆T r1 El trabajo de la fuerza conservativa se puede expresar como W = −∆U , por lo tanto, W ' = ∆T − W = ∆T + ∆U = ∆E Si actúan fuerzas no conservativas sobre la partícula, la energía mecánica no se conserva y la variación de ésta es igual al trabajo desarrollado por las fuerzas no conservativas.
En general, las fuerzas no conservativas suelen ser debidas al rozamiento, y por lo tanto, dan lugar a un trabajo negativo (W ' < 0 ) que provoca una disminución de la energía mecánica ( ∆E < 0) . ¿Qué ocurre con la energía perdida? Para contestar a esta pregunta hay que tener en cuenta que las fuerzas de rozamiento sn fuerzas resultantes de interacciones eléctricas y gravitatorias (ambas conservativas) entre partículas elementales. En consecuencia, la energía total del medio y de la partícula móvil debe mantenerse constante. La pérdida aparente de energía se traduce en un aumento igual de la energía cinética de las partículas que forman el medio. Si esta energía se transfiere al medio de “forma desordenada”, éste se calienta: la energía se ha transformado en calor.
Ésta es la situación habitual cuando actúan fuerzas de rozamiento. En algunos casos, la energía también puede transferirse al medio de “forma ordenada”, como es el caso del ruido que producen algunos cuerpos al moverse en un fluido.
El trabajo de las fuerzas no conservativas puede también ser positivo. La tracción muscular es un ejemplo de fuerza no necesariamente conservativa que produce trabajo positivo.
61 Ejemplo: Una partícula desliza por una vía que tiene la forma de la figura. La A parte plana tiene un coeficiente de h =1m rozamiento cinético de 0.2 y una longitud de 2 m. Si la partícula se deja caer desde B 2m el punto A, a 1 m por encima del plano, ¿dónde se quedará parada la partícula cuando haya perdido toda su energía cinética? Entre los puntos A y B no actúan fuerzas disipativas, por lo tanto, la energía mecánica se conserva, 1 E A = mgh = mvB2 = E B .
2 El trabajo disipativo en la parte plana de la vía W ' disminuye la energía cinética hasta que la partícula se para. Supongamos que l es la longitud de todo el trayecto recorrido por la partícula en la parte plana antes de pararse. El trabajo total de la fuerza no conservativa será igual a l l 0 0 W ' = ∫ Fr ⋅ dx = − µc mg ∫ dx = − µc mgl < 0 .
Teniendo en cuenta que W ' = ∆E , tendremos que, − µc mgl = 0 − mgh , y por lo tanto, de esta última expresión podemos despejar l , h l= =5m .
µc En consecuencia, recorrerá dos veces la parte plana del circuito en su totalidad (ida y vuelta) y se parará después de haber recorrido la mitad de su longitud total (centro del circuito) 2.7.3 Estudio cualitativo del movimiento mediante diagramas de energía potencial Consideremos una fuerza conservativa F ( x ) = − dU dx en una dimensión. Por el principio de conservación de la energía mecánica, 1 2 2 mv + U ( x ) = E → v 2 =  E − U ( x )  , 2 m que puede escribirse en la forma: dx 2 dx = ;  E − U ( x )  → dt = dt m 2  E − U ( x )  m e integrando se obtiene, x t m dx = dt = t .
∫ 2 x0 E − U ( x ) ∫0 Si sabemos integrar esta ecuación es posible calcular x ( t ) . Más adelante veremos algunos ejemplos. En cualquier caso, conocido U ( x ) y E es posible estudiar cualitativamente el movimiento de la partícula.
62 Es importante hacer notar que E − U ( x ) es la energía cinética de la partícula y debe ser igual a una cantidad positiva. Si esta diferencia fuera negativa, la ecuación recuadrada no tendría sentido, ya que nos aparecería una raíz cuadrada con argumento negativo. En consecuencia, la partícula sólo puede moverse por aquellas regiones del espacio en las que E − U ( x ) ≥ 0 → E ≥ U .
Ejemplo: Supongamos el siguiente potencial unidimensional: F <0 E4 U ( x) F >0 F <0 F >0 E3 E2 E1 x0 E0 x1 x2 x2′ x1max 2 x3′ x2′′′ x1′ x xmin x2′′ x3 xmax Para los valores de la energía mecánica, Ei , señalados sobre la gráfica del potencial, la partícula puede estar en las regiones que se indican con las líneas discontinuas.
E = E0 , ]−∞, x0 ] E = E1 , E = E2 , E = E3 , E = E4 , ]−∞, x1 ] ; x = xmin ; [ x1′, ∞[ ]−∞, x2 ] ; [ x2′ , x2′′] ; [ x2′′′, ∞[ ]−∞, x3 ] ; [ x3′ , ∞[ ]−∞, ∞[ Debido a que F = − dU dx , la fuerza que actúa sobre la partícula que está situada en x es positiva (negativa) si el potencial es decreciente (creciente). Vamos a estudiar, por ejemplo, el movimiento de una partícula con energía E2 que viene desde −∞ . Sobre ella actúa una fuerza negativa que va disminuyendo su energía cinética, hasta que en x2 , se anula y la partícula se encuentra momentáneamente en reposo en x2 . Como sobre la partícula actúa una fuerza negativa, acelera hacia −∞ , moviéndose en sentido negativo, por lo tanto, x2 es un punto de retroceso clásico para E = E2 → U ( x2 ) = E . Si la partícula viene desde + ∞ , el movimiento es similar y el punto de retroceso es x2′′′ .
Si la partícula se encuentra inicialmente en el valle entre los puntos de retroceso x2′ y x2′′ , realiza un movimiento periódico oscilatorio entre los dos puntos. Si la 63 partícula se encuentra en reposo en un máximo o un mínimo ( v = 0 ) , permanece en reposo ya que F = 0 . Lo mismo sucede para los mínimos. Máximos y mínimos de U son puntos de equilibrio. Los máximos son puntos de equilibrio inestable: Un pequeño desplazamiento de la partícula hace que aparezca una fuerza que tiende a apartarla del máximo.
Los mínimos son puntos de equilibrio estable. Si la partícula se desplaza ligeramente de la posición de equilibrio, aparecen fuerzas recuperadoras que tienden a devolver la partícula a su posición de equilibrio. Consideremos, ahora, que le ocurre a una partícula cuando se encuentra en una posición, xmin , cercana a uno de estos mínimos de la energía potencial. Para calcular la fuerza que actúa sobre la partícula, podemos desarrollar U ( x ) en serie de Taylor alrededor de xmin ; 1 2 U ( x ) = U ( xmin ) + U ′ ( xmin )( x − xmin ) + U ′′ ( xmin )( x − xmin ) + … 2 ′ ′′ Dado que xmin es un mínimo, U ( xmin ) = 0 y U ( xmin ) > 0 . Por otro lado, podemos escoger el origen de energía potencial en xmin de manera que U ( xmin ) = 0 . Con ello, 1 2 U ( x ) = U ′′ ( xmin )( x − xmin ) +… 2 Si cortamos el desarrollo en el primer término y desplazamos el origen hasta xmin , se obtiene: 1 U ( x ) = kx 2 con k = U ′′ ( xmin ) , 2 es decir, para pequeñas desviaciones alrededor de la posición de equilibrio, el potencial se puede aproximar por el correspondiente a un oscilador armónico. La partícula, por lo tanto, realizará pequeñas oscilaciones alrededor de xmin siguiendo la acción recuperadora de la fuerza que se deriva de un potencial de tipo oscilador armónico. El periodo de las pequeñas oscilaciones es: m m T = 2π = 2π k U ′′ ( xmin ) Ejemplo: La función energía potencial para la fuerza que actúa entre dos átomos de una molécula biatómica puede expresarse aproximadamente por: a b U ( x ) = 12 − 6 ; a , b > 0 , x x donde x es la separación entre los átomos. a) Calcular el punto de equilibrio estable. b) Suponiendo que uno de los átomos está en reposo y que el otro se mueve sobre el eje OX , describir cualitativamente todos los movimientos posibles. c) Calcular la energía necesaria para romper la molécula.
a) La distancia de equilibrio entre los dos átomos que forman la molécula corresponde al punto para el cual la energía potencial está en un mínimo. Para calcularlo impondremos que: 0= dU ( x ) a b = −12 13 + 6 7 dx x x 16 → − 12a + 6bx 6 = 0 →  2a  xmin =    b  .
64 Vamos a comprobar que este punto corresponde realmente a un mínimo de la energía potencial calculando la segunda derivada de U ( x ) , d 2U ( x ) a b  26a  6  = (12 )(13) 13 − ( 6 )( 7 ) 7 =  6 − 7b   8  2 dx x x  x  x  d 2U ( x ) 6 = 6b >0 → 43 2 16 dx  2a   2a  x =   b     b  xmin es un mínimo b) Para conocer los tipos posibles de movimiento haremos primero un estudio de la función energía potencial.
x → 0 ; U ( x) → ∞ x → ∞ ; U ( x) → 0 16 b2 b2 b2  2a  xmin =   → U ( xmin ) = − =− 4a 2a 4a  b  Por lo tanto, la función energía potencial es tal como se representa en la Figura 2.18 U ( x) F >0 F <0 E2 16  2a    x1  b  x x1′ x x2 E1 b2 − 4a Figura 2.18. Representación gráfica del potencial de Lennard Jones de interacción entre los dos átomos que forman una molécula biatómica.
1. Para E = −b 2 4a el átomo libre está en reposo, de tal manera que la distancia entre los dos átomos es fija e igual a ( 2a b ) .
16 2. Para − b2 4a < E1 < 0 el átomo libre oscila entre los puntos x1 y x1′ (puntos de retorno) que verifican U ( x ) = E1 .
3. Para E2 > 0 el átomo libre se acerca al fijo gracias a la fuerza atractiva que actúa desde x → ∞ hasta x = ( 2a b ) , por lo tanto, su velocidad va 16 65 aumentando. Cuando sobrepasa x = ( 2a b ) , empieza a actuar una fuerza 16 repulsiva que lo decelera hasta que alcanza el punto de retorno x2 , para el que la energía cinética es cero, y a partir de ahí regresa hacia +∞ .
c) La energía necesaria para romper la molécula es igual a la energía mecánica mínima necesaria para superar la rama atractiva del potencial, y así poder enviar el átomo libre a distancia del fijo. Esta energía es igual a la profundidad del pozo de potencial, E = ( b 2 4a ) .
2.8 Oscilador armónico 2.8.1 Ley de Hooke Los cuerpos reales no son totalmente rígidos, sino que bajo la acción de fuerzas externas se deforman. El cambio de forma y volumen de un cuerpo dado sometido a fuerzas externas depende de las fuerzas de interacción entre las moléculas que lo forman. Sin embargo, si los esfuerzos a que se somete a un cuerpo no son demasiado grandes, la deformación producida sobre éste es proporcional al esfuerzo aplicado (ley de Hooke). Para el caso sencillo en el que el esfuerzo aplicado ∆x sea de tensión o compresión a lo F x largo del eje de una barra, se tiene una situación como la descrita en la figura. Bajo la acción de la fuerza F dirigida según el eje x , la barra se alarga una cantidad ∆x , que para valores de F suficientemente pequeños puede expresarse como F = k ∆x . Los valores de la constante recuperadora k dependen de la naturaleza del cuerpo considerado. La correspondiente fuerza de reacción que realiza la barra sobre el agente que produce la fuerza F sobre la barra, es igual a F = − k ∆x ; y tomando el origen en la posición de equilibrio, F = −kx .
Esta es la forma matemática habitual de la ley de Hooke.
La fuerza F ( x ) = −kx es conservativa, ya que está definida en una dimensión y sólo depende de la posición. En consecuencia, dicha fuerza admite la definición de una energía potencial, 1  dU  U ( x ) = kx 2 = − kx = F  .
− dx 2   Si estiramos lentamente de la barra de la figura con la fuerza F = kx desde la posición de equilibrio ( x = 0) , y suponemos que ésta se alarga hasta que su longitud se ha incrementado en x f , el trabajo realizado por la fuerza externa es: xf W= 1 ∫ kx dx = 2 kx 2 f = U (xf ) , 0 de manera que el trabajo realizado por la fuerza externa se acumula en forma de energía potencial elástica.
66 2.8.2 Movimiento armónico simple Una partícula sometida a un potencial del tipo U ( x ) = kx 2 / 2 (por ejemplo, una masa unida a un muelle como el de la Figura 2.19) realiza un movimiento armónico simple, que está originado por la fuerza, dU F ( x) = − = − kx .
dx U ( x) = 1 2 kx 2 E F −A F 0 m A x F Figura 2.19. Energía potencial para un oscilador armónico: muelle fijo a la pared y a una masa por sus extremos.
Si m es la masa de la partícula, por la 2ª ley de Newton tendremos que: d 2x d 2x m 2 = − kx → = −ω 2 x 2 dt dt , k 2 ω = m donde la solución de esta ecuación diferencial es de la forma: x ( t ) = A sin (ω t + ϕ 0 ) , Esta ecuación del movimiento contiene dos constantes arbitrarias, A y ϕ0 , las cuales están fijadas por las condiciones iniciales del movimiento. De acuerdo con esta ecuación, la partícula oscilará entre los puntos de retorno x1 = A y x2 = − A .
Podemos llegar al mismo resultado a partir de la conservación de la energía mecánica. En este caso, la energía mecánica total viene dada por la siguiente expresión: 1 1 E = mv 2 + kx 2 .
2 2 Si evaluamos la energía en los puntos de retroceso x = ± A ( v = 0 ) tenemos que, 1 2 kA , 2 por lo tanto, y teniendo en cuenta que la energía mecánica se conserva, tendremos que, 1 1 1 E = mv 2 + kx 2 = kA2 .
2 2 2 Nótese que v es máxima en x = 0 y mínima en los puntos de retorno x = ± A ( v = 0 ) .
De la ecuación anterior para la energía mecánica total podemos despejar la velocidad y escribir: dx k 2 v= =± A − x2 ) .
( dt m Suponiendo v > 0 e integrando esta ecuación diferencial tenemos que, E= 67 t x 0 x0 dx ∫ dt = ∫ = k 2 A − x2 ) ( m m k x m = k x∫0 dx A2 − x 2 = m k x   x  arcsin  A      x0   x  x0    arcsin  A  − arcsin  A        es decir, k  x x   x  t = arcsin   − arcsin  0  → x = A sin ω t + arcsin  0   = A sin (ω t + ϕ 0 ) .
m  A  A  A   De esta última expresión, que nos da la posición en función del tiempo, se pueden obtener fácilmente las ecuaciones correspondientes para la velocidad y la aceleración.
x ( t ) = A sin (ω t + ϕ 0 ) dx = Aω cos (ω t + ϕ 0 ) dt dv a (t ) = = − Aω 2 sin (ω t + ϕ 0 ) dt v (t ) = Observaciones: 1. Frecuencia angula y periodo del movimiento. Consideremos dos instantes t y t ′ = t + n 2π ω ( n ∈ ℕ ) , 2π     x ( t ′) = A sin ω  t + n  + ϕ 0  = A sin [ω t + ϕ 0 ] = x ( t ) , ω     y análogamente v ( t ′) = v ( t ) y a ( t ′) = a ( t ) , por lo tanto, el movimiento se repite periódicamente con periodo T= 2π ω = 2π m .
k ω = k m se denomina frecuencia angular o pulsación. La frecuencia del movimiento es el inverso del periodo, ν = 1 T .
2. A es la amplitud del movimiento. Se denomina elongación y corresponde a la máxima distancia de la partícula de la posición de equilibrio.
3. El argumento ω t + ϕ 0 se llama fase, donde ϕ0 es la fase inicial. Tanto A como ϕ0 están fijados por las condiciones iniciales. Si en el instante inicial t = 0 , la posición y la velocidad de la partícula son x0 y v0 , respectivamente, entonces tenemos que, 1 2 1 2 1 2 kA = mv0 + kx0 , 2 2 2 y de esta última ecuación se puede determinar la amplitud A que es igual a: m 2 A= v0 + x02 .
k 68 Por otro lado, y teniendo en cuenta que x0 = A sin ϕ 0 , tendremos que,  x0   .
 A ϕ 0 = arcsin  4. Las tres magnitudes x, v y a oscilan con periodo T . En efecto, x ( t ) = A sin (ω t + ϕ 0 ) π   T v ( t ) = Aω cos (ω t + ϕ 0 ) = Aω sin  ω t + ϕ 0 +  = ω x  t +  2 4    T a ( t ) = − Aω 2 sin (ω t + ϕ 0 ) = Aω 2 sin (ω t + ϕ 0 + π ) = ω 2 x  t +  2  y por lo tanto, v ( t ) y a ( t ) tienen la misma forma que x ( t ) , salvo que están adelantadas en π 2 y π , respectivamente.
Ejemplo: Péndulo simple. Un péndulo simple está constituido por una masa que cuelga de un hilo sin masa, tal como se indica en la Figura 2.20. La fuerza restauradora es Fθ = −mg sin θ . La fuerza centrípeta que hace que la masa m gire alrededor del punto de sujeción del hilo es T − Fc = T − mg cos θ . El desplazamiento a lo largo del arco de circunferencia es s = lθ , donde l es la longitud del péndulo. Para pequeñas oscilaciones, el arco s puede aproximarse por un desplazamiento en línea recta x . Si además suponemos que es válida la aproximación sin θ ≃ θ , podremos escribir que: x mg Fθ = − mgθ = −mg = − x = −kx y l l , por consiguiente, el péndulo realiza un movimiento armónico simple de θ periodo: l T = 2π m l = 2π , k g que es independiente de la masa de la partícula. Para que las m aproximaciones realizadas puedan considerarse válidas, es necesario x que θ max ≤ 15º . El resultado que Fθ mg Fc acabamos de obtener para el péndulo simple es sólo válido para Figura 2.20. Esquema de fuerzas que actúan en un péndulo simple.
pequeñas oscilaciones. El periodo exacto se puede obtener razonando a partir de la conservación de la energía. Para la energía mecánica de la masa m tenemos que: 1 1 E = mgh + mv 2 = mgl (1 − cos θ ) + ml 2θɺ 2 = mgl (1 − cos θ max ) , 2 2 ɺ de donde podemos despejar θ , T 69 dθ .
cos θ − cos θ max Integrando esta ecuación podemos obtener el periodo exacto, θ l max dθ T =2 .
∫ 2 g −θmax cos θ − cos θ max La integral no tiene una solución exacta, pero admite el siguiente desarrollo en serie: l  1 2 9  T = 2π 1 + sin (θ max 2 ) + sin 4 (θ max 2 ) + … .
 g 4 64  La corrección introducida por los términos anarmónicos empieza a ser significativa para θ max ≥ 15º .
θɺ = dθ 2g = ( cos θ − cos θ max ) dt l → dt = l 2g 70 ...