Exámenes 2006 (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2011
Páginas 32
Fecha de subida 13/08/2014
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Exámen.

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F´ ISICA Plan 95 Primer Examen Parcial Departamento de F´ısica Aplicada 21 12 2006 1. Problema Unimos dos cuerdas de densidades ρ1 y ρ2 y las colgamos tal y como indica la Figura 1. La cuerda inferior tiene una longitud 1 y su extremo inferior no est´a fijado al suelo, mientras que su otro extremo est´a unido a la otra cuerda por el punto p. A su vez, la cuerda superior de longitud 2 se fija al techo por arriba.
(a) Determinar la tensi´on, T (y), en cualquier punto de las cuerdas. ¿Es T (y) continua en p?.
(b) Utilizando la expresi´on de la velocidad de propagaci´on de las ondas transversales en una cuerda con tensi´on uniforme, determinar la velocidad que tendr´ıa un pulso de onda en cada una de las cuerdas.
En el instante t = 0, generamos un pulso de onda de amplitud AI en el extremo o de la cuerda inferior (Figura 2a). Dicho pulso se propaga hacia arriba hasta llegar al punto de uni´on p. Suponiendo ahora que la cuerda de arriba tiene densidad ρ2 = ρ1 /2: PSfrag replacements (c) determinar el instante t1 en el cual dicho pulso llega a p.
(d) determinar las amplitudes AR y AT de los pulsos reflejado y transmitido, respectivamente, representados en la Figura 2b.
Posteriormente, los pulsos reflejado y transmitido se propagan hacia el punto o y hacia el punto q, respectivamente, reflej´andose ambos en los extremos, para despu´es volver a p.
PSfrag replacements (e) Determinar la longitud 2 para que ambos pulsos lleguen a 34 p de forma simult´anea y calc´ ulese las amplitudes de las ondas resultantes en las dos cuerdas inmediatamente despu´es de que eso suceda.
ρ1 u ´nicamente en los apartados c) d) y e). La constante gravitatoria g se supone Aclaraci´ on: ρ2 = 2 conocida. Se suponen v´alidas las relaciones de TA y RA pese a que Z1 y Z2 no son uniformes.
0 0.5 1 1.5 y= 1 + 0.5 1 2 1.5 2 2 2.5 3 ρ2 0 0.5 0.5 1 2.5 3 3.5 4 ρ1 y=0 Figura 1 ρ2 2 1 1.5 p 1.5 2 g 2.5 3 3.5 2 3.5 0 q g 1 p 2 2.5 3 3.5 4 1 ρ1 (a) o Figura2 (b) 2. Problema Se tiene un ciclo rectangular como el de la figura 3, recorrido por n moles de un gas ideal. La temperatura m´ınima la alcanza en el punto a, (p0 , 2V0 ), y vale 2 T0 . La temperatura m´axima la alcanza en el punto c y vale 18 T0 . Los puntos a y c se pueden unir por una recta, cuya prolongaci´on pasa por el origen del plano p V .
(a) Calcular las presiones, vol´ umenes y temperaturas de los puntos b, c y d.
(b) Calcular los calores intercambiados en los tramos rectos a → b, b → c, c → d y d → a.
(c) Se quiere construir una nevera, que extraiga calor de un foco frio a la temperatura del punto a y lo entregue a un foco caliente a la temperatura del punto c. Calcular la variaci´on de entrop´ıa del universo originada por la nevera y las fuentes t´ermicas. Interpretar el resultado.
(d) Se quiere construir un motor t´ermico, que extraiga calor de un foco caliente a la temperatura del punto c y lo entregue a un foco frio a la temperatura del punto a. Calcular su rendimiento t´ermico y calcular su diferencia con el rendimiento de un motor reversible de Carnot, que trabaje entre las mismas temperaturas.
(e) Calcular la variaci´on de entrop´ıa del universo originada por el motor y las fuentes t´ermicas.
p b c p0 a d V 2V0 Figura 3 Soluciones de los problemas 1. Problema (a) Para determinar la tensi´on en un punto arbitrario a altura y (con 0 ≤ y ≤ peso del tramo que queda por debajo de ese punto. De este modo T (y) = ρ1 yg [ρ1 1 + ρ2 (y − y ∈ [0, 1 ), y ∈ ( 1, 1 + 1 )]g 1 + 2) , consideramos el .
2] La tensi´on es cont´ınua en el punto p, dado que lim− T (y) = lim ρ1 yg = ρ1 1 g = lim+ T (y) = lim [ρ1 y→ y→ 1 y→ 1 y→ 1 1 1 + ρ2 (y − 1 )]g .
(b) Para una cuerda de densidad ρ con tensi´on uniforme T , velocidad de propagaci´on de las ondas transversales es c = (T /ρ)1/2 . Luego, en primera aproximaci´on, y localmente en cada punto de las dos cuerdas, la velocidad ser´a: c(y) = √   gy   g y+ 1 y ∈ [0, ρ1 − ρ2 ρ2 1 ), y ∈ ( 1, 1 + 2] .
(c) El pulso se desplaza a una velocidad que depende del punto arbitrario de altura y sobre la cuerda de densidad ρ1 . Por lo tanto, la ecuaci´on que determina la posici´on del pulso en funci´on del tiempo se obtiene integrando la de su velocidad local. De este modo, el tiempo t1 que tarda el pulso en llegar a p es: dy = c(y) = (gy)1/2 → y −1/2 dy = g 1/2 dt → dt t1 = 2 t1 1 y −1/2 dy = g 1/2 dt = g 1/2 0 0 t1 0 → 1 g (d) Los coeficientes de transmisi´on y reflexi´on vienen dados por las expresiones, √ √ √ 2 ρ1 T1 ρ 1 T1 − ρ 2 T2 √ √ RA = √ , TA = √ .
ρ 1 T1 + ρ 2 T2 ρ 1 T1 + ρ 2 T2 Las tensiones T1 y T2 deben calcularse en el punto en el que se produce el cambio de medio (punto p), es decir, en y = 1 , T1 ( 1 ) = T2 ( 1 ) = gρ1 1 (por continuidad de la funci´on), y las tensiones se simplifican en numerador y denominador. Teniendo en cuenta ahora que ρ 2 = ρ1 /2, los factores de transmisi´on-reflexi´on son, √ √ √ √ 2−1 2 2 = 2(2 − 2).
RA = √ = 3 − 2 2, TA = √ 2+1 2+1 Por lo tanto, √ AR = (3 − 2 2)AI y AT = 2(2 − √ 2)AI .
(e) El tiempo t2 que tarda el pulso transmitido en llegar a q lo determinamos de la misma forma que en el apartado (c), teniendo ahora en cuenta que el pulso se desplaza por la cuerda de densidad ρ2 = ρ1 /2: dy = c(y) = g(y + 1 ) → ( 1 + y)−1/2 dy = g 1/2 dt.
dt La diferencia radica ahora en que debemos integrar entre p y q, es decir, entre y = 1 e y = 1 + 2 : 1+ 2 t2 y −1/2 dy = 1 0 2 g −1/2 dt. → t2 = √ g 2 1 + 2 − 2 1 .
La condici´on de simultaneidad impone que t1 = t2 , para que ambos pulsos coincidan de nuevo en p, luego: √ t1 = t 2 ⇒ 2 1 + 2 − 2 1 = 1 → 2 = 1 (1 + 2 2) .
Para determinar las amplitudes resultantes en las dos cuerdas debemos tener en cuenta que cualquier pulso reflejado en el extremo de la cuerda inferior (libre) no cambia de signo, y que los coeficientes de reflexi´on-transmisi´on para el pulso que baja desde el techo son: √ 2 .
RA = −RA , TA = TA 2 La suma de las amplitudes resultantes en las cuerdas superior e inferior son: √ Asup.
result. = [TA AR − RA AT ]AI = 4(10 − 7 2)AI √ Ainf.
result. = [RA AR − TA AT ]AI = 3(11 − 8 2)AI Nota: para obtener este u ´ltimo resultado no era necesario determinar 2.
2. Problema (a) Se calculan en primer lugar las variables de estado del punto c. La recta ac pasa por el origen, por p0 tanto su ecuaci´on es: p = V . Comparando los datos del punto a y los del c se tiene: 2V0 p0 2V0 p0 Vc2 = =⇒ Vc = 6V0 ⇒ pc = 3p0 36V0 T0 2T0 Para el punto b se cumple: Vb = Va = 2V0 y pb = pc = 3p0 . Por tanto: Tb = 6T0 .
Para el punto d se cumple: Vd = Vc = 6V 0 y pd = pa = p0 . Por tanto: Tc = 6T0 .
(b) Qab = nCv (Tb − Ta ) = 4nCv T0 .
Qbc = nCp (Tc − Tb ) = 12nCp T0 .
Qcd = nCv (Td − Tc ) = −12nCv T0 .
Qda = nCp (Ta − Td ) = −4nCp T0 .
(c) Si el ciclo describe una nevera, el sentido de recorrido es a → d → c → b → a.
La variaci´on de entrop´ıa del ciclo es nula. La entrop´ıa es una funci´on de estado.
Para calcular la variaci´on de entrop´ıa del universo, hay que calcular la variaci´on de entrop´ıa de cada fuente.
La variaci´on de entrop´ıa de la fuente fria, de la que absorbe calor el sistema, es: ∆Sa = − Qad + Qdc Qda + Qcd Qabs =− = = −6nCv − 2nCp = −8nCv − 2nR Ta 2T0 2T0 La variaci´on de entrop´ıa de la fuente caliente, a la que cede calor el sistema, es: ∆Sc = − Qced Qcb + Qba Qbc + Qab 2 6 8 2 =− = = nCv + nCp = nCv + nR Tc 18T0 18T0 9 9 9 3 La variaci´on de entrop´ıa del universo vale: ∆S = ∆Sa + ∆Sc = − 64 4 nCv + nR 9 3 < 0 La variaci´on de entrop´ıa negativa implica que esta nevera es imposible porque contradice el segundo principio de la termodin´amica.
(d) Si se considera como un motor t´ermico el recorrido es a → b → c → d → a.
W El rendimiento de un motor t´ermico es η = . El trabajo W se puede calcular de dos formas: Qabs i. W = Qabs + Qced = Qab + Qbc + Qcd + Qda = 16nCv T0 + 12nRT0 − 16nCv T0 − 4nRT0 = 8nRT0 .
ii. W = 2p0 × 4V0 = 8p0 V0 = 8nRT0 . En este caso W se calcula a prtir del area del rect´angulo.
El calor absorbido por el ciclo es Qabs = Qab + Qbc = 16nCv T0 + 12nRT0 .
2R El rendimiento es η = . El rendimiento de un ciclo de Carnot reversible, trabajando entre 4Cv + 3R 8 Ta = . La diferencia entre ambos ciclos es las mismas fuentes t´ermicas, es ηC = 1 − Tc 9 ηC − η = 8 2R 32Cv + 6R − = > 0 9 4Cv + 3R 9(4Cv + 3R) Como era de esperar, el rendimiento del ciclo de Carnot reversible es mayor.
(e) Para calcular la variaci´on de entrop´ıa del universo, se hace lo mismo que en el apartado c.
La variaci´on de entrop´ıa del ciclo es nula. La entrop´ıa es una funci´on de estado.
Para calcular la variaci´on de entrop´ıa del universo, hay que calcular la variaci´on de entrop´ıa de cada fuente.
La variaci´on de entrop´ıa de la fuente caliente, de la que absorbe calor el sistema, es: ∆Sc = − Qab + Qbc Qba + Qcb 8nCv + 6nR Qabs =− = =− Tc 18T0 18T0 9 La variaci´on de entrop´ıa de la fuente fria, a la que cede calor el sistema, es: ∆Sa = − Qced Qcd + Qda =− = 8nCv + 2nR Ta 2T0 La variaci´on de entrop´ıa del universo vale: ∆S = ∆Sa + ∆Sc = Este motor es posible e irreversible.
64 4 nCv + nR 9 3 > 0 F´ ISICA Plan 95 Test. Primer Parcial. Diciembre 2006.
Departamento de F´ısica Aplicada Identificaci´ on de la prueba: 250 18004 00 0 00 Notas: El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con l´apiz o bol´ıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutaci´ on, NO se corregir´ a el TEST.
1. Tenim una massa M de gel a 0o C en un calor´ımetre l’equivalent en aigua del qual ´es 8M . Quina massa de vapor a 100o C cal afegir per tal que la temperatura final d’equilibri sigui de 56o C? (La calor latent de fusi´o del gel a 0o C i una atmosfera ´es Lf = 80 cal/g, la calor latent de vaporitzaci´o de l’aigua l´ıquida a 100o C i una atmosfera ´es Lv = 540 cal/g, i la calor espec´ıfica de l’aigua l´ıquida es pot considerar 1 cal/(g K)) (a) M .
(b) M/8.
(c) 66M/73.
(d) El proc´es no ´es possible perqu`e l’entropia del vapor disminuiria.
2. En un recinte adiab`atic, n mols d’un gas ideal experimenten una compressi´o des d’un volum inicial V i a un volum final Vf < Vi i observem que la seva temperatura (T ) no ha variat. Indiqueu quina afirmaci´o ´es correcta.
(a) El proc´es no ´es posible perqu´e viola el segon principi de la termodin`amica.
(b) El proc´es ´es necess`ariament irreversible.
(c) El treball absorvit pel gas ´es W = nRT ln(Vf /Vi ).
(d) El treball absorvit pel gas ´es W = nRT 1−γ Vf Vi 1−γ −1 .
3. Un gas ideal amb Cv constant duplica el seu volum seguint un proc´es quasiest`atic x, que respon a l’equaci´o d’una par`abola en un diagrama p-V (p = aV 2 ). Qu`e podem dir de la calor espec´ıfica (Cx (T )) al llarg d’aquest proc´es? (a) Cx (T ) = C¯x = Cv + R/3, i ´es constant (independent de T ) al llarg del proc´es.
(b) Cx (T ) = C¯x = Cv + 2R/3, i ´es constant (independent de T ) al llarg del proc´es.
(c) C¯x = Cv + R/3, per`o Cx (T ) varia al llarg del proc´es.
(d) C¯x = Cv + 2R/3, per`o Cx (T ) varia al llarg del proc´es.
4. Volem mantenir l’interior d’una casa a la temperatura T durant l’hivern quan a l’exterior tenim T < T , fent servir una bomba de calor reversible de Carnot. Les p`erdues de calor a trav´es de les parets de la casa s´on Qp . Se’ns ha acudit de subministrar la pot`encia requerida per la bomba de calor amb un motor reversible de Carnot que aprofiti l’interior de la casa com a font calenta i l’exterior com a font freda.
Indiqueu quina afirmaci´o ´es certa.
(a) No ´es possible mantenir la temperatura a l’interior de la casa amb el sistema proposat. El conjunt de les dues m´aquines viola el segon principi de la termodin`amica.
T ˙ |= (b) La pot`encia que ha de suministrar el motor a la bomba de calor ´es |W Qp T −T (c) L’entropia de l’univers es mant´e constant perqu`e les dues m`aquines s´on reversibles.
(d) El conjunt de les dues m´aquines t´e un rendiment superior a la unitat, i per tant resulta m´es avantatjosa que la instalaci´o d’una caldera.
5. Una habitaci´o c´ ubica est`a formada per 3 murs i un sostre d’espessor e i conductivitat k, un terra a¨ıllat i una gran vidriera ocupant una paret sencera, d’espessor e/4 i conductivitat 4k.
(a) Les p`erdues a la vidriera representen el 80% de les p`erdues totals.
(b) Les p`erdues a la vidriera s´on les mateixes que per cadascuna de les altres parets i el sostre, tret del terra.
(c) Les p`erdues a la vidriera s´on les mateixes que per totes les altres parets i sostre sumades.
(d) Les p`erdues a la vidriera representen m´es del 98% de les p`erdues totals.
6. Un fluid a temperatura Ti circula per una canonada cil´ındrica de radi interior R, radi exterior 2R i conductivitat t`ermica k. La recobrim amb una capa d’a¨ıllant d’espessor 2R i conductivitat k/2. Si la temperatura a la superf´ıcie exterior de l’a¨ıllant resulta ser To , la temperatura en el punt de contacte canonada-a¨ıllant ser`a: 2Ti + To 3 Ti + T o (b) T = 2 Ti + 2To (c) T = 3 4Ti + To (d) T = 5 (a) T = δq ≤ 0, define: T 7. La desigualdad de Clausius, (a) La funci´on de estado, llamada entrop´ıa, s´olo para procesos reversibles.
(b) La variaci´on de entrop´ıa en un proceso cualquiera.
(c) La variaci´on de entrop´ıa para procesos irreversibles.
(d) La funci´on de estado, llamada entrop´ıa, s´olo para procesos irreversibles.
8. Un mol de un gas ideal, cuyo Cv es constante, pasa de un estado inicial, (pi , Vi , Ti ), a uno final ,(pf , Vf , Tf ), mediante el proceso politr´opico cuasi est´atico pV = C . Su calor espec´ıfico molar, C X , para este proceso vale: (a) ∞.
(b) 0.
(c) Cv − R.
(d) Cp .
9. El calor espec´ıfico molar de un gas ideal, a volumen constante, viene dado por: C v (T ) = variaci´on de entrop´ıa por mol de gas, para un proceso cualquiera, vale: Tf2 + α2 Ti2 + α2 (a) ∆S = β2 ln 2 (b) ∆S = β 2 Tf + α + R ln 2 Ti + α (c) ∆S = β2 ln 2 Tf2 + α2 .
Ti2 + α2 (d) ∆S = β2 ln 2 Tf2 + α2 Ti2 + α2 + R ln β2T 2 . La T 2 + α2 Vf .
Vi Vf .
Vi − R ln Vf .
Vi 10. Indicar qu´e afirmaci´on es la correcta, cuando n moles de un gas ideal monoat´omico se expanden, mediante una isobara cuasiest´atica, hasta alcanzar un volumen doble del inicial.
(a) El calor absorbido vale ∆H = 5nRTi /2, siendo Ti la temperatura inicial.
(b) El calor absorbido vale ∆H = 5nRTf /2, siendo Tf la temperatura final.
(c) El calor absorbido vale ∆U = 5nRTf /2, siendo Tf la temperatura final.
(d) El calor absorbido vale ∆U = 5nRTi /2, siendo Ti la temperatura inicial.
11. Un motor funciona entre dos temperaturas Tf = 350 K y Tc = 500 K. El fabricante dice que el rendimiento es del 40 %. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta: (a) El rendimiento no puede superar el 35 %.
(b) Puede ser cierto, el rendimiento teor´ıco ha de ser menor del 75 %.
(c) Si el motor es un ciclo de Carnot reversible, es verdad.
(d) Si el motor es un ciclo de Carnot reversible, en el que la sustanacia cembia de estado, es verdad.
12. Un mol de gas ideal a una presi´on inicial 2P se expande adiab´aticamente contra el vacio, hasta una presi´on final P . Indicar qu´e afirmaci´on es cierta: (a) La variaci´on de entrop´ıa del universo es ∆S = Rln2.
(b) La variaci´on de entrop´ıa del universo es ∆S = −Rln2.
(c) La entrop´ıa del universo no var´ıa.
(d) Para calcular la variaci´on de entrop´ıa del universo, en este caso, hay que conocer el calor intercambiado por el gas con el medio.
13. Para un proceso adiab´atico y a presi´on constante de un gas ideal, se verifica: (a) Si es una compresi´on la temperatura aumenta siempre.
(b) En una expansi´on la temperatura disminuye siempre.
(c) El trabajo viene dado por W = (pf Vf − pi Vi )/(γ − 1).
(d) La entrop´ıa del universo no var´ıa.
14. Dos cuerdas de densidades uniformes ρ1 y ρ2 estan unidas por un extremo. Por la cuerda de densidad ρ1 se propaga una onda dirigi´endose hacia la conexi´on entre ambas cuerdas. Que relaci´on deben guardar las densidades para que las amplitudes absolutas de las ondas transmitida y reflejada sean las mismas? (a) ρ2 = ρ1 .
(b) ρ2 = 9ρ1 .
(c) ρ2 = 4ρ1 .
(d) ρ1 = 4ρ2 .
15. En una cuerda de longitud u ´nicamente fijada en x = 0, las posiciones x m de los nodos del modo de longitud de onda λn = 4 /(2n + 1) se encuentran en: (a) xm = 2 m/(2n + 1) (0 ≤ m ≤ n).
(b) xm = (2m + 1)/(2n + 1) (c) xm = 2 (2m + 1)/(2n + 1) (d) xm = m/(2n + 1) (0 ≤ m ≤ n).
(0 ≤ m ≤ n).
(0 ≤ m ≤ n).
16. Las dimensiones de la impedancia de una cuerda son: (a) M T −1 .
(b) M T −1 L−1 .
(c) M −1 T .
(d) es un n´ umero adimensional.
17. En los nodos de una cuerda vibrante cuyos extremos est´an fijos: (a) la potencia siempre es cero.
(b) la potencia es siempre positiva o nula.
(c) la potencia es siempre negativa o nula.
(d) la potencia nunca se anula.
18. En una cuerda, que se puede considerar de longitud infinita y coincidente con el eje x, se propaga hacia la derecha una onda arm´onica con longitud de onda λ = 1m y velocidad c = 2m/s y amplitud 0.05m. Si en el instante inicial la abcisa x = 0.25m se encuentra en la posici´on de equilibrio y su velocidad transversal es negativa, la ecuaci´on de onda ser´a: (a) 0.05 sin(2π(x − 2t) − π/2).
(b) 0.05 cos(2πx − 4πt) (c) 0.05 sin(2π(x − 2t)) (d) 0.05 cos(2π(x − 2t) − π/2) 19. Se tienen dos cuerdas de densidades ρ1 y ρ2 situadas en el eje x negativo y positivo respectivamente y unidas en la posici´on x = 0. Inicialmente, se propaga una onda arm´onica hacia la derecha. Si ρ 1 > ρ2 , podemos afirmar que: (a) La frecuencia de la onda transmitida ser´a menor a la de la onda incidente.
(b) La frecuencia de la onda transmitida ser´a mayor a la de la onda incidente.
(c) La velocidad de propagaci´on de la onda reflejada ser´a mayor a la de la onda incidente.
(d) La velocidad de propagaci´on de la onda transmitida ser´a mayor a la de la onda incidente.
20. En una cuerda de longitud L se observan dos arm´onicos consecutivos de una onda estacionaria en las frecuencias fn = 425 Hz y fn+1 = 475 Hz. Si la velocidad de propagaci´on de la onda es 200m/s, indicar qu´e afirmaci´on es cierta: (a) Los dos extremos de la cuerda est´an fijos.
(b) La longitud de la cuerda es 2 m.
(c) La frecuencia fundamental vale 50 Hz.
(d) No hay suficientes datos para encontrar la longitud de la cuerda.
Departament F´ısica Aplicada.
F´ISICA Pla 95.
ETSECCPB Respostes al Test.
Primer Parcial Preg.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 a a a a a a a a a a a a a b a a a a d b Permutaci´o 1 2 3 d d a d a b b d d d c d c b c d b a c a d b c c c b a a d c a a c c d b d a a a a c d a d c c b c a c b a c d d b b d c 4 d d a a d d b a b b c d a b b c b b b b F´ ISICA Plan 95 Segundo Examen Parcial Departamento de F´ısica Aplicada 25 06 2007 1. Problema En una regi´on del espacio est´a definido el campo el´ectrico E = α(z, 0, −x). La constante diel´ectrica del medio en esa regi´on es 0 y su permeabilidad magn´etica es µ0 .
(a) Calcular la carga el´ectrica total contenida en dicha regi´on.
(b) Calcular la densidad de energ´ıa debida a E.
(c) ¿Es E conservativo?¿Por qu´e? (d) En el plano y = 0, hay una espira circular, centrada en el origen, de radio a y resistencia total R.
Calcular la fem inducida en ella.
(e) Calcular el valor, la direcci´on y el sentido de la intensidad de la corriente inducida.
(f) Calcular un campo magn´etico, inicialmente nulo, que pueda generar E.
(g) Calcular la densidad de energ´ıa total del campo electromagn´etico.
2. Problema Una espira rectangular de lados a y b tiene una resistencia R y un condensador de capacidad C (inicialmente descargado en t = 0) tal y como indica la figura. La espira se encuentra en el seno de un campo magn´etico ˆ (B > 0) uniforme y constante, perpendicular al plano de la espira. Una varilla conductora B = Bz ˆ , siempre rectil´ınea de resistencia R se desliza en contacto con la espira con velocidad constante v = v x ˆ . Inicialmente (t = 0), la varilla se encuentra situada en x = 0. Se pide: orientada paralelamente al eje y (a) determinar la orientaci´on de las intensidades inducidas en las resistencias y en el condensador. Indicar claramente el sentido de las fuerzas electromotrices inducidas.
PSfrag replacements (b) determinar el valor de las fuerzas electromotrices inducidas durante el per´ıodo en el cual la varilla recorre toda la longitud a.
(c) determinar la carga del condensador Q(t) en funci´on del tiempo, as´ı como los valores de las intensidades que circulan por la resistencia de la espira, IR (t), por la resistencia de la varilla, Iv (t), y por el condensador, IC (t), durante el mismo periodo que en el apartado anterior.
max , ICmax , Ivmax en cada tramo del circuito y los instantes de (d) determinar las intensidades m´aximas IR tiempo en los cuales se alcanzan dichos valores m´aximos.
(e) el instante de tiempo en el cual el condensador tiene carga m´axima, y el valor de dicha carga.
y -1 -0.5 0 0.5 ˆ v = vx 1 -0.8 R -0.6 C R b x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 B = B zˆ x=0 x=a 1. Soluci´ on del primer problema Se supone α > 0. Para α = 0 el problema carece de sentido porque se anula el campo el´ectrico. Para α < 0 las cuestiones a), b), c) y g) no cambian y las d), e) y f) cambian de signo y por tanto las magnitudes asociadas cambian de sentido.
ρ = 0 =⇒ ρ = 0. En esa regi´on no hay carga, la densidad (a) Por la ley de Gauss ∇ · D = ρ =⇒ ∇ · E = 0 vol´ umica de carga es nula.
(b) uE = 0α 2 2 (x2 + z 2 ).
ex ∂x αz Este campo no (c) ∇ × E = ey ez ∂y ∂z = 2αey = 0 0 −αx es conservativo.
(d) Tomando ey como normal unitaria de la superficie encerrada por la circunferencia dada se tiene: S (∇ × E) · dS = ∂S E · d = ε = 2παa2 Falta definir su sentido. De acuerdo con el apartado f), el signo es el adecuado y la ε = 2παa 2 . Por tanto, su sentido es el antihorario.
(e) Teniendo en cuenta el apartado f), la intensidad de la corriente inducida vale ε = 2παa 2 /R. Su direcci´on es tangente a la circunferencia y su sentido antihorario, de acuerdo a la ley de Lenz.
∂B = 2αey =⇒ B = −2αtey .
∂t (g) La densidad de energ´ıa del campo electromagn´etico es la suma de las densidades de energ´ıa de los campos el´ectrico y magn´etico.
2 1 2α2 t2 0 0α uem = uE + uB = |E|2 + |B|2 = (x2 + z 2 ) + 2 2µ0 2 µ0 (f) ∇ × E = − 2. Soluci´ on del segundo problema (a + b) Dividimos el circuito en las submallas 1 (a la izda. de la varilla) y 2 (a la dcha. de la varilla). Al desplazarse laPSfrag varilla, el flujo magn´etico en 1 (Bbvt) aumenta y en 2 (Bb[a − vt]) disminuye, lo cual replacements induce f.e.m.’s ε1 y ε2 en cada una de esas mallas, respectivamente. La orientaci´on de dichas f.e.m.
viene determinada por la ley de Faraday-Lenz: ε1 = ∂S1 E1 · dl1 = − ∂ ∂t S1 B · dS1 y ε2 = ∂S2 E2 · dl2 = − ∂ ∂t S2 B · dS2 .
En ambas ecuaciones, las circulaciones se calculan en sentido antihorario (adoptando el convenio de ˆ dS1 y dS2 = z ˆ dS2 ), es decir: la regla de la mano derecha con respecto a los vectores dS1 = z ε1 = − d Bbvt = −Bbv dt y ε2 = − d Bb(a − vt) = Bbv, dt lo cual nos da una ε1 negativa (horaria) y una ε2 positiva (antihoraria), tal y como se indica en la figura: 1 -1 -0.5 0 2 0.5 1 C -0.8 R -0.6 R ε1 ε2 -0.4 -0.2 IC 0 0.2 0.4 0.6 0.8 IR B = B zˆ Iv x=a x(t) = v t x=0 Por lo tanto, las intensidades IR , Iv e IC tienen los sentidos indicados en el dibujo.
(c) Aplicando las leyes de Kirchoff en nudos y mallas, obtenemos las ecuaciones que determinan la evoluci´on temporal de las intensidades y de la carga del condensador: (1) Iv = IR + IC (2) RIR + RIv = Bbv (3) Q + RIv = Bbv .
C Sumando (1) y (2) obtenemos: (4) Iv = 1 (Bbv + RIC ) .
2R Por otro lado, IC es la variaci´on intant´anea de carga del condensador, es decir: (5) Ic = dQ .
dt Sustituyendo (4) y (5) en (3), nos queda la ecuaci´on para la carga del condensador: 2 Bbv dQ + Q= , dt RC R con condici´on inicial Q(0) = 0 (condensador inicialmente descargado), y cuya soluci´on es: Q(t) = BbvC 1 − e−2t/RC 2 .
La intensidad IC se obtiene directamente derivando la expresi´on anterior con respecto al tiempo, I v se obtiene utilizando (4) e IR utilizando (1): IC (t) = Bbv −2t/RC e R Iv (t) = Bbv 1 + e−2t/RC 2R IR (t) = Bbv 1 − e−2t/RC 2R (d) Todo el proceso de carga del condensador transcurre en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t = a/v, i.e., momento en el cual la varilla llega al otro extremo de la espira. Las intensidades m´aximas de IC e Iv se alcanzan por lo tanto en t = 0, mientras que IR alcanza su valor m´aximo en t = a/v. Dichos valores son: ICmax = Bbv R Ivmax = Bbv R max = IR Bbv 1 − e−2a/RCv 2R (e) Del mismo modo, la carga del condensador se alcanza en t = a/v, cuyo valor es: Q(t) = BbvC 1 − e−2a/RCv 2 .
Todo ello viene resumido en las siguientes gr´aficas (no era necesario representarlas) de las intensidades y la carga, en las cuales se han indicado los valores m´aximos de Q e IR mediante puntos grises.
PSfrag replacements BbvC/2 Qmax Q(t) 0 t=0 t = a/v Ivmax = ICmax = Bbv/R IC (t) Iv (t) IRmax IR (t) 0 t=0 t = a/v F´ ISICA Plan 95 Departamento de F´ısica Aplicada Identificaci´ on de la prueba: 250 18004 01 0 00 Test. Segundo Parcial. Mayo 2007.
1. Una carga puntual 4q est´a incrustada en una superficie esf´erica de radio a. En el volumen rodeado por la esfera hay una carga q. El flujo del campo electrost´atico a trav´es de la superficie esf´erica vale: (a) 3q/ 0 .
(b) 5q/ 0 .
(c) q/ 0 .
(d) No est´a definido.
2. A muy poca distancia de una superficie plana met´alica, con una densidad superficial de carga σ, inmersa en un medio de constante diel´ectrica y coincidente con el plano y = 0, el campo electrost´atico vale: σy ey .
2 |y| σy (b) E = ey .
|y| σ (c) E = ey .
|y| σy ey .
(d) E = (a) E = 3. Se carga un condensador, de capacidad C0 cuando hay aire entre sus placas, con una carga Q. Sin desconectarlo de la bater´ıa, se introduce un diel´ectrico de permeabilidad relativa r .
(a) Su carga aumenta.
(b) La diferencia de potencial entre sus placas disminuye.
(c) El campo el´ectrico entre sus placas aumenta.
(d) El vector desplazamiento permanece constante.
4. En el interior de una esfera de radio R, centrada en el origen, hay una polarizaci´on uniforme P . Para todo punto contenido en la superficie esf´erica de radio R, se cumple: P ·r , siendo r su vector posici´on R (b) La densidad superficial de carga inducida es uniforme.
(a) La densidad superficial de carga inducida vale σp = (c) El campo electrost´atico es nulo.
(d) El campo electrost´atico tiene direcci´on radial.
5. En un circuito hay un condensador, de capacidad C, y una resistencia, R. La carga inicial del condensador es Q0 . Se cumple: Q20 .
2C Q2 (b) la energ´ıa total disipada en la resistencia es 0 .
C Q20 C (c) la energ´ıa total disipada en la resistencia es .
2 Q0 (d) la energ´ıa total disipada en la resistencia es .
2C 2 (a) la energ´ıa total disipada en la resistencia es 6. Anulada Para cargar un condensador de capacidad C, se conectan en serie el condensador, una resistencia R y una bater´ıa cuya fuerza electromotriz es ε. Cuando el condensador est´a totalmente cargado, su carga es Q m y se cumple: (a) la diferencia de potencial entre las placas del condensador es ε.
(b) la diferencia de potencial entre las placas del condensador es ε − Qm .
C ε .
R ε Qm (d) la intensidad de corriente en el circuito vale − .
R RC (c) la intensidad de corriente en el circuito vale 7. El vector momento magn´etico se mide, en el S.I., en: (N=newton, A=amperio, m=metro) (a) Am2 .
(b) N m/A.
(c) m2 /A.
(d) N/A2 .
8. El potencial vector sobre el eje x de una espira circular, contenida en el plano x = 0 y centrada en el origen, por la que circula una intensidad, es cero.
(a) El campo magn´etico sobre este eje no tiene por qu´e ser nulo.
(b) El campo magn´etico sobre este eje es nulo.
(c) El campo magn´etico sobre este eje no est´a definido.
(d) El campo magn´etico sobre este eje tiene la componente x nula.
9. Una carga puntual q se encuentra en el centro de una esfera diel´ectrica, de radio R 1 y constante absoluta a rodeada por una corteza esf´erica conc´entrica diel´ectrica de grosor 1 . A su vez, la esfera anterior est´ R2 − R1 y constante absoluta 2 . Indicar qu´e afirmaci´on es cierta qr , si |r| > 0.
4π|r|3 qr (b) El campo electrost´atico es E(r) = , si |r| > 0.
4π 1 |r|3 qr , si 0 < |r| ≤ R2 .
(c) El campo electrost´atico es E(r) = 4π 1 |r|3 qr (d) El vector desplazamiento es D(r) = , si |r| > 0.
4π 0 |r|3 (a) El vector desplazamiento es D(r) = 10. Un conductor es un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R. la intensidad de la corriente es I y el m´odulo del campo magn´etico resultante en el centro de la circunferencia es π µIn tan .
2πR n √ 3 3µI .
(a) El valor m´aximo del m´odulo es 2πR (b) El valor m´aximo del m´odulo corresponde al valor n = 2.
(c) Cuando n → ∞, |B| → 0.
(d) Cuando n → ∞, |B| → ∞.
11. Una superficie cerrada S contiene en su interior un dipolo el´ectrico de momento dipolar p que crea un campo el´ectrico E. Podemos afirmar que: S E · dS = 0.
S E · dS < 0.
S E · dS > 0.
S E · dS = (a) (b) (c) (d) 2 p .
ε0 12. Por dos hilos conductores rectil´ıneos, paralelos e infinitos, separados 1 m, circula una misma intensidad de 1 A, pero en sentidos opuestos. Podemos afirmar que los hilos: (a) se repelen con una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 Nm−1 .
(b) se atraen con una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 Nm−1 .
(c) se atraen con una fuerza por unidad de longitud de 4π · 10−7 Nm−1 .
(d) se repelen con una fuerza por unidad de longitud de 4π · 10−7 Nm−1 .
13. Un anillo circular no conductor contiene una densidad lineal uniforme de carga el´ectrica. El anillo gira con velocidad angular constante alrededor de un eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro O. Si E0 y B0 son los m´odulos del campo el´ectrico y magn´etico en el centro del anillo, respectivamente, podemos afirmar que en O: (a) E0 = 0 y B0 = 0.
(b) E0 = 0 y B0 = 0.
(c) E0 = 0 y B0 = 0.
(d) E0 = 0 y B0 = 0.
14. Las armaduras de un condensador de capacidad C, inicialmente cargado y aislado, se conectan a los extremos de una bobina de autoinducci´on L de resistencia despreciable. La carga del condensador oscilar´a con el tiempo con frecuencia: √ (a) 1/ LC.
(b) 1/LC.
√ (c) 2/ LC.
(d) 2/LC.
15. Una superficie esf´erica conductora se encuentra cargada en equilibrio electrost´atico. Si duplicamos su carga el´ectrica, la presi´on electrost´atica resultante: (a) se cuadruplica.
(b) se duplica.
(c) de reduce a la mitad.
(d) no cambia.
ˆ contiene una densidad uniforme de carga 16. Un hilo no conductor, rectil´ıneo, infinito y paralelo al eje z ˆ, el m´odulo del campo magn´etico creado el´ectrica λ. Si el hilo se desplaza con velocidad constante v = v z por el hilo a una distancia r del mismo es: (a) µ0 vλ/2πr.
(b) 0.
(c) µ0 vλ/r.
(d) µ0 vλ/2r.
17. Una corteza esf´erica conductora de radios interno y externo r = R1 y r = R2 , respectivamente, tiene una carga neta Q. En r = 0 situamos una carga puntual q. La carga neta en la superficie externa de radio R 2 es: (a) Q + q.
(b) Q − q.
(c) q.
(d) −q 18. Si S es una superficie cerrada arbitraria, C una curva cerrada arbitraria, E es el campo el´ectrico y B el campo magn´etico, ¿cu´al de las siguientes expresiones es siempre cierta?: S B · dS = 0 S E · dS = 0 C E · dC = 0 (a) (b) (c) (d) C B · dC = 0 19. Dos espiras circulares conc´entricas de radios a y b (a << b) est´an contenidas en el mismo plano. El coeficiente de inducci´on mutua de las dos espiras es, aproximadamente, (a) µ0 πa2 /2b.
(b) µ0 πb2 /2a.
(c) µ0 πa2 /b.
(d) µ0 πb2 /a.
20. Las dimensiones de la magnetizaci´ on o imantaci´ on (momento dipolar magn´etico por unidad de volumen) son: (a) QT −1 L−1 .
(b) QT −1 L2 .
(c) QT L−1 .
(d) QT −2 L−2 .
Soluciones del Test.
Segundo Parcial Permutaci´on Preg. 0 1 2 3 4 1 a b d b d 2 a a d d c 3 a b b d b 4 a c a b a 5 a c a c c 6 nula d b d b 7 a a a nula a 8 a d b d b 9 a b d d nula 10 a d d c c 11 a c c c d 12 a d c d a 13 a a b b c 14 a a c d a 15 a c b d b 16 a b nula d c 17 a b d d a 18 a b a d a 19 a nula d c c 20 a b a b d F´ ISICA Plan 95 Examen Final Departamento de F´ısica Aplicada 15 06 2007 1. Problema En una f`abrica de gelats, es vol recobrir el nucli crem´os dels gelats amb una capa fina de gel d’espessor e. Per fer-ho, es refreda el nucli crem´os (capacitat calor´ıfica C i superf´ıcie total exposada A) fins a una temperatura Ti < 0 o C, i a continuaci´o es submergeix en un bany d’aigua l´ıquida a Te = 0 o C.
a) Expliqueu en 3 l´ınies per quins mecanismes es formar`a la capa de gel al voltant del nucli crem´os del gelat.
b) Calculeu la temperatura Ti a la qual s’ha de refredar el nucli per aconseguir, a l’equilibri, l’espessor desitjat e.
c) Calculeu l’increment d’entropia de l’univers en aquest proc´es i demostreu que ´es positiva.
d) Raoneu quant temps es tarda en assolir l’espessor e.
Es proposa refredar el nucli m´es del necessari (Ti encara m´es baixa) per assolir l’espessor e en un temps m´es curt te .
e) Trobeu l’expressi´o del flux de calor q(t) a trav´es del gel en funci´o de la temperatura del nucli T i (t) i de l’espessor de la capa de gel e(t), per a cada instant t.
f) Sabent que la variaci´o de temperatura del nucli ´es deguda a l’absorci´o de calor a trav´es del gel, dTi (t) en funci´o de Ti (t) i e(t).
expresseu dt g) Sabent que el creixement de l’espessor de gel es deu a la cessi´o de calor de l’aigua l´ıquida per escalfar de el nucli, expresseu (t) en funci´o de Ti (t) i e(t).
dt h) Suposant que assolim l’espessor desitjat e r´apidament de manera que T i (t) Ti es pot considerar constant, calculeu la temperatura aproximada a la que haurem de refredar el nucli (T i ), per enretirar el gelat del bany despr´es d’un temps te amb l’espessor desitjat e.
Hip` otesis: • Considereu l’espessor e petit en front de la curvatura de la superf´ıcie sobre la qual creix (l’`area A del gelat acabat ´es aproximadament la mateixa que la del nucli crem´os del qual partim).
• Considereu la din`amica de conducci´o de la calor en l’espessor de gel molt m´es r`apida que la de creixement de l’espessor o d’escalfament del nucli del gelat per assumir que el proc´es ´es pseudoestacionari i la llei de Fourier val a cada instant de temps.
Dades adicionals: Lf : calor latent de fusi´o del gel a 0 o C; k: conductivitat del gel; ρ: densitat del gel.
2. Problema Cuando una cuerda el´astica oscila, el aire opone una resistencia a las oscilaciones transversales de dicha cuerda. La fuerza que experimenta un tramo infinitesimal de cuerda de longitud ∆x es −∆x R v T , siendo R un coeficiente de rozamiento dado y vT la velocidad transversal del tramo (el signo negativo indica que esa fuerza es opuesta a la velocidad instant´anea del tramo de cuerda). La ecuaci´on de ondas para los desplazamientos u(x, t) transversales de una cuerda de densidad ρ sometida a una tensi´on T y a fricci´on por el aire es de la forma: 2 ∂u ∂2u 2∂ u − β + 2k = 0.
∂t2 ∂t ∂x2 (a) Determinar los par´ametros k y β en funci´on de R, T y ρ.
(b) Determinar las dimensiones de k y de β. Es decir, si [k] = Mp Lq Tr , determ´ınense los exponentes p, q y r y h´agase lo mismo para β.
(c) Comprobar si funciones del tipo f (x ± βt) son soluci´on de la ecuaci´on de ondas del enunciado.
(d) Supongamos ahora que la cuerda se encuentra fijada entre los extremos x = 0 y x = , de forma que se satisface la condici´on k < πβ/ . Nos dicen que el modo n−´esimo de oscilaci´on de la cuerda es de la forma: nπx , con n = ±1, ±2, ±3, . . .
un (x, t) = gn (t) sin siendo gn (t) una funci´on por determinar. Determinar dicha funci´on gn (t) y las frecuencias temporales de oscilaci´on en funci´on de k, β y . ¿Es gn (t) peri´odica en tiempo?.
3. Problema Una espira circular, de radio a y centrada en el origen, est´a contenida en el plano x = 0. Por ella se mueve una carga q con una velocidad angular constante Ω en sentido antihorario.
(a) Calcular el potencial vector creado por la espira en un punto lejano P . Es decir si (x, y, z) son sus coordenadas, se verifica a r = x2 + y 2 + z 2 , siendo r la distancia de P al origen de coordenadas.
(b) Calcular el vector momento dipolar m de la espira y expresar el potencial vector en funci´on del momento dipolar de la espira.
(c) Calcular el campo magn´etico creado por la espira en el punto P .
(d) El campo el´ectrico creado por la espira en P ¿es conservativo?. Explicar por qu´e.
(e) Sea conservativo o no, calcularlo en P .
Ayuda: Recordar que: |u| 1 ⇒ (1 + u)α 1 + αu.
1. Soluci´ on del primer problema (a) En estar el nucli crem´os m´es fred que el bany d’aigua que l’envolta, tendir`a a absorbir-ne calor per mirar de restablir l’equilibri t`ermic. En cedir calor l’aigua a la seva temperatura de congelaci´o, solidificar`a entorn al nucli crem´os, tot formant una capa de gel.
(b) Aplicant un balan¸c energ`etic al sistema a¨ıllat format pel nucli crem´os i el bany d’aigua podem deduir Ti : ρAeLf , Qnucli + Qaigua = 0 =⇒ C (Te − Ti ) − ρAeLf = 0 =⇒ Ti = Te − C (c) L’increment d’entropia de l’univers es pot descomposar com la suma dels increments d’entropia del nucli i del bany: Ti Ti − 1 − ln , ∆Su = ∆Sbany + ∆Snucli = C Te Te on cal recordar que Ti < Te .
No ´es dif´ıcil comprovar que ∆Su (Ti = Te ) = 0 Ti < Te =⇒ d∆Su Ti − T e (Ti ) = C <0 dTi Ti Te (d) Hem fet coincidir l’assoliment de l’espessor desitjat e amb l’establiment de l’equilibri t`ermic. Aix`o es produir`a a un instant te pel qual tindrem Ti (te ) = Te i el flux de calor a trav´es del gel s’anul.lara.
Per`o l’aproximaci´o de Ti (t) cap a Te , nom´es ser`a asimpt`otica, ja que el creixement ´es proporcional (llei de Fourier) a Ti (t) − Te , que decau exponencialment a mesura que ens apropem a l’equilibri. Per tant, el sistema tardar`a un temps infinit a assolir l’equilibri: te = ∞ (e) Per trobar l’expressi´o de q(t) en funci´o de Ti (t) i de e(t), nom´es cal plantejar la llei de Fourier per al flux de calor a trav´es de la capa de gel, sota les hip`otesis de flux pseudoestacionari i secci´o transversal constant: kA(Ti (t) − Te ) dT .
q(t) = −kA (x, t) = dx e(t) (f) Plantejant l’absorci´o de calor per part del nucli, dQnucli = C dTi , en forma instant`ania, i tenint present que la calor absorbida pel nucli ´es precisament la que atravessa la capa de gel (que definim positivament quan va cap a l’exterior), tenim: dQnucli dTi dTi kA (Ti (t) − Te ) (t) = C (t) = −q(t) =⇒ (t) = − , dt dt dt C e(t) on hem substituint l’expressi´o abans calculada per q(t).
(g) Fent l’aproximaci´o Ti (te ) Ti en el moment en que retirem el gelat del bany, l’equaci´o corresponent a la din`amica de creixement del gla¸c desacobla i pot ser resolta anal´ıticament: k (Ti (t) − Te ) de (t) = − dt ρLf e(t) − k (Ti − Te ) e(t)2 k −→ =− (Ti − Te ) t.
ρLf e(t) 2 ρLf Podem finalment trobar quin ha de ser el valor de Ti per tal que a temps te l’espessor sigui precisament e(te ) = e: ρLf e2 Ti = T e − .
2k te Es pot demostrar que l’aproximaci´o ser`a tant m´es v`alida si el nucli del gelat t´e gran capacitat calor´ıfica, la superf´ıcie exposada ´es petita i l’espessor de la capa de gla¸c desitjada no ´es massa gran.
2. Soluci´ on del segundo problema (a) Las ecuaciones de Newton para un tramo arbitrario de cuerda de masa ∆m y longitud ∆x son (visto en clase de teor´ıa): ∆m ax = T (x + ∆x) cos θ(x + ∆x) − T (x) cos θ(x), ∆m ay = T (x + ∆x) sin θ(x + ∆x) − T (x) sin θ(x), siendo ax y ay las aceleraciones longitudinal y transversal del tramo, respectivamente. Dado que no hay oscilaci´on longitudinal (ax = 0) y aproximando cos θ ∼ 1 (peque˜ na amplitud), la primera ecuaci´on nos determina que la tensi´on es T constante.
∂u . Si ahora incluimos los efectos En la segunda ecuaci´on hac´ıamos la aproximaci´on sin θ ∼ tan θ = ∂x de fricci´on: ∂u ∂u ∆m ay = T − ∆x R vT , − ∂x x+∆x ∂x x o bien ∂2u ∂2u = T ∆x 2 − ∆x R vT .
2 ∂t ∂x Dividiendo en ambos lados por ∆m nos queda ∆m T ∂2u R ∂u ∂2u = − 2 ∂t ρ ∂x2 ρ ∂t ∂u donde hemos utilizado la definici´on de la densidad ρ = ∆m/∆x y de la velocidad transversal v T = .
∂t Identidicando t´erminos con la ecuaci´on del enunciado nos queda k= R , 2ρ T .
ρ β= (b) Por consistencia dimensional de la propia ecuaci´on del enunciado, se debe cumplir que ∂2u ∂u = k ∂t2 ∂t → LT−2 = [k]LT−1 → [k] = T−1 → p = 0, q = 0, r = −1 .
De la misma forma, para β tenemos β2 ∂2u ∂2u = ∂x2 ∂t2 → [β 2 ]L−1 = LT−2 → [β] = LT−1 → p = 0, q = 1, r = −1 .
(c) (d) Primero calculamos las derivadas correspondientes de la funci´on f (x + βt): ∂ 2 f (x + βt) = f (x + βt), ∂x2 ∂ 2 f (x + βt) = β 2 f (x + βt), ∂t2 ∂f (x + βt) = βf (x + βt).
∂t2 Sustituyendo en la ecuaci´on del enunciado, se ve claramente que f (x+βt) no satisface dicha ecuaci´on: β 2 f + 2kβf − β 2 f = 2kβf = 0.
Lo mismo ocurre con f (x − βt). Por lo tanto, la ecuaci´on del enunciado no admite soluciones en forma de superposici´on de ondas viajeras.
(e) Sustituyendo el modo n−´esimo en la ecuaci´on del enunciado nos queda g¨ sin nπx + 2k g˙ sin nπx + nπβ 2 gn sin nπx = 0, con lo que desaparece la dependencia en x, quedando u ´nicamente una ecuaci´on para g n (t): g¨ + 2 k g˙ + nπβ 2 gn = 0, cuya soluci´on general es gn (t) = e−kt ( An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t) ) , siendo ωn las frecuencias determinadas por las partes imaginarias de las raices del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on: λ2 + 2kλ + nπβ 2 = 0, λ = −k ± i nπβ 2 − k 2 = −k ± iωn .
Las oscilaciones est´a amortiguadas por el factor e−kt , por lo tanto gn (t) no es peri´odica.
3. Soluci´ on del tercer problema (a) Para un conductor filforme se verifica: µI 4π A(x, y, z) = dl |r − r | cond Siendo r = (x, y, z) el vector de posici´on del punto P , r un punto de la curva (en este caso r = QΩ (0, y , z )) e I la intensidad de la corriente, que circula por el conductor. En este caso I = .
2π La espira en coordenadas polares es r = (0, a cos ϕ, a sin ϕ) =⇒ dl = a (0, − sin ϕ, cos ϕ) dϕ, con ϕ ∈ (0, 2π].
1 y cumple: El denominador de la integral es |r − r | 1 |r − r | = 1 x2 + (y − a cos ϕ)2 1 + (z − = (r2 1 =⇒ − 2ay cos ϕ − 2az sin ϕ + a2 )1/2 (r 2 − 2ay cos ϕ − 2az sin ϕ)−1/2 =⇒ |r − r | (teniendo en cuenta que |u| a sin ϕ)2 1 ⇒ (1 + u)α 1 |r − r | = 1 + αu) 1 ay cos ϕ az sin ϕ + + r r3 r3 Sustituyendo este valor en la definici´on del potencial vector, queda A(x, y, z) = µIa 4πr 2π 0 (0, − sin ϕ, cos ϕ) A(x, y, z) = 1 ay cos ϕ az sin ϕ + dϕ + r r3 r3 =⇒ µIa2 π (0, −z, y) 4πr3 QΩ .
2π (b) Se sabe que m = πr 2 I N es el vector momento magn´etico de una espira de radio r, por la que circula una intensidad I y cuya normal unitaria N viene dada por el sentido de la intensidad, seg´ un la regla del tornillo. En este caso el momento magn´etico es: Con I = m = πa2 Iex y el potencial vector en funci´on de ´el es: A(x, y, z) = m×r µIa2 π µm (0, −z, y) = (0, −z, y) = 3 3 r 4πr 4π r3 (c) El campo magn´etico es: B(x, y, z) = ∇ × A(x, y, z) = µ 4π 3 (m · r) m r− 3 r5 r .
(d) Teniendo en cuenta que ∇×E + ∂B = 0 ∂t ∂B = 0 , se tiene ∇ × E = 0 =⇒ ∂t C, =⇒ E es conservativo.
y que en todo punto C E · dl = 0, para toda curva cerrada (e) Por ser E conservativo, existe una funci´on escalar V (x, y, z) cuyo gradiente cambiado de signo es E.
V (x, y, z) = 1 4πε C dl |r − r | Teniendo en cuenta que dl = adϕ, que ϕ var´ıa entre 0 y 2π y el desarrollo, obtenido antes para 1 , queda |r − r | V (x, y, z) = 1 4πε 2π 0 λadϕ |r − r | λa 4πε 2π 0 V (x, y, z) = 1 ay cos ϕ az sin ϕ + + r r3 r3 2λπa 1 4πε r Como λ es la densidad de carga por unidad de longitud, queda λ = V (x, y, z) = dϕ =⇒ q =⇒ λ2πa = q =⇒ 2πa q q =⇒ E = r 4πεr 4πεr3 F´ ISICA Plan 95 Test. Examen Final. Junio 2007.
Departamento de F´ısica Aplicada Identificaci´ on de la prueba: 250 18004 02 0 00 Notas: El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con l´apiz o bol´ıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutaci´ on, NO se puede corregir el TEST.
1. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta para una onda transversal cualquiera: (a) La densidad de energ´ıa mec´anica no es ni constante ni uniforme.
(b) Podemos calcular la densidad de energ´ıa mec´anica media en un periodo.
(c) La densidad de energ´ıa mec´anica es uniforme.
(d) La densidad de energ´ıa cin´etica es igual a la densidad de energ´ıa potencial.
2. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta para una onda arm´onica que se propaga: (a) La potencia transmitida en un punto y un instante es proporcional a la densidad de energ´ıa en ese punto y ese instante.
(b) La potencia media transmitida en un per´ıodo es cero en todo punto.
(c) La potencia transmitida es uniforme.
(d) La potencia transmitida no se puede anular nunca.
2 3. Una onda transversal en una cuerda viene descrita por la ecuaci´on y(x, t) = Ae −(x+ct) . Indicar cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta: (a) En todo punto e instante las densidades de energ´ıa potencial y cin´etica son iguales.
(b) La onda se propaga hacia la derecha.
(c) La potencia media transmitida en un periodo no puede ser nula.
(d) La densidad de energ´ıa cin´etica media en un per´ıodo es igual a la densidad media de energ´ıa potencial en un per´ıodo.
4. Se tienen dos cuerdas en el eje x que est´an unidas en x = 0. La primera situada en x < 0 tiene una impedancia Z1 . La segunda est´a en x > 0 y su impedancia vale Z2 . Si se propaga una onda hacia la derecha, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta? (a) La onda transmitida estar´a en fase con la onda incidente.
(b) La onda reflejada estar´a en fase con la onda incidente si Z1 < Z2 .
(c) Si Z2 es cero, no habr´a onda reflejada.
(d) El coeficiente de transmisi´on en amplitud ser´a negativo si Z1 < Z2 .
5. Tenim el mateix nombre de mols, a la mateixa T i p, de dos gasos ideals diferents, un monoat`omic i l’altre diat`omic.
(a) En una expansi´o isob`arica contra la mateixa pressi´o externa i fins al mateix volum final, realitzen el mateix treball.
(b) En una expansi´o adiab`atica reversible fins al mateix volum final, realitzen el mateix treball.
(c) En un escalfament is`ocor fins a la mateixa temperatura final, l’increment d’entropia ´es el mateix.
(d) En un escalfament isob`aric fins a la mateixa temperatura final, l’increment d’entropia ´es el mateix.
6. En un calor´ımetro adiab´atico se mezcla una masa de agua l´ıquida, ml , inicialmente a 20o C, con una masa de hielo, mh , inicialmente a 0o C. As´ı se obtiene agua l´ıquida a 0o C. Sabiendo que el calor latente de fusi´on cal cal y el calor espec´ıfico del agua l´ıqida es 1 0 , indicar qu´e afirmaci´on se cumple: del hielo es 80 g g0 C (a) ml = 4mh .
(b) ml = 2mh .
(c) No se puede decir nada porque hace falta el calor espec´ıfico del hielo.
(d) Es imposible que se funda todo el hielo si no se da calor exterior.
7. Un mol de un gas ideal est´a inicialmente en un estado de equilibrio (pi , Vi , Ti ). Se comprime adiab´aticamente hasta el estado (2p i, Vf , Tf ), con una presi´on exterior constante 2pi . ¿Qu´e afirmaci´on es cierta? (a) el volumen final vale Vi (Cp + R) .
2Cp (b) la temperatura final vale Ti (Cp + R) .
2Cp (c) la temperatura final vale Ti (Cp − R) .
Cp (d) el volumen final vale Vi (Cp + R) .
Cp 8. Un mol de un gas ideal est´a inicialmente en un estado de equilibrio (2p, V i , Ti ). Se expande adiab´aticamente a presi´on constante, p, hasta el estado p, Vf , Tf . Si γ = Cp /Cv , ¿qu´e afirmaci´on se cumple? (a) La variaci´on de entrop´ıa del universo vale ∆S = Cp ln γ+1 γ (b) La variaci´on de entrop´ıa del universo vale ∆S = Cp ln γ+1 .
γ − Cv ln 2.
(c) La energ´ıa interna del gas permanece constante.
(d) La variaci´on de entrop´ıa del universo vale ∆S = R ln 2.
αRT 2 . Indicar T 2 + β2 cu´al de las siguientes afirmaciones es cierta, cuando se calienta el gas desde una temperatura T a hasta Tb > T a .
9. El calor espec´ıfico molar, a volumen constante, de un gas ideal viene dado por C v = (a) La variaci´on de entrop´ıa del gas es ∆S = αR ln (b) La variaci´on de entrop´ıa del gas es ∆S = Cv ln Tb2 + β 2 Ta2 + β 2 1/2 .
Tb .
Ta (c) El calor absorbido por el gas es Qab = αR(Tb − Ta ) + αR arctan (d) El calor absorbido por el gas es Qab = αR(Tb − Ta ) + αR ln 2 Tb2 + Ta2 .
2β 2 Tb2 + Ta2 .
2β 2 10. La pared de una habitaci´on est´a dividida en dos partes de la misma superficie y grosor. La inferior est´a formada por cemento de conductividad t´ermica kc y la de arriba por vidrio de conductividad t´ermica kv > kc . Indicar qu´e afirmaci´on es cierta, para los flujos de calor a trav´es del vidrio, φ v , y del cemento, φc .
φc φv = .
kv kc (b) φc ≥ φv .
(a) (c) φv kv = φc kc .
(d) φv + φc = 0.
11. Se tiene un esfera hueca conductora de radio interior R1 y exterior R2 (R1 < R2 ) cargada con una carga q. Si r es la distancia al centro de la esfera, indicar qu´e afirmaci´on es falsa: (a) r ∈ (R1 , R2 ) ⇒ V (r) = 0.
(b) r < R1 ⇒ V (r) = constante.
(c) r ∈ (R1 , R2 ) ⇒ E(r) = 0.
(d) El campo el´ectrico es discontinuo en R2 .
12. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta: (a) D y P se miden en las mismas unidades.
(b) D y E se miden en las mismas unidades.
(c) H y B se miden en las mismas unidades.
(d) M y B se miden en las mismas unidades.
13. La densidad de corriente en un conductor no filiforme cumple j = 0 y ∇ · j = 0. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta: (a) El campo el´ectrico creado por este conductor es cero en todos los puntos.
(b) La densidad de corriente en el conductor es uniforme.
(c) La intensidad de la corriente en el conductor es cero.
(d) El campo el´ectrico creado no es uniforme y var´ıa con el tiempo.
14. Una superficie met´alica tiene una densidad de carga σ.
(a) La componente normal de D es discontinua en ella y el salto de la funci´on es, en valor absoluto, |σ|.
|σ| (b) La componente normal de E es discontinua en ella y el salto de la funci´on es, en valor absoluto, .
2ε0 (c) La componente tangencial de D es discontinua en ella y el salto de la funci´on es, en valor absoluto, |σ|.
(d) La componente tangencial de E es discontinua en ella y el salto de la funci´on es, en valor absoluto, |σ| . m 2ε0 15. La relaci´on P = ε0 χE, que relaciona la polarizaci´on de un diel´ectrico con el campo electrost´atico, cumple: (a) es un modelo simplificado para diel´ectricos homogeneos, is´otropos y lineales.
(b) es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.
(c) es un modelo que vale para todo diel´ectrico.
(d) si se cambiara, no valdr´ıan las ecuaciones de Maxwell.
16. Un campo vectorial V = β(−y, x, 0) x2 + y 2 (a) puede representar un campo magn´etico creado por una corriente infinita coincidente con el eje z.
(b) puede representar un campo magn´etico creado por una corriente en un conductor, contenido en el eje z, de longitud L y con un extremo en el origen.
(c) puede representar un campo el´ectrico no conservativo en una regi´on del espacio donde hay un campo magn´etico que var´ıa con el tiempo.
(d) puede representar un campo el´ectrico conservativo en una regi´on del espacio donde hay una densidad de carga ρ(x, y, z) > 0.
17. Dados el campo magn´etico B = −3t2 αez , con α = 0 y el el´ectrico E = β(y, −x, z), ambos estar´an asociados por alguna ecuaci´on de Maxwell si: (a) β = −3αt.
(b) β = 3αt.
(c) Nunca porque ∇ · E = 0.
(d) Nunca porque ∇ × B = 0.
18. Se tiene una distribuci´on de cargas que pueden moverse, tal que ∇ · j = 0. En este caso: (a) El campo el´ectrico debido a estas cargas es conservativo.
(b) El rotacional del campo el´ectrico creado por estas cargas es diferente de cero.
(c) La divergencia del campo magn´etico creado por esta distribuci´on no es nula.
(d) Estas cargas no pueden crear ning´ un campo magn´etico.
19. Una superficie conductora, en la que hay una densidad de corriente j, separa dos medios diferentes. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta: (a) La componente normal del campo magn´etico B es continua e igual en ambos medios.
(b) La componente normal del campo magn´etico B es discontinua en la superficie y su discontinuidad es |jN |.
(c) La componente normal del campo magn´etico B es discontinua en la superficie y su discontinuidad es |j N | .
µ0 (d) La componente normal del campo magn´etico B es discontinua en la superficie y su discontinuidad es µ0 |jN |.
20. Una esfera construida con un material diel´ectrico tiene una densidad de carga por unidad de volumen ρ y un radi R. Indicar qu´e afirmaci´on es cierta (a) En r = R la componente normal del vector desplazamiento es continua.
(b) En r = R la componente normal del vector desplazamiento es discontinua.
(c) En r < R el vector desplazamiento es nulo.
(d) En r < R no se puede definir el vector deplazamiento.
Respostes al Test.
Examen Final Preg.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Permutaci´o 1 2 3 a b b d a a a d c b d c c b c a b a c b b b a a b b b d d a c d d d a b b c c b a b b d b a b c d c d d a a b d b b c b 4 d c c c b a a c b c b a d d b a b c d b ...