Condensadores (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 2º curso
Asignatura Electromagnetismo
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 01/06/2014
Descargas 3

Vista previa del texto

Associació de condensadors ASSOCIACIÓ DE CONDENSADORS 1. Associació en paral·lel L'associació en paral·lel de condensadors consisteix en connectar a un mateix punt A totes les armadures positives dels condensadors, i a un altre punt B totes les armadures negatives.
Segons aquest esquema, les armadures positives estan connectades a un potencial VA i les negatives a un potencial VB , de manera que tots els condensadors estan sotmesos a la mateixa diferència de potencial V  VA  VB . La càrrega que adquireix cada condensador es podrà calcular com: Q1  CV 1 , Q2  C2V , ...... , Qn  CnV i l'energia emmagatzemada a cadascun d'ells serà: 1 1 U1  C1 V 2 , U 2  C2 V 2 , 2 2 1 , U n  Cn V 2 2 Definirem el condensador equivalent com aquell que, sotmès a la mateixa diferència de potencial V , emmagatzema la mateixa energia que el conjunt d'elements de l'associació.
U  U1  U 2  ...  U n  1 C1  C2  2  Cn V 2 La capacitat del condensador equivalent serà, per tant: 1 U  Ceq V 2  Ceq  C1  C2  2  Cn I la seva càrrega: Qeq  CeqV  (C1  C2   Cn )V  Qeq  Q1  Q2  1  Qn Associació de condensadors 2. Associació en sèrie L'associació en sèrie de condensadors consisteix en connectar armadures de diferent signe entre elles, segons s'indica a la figura, correlativament. El conjunt es sotmet a una diferència de potencial V  VA  VB coneguda.
Considerem el cas més general, en el qual els condensadors poden haver estat carregats prèviament, abans d’associar-los en sèrie, amb unes càrregues Q1 , Q2 ,......, Qn .
Pel fet de connectar-los en sèrie hi haurà un cert trànsit de càrregues entre les armadures connectades, per poder arribar a una nova situació d’equilibri. Suposem que l'armadura positiva del primer guanya una càrrega q , es a dir, queda carregada amb Q1  q .
L'armadura negativa, per influència total, ha de tenir Q1  q , es a dir, ha de perdre una càrrega q que anirà a dipositar-se a l'armadura positiva del segon condensador. Aquest procés es va repetint en tots els condensadors de l’associació.
Un cop assolit l'equilibri: V Q1  q Q2  q   C1 C2  Qn  q Cn Resolent aquesta equació podrem calcular la quantitat de càrrega q que ha circulat entre armadures, i conèixer la nova càrrega dels condensadors.
2 Associació de condensadors Analitzem ara el cas particular de condensadors inicialment descarregats, es a dir: Q1  Q2 ......  Qn  0 Al connectar-los en sèrie, tots quedaran carregats amb la mateixa càrrega q , que es podrà calcular, segons hem vist abans, imposant que: V q q   C1 C2  q Cn L'energia emmagatzemada a cadascun d'ells serà: 1 q2 1 q2 U1  , U2  , 2 C1 2 C2 1 q2 , Un  2 Cn Definirem el condensador equivalent com aquell que, sotmès a la mateixa diferència de potencial V , emmagatzema la mateixa energia que el conjunt d'elements de l'associació.
1  1 1 1  U  U1  U 2  ...  U n  q 2    ...   2  C1 C2 Cn  La capacitat del condensador equivalent serà, per tant: 1 q2 1 1 1 1 U     ...  2 Ceq Ceq C1 C2 Cn I la seva càrrega: V Qeq Ceq   1 q q q 1 1    ...   q   ...    Qeq  q C1 C2 Cn Cn   C1 C2 3 Associació de condensadors 2.18 Un conjunt de dos condensadors en sèrie, d'1 i 2 μF, prèviament carregat amb una font de tensió de 300 V, es connecta en parallel amb un altre condensador de 4 μF que prèviament havia estat carregat amb una font de 200 V. Efectueu el balanç d'energies abans i després de connexió.
Inicialment els condensadors estan connectats tal com s’indica a la figura 1, adquirint càrregues iguals els que estan en sèrie.
Q + A Q - + 1 Q' - + B 2 D 300 V - 4 200 V E Qq + - Qq + - 1 2 Figura 1 Les càrregues les podem calcular: VA  VB  Q Q   300 V  Q=200μC C1 C2 VD  VE  Q'  200 V  Q'=800μC C4 Si ara els connectem en paral·lel, unint armadures del mateix signe, com que la diferencia de potencial entre els punts A i B no és inicialment igual, hi haurà un moviment de càrregues entre els condensadors. Imaginem que el condensador 1 perd una càrrega positiva q que rep el condensador 4 (surt de l’armadura + de 1 i arriba a la + de 4). Per influencia, de l’armadura negativa del condensador 4 surt la mateixa càrrega positiva q que arriba a la negativa de 2. Per lo tant, les càrregues finals, una vegada establert el nou equilibri, són les indicades a la figura 2. Imposant llavors que la diferencia de potencial entre A i B és la mateixa per les dues branques del circuit: 4 A q Q ' q + - 4 Figura 2 B q Associació de condensadors Q  q Q  q Q ' q    q  57,14μC . Aquesta és la càrrega que ha de circular C1 C2 C4 fins arribar a la nova situació d’equilibri.
VA  VB  Ara ja podem calcular les energies abans i després de la connexió.
1 3 Qi2 1  Q 2 Q 2 Q '2         0,110 J 2 i 1 Ci 2  C1 C2 C4  2 2 2 1 3 Qi2 1   Q  q   Q  q   Q ' q   Després: W f         0,107 J 2 i 1 Ci 2  C1 C2 C4  W  W f  Wi  0,003J Abans: Wi  Per tant hi h hagut una disminució d’energia del sistema ja que hi ha hagut un moviment de càrrega espontani. Aquesta energia s’ha dissipat per efecte Joule en el procés de conducció.
2.19 Tres condensadors de 5, 8 i 10 μF estan carregats a 1000, 2000 i 4000 V, respectivament. S'associen unint en sèrie armadures de diferent signe.
a) Quina és la diferència de potencial entre armadures de cadascun dels condensadors després de la unió? b) Com ha canviat l'energia del conjunt? Les càrregues de cada condensador, abans d’unir en sèrie les seves armadures són: Q1  C1V1  5 106 1000  5 103 C Q2  C2V2  8 106  2000  16 103 C Q3  C3V3  10 106  4000  40 103 C Si ara els connectem unint armadures de diferent signe (sense tancar l’interruptor) quedaria: + Q1 - + Q2 - + Q3 - A B C1 C2 I 5 C3 Associació de condensadors Al tancar l’interruptor I, donat que els punts A i B no estaran al mateix potencial, hi haurà un moviment de càrrega entre els condensadors que farà, que en el equilibri, cada condensador hagi variat la seva càrrega en q . Imaginem que l’armadura positiva del condensador 1 perd una càrrega positiva q . La situació final de càrregues en els condensadors serà: Q1  q + - Q2  q + - La diferència de potencial entre A i B ha de ser zero: Q3  q + - A VA  VB  0  B C1 C2 C3 Q1  q Q2  q Q3  q    C1 C2 C3  q  16,5 103 C q  Per lo tant, les càrregues finals de cada condensador seran: Q1'  Q1  q  11,5 103 C Q2'  Q2  q  0,5 103 C Q3'  Q3  q  23,5 103 C El signe negatiu de les càrregues dels condensadors 1 i 2 vol dir que les seves armadures han canviat de signe. De fet quedarà: Q1' - Q3' Q2' + - + + - A B C1 C2 C3 Els condensadors 1 i 2 estaran en sèrie (unió d’armadures de signe contrari) i el 3 en paral·lel amb aquests dos (unió d’armadures del mateix signe).
a) La diferència de potencial de cada condensador després de la unió val: 6 Associació de condensadors V1'  Q1'  2294 V C1 V2'  Q2'  59 V C2 V3'  Q3'  2353V C3 mesurades en sentit horari.
b) L’increment d’energia del sistema, degut a la unió és: W  W fin  Wini  1 1 ' ' QV   QV i i  i i  40,8  98,5  57, 7 J 2 fin 2 ini L’energia del sistema disminueix ja que espontàniament hi ha circulació de càrregues.
Aquesta energia es dissipa per efecte Joule en els conductors.
7 ...