Parcial Tardor 2010 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Telemática - 2º curso
Asignatura PPEE
Año del apunte 2013
Páginas 2
Fecha de subida 02/12/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Examen Parcial 11 de novembre de 2010 1. Un dispositiu consta de quatre processadors. Cada processador, amb independ`encia dels altres, pot fallar amb probabilitat 0,1. El dispositiu funciona si com a m` axim fallen dos processadors.
(a) En una xarxa estem utilitzant 300 d’aquests dispositius. Quina ´es la probabilitat que algun no funcioni? (b) Si un dispositiu no funciona, quina ´es la probabilitat que li fallin els quatre processadors? Compareu-la amb la probabilitat a priori i digueu si la variaci´ o ´es raonable.
(c) En la xarxa del primer apartat, quin ´es el nombre mitj` a de dispositius en que no ha fallat cap processador? (d) Un sistema de verificaci´ o va recorrent els dispositius d’una xarxa fins que en troba un que no funciona. Quants n’examina, en valor mitj` a? Utilitzeu la desviaci´ o t´ıpica per decidir si el cas en que nom´es n’examina 27 s’ha de considerar una situaci´ o an` omala.
Soluci´ o: (a) En un dispositiu, el nombre N de processadors que fallen ´es una variable binomial amb n = 4, p = 0,1. L’esdeveniment F = “el dispositiu funciona” equival a N ∈ {0, 1, 2}.
Aix´ı 4 P (F ) = 0,94 + 4 · 0,1 · 0,93 + 0,12 · 0,92 = 0,9963 2 Per tant, la probabilitat que no funcioni val P (F ) = 0,0037. Ara, amb 300 dispositius, P (“algun no funciona”) = 1 − P (“tots funcionen”) = 1 − 0,9963300 = 0,6711.
(b) P (N = 4 | F ) = P (N = 4 ∩ F ) P (N = 4) 0,14 = = = 0,027.
0,0037 P (F ) P (F ) La probabilitat a priori ´es P (N = 4) = 0,0001. La probabilitat ha augmentat ja que el fet de no funcionar indica que hi ha processadors que fallen i aix` o d´ ona m´es pes al cas N = 4.
(c) El nombre de dispositius en que no ha fallat cap processador ´es una variable binomial amb n = 300 i p = P (N = 0) = 0,94 = 0,6561. El seu valor mitj` a val np = 197.
(d) El nombre de dispositius que s’examinen ´es una variable geom`etrica amb √ par` ametre q 1 p = P (F ) = 0,0037. El seu valor mitj` a val = 270. La seva desviaci´ o ´es = 270.
p p Tenim una dispersi´ o molt gran i els valors dins l’interval 270 ± 270, com ´es el cas de 27, no es poden considerar an` omals.
2. Considereu un tipus de variable aleat` oria T amb densitat: fT (t) = K(L − t), 0 ≤ t ≤ L, on K ´es una constant i L ´es un par` ametre. El temps que triga en arribar el senyal d’un sat`el.lit ´es una variable del tipus anterior amb L = 3 en condicions atmosf`eriques normals i L = 5 si hi ha perturbacions atmosf`eriques.
(a) Calculeu el valor de K, aix´ı com l’esperan¸ca i la vari` ancia de la variable T , en funci´ o de L.
(b) Les perturbacions atmosf`eriques es produeixen aleat` oriament, un de cada 10 dies.
Quina es la probabilitat que hi hagin perturbacions si en t = 2 encara no ha arribat el senyal del sat`el.lit? (c) Estem en condicions atmosf`eriques normals. El temps que requereix processar el senyal del sat`el.lit ´es V = eT . Calculeu la densitat i els moments de la variable V .
Quin ´es el seu valor mitj` a? Soluci´ o: L (a) 1 = 0 K(L − t)dt = K Lt − L t2 2 =K 0 L E[T ] = t 0 2 L (L − t)dt = .
2 L 3 L E[T 2] = L2 2 , d’on K = 2 .
2 L t2 0 2 L2 (L − t)dt = .
L2 6 V [T ] = E[T 2] − E[T ]2 = L2 − 6 L 3 2 = L2 .
18 (b) L’esdeveniment A = “hi ha perturbacions atmosf`eriques” t´e probabilitat 0,1. Per Bayes: P (T > 2 | A)P (A) P (A | T > 2) = P (T > 2 | A)P (A) + P (T > 2 | A)P (A) = 2 52 2 52 5 2 (5 5 2 (5 − t)dt · 0,1 − t)dt · 0,1 + 2 32 3 2 (3 − t)dt · 0,9 = 9 25 9 25 · 0,1 9 = = 0,2647.
1 34 · 0,1 + 9 · 0,9 (c) fT (t) = 92 (3 − t), 0 ≤ t ≤ 3. V pren valors en l’interval [1, e3] amb densitat fV (v) = fT (t) 1 2 1 2 = (3 − t) t = (3 − ln v), |dv/dt| 9 e 9v 1 ≤ v ≤ e3 .
Els moments de V valen E[V n ] = E[enT ] = 2 9 3 0 ent (3 − t)dt = Fent n = 1, tenim el valor mitj` a: E[V ] = 2 ent ent (3 − t) + 2 9 n n 2e3 −8 9 = 3,57.
3 = 0 2(e3n − 1 − 3n) .
9n2 ...