Tema 2 Experiment Eratostenes (2009)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Cartografia
Año del apunte 2009
Páginas 7
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

ALGUNS ARTICLES SOBRE L’EXPERIMENT D’ERATOSTENES Article1 Eratóstenes va néixer a Cyrene (Líbia) l'any 276 a. de C. Va ser astrònom, historiador, geògraf, filòsof, poeta, crític teatral i matemàtic. Estudià a Alexandria i Atenes. Al voltant de l'any 255 a.C va ser el tercer director de la Biblioteca d'Alexandria. Va treballar amb problemes de matemàtiques, com la duplicació del cub i nombres primers. Va escriure molts llibres dels quals només es tenen notícies per referències bibliogràfiques d'altres autors.
Una de les seves principals contribucions a la ciència i a l'astronomia va ser el seu treball sobre el mesurament de la terra. Eratóstenes en els seus estudis dels papirs de la biblioteca d'Alexandria, va trobar un informe d'observacions a Siena, uns 800 Km. al sud-est d'Alexandria, on es deia que els rajos solars al caure sobre una vara al migdia del solstici d'estiu (l'actual 21 de juny) no produïa ombra.
Eratóstenes llavors va realitzar les mateixes observacions a Alexandria el mateix dia a la mateixa hora, descobrint que la llum del Sol incidia verticalment en un pou d'aigua el mateix dia a la mateixa hora. Va assumir de manera correcta que si el Sol es trobava a gran distància, els seus rajos en arribar a la terra devien arribar en forma paral·lela si aquesta era plana com es creia en aquelles èpoques i no s'haurien de trobar diferències entre les ombres projectades pels objectes a la mateixa hora del mateix dia, independentment d'on es trobessin. Malgrat això, al demostrar-se que si ho feien, (l'ombra deixada per la torre de Sienna formava 7 graus amb la vertical) va deduir que la terra no era plana i utilitzant la distància coneguda entre les dues ciutats i l'angle mesurat de les ombres va calcular la circumferència de la terra en aproximadament 250 estadis (40.000 quilòmetres, bastant exacte per a l'època i els seus recursos).
També va calcular la distància al Sol en 804.000.000 estadis i la distància a la Lluna en 780.000 estadis. Va calcular gairebé amb precisió la inclinació de la eclíptica en 23º 51' 15". Un altre treball astronòmic va ser una compilació en un catàleg de prop de 675 estrelles.
Va crear un dels calendaris mes avançats per a la seva època i una història cronològica del món des de la guerra de Troia. Va realitzar investigacions en geografia dibuixant mapes del món conegut, grans extensions del riu Nil i va descriure la regió de Eudaimon (actual Iemen) a Aràbia.
Eratóstenes, al final de la seva vida, va ser afectat per la ceguesa i va morir de fam per la seva pròpia voluntat al 194 a. de C. a Alexandria.
Article 2 Eratòstenes, nascut a Cyrene l’any 284 aC, morí a Alexandria als 92 anys. Fou el primer científic de la història de la humanitat en mesurar amb molta precisió la circumferència del planeta, en una època en la que el comó era pensar que la Terra era plana.
Figura 1 Pues, pensó, sencillamente, que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta.
Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son: Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura 2 y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es: a1 + 180 - a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1 Figura 2 Conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta: y, de aquí, el radio medio de la Tierra: Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que: a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana.
Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición.
Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena.
Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pié, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms.
Con estos datos ya es inmediato el cálculo Longitud de la circunferencia terrestre: Radio medio del planeta: Article 3 Eratòstenes de Cirene Eratóstenes de Cirene (284 - 192 a.C.), matemàtic, astrònom, geògraf, filòsof i poeta grec. Va ser el primer que va mesurar amb bona exactitud el meridià terrestre. Per fer-ho ideà un sistema a partir de la semblança de triangles. Erastòstenes va mesurar en primer lloc la distància entre dos ciutats egípcies que es troben en el mateix meridià: Siene (Assuán) y Alexandria.
El seu treball es va desenvolupar en Alexandria, on, a més de matemàtic, astrònom i geògraf, arribà a ser director del museu. Encara que els seus treballs en matemàtiques pues son menys importants que en altres camps de la ciència com l’astronomia o la geografia, el seu nom està associat a l’anomenat criba d’Eratòstenes, un mètode elemental per trobar números prims per mitjançant l’eliminació (criba) de tots els números compostos.
La idea d’Eratòstenes per trobar la mida de la Terra consisteix a determinar la longitud d’un meridià d’una manera elemental, ja que es redueix al càlcul d’un angle en el centre de la Terra i a la mesura d’un petit arc de meridià. Es tracta d’una idea aparentment senzilla però d’un gran ingeni, propi dels grans pensadors grecs, i que sense dubte forma un magnífic exemple de mesurament indirecte.
Mesurar longituds, com per exemple les dimensions d’un camp de futbol, sempre que es disposa d’un instrument, en aquest cas una cinta mètrica, es senzill, però fer-ho quan la longitud que volem mesurar es inaccessible i ni tan sols es possible veure-la, com és el cas de la Terra, cal, a més de la realització concreta de mesures, l’aplicació de raonaments matemàtics que mostren la potència d’aquesta disciplina, més enllà de l’aplicació d’unes tècniques concretes. Això és el que va fer Eratòstenes per determinar la longitud del meridià sense mesurar-lo de manera efectiva, només aplicant raonaments mètrics elementals.
Eratòstenes va partir de dues hipòtesis, bàsicament certes: la Terra es una esfera perfecte i els raigs del Sol que arriben a la Terra son paral·lels, el que fa suposar que el Sol és , molt gran i està molt lluny. A partir d’aquestes hipòtesis va voler trobar la longitud d’un meridià terrestre, fet que li va permetre conèixer la seva mida ja que si sabem la mida del meridià, també podem saber el diàmetre i el radi de la Terra. Es diu que coneixia el fet que en una ciutat del sud d’Egipte anomenada Siena (actualment Asuàn, situada a prop del tròpic), en el mig dia del solstici d’estiu ( 21 de Juny ) els raigs del Sol eren verticals, és a dir, a aquesta hora un pal vertical no feia ombra, mentre que en Alexandria, ciutat en la qual es trobava, en el mateix moment, un pal vertical feia ombra. Aquesta ombra es produeix ja que en Alexandria els raigs del Sol, al mig dia del solstici d’estiu, no incideixen perpendicularment sobre la superfície de la Terra, a causa de la seva forma esfèrica, a diferencia del que passa en el tròpic La idea genial d’Eratòstenes va consistir en adonar-se’n que l’angle d’inclinació del raigs del Sol respecte a la vertical en Alexandria coincidia amb l’angle, en el centre de la Terra, que separava les dues ciutats, Alexandria i Siena. Així, aplicant la propietat que una recta tallada per dos paral·leles determina angles iguals, va aconseguir conèixer la mida d’un angle en el centre de la Terra simplement mesurant un angle en la superfície, precisament en el lloc on ell es trobava.
Una propietat geomètrica sobre rectes i angles, aparentment allunyada de la realitat, va servir a Eratòstenes per mesurar de manera indirecta un angle inaccessible.
Una vegada conegut l’angle en el centre de la Terra, el que hi ha que fer és mesurar l’arc sobre la superfície terrestre que correspon a aquest angle: l’arc de meridià que correspon a la distància que hi ha entre les dos ciutats, Alexandria i Siena (Eratòstenes suposà que les dos ciutats estaven en un mateix meridià, encara que va cometre un error). Suposem que l’angle en el centre de la Terra mesura 7,2º (Eratòstenes diria 1/50 de circumferència) i la distància sobre la superfície terrestre és de 794 km ( Ell diria 5.000 estadis). Evidentment la unitat emprada per mesurar la longitud no era el quilòmetre, ja que encara faltaven 2.000 anys per la seva creació, sinó l’estadi. Encara no se sabia la mesura que va prendre Eratòstenes de l’estadi, se suposa que podia ser l’estadi egipci, d’una longitud de 158,75mm d’on s’obté que 5.000 estadis equival a 794 Km aproximadament.
Així doncs, sabent que la mesura d’un angle central la del seu arc corresponent a una circumferència son proporcionals, una simple relació ens donarà la mesura del meridià complet: si a un angle de 7,2º li correspon un arc de 794 Km, a un angle de 360º li correspondrà un arc de x quilòmetres. El valor de x és la mesura terrestre, d’uns 39.700 Km, i per tant el diàmetre es: 39.700 / p = 12.637 Km, valor molt proper a la realitat.
No s’ha de tenir en compte que les mesures presses per Eratòstenes fossin poc precises i que sembla ser va cometre petits errors d’estimació: tan es va apropar a la mida real i tan sorprenents van ser els resultats, ja que es creia que la Terra era més petita) que no es van tenir en compte en aquella època, segle III a.C., i no els van tenir fins divuit segles més tard.
Anys més tard, sembla ser que especialistes islàmics van tornar a elaborar les mesures d’Eratòstenes, xifrant la longitud del meridià en 20.400 milles àrabs ( 40.253 Km, valor molt proper al modern, que és de 40.075 Km).
Aquesta mateixa idea que va aportar Eratòstenes pot utilitzar-se per determinar la latitud de qualsevol lloc de la Terra, només s’ha de mesurar la inclinació dels raigs de Sol al mig dia del equinocci ( en aquest moment el Sol incideix verticalment sobre l’equador) ; també pot aplicarse per reproduir el càlcul de la mida de la Terra prenent dos punts sobre un mateix meridià, i en aquest cas, s’ha de calcular la distància entre aquests dos punts així com els angles que formen els raigs del Sol respecte a la vertical al mig dia en els dos llocs i restar aquests dos angles.
...