Solución examen final 2013-2014 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Ingeniería Electrónica de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Fonaments d'ones fluids i termodinàmica
Año del apunte 2014
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Fecha de subida 09/02/2015
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Solucions 1. La suma de forces ha de proporcionar l’acceleraci´o en cada moment: Fext = ma En el punts superior (1) i inferior (2) la tensi´ o T i el pes P = M g tenen la mateixa direcci´ o, i l’´ unica acceleraci´o ´es la centr´ıpeta. En el punt (1) T i P tenen el mateix sentit, i en el punt 2 sentits contraris: v1 ac1 T1 P T2 ac2 v2 P T1 + P = M v12 /l ; T2 − P = M v22 /l Per altra banda, entre el punt (1) i el punt (2) es conserva l’energia mec`anica, i per tant: 1 1 M g2l + M v12 = M v22 2 2 T2 = M v22 v2 1 M v12 + 4M gl = P + 4M g + M 1 = P + 4M g + P + T1 = T1 + 6P +P = P + l l l T2 = T1 + 6P 2. El pes aparent ´es: P a = P − ρ0 V g, on ρ0 ´es la densitat del fluid. Tenim dos objectes A i B: PAa = PA − ρ0 VA g = PBa = PB − ρ0 VB g ⇒ PA − PB = ρ0 (VA − VB )g Per tant si: VA − VB > 0 → VA > VB → PA − PB > 0 → PA > PB VA − VB < 0 → VA < VB → PA − PB < 0 → PA < PB En el buit pesa m´es el de m´es volum 3. La lleu de Poiseuille per una canonada cil´ındrica de radi R i longitud L ens diu: Q= 3 ∆P πR4 8ηL La secci´ o es S = πR2 , per tant Q= ∆P S 2 8πηL Si la secci´ o passa d’un valor S1 a un valor S2 = 2S1 , i el cabal Q es mant´e constant, la pressi´ o ∆P2 esdev´e: ∆P2 = 8πηLQ 1 8πηLQ 1 8πηLQ = = = ∆P1 2 2 2 S2 (2S1 ) 4 S1 4 ∆P2 = 1 ∆P1 4 NOTA: no cal posar tota l’expressi´ o de la llei de Poiseuille, nom´es cal saber que Q ∝ ∆P R4 4. En un gas ideal la variaci´ o d’energia interna ´es proporcional a la la variaci´o de temperatura: ∆U = nCv ∆T . En un proc´es adiab`atic no hi ha intercanvi de calor: Q = 0.
Llavors el primer principi de la termodin`amica ens diu ∆U = W sobre = −W on W sobre ´es el treball realitzat sobre el sistema per el ambient i W ´es el treball realitzat per el sistema sobre el ambient. En una expansi´ o, el sistema realitza treball positius sobre el ambient, per tant W sobre = −W < 0. Per tant: ∆U = nCv ∆T < 0 ⇒ ∆T = Tf − Ti < 0: La temperatura disminueix 5. En una corda tensa, la longitud d’ona fonamental ´es λ1 = 2L i la freq¨ u`encia fonamental ´es f1 = v/λ1 , on la velocitat ve donada per v = T /µ amb µ la densitat lineal. Si T b = 2T a tenim: √ 1 1 vb Tb 2T a 2 Ta √ a b = = = = 2f1 f1 = λ1 2L µ 2L µ 2L µ f1b = √ a 2f1 6. Conservaci´ o del cabal: Q = v1 S1 = v2 S2 Bernouilli: P1 + 21 ρv12 = P2 + 21 ρv22 Les pressions a l’esquerra i la dreta del l’`embol son respectivament Pa i Pb : Pa = P1 + ρgh, Pb = P2 + ρgh, on h ´es l’al¸cada entre l’`embol i la canonada.
La for¸ca sobre l’`embol ´es: F = S(Pb − Pa ) = S(P1 − P2 ) = Q ρSQ2 Sρ 2 (v2 − v12 ) = 2 2 = 2F S12 S22 = ρS(S12 − S22 ) = 12 × 25 N cm8 = 103 kg/m3 × 5 × 24 cm6 = m3 5 × 10−7 = 2 s 103 1 1 − 2 S22 S1 = ρSQ2 S 2 − S22 2S12 S22 1 2 × 6 N × (5 cm2 )2 × (1 cm2 )2 kg/m3 × 5 cm2 × ((5 cm2 )2 − (1 cm2 )2 ) 5 m3 kg m × 10−3 2 cm2 2 s kg 5 −6 m3 10 = 20 s 4 1 m3 1L 1 −3 m3 10 = 10−3 = 4 s 2 s 2s Q= 1 m3 1L 2F S12 S22 = 10−3 = 2 2 ρS(S1 − S2 ) 2 s 2s 7. El moviment t´e lloc en tres etapes: (a) La part´ıcula baixa (lliscant) des del punt de partida fins al punt de xoc. Es conserva l’energia mec`anica. Podem calcular la velocitat amb la que arriba al final: 1 mv 2 = mgh 2 (1) (b) La part´ıcula arriba amb la velocitat v i xoca inel`asticament amb la barra. No es conserva l’energia, es conserva el moment angular. Prenem moments angulars respecte el punt superior de la barra (punt fixe): Li = mvl = Lf = mvf l + Iωf on el moment angular final ´es la suma de moments angulars de la barra i de la part´ıcula.
La velocitat de la part´ıcula i la velocitat angular estan relacionades per: ωf = vf /l 1 mv Li = mvl = mvf l + M vf l → vf = 3 m + M/3 (2) (c) La part´ıcula queda enganxada, i el sistema comen¸ca un moviment oscil.latori on es conserva l’energia mec`anica. L’energia potencial de la barra s’ha de calcular en el centre de masses de la barra (el centre de la barra): l/2 l/2cos θ l/2 θ l l/2 l cos θ l−l/2cos θ l−l cos θ 1 1 l mvf2 + Iωf2 + 0 + M g 2 2 2 En l’estat final, est` a aturat, i nom´es t´e energia potencial Ei = Ecpart + Ecbarra + Eppart + Epbarra = Ef = Eppart + Epbarra = mg(l − l cos θ) + M g(l − Ei l cos θ) 2 = Ef 1 1 mv 2 + Iω 2 2 f 2 f = gl(m + 5 M )(1 − cos θ) 2 cos θ = 1− = 1− = 1− = 1− = 1− = 1− vf2 1 mvf2 + M l2 2 3 l 1 2gl(m + M/2) 1 v 2 (m + M/3) [ substituint l’eq. (2) ] 2gl(m + M/2) f 1 m2 v 2 (m + M/3) 2gl(m + M/2) (m + M/3)2 2 2 m v [ substituint l’eq. (1) ] 2gl(m + M/2)(m + M/3) m2 2gh m2 h =1− 2gl(m + M/2)(m + M/3) l(m + M/2)(m + M/3) 2 6m h l(2m + M )(3m + M ) 6m2 h l(2m + M )(3m + M ) cos θ = 1 − 8. (a) P Vi = nRTi , P = (7 × 102 ) × 10 Mg +Patm = Pa +105 Pa = 7×105 Pa +105 Pa = 8×105 Pa S 10−2 donde no se puede despreciar Patm = Vi = Shgas = Mg .
7S 1 × 8 × 273 3 nRTi m = 2.73 × 10−3 m3 = P 8 × 105 donde hgas es la altura del gas.
hi = hgas + hhielo = nRTi Vh Vi + Vhielo 2.73 × 10−3 + 0.27 × 10−3 m = 3 dm.
+ = = PS S S 10−2 (b) Para el gas ideal (W = trabajo hecho por el sistema: W = W por = −W sobre ) ∆U = Q − W con ∆U = nCv (Tf − Ti ) Q = Qtot − mLf + mcH2 O (Tf − Ti ) W = P (Vf − Vi ) = nR(Tf − Ti ) Entonces, Qtot − mLf = (mcH2 O + nCv + nR)(Tf − Ti ).
Notar que CP = Cv + R, donde CP es el calor espec´ıfico a presi´ on constante, y que por la relaci´ on anterior resulta que el calor transferido se puede expresar tambi´en como Qtot = mLf + mcH2 O (Tf − Ti ) + nCP (Tf − Ti ).
Tf = Ti + 10.4 × 103 − 3 × 10−2 × 3 × 105 1400 Qtot − mLf = 273 K+ K = 283 K.
K = 273 K+ 5 −2 3 mcH2 O + n(Cv + R) 140 3 × 10 × 4 × 10 + 1 × 2 × 8 6 (c) W = (M g + SPatm )d = SP d d= Tambi´en vale 8 × 10 nR(Tf − Ti ) m = 1 dm.
= −2 SP 10 × 8 × 105 d= nR(Tf − Ti ) Vf − Vi = .
S SP (d) Mientras dura la fusi´ on del hielo, la temperatura interior se mantiene constante a Ti (y la exterior se mantiene siempre constante a Tf ) Q = Lf m = kS(Tf − Ti )τ l τ= ⇒ lLf m (2 × 10−2 ) × (3 × 105 ) × (3 × 10−2 ) = s = 18 s kS(Tf − Ti ) 102 × 10−2 × 10 (e) ∆Stot = ∆Sagua + ∆Sgas + ∆Samb con ∆Sgas = nCv ln Tf Vf + nR ln Ti Vi variaci´ on de entrop´ıa del gas y ∆Samb = − Qtot Tf variaci´ on de entrop´ıa del ambiente exterior. Por lo tanto, ∆Sagua = ∆Stot − nCv ln 7 Tf Vf Qtot − nR ln + .
Ti Vi Tf ...