Examen Parcial Otoño 2010 (4) (2010)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Calculo
Año del apunte 2010
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Fecha de subida 12/11/2014
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ETSE de Telecomunicaci´o de Barcelona primera equaci´o. Per tant, 2j i −2j s´on arrels de p(x): C` alcul – grup 70. Examen parcial (60 minuts) – Versi´ o #3 1 15/10/2010 2j an = −2j λn 1 tingui l´ımit igual a e4 .
3 punts Soluci´o: ´ una indeterminaci´o del tipus 1∞ . El l´ımit ser`a, per tant, eα , on: Es α = l´ım λn n2 + λn −1 n2 + 3n λn − 3n n2 + 3n = l´ım λn 16 20 2j 8j − 4 −16 + 10j −20 5 + 8j 10j 0 −2j −8j −10j 4 5 0 Les dues arrels que falten surten de resoldre l’equaci´o x2 + 4x + 5 = 0: √ −4 ± 16 − 20 −4 ± 2j x= = = −2 ± j.
2 2 La factoritzaci´o en C ser`a: λ (λ − 3) n2 = λ (λ − 3) .
= l´ım n2 + 3n Perqu`e el l´ımit sigui e4 cal: λ (λ − 3) = 4 9 1 4 + 2j 1. Ajusta el valor de λ perqu`e la successi´o de terme general: n2 + λn n2 + 3n 4 p(x) = (x − 2j) (x + 2j) (x − (−2 + j)) (x − (−2 − j)) .
Per trobar la factoritzaci´o en R nom´es cal multiplicar binomis que continguin arrels λ2 − 3λ − 4 = 0 ⇒ ⇒ λ=4 o λ = −1.
complexes conjugades: (x − 2j) (x + 2j) = x2 + 4, (x − (−2 + j)) (x − (−2 − j)) = x2 + 4x + 5.
2. Factoritza, en R i en C, el seg¨ uent polinomi, sabent que una de les seves arrels ´es Aleshores, en R: p(x) = x2 + 4 imagin`aria pura: x2 + 4x + 5 .
p(x) = x4 + 4x3 + 9x2 + 16x + 20.
3 punts 3. Troba el domini m`axim de la seg¨ uent funci´ o: Soluci´o: Sigui aj, amb a ∈ R, l’arrel imagin` aria pura de p(x). Aleshores es verificar` a p(aj) = 0, x 2 − 16 √ 16 − x f (x ) = ln ´es a dir: 4 3 4 2 ⇒ a4 − 9a2 + 20 + −4a3 + 16a j = 0.
3 Aleshores cal a − 9a + 20 = 0 i −4a + 16a = 0. De la segona equaci´o se segueix 2 4 punts 2 (aj) + 4 (aj) + 9 (aj) + 16 (aj) + 20 = 0 a4 − 4a3 j − 9a2 + 16aj + 20 = 0 .
(a = 0 no ´es soluci´o) que a = 4, ´es a dir, a = ±2, valors de a que verifiquen la Soluci´o: Perqu`e es pugui calcular el logaritme cal: x2 − 16 √ >0 16 − x ⇒ x2 − 16 > 0.
En aquest pas s’ha tingut en compte que √ 16 − x ´es una quantitat no negativa i, per tant, en multiplicar la inquaci´ o anterior per ella, el signe de desigualtat no es capgira. L’expressi´ o x2 − 16 ´es positiva en el conjunt: x ∈ (−∞, −4) ∪ (4, +∞) .
(1) A m´es, cal 16 − x > 0 perqu`e es pugui calcular l’arrel quadrada. (Quan 16 − x = 0 es pot calcular l’arrel per` o es provoca una divisi´ o per zero; per aix`o la desigualtat ´es estricta.) Aix`o ´es: x ∈ (−∞, 16) .
La intersecci´o dels conjunts (1) i (2) d´ ona el domini m`axim: x ∈ (−∞, −4) ∪ (4, 16) .
(2) ...