Examen Parcial Primavera 2011 (2011)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Electromagnetismo
Año del apunte 2011
Páginas 4
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

U.P.C. E.T.S.E.TELECOMUNICACIO CURS PRIMAVERA 2010/2011 ELECTROMAGNETISME 28-4-2011 ___________________________________________________________________________________ ; 0 = 8.85 10 -12 F/m ; µ0 = 4 10 -7 H/m ; c = 3 108 m/s e = 1.6 10-19 C NOM: David Artigas 1. Una esfera de radi R està carregat amb una densitat de càrrega de volum que canvia en la direcció radial segons ρ = ar C/m3. Trobeu l’expressió del camp electrostàtic per: El camp E s’ha de trobar aplicant l’equació de Gauss en forma integral:  Q  on la definició del camp és independent de si s’està dins o fora ( )  E r d S  0 s de l’esfera carregada i la diferència està em la carrega Q que tenca la superfície. Així doncs, el flux serà:   E ( r ) d S   E r (r )rˆdSrˆ E r (r )  dS  4r 2 E r (r )  s s s a) dins de l’esfera, r < R Q   dV on ρ = ar. Com que la densitat de càrrega canvia amb r, no pot V sortir fora de l’integral i no podem fer que Q= ρ·V. El dV adecuat aqui és la superfície de l’esfera multiplicat per dr, és a dir, dV= 4πr2dr.
r r r o o 0 Q   dV   ar  4r 2 dr a  4r 3 dr ar 4 V  ar 4 Fixeu -vos que els límits d’integració van de 0 a r, perquè r pot ser qualsevol valor. Llavors del resultat pel camp puc igualar: 4r 2 E r (r )  ar 4 0  E r (r )    ar 2 ar 2  E (r )  rˆ 4 0 4 0 b) fora de l’esfera, r > R El càcul de Q fora de l’esfera és el mateix, però els límits d’integració ara van de 0 a R, perquè per r>R no tenim densitats de càrrega. Llavors tenim: R R R o o 0 Q   dV   ar  4r 2 dr a  4r 3 dr ar 4 V  aR 4 i del resultat pel camp puc igualar a: 4r E r (r )  2 aR 4 0   aR 4 aR 4  E r (r )   E (r )  rˆ 4 0 r 2 4 0 r 2  2. El camp electrostàtic en una regió de l’espai està descrit per E ( x)  k ( x  x 2 ) xˆ V/m.
a) Troba l’expressió del potencial elèctric Aquesta expressió del potencial sols pot ser vàlida en una regió de l’espai perquè a l’infinit es fa infinit i no 0. Això vol dir que pert trobar el potencial hem de fer servir:    x2 x3  V ( x)    E dl    k ( x  x 2 ) xˆ  dxxˆ   k     C 3   2 On C és una constant a determinar aplicant condicions de continuitat b) Quan val la densitat de càrrega de volum? Aquest és fàcil, sols s’havia de pensar en la equació de Gauss en forma diferencial   ( x)   E    ( x)   0   E   0 (k ( x  x 2 ))   0 k (1  2 x) 0 x  3. Calculeu el camp magnètic B (z ) sobre l’eix Z creat per una espira de radi R en pla de les X-Y i per on hi circula un corrent I.
Aquest el teniu als apunts. Es tractava de reproduir tot el càlcul.
4. Els dos corrents de la figura valen 3 A, però un va cap enfora del full i l’altre cap a dins. Les circumferències de punts indiquen camins d’integració.
C1 a) Quan val la circulació del camp magnètic pels circuits C1, C2 i C3 si avaluem les integrals en sentit horari.
Aqui no s’ha de fer cap càlcul, simplement s’ha C2   C3 d’aplicar la llei d’Ampère  Bdl  0 I i mirar la intensitat C que travessa la superfície tancada per C.
En el primer cas   7 B  dl  0 I  12  10 T  m C1 amb signe positiu perquè el sentit de càlcul de la circulació compleix la regla del tirabuixó amb el sentit del corrent.
De forma similar, en el circuit C2 serà igual però amb signe negatiu, perquè no compleix la regla del tirabuixó:   7 B  dl  0 I  12  10 T  m C2 En el tercer cas   B  dl 0 T  m perquè corrent total que travessa la suprfície C3 és nul (igual corrent però sentit contrari).
b) Hi ha algun cirquit de calcul que ens permeti aplicar la llei d’Ampere per calcular B en qualsevol punt de l’espai? Raona la resposta.
No. Per aplicar Ampère necessitem conèixer “a priori” un circuit sobre el qual el valor del camp magnètic B sigui constant i en la direcció de dl.
Quan tenim dos fils, es trenca la simetria cilíndrica del sistema i necessitariem saber com és exactament el camp per trobar aquest circuit de càlcul, és a dir, el circuit només el saps “a posteriori.” Z 5. Donat els camps  E  E 0 cos( kz ) sin(t ) xˆ  kE H   0 sin( kz ) cos(t ) yˆ a dz  0 Comproveu la equació de Faraday en un quadrat de costat a   / k com mostra la figura.
L’equació que s’ha de demostrar és Y X    B  CEdl   S t dS , amb la qual cosa s’haurà de fer les dues integrals als camps E i B. Comencem per la circulació, fent la integral de línia en cada un dels segments del quadrat:   a E  dl   E x 0 C a xˆ  dx xˆ   E x z 0 0 a xˆ  dz zˆ   E x xa 0 a xˆ  ( dx xˆ )   E x z a 0 x 0 xˆ  dz zˆ  On les integrals amb dl perpendicular al camp s’anul·len.
  E 0 cos(k 0) sin(t )  dx   E 0 cos(ka) sin(t )  dx  k  a     a a 0 0 2E 0 sin(t ) k Pel càlcul del flux, primer fem la derivada temporal:   B H kE0  0   sin( kz ) sin(t ) yˆ    t t I ara calculem el flux, agafant com a dS= adz (veure dibuix) ja que els camps canvien segons la coordenada z, però son constants segons la x, a més, ha de ser negatiu perquè ha de complir la regla del tirabuixò amb el sentit de càlcul de la circulació.
 a a B   dS    kE 0 sin( kz ) sin(t ) yˆ (adzyˆ )  akE 0 sin(t )  sin( kz )dz  0 0 S t  akE 0 2E 0 a sin(t ) cos(kz ) 0  sin(t ) queda demostrat k k  6.- El valor instantani del camp elèctric E en el buit, en absència de càrregues i corrents és  E  E0 cos(t  y  z )( yˆ  zˆ )  a) Calculeu el camp magnètic H per calcular el camp magnètic utilitzarem l’equació d’Ampère en forma diferencial.
   0 H  E   t xˆ yˆ zˆ        E    E z  E y  xˆ  E 0 sin(t  y  z )   E 0 sin(t  y  z ) xˆ  x y z  y z  0 E y Ez   0 H llavors:  2 E 0 sin(t  y  z ) xˆ   t  2E 2E0 H    0 sin(t  y  z ) xˆ dt  cos(t  y  z ) xˆ 0  0 b) Trobeu el vector de Poynting    2 E 02 2 E 02 P  EH  cos 2 (t  y  z )( yˆ  zˆ )  xˆ  cos 2 (t  y  z )( yˆ  zˆ )  0  0 c) Calculeu la potència total que travessa una superfície com la donada en l’exercici anterior.
Agafant el mateix dS que a l’exercici anterior i tenint en compte que la superfície està a y=0, tenim 2 2   a  2E a 2E  0 Pot   PdS    0 cos 2 (t  z )( yˆ  zˆ ) adzyˆ   cos 2 (t  z )adz  S 0  0  0  0   aE 02  0 0 1  cos(2t  2 z )dz  a a aE 02  1   z  sin( 2t  2 z )   0  2 0 c) Trobeu la densitat d’energia electromagnètica u u 0  2 0  2 2 E   2    0  2  0  H 2  0 2 E 02 cos 2 (t  y  z )( 1  1) 2   2  E 0 cos 2 (t  y  z )    0 4 E 02 cos 2 (t  y  z )  2 2 2  0 ...