2.Dinàmica_Relativista (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Electrodinàmica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 9
Subido por

Vista previa del texto

.
Bloc 2. Din` amica Relativista Per estudiar la din` amica relativista, ´es convenient buscar un 4-vector que faci el paper de moment lineal a l’espai-temps de Minkowski. Sembla raonable proposar P µ = mU µ = m“(v)(c, ˛v ).
(0.14) En efecte, P µ ´es un bon vector de Lorentz (ja que U µ ho ´es i m ´es un escalar de Lorentz, ´es la massa en rep` os), anomenat 4-moment. Examinant les components de P µ en el l´ımit no relativista, podem identificar: E = m“c2 , p˛ = m“˛v .
(0.15) E ´es l’energia total de la part´ıcula i p˛ ´es el tri-moment relativista, i per tant, P 0 = E/c i P i = pi .
˛v Al ser P µ un bon vector de Lorentz, si tenim la configuraci´o S ≠≠æ S Õ , se segueix que Pµ = Õ =∆ µÕ ‹ ‹P Y Õ x _ _ ] E /c = “ (E/c ≠ —p ) _ _ [ (0.16) px = “(px ≠ —E/c) Õ Õ py = py , pz = pz Õ ´ immediat comprovar que el 4-moment ´es un vector tipus temps, P µ Pµ = m2 c2 . Alhora de Es fer alguns problemes, resulta u ´til definir l’energia cin`etica com la difer`encia entre l’energia total i l’energia en rep` os: T = E ≠ mc2 = mc2 (“ ≠ 1). Anem a deduir algunes f´ormules. D’acord amb les identificacions anteriors, i servint-nos de la invari`ancia del producte escalar, es t´e Pµ = 3 4 E , p˛ c =∆ P µ Pµ = 3 E c 42 ≠ |˛ p|2 = m2 c2 =∆ E= Ò m2 c4 + |˛ p|2 c2 .
(0.17) Tamb´e, si ens donen el tri-moment i l’energia d’una part´ıcula, la seva velocitat resulta de l’expressi´o: ; < E ˛ = p˛ .
= m“c, p˛ = m“˛v =∆ — (0.18) c (E/c) En el cas dels fotons, el 4-moment canvia. Al ser aquests part´ıcules sense massa, requereixen d’un tractament especial. La f´ ormula (0.17), ens diu que si m = 0, l’energia i el moment es relacionen linealment: E = |˛ p|c. En general, el 4-moment d’un fot´o d’energia E (= h‹), K µ ´es: Kµ = E (1, n ˆ ), c (0.19) on n ˆ ´es el vector unitari que indica la direcci´o de propagaci´o del fot´o. Com ´es d’esperar, aquest u ´ltim ´es un vector tipus llum: K µ Kµ = 0. En alg´ un problema s’ens demana que associem una massa a un sistema format per diversos fotons, cosa que d’entrada i sense pensar, sona extranya.
El punt clau ´es que la suma de dos 4-vectors tipus llum, pot ser un vector tipus temps (resulta for¸ca obvi si pensem en els 4-vectors tipus llum com vectors tangents al con de llum: si dos fotons es propagen en la mateixa direcci´o, el sistema total ´es tipus llum, per`o si ´es propagen en direccions oposades, clarament el sistema compost ´es tipus temps). Aix´ı doncs, en alguns casos K1µ + K2µ = P µ = (E/c, p˛), amb (K1µ + K2µ )2 = m2 c2 .
5 .
µ µ En un problema t´ıpic de xocs, el 4-moment total es conserva: Pinicial = Pfinal (a difer`encia de la mec`anica newtoniana, aix` o no implica que es conservi la massa, el que s´ı es conserva ´es l’energia i el tri-moment). Per resoldre problemes de xocs, el procediment a seguir ´es clar (en general): 1. Sempre va b´e fer-se un dibuixet (situaci´o anterior i posterior al xoc) i etiquetar les part´ıcules que apareixen en el problema, indicant si ´es el cas, les dades que ens donen. 2.
Escriure els corresponents 4-moments de les part´ıcules involucrades en el xoc (abans i despr´es de la col·lisi´o). Arribats a n’aquest punt, hi ha 2 opcions: 3.1 Imposar la conservaci´o del 4-moment total. S’arriba a un sistema d’equacions, el qual hem de resoldre en base a les inc`ognites del problema. 3.2 Imposar la conservaci´ o del 4-moment, despejar el 4-moment que contingui dades de les quals no disposem, i fer el quadrat de l’equaci´o que en resulti (recordem que el quadrat del 4-moment d’una part´ıcula de massa m ´es m2 c2 , i el d’un fot´o ´es zero. Aquests s´on invariants!).
Sigui S, el sistema de refer`encia on hi ha un sistema din`amic amb energia total E i tri-moment total p˛. Definim el sistema centre de masses (CM) com aquell en que el tri-moment total ´es zero.
D’acord amb la transformaci´ o (0.16), la velocitat a la que va el sistema CM respecte d’S, ´es 3 ˛CM p˛ Õ © p˛CM = “(vCM ) p˛ ≠ — E c 4 =0 =∆ ˛CM = p˛ .
— E/c (0.20) La utilitat del sistema CM ´es la seg¨ uent. Imaginem que tenim una col·lisi´ o en que es creen part´ıcules. Es pot veure que la m´ınima energia que cal donar als reactius per crear els productes, ´es tal, que les part´ıcules resultants en la col·lisi´o queden en rep`os en el sistema CM. O b´e, la massa m`axima que es pot crear a partir de fer col·lisionar part´ıcules, ´es tal que els productes queden en rep` os en el sistema CM. No podem igualar 4-moments corresponents a diferents sistemes de refer`encia, per` o si en podem igualar els seus quadrats per ser aquests invariants.
6 ...