Exámenes 2004 (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2011
Páginas 29
Fecha de subida 13/08/2014
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Exámen.

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F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Primer Examen Parcial PROBLEMAS ETSECCPB Diciembre 2003 1. Problema Un gas ideal experimenta una expansi´ on cuasiest´ atica, desde V 0 a V1 , dada por la ecuaci´ on: T = T0 V V0 β Siendo β un n´ umero real constante.
a) Calcular el trabajo realizado por el gas. Discutir el resultado en funci´ on de los valores de β.
b) Calcular la variaci´ on de energ´ıa interna del gas.
c) Calcular el calor intercambiado por el gas, indicando si lo absorbe o lo cede. Discutir el resultado en funci´ on de los valores de β.
d ) Calcular el calor espec´ıfico molar del gas para este proceso. Discutir el resultado en funci´ on de los valores de β.
e) Calcular la variaci´ on de entrop´ıa del gas.
f ) Calcular el valor de β para que la variaci´ on de entrop´ıa del gas sea cero. Interpretar el resultado.
Nota: Considerar que hay n moles de gas.
2. Problema En un tubo cil´ındrico se propaga hacia la derecha una onda de presi´ on, cuya frecuencia angular es 800π rad/s y cuyo n´ umero de ondas es 2π rad/m. La presi´ on de equilibrio es 1,6 × 10 5 N/m2 .
a) Calcular la densidad del gas en equilibrio, suponiendo que las compresiones y dilataciones son isot´ermicas.
b) Calcular la amplitud de la perturbaci´ on de la presi´ on, sabiendo que el m´ aximo desplazamiento vale 10−12 /(1,6π) m.
c) Calcular tambi´en el m´ aximo valor de la velocidad de oscilaci´ on.
d ) Se sabe que inicialmente el desplazamiento alcanza su valor m´ınimo en x = 0 y que en ese instante la velocidad de oscilaci´ on es nula en este punto. Encontrar la funci´ on de onda para la presi´ on.
e) Calcular la intensidad media en un periodo en un punto cualquiera de la cuerda y razonar si se oir´ a el sonido o no.
F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA ETSECCPB Segundo Parcial PROBLEMAS 1 Junio 2004 Problema 1 (5 puntos). Consideremos una distribuci´ on superficial de carga, con densidad σ, en un plano horizontal que tomaremos como el plano coordenado (x, y). Las cargas de esta distribuci´ on se mueven con velocidad constante u en direcci´ on y positiva. Sea z la coordenada normal al plano. Se pide: a) Justificar que en este problema podemos aplicar las ecuaciones de la electrost´ atica y de la magnetost´ atica, y calcular el campo el´ectrico en todo el espacio.
b) Demostrar que el campo magn´etico es paralelo al eje x, y calcularlo en todo el espacio.
c) Consideremos una part´ıcula de carga q y masa m, inicialmente en reposo en el semiespacio z > 0.
Obtener las ecuaciones del movimiento de dicha part´ıcula, y calcular su velocidad en funci´ on del tiempo v(t).
d) Calcular la posici´ on de la part´ıcula en funci´ on del tiempo. Describir el movimiento, y dibujar la trayectoria que seguir´ a.
Nota: Se supone que la part´ıcula no llega a chocar con el plano que contiene la distribuci´ on de carga σ.
z q,m y σ u x Problema 2 (5 puntos). Dado el circuito de corriente alterna de la figura, se pide: a) Calcular el m´ odulo y fase de las intensidades I1 e I2 , as´ı como su dependencia temporal I1 (t) e I2 (t).
b) Obtener el valor de L para el que las intensidades I1 e I2 est´en desfasadas π/2. ¿Cu´ al es el valor de la impedancia equivalente del circuito en este caso?.
c) Representar los m´ odulos de I1 e I2 en funci´ on de la frecuencia ω. ¿Para qu´e valor de ω son iguales dichos m´ odulos?.
d) Calcular el campo magn´etico en el interior de la autoinducci´ on L, suponiendo que es un solenoide cil´ındrico infinito de radio R, n´ umero de vueltas por unidad de longitud n y medio material de permeabilidad magn´etica µ. Calcular tambi´en el campo el´ectrico inducido en el interior del solenoide (suponer que el campo el´ectrico es puramente acimutal, es decir tangente a circunferencias conc´entricas con el eje del solenoide).
ε I M cos(ω t) R I1 R I2 C L F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Primer y segundo parcial PROBLEMAS ETSECCPB 1 Junio 2004 Problema 1 (5 puntos). Un cilindro, cuya base tiene una superficie S, est´ a aislado t´ermicamente y contiene n moles de un gas ideal. La tapa superior es un ´embolo, de masa despreciable, que inicialmente est´ a en equilibrio a una altura h0 y una presi´ on P0 , igual a la atmosf´erica. Se coloca suavemente una pesa de masa m sobre el ´embolo. Calcular: a) La temperatura inicial del gas T0 , en funci´ on de m, n, S, h0 , P0 . La temperatura final del gas, en funci´ on de T0 , m, n, S, h0 , P0 .
b) La nueva altura de equilibrio hf del ´embolo.
c) Variaci´ on de energ´ıa interna y de entalp´ıa del gas.
d) Trabajo realizado por el gas y por la masa al variar su altura.
e) Variaci´ on de entrop´ıa del gas, del entorno y del universo. Cuando mgh0 nCp T0 y mg SP0 , aproximar la variaci´ on de entrop´ıa del universo a primer orden en mg e interpretar el resultado.
f) La aproximaci´ on a primer orden del apartado anterior permite considerar las oscilaciones del ´embolo alrededor de la posici´ on de equilibrio hf como una forma de generar ondas sonoras estacionarias en el cilindro. Calcular en funci´ on de hf las longitudes de onda posibles.
g) Calcular la ecuaci´ on del arm´ onico fundamental, suponiendo que la masa en reposo en h 0 es su estado inicial.
Problema 2 (5 puntos). Consideremos una distribuci´ on superficial de carga, con densidad σ, en un plano horizontal que tomaremos como el plano coordenado (x, y). Las cargas de esta distribuci´ on se mueven con velocidad constante u en direcci´ on y positiva. Sea z la coordenada normal al plano. Se pide: a) Justificar que en este problema podemos aplicar las ecuaciones de la electrost´ atica y de la magnetost´ atica, y calcular el campo el´ectrico en todo el espacio.
b) Demostrar que el campo magn´etico es paralelo al eje x, y calcularlo en todo el espacio.
c) Consideremos una part´ıcula de carga q y masa m, inicialmente en reposo en el semiespacio z > 0.
Obtener las ecuaciones del movimiento de dicha part´ıcula, y calcular su velocidad en funci´ on del tiempo v(t).
d) Calcular la posici´ on de la part´ıcula en funci´ on del tiempo. Describir el movimiento, y dibujar la trayectoria que seguir´ a.
Nota: Se supone que la part´ıcula no llega a chocar con el plano que contiene la distribuci´ on de carga σ.
z q,m y σ x u F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Examen Final PROBLEMAS ETSECCPB 18 Junio 2004 Problema 1 (5 puntos). Un mol de gas ideal describe un proceso cuasiest´ atico, cuya ecuaci´ on es V = a+bT , siendo a, b constantes y T la temperatura absoluta. La temperatura del gas pasa de T 1 a T2 > T1 . Calcular a) El trabajo realizado por el gas.
b) El calor absorbido por el gas.
c) El aumento de entrop´ıa del gas.
d) El aumento de entrop´ıa del universo. Se supone que todo el calor lo absorbe de una fuente t´ermica, a una temperatura constante 2T2 .
e) Calcular el calor espec´ıfico molar del gas para cualquier punto de este proceso.
Problema 2 (5 puntos). Una resistencia R, un condensador C y una autoinducci´ on L se disponen en serie como muestra la figura. El circuito se cierra con una barra conductora de longitud y masa m, unida a un muelle de constante k. El conjunto est´ a inmerso en un campo magn´etico B uniforme, constante y ortogonal al plano del circuito. En t = 0, el condensador est´ a descargado, la barra en reposo y el muelle estirado una distancia d. Se pide: a) Demostrar que se cumplen las ecuaciones: L dI Q dx + RI + =B , dt C dt m d2 x + kx = −B I, dt2 donde Q es la carga del condensador, I la intensidad y x el desplazamiento de la barra desde la posici´ on de equilibrio del muelle.
b) Obtener una equaci´ on para el balance de energ´ıa del sistema (electromagn´etica y mec´ anica), y discutir el resultado.
c) Si se eliminan la resistencia y la autoinducci´ on (R = L = 0), obtener la intensidad, la carga del condensador y el desplazamiento de la barra en funci´ on del tiempo.
d) En las condiciones del apartado anterior, calcular la energ´ıa mec´ anica de la barra y la energ´ıa almacenada en el condensador en funci´ on del tiempo. ¿Qu´e sucede con la energ´ıa total?.
L m,l   ✁   ✁   ✁   ✁ k   ✁ B   ✁   ✁ C   ✁   ✁   ✁   ✁ x I R b −Q +Q Resoluci´ on de los problemas del Primer Examen Parcial de diciembre del 2003 1. Problema Un gas ideal experimenta una expansi´ on cuasiest´ atica, desde V 0 a V1 , dada por la ecuaci´ on: V V0 T = T0 β Siendo β un n´ umero real constante.
a) Calcular el trabajo realizado por el gas. Discutir el resultado en funci´ on de los valores de β.
b) Calcular la variaci´ on de energ´ıa interna del gas.
c) Calcular el calor intercambiado por el gas, indicando si lo absorbe o lo cede. Discutir el resultado en funci´ on de los valores de β.
d ) Calcular el calor espec´ıfico molar del gas para este proceso. Discutir el resultado en funci´ on de los valores de β.
e) Calcular la variaci´ on de entrop´ıa del gas.
f ) Calcular el valor de β para que la variaci´ on de entrop´ıa del gas sea cero. Interpretar el resultado.
Nota: Considerar que hay n moles de gas.
Soluci´ on a) C´ alculo del trabajo realizado.
Para calcular el trabajo realizado, por o contra el gas, es necesario expresar la presi´ on del gas en funci´ on del volumen de este. Por ser un gas ideal, se cumple: PV P 0 V0 = T T0 Combinando esta ecuaci´ on con la dada para el proceso, se obtiene P V 1−β = P0 V01−β . El trabajo viene dado por P0 V0 V1 β−1 V dV Wβ = V0β V0 Para β = 0 el trabajo es Wβ = P 0 V0 β V1 V0 β −1 = nRT0 β V1 V0 β −1 = nR T1 − T 0 β El caso β = 0 corresponde a un proceso isot´ermico y el trabajo es: W0 = nRT0 ln V1 V0 A este resultado se puede llegar desde la expresi´ on general del trabajo, tomando el l´ımita para β → 0 de Wβ . En efecto, haciendo a = V1 /V0 , a > 1, queda: aβ − 1 eβ ln(a) − 1 = nRT0 l´ım β→0 β→0 β β W0 = nRT0 l´ım Ahora se aplica la regla de L’Hˆ opital y queda: ln(a)eβ ln(a) = nRT0 ln(a) = nRT0 ln β→0 1 W0 = nRT0 l´ım El caso β = 1 − γ corresponde a un proceso adiab´ atico.
V1 V0 b) Variaci´ on de la energ´ıa interna. Para β = 0 es V1 V0 ∆U = nCV (T1 − T0 ) = nCv T0 β −1 Para β = 0, ∆U = 0 porque es un gas ideal.
d) El apartado c se resuelve m´ as facilmente y con menores probabilidades de errores, si se resuelve primero este apartado.
El calor intercambiado por el gas es Q = ∆U + W . Para β = 0 se tiene Q = nCV T0 V1 V0 β −1 + nRT0 β V1 V0 β −1 Esta expresi´ on se puede escribir de la forma: Q = nT0 CV + R β V1 V0 β −1 = nT0 CV + R β (T1 − T0 ) Por tanto en el caso β = 0, el calor espec´ıfico molar del gas para este proceso es Cβ = C V + R β que no est´ a definido para β = 0, proceso isot´ermico. Para estudiar como var´ıa C β en funci´ on de β, se calcula dCβ CV = − 2 < 0, ∀β = 0 dβ β Por ser su derivada respecto a β negativa, Cβ es una funci´ on decreciente, es decir, aumenta cuando β disminuye y decrece cuando β aumenta.
Para ∞ > β > 0, el calor espec´ıfico va desde CV , hasta ∞, que representa el caso de un proceso isot´ermico.
Cuando 0 > β > 1−γ, el calor espec´ıfico ser´ıa negativo y tomar´ıa valores en el intervalo (−∞ , 0).
Este caso no tiene sentido f´ısico.
Si β = 1 − γ, el proceso es adiab´ atico y C1−γ = 0.
Finalmente, cuando 1 − γ < β, Cβ es positivo y sus valores verifican 0 < Cβ < CV . Este caso si tiene sentido f´ısico.
c) Calor intercambiado por el gas Como ya se ha visto el calor intercambiado por el gas para β = 0 es: Q = nT0 CV + R β V1 V0 β −1 = nT0 CV + R β (T1 − T0 ) y para β = 0: Q = W0 = nRT0 ln V1 V0 Comparando T1 y T0 a partir de la ecuaci´ on del proceso y teniendo en cuenta los valores del calor espec´ıfico molar para este proceso se tiene: Para ∞ > β > 0, Cβ > 0, T1 > T0 , =⇒ Q > 0. El gas absorbe calor. Para β = 0, Q = nRT0 ln(V1 /V0 ) > 0. El gas absorbe calor. Para β < 1 − γ < 0, Cβ > 0, T1 < T0 , =⇒ Q < 0. El gas cede calor.
e) Variaci´ on de entrop´ıa del gas Una de las expresiones para la variaci´ on de entrop´ıa de un gas ideal al pasar de un estado inicial a un estado final es: V1 T1 + nR ln ∆S = nCV ln T0 V0 Al sustituir T1 /T0 en funci´ on de V1 /V0 se obtiene: ∆S = n(CV β + R) ln V1 V0 , ∀β f ) Valor de β para ∆S = 0.
∆S = 0 =⇒ V1 = V0 o CV β + R = 0 El primer caso no tiene sentido porque hay una expansi´ on. Por tanto β = −R/C V = 1 − γ, que corresponde a un proceso adiab´ atico.
2. Problema En un tubo cil´ındrico se propaga hacia la derecha una onda de presi´ on, cuya frecuencia angular es 800π rad/s y cuyo n´ umero de ondas es 2π rad/m. La presi´ on de equilibrio es 1,6 × 10 5 N/m2 .
a) Calcular la densidad del gas en equilibrio, suponiendo que las compresiones y dilataciones son isot´ermicas.
b) Calcular la amplitud de la perturbaci´ on de la presi´ on, sabiendo que el m´ aximo desplazamiento vale 10−12 /(1,6π) m.
c) Calcular tambi´en el m´ aximo valor de la velocidad de oscilaci´ on.
d ) Se sabe que inicialmente el desplazamiento alcanza su valor m´ınimo en x = 0 y que en ese instante la velocidad de oscilaci´ on es nula en este punto. Encontrar la funci´ on de onda para la presi´ on.
e) Calcular la intensidad media en un periodo en un punto cualquiera de la cuerda y razonar si se oir´ a el sonido o no.
Soluci´ on a) Densidad del gas en equilibrio.
Por tratarse de compresiones y dilataciones isotermas, se verifica que c = c = ω/k, por tanto: Kg ρ0 = P0 K 2 /ω 2 = 1 3 m P0 /ρ0 . Adem´ as b) Amplitud de la perturbaci´ on de la presi´ on.
El problema se resuelve aqu´ı en complejos, pero se puede hacer en los reales. El s´ımbolo φ representa el desplazamiento y φm su amplitud.
Se sabe que la segunda ley de Newton, aplicada en el entorno de un punto del tubo cil´ındrico, se traduce en la expresi´ on: ∂p ∂2φ (1) ρ0 2 (x, t) = − (x, t) ∂t ∂x Se toman φ(x, t) = φm ei(kx−ωt+α) y p(x, t) = pm ei(kx−ωt+β) se sustituyen en la ecuaci´ on (1) y se obtiene: ρ0 φm ω 2 eiα = kpm eiβ la igualdad de los m´ odulos implica: pm = N ρ 0 φm ω 2 = 2 × 10−7 2 k m la igualdad de fases implica: α=β+ π 2 c) Valor m´ aximo de la velocidad de oscilaci´ on.
La velocidad de oscilaci´ on es: π ∂φ = −iωφm ei(kx−ωt+α) = vm ei(kx−ωt+α− 2 ) ∂t por lo que: vm = ωφm = 800π × 10−12 m = 5 × 10−10 1,6π s (2) d) Funci´ on de onda para la presi´ on.
Tomando la parte real de la funci´ on de onda para el desplazamiento, queda: φ(x, t) = φm cos(kx − ωt + α) y v(x, t) = φm ω sin(kx − ωt + α) El valor m´ınimo del desplazamiento es −φm .
Las condiciones iniciales son φm cos(α) = −φm φm ω sin(α) = 0 Por tanto α = π. Si se usa ahora la ecuaci´ on (2), la perturbaci´ on de la presi´ on viena dada por p(x, t) = pm cos kx − ωt + π 2 = 2 × 10−7 cos 2πx − 800πt + π 2 N m2 e) Intensidad media.
Una de las muchas expresiones que permiten calcularla es I= 2 × 10−7 × 5 × 10−10 w pm vm = = 5 × 10−17 2 2 2 m El umbral medio de intensidad para que se oiga un sonido es 10−12 w/m2 , por lo tanto no se oir´ a.
F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA ETSECCPB Segundo Parcial Soluci´ on problemas 1 Junio 2004 z Problema 1 (5 puntos). Consideremos una distribuci´ on superficial de carga, con densidad σ, en un plano horizontal que tomaremos como el plano coordenado (x, y). Las cargas de esta distribuci´ on se mueven con velocidad constante u en direcci´ on y positiva. Sea z la coordenada normal al plano. Se pide: q,m y σ u x a) Justificar que en este problema podemos aplicar las ecuaciones de la electrost´ atica y de la magnetost´ atica, y calcular el campo el´ectrico en todo el espacio.
b) Demostrar que el campo magn´etico es paralelo al eje x, y calcularlo en todo el espacio.
c) Consideremos una part´ıcula de carga q y masa m, inicialmente en reposo en el semiespacio z > 0.
Obtener las ecuaciones del movimiento de dicha part´ıcula, y calcular su velocidad en funci´ on del tiempo v(t).
d) Calcular la posici´ on de la part´ıcula en funci´ on del tiempo. Describir el movimiento, y dibujar la trayectoria que seguir´ a.
Nota: Se supone que la part´ıcula no llega a chocar con el plano que contiene la distribuci´ on de carga σ.
a) La distribuci´ on de cargas y corrientes es estacionaria (no cambia con el tiempo) por lo que las ecuaciones de Maxwell no contienen t´erminos con derivadas temporales. Las ecuaciones para los campos el´ectricos y magn´eticos se desacoplan, y coinciden con las de la electrost´ atica y magnetost´ atica respectivamente.
Por simetr´ıa de rotaci´ on el campo el´ectrico es paralelo al eje z, y por invariancia de traslaci´ on en las direcciones x e y depende s´ olo de z. Por simetr´ıa de reflexi´ on respecto del plano z = 0, Ez (−z) = −Ez (z). Aplicando la ley de Gauss al cilindro de la figura obtenemos E dS = 2Ez (z)S = Qint / 0 = σS/ S para z > 0; Ez (z) = −σ/2 0 0 → z S Ez (z) = σ/2 0 , para z < 0.
b) Podemos descomponer la corriente en el plano z = 0 en una infinidad de hilos conductores paralelos al eje y. Considerando el campo magn´etico creado por dos de estos hilos tal como muestra la figura, vemos que B es paralelo al eje x.
Por invariancia de traslaci´ on y por la simetr´ıa de reflexi´ on, Bx (−z) = −Bx (z).
Aplicando el teorema de Amp`ere al circuito de la figura, B1 B B2 1 z 2 x B d = 2Bx c = µ0 I.
z En ∆t la carga σ avanza u∆t, y la carga que atraviesa el circuito es ∆Q = x σcu∆t; la intensidad es por tanto I = ∆Q/∆t = σcu, y el campo magn´etico vale Bx (z) = µ0 σu/2 para z > 0, Bx (z) = −µ0 σu/2 para z < 0.
a c) La fuerza sobre la part´ıcula viene dada por la fuerza de Lorenz F = q(E + v × B). La segunda ley de Newton en componentes nos queda: mv˙ x = 0, mv˙ y = qBx vz , mv˙ z = q(Ez − Bx vy ).
Luego vx = 0, ya que la part´ıcula est´ a inicialmente en reposo. Suponiendo la part´ıcula en el semiplano superior (z > 0), Ez y Bx son constantes. Pongamos ω = qBx /m = qµ0 σu/(2m): vz = v˙ y /ω, v˙ z = ω(Ez /Bx − vy ) = v¨y /ω, → v¨z + ω 2 vz = ω 2 Ez /Bx = ω 2 /( 0 µ0 u) = ω 2 c2 /u, √ donde c = 1/ 0 µ0 es la velocidad de la luz. La ecuaci´ on obtenida es la de un oscilador arm´ onico, que tiene como soluci´ on c2 c2 z˙ = vz (t) = sin ωt, (3) y˙ = vy (t) = (1 − cos ωt), u u donde hemos usado la condici´ on inicial vy (0) = vz (0) = 0.
d) El movimiento es superposici´ on de una traslaci´ on con velocidad c2 /u en direcci´ on y, y una rotaci´ on en el plano (y, z) con velocidad angular ω. Integrando las ecuaciones (3) respecto del tiempo, y usando condiciones iniciales y = z = 0, nos queda z c2 c2 (ωt − sin ωt), z(t) = (1 − cos ωt), uω uω que es la ecuaci´ on de una cicloide, como muestra la figura.
o Problema 2 (5 puntos). Dado el circuito de corriente alterna de la figura, se pide: y(t) = y a) Calcular el m´ odulo y fase de las intensidades I1 e I2 , as´ı como su dependencia temporal I1 (t) e I2 (t).
b) Obtener el valor de L para el que las intensidades I1 e I2 est´en desfasadas π/2. ¿Cu´ al es el valor de la impedancia equivalente del circuito en este caso?.
c) Representar los m´ odulos de I1 e I2 en funci´ on de la frecuencia ω. ¿Para qu´e valor de ω son iguales dichos m´ odulos?.
d) Calcular el campo magn´etico en el interior de la autoinducci´ on L, suponiendo que es un solenoide cil´ındrico infinito de radio R, n´ umero de vueltas por unidad de longitud n y medio material de permeabilidad magn´etica µ. Calcular tambi´en el campo el´ectrico inducido en el interior del solenoide (suponer que el campo el´ectrico es puramente acimutal, es decir tangente a circunferencias conc´entricas con el eje del solenoide).
A a) De la figura, VA − VB = EM . Escribamos la ley de Ohm para los hilos A − C − B i A − L − B.
EM eiα EM I1 = = R − i/ωC R2 + (ωC)−2 R M cos(ω t) R I1 I2 C L B |I1 | = I2 = , ε 1 tg α = ωRC I EM ωC 1+ EM = R + iωL |I2 | = R2 , (ωRC)2 EM e−iβ , R2 + (ωL)2 EM + fase(I1 ) = arctan (ωL)2 , tg β = 1 , ωRC I1 (t) = EM ωC cos(ωt + α) I2 (t) = EM cos(ωt − β) 1 + (ωRC)2 , ωL , R fase(I2 ) = − arctan ωL , R R2 + (ωL)2 .
b) α + β = π/2 → tg α = tg(π/2 − β) = 1/ tg(β), por tanto 1/ωRC = R/ωL → L = R 2 C .
1 1 1 2R + i(ωL − 1/ωC) 2R + i(ωL − 1/ωC) 1 = + = 2 = = .
2 Zeq R − i/ωC R + iωL R + L/C + iR(ωL − 1/ωC) 2R + iR(ωL − 1/ωC) R Por tanto, Zeq = R .
c) Representando |I1 | y |I2 | en funci´ on de ω se obtiene: ε ε I1 M R I2 M R ω √ |I1 | = |I2 | → R2 + (1/ωC)2 = R2 + (ωL)2 → 1/ωC = ωL → ω = 1/ LC .
d) El campo magn´etico es paralelo al eje del solenoide, y vale B = µ0 nI2 (t) = µ0 nEM cos(ωt − β) R2 + (ωL)2 = B0 cos(ωt − β).
Por la ley de Faraday, integrando sobre la circunferencia de radio r de la figura, E · d = 2πrE = − y por tanto, E(t) = 12 rB0 ω sin(ωt − β) .
d dΦm = − (πr2 B), dt dt ω F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Primer y Segundo Parcial Soluci´ on problemas ETSECCPB 1 Junio 2004 Problema 1 (5 puntos). Un cilindro, cuya base tiene una superficie S, est´ a aislado t´ermicamente y contiene n moles de un gas ideal. La tapa superior es un ´embolo, de masa despreciable, que inicialmente est´ a en equilibrio a una altura h0 y una presi´ on P0 , igual a la atmosf´erica. Se coloca suavemente una pesa de masa m sobre el ´embolo. Calcular: a) La temperatura inicial del gas T0 , en funci´ on de m, n, S, h0 , P0 . La temperatura final del gas, en funci´ on de T0 , m, n, S, h0 , P0 .
b) La nueva altura de equilibrio hf del ´embolo.
c) Variaci´ on de energ´ıa interna y de entalp´ıa del gas.
d) Trabajo realizado por el gas y por la masa al variar su altura.
e) Variaci´ on de entrop´ıa del gas, del entorno y del universo. Cuando mgh0 nCp T0 y mg SP0 , aproximar la variaci´ on de entrop´ıa del universo a primer orden en mg e interpretar el resultado.
f) La aproximaci´ on a primer orden del apartado anterior permite considerar las oscilaciones del ´embolo alrededor de la posici´ on de equilibrio hf como una forma de generar ondas sonoras estacionarias en el cilindro. Calcular en funci´ on de hf las longitudes de onda posibles.
g) Calcular la ecuaci´ on del arm´ onico fundamental, suponiendo que la masa en reposo en h 0 es su estado inicial.
a) La presi´ on inicial es P0 , el volumen inicial V0 = Sh0 y el n´ umero de moles n se conocen. Por ser una P0 Sh0 .
gas ideal se cumple T0 = nR mg . El proceso de compresi´ on La presi´ on desde el momento en que se deja la masa vale Pf = P0 + S no es cuasi est´ atico y por tanto no se puede usar la ecuaci´ on de los procesos adiab´ aticos cuasi est´ aticos P V γ = Cte. Para calcular la temperatura final hay que usar el Primer Principio.
Por ser adiab´ atico el proceso, se cumple Q = 0 = ∆U + W . Por ser la presi´ on externa constante mg . Si se sustituyen estas W = Pf (Vf − V0 ) = −nCv (Tf − T0 ), adem´ as Vf = nRTf y Pf = P0 + S expresiones en el Primer Principio queda: nRTf − P0 + mg Sh0 + nCv (Tf − T0 ) S nCp (Tf − T0 ) − mgh0 = 0 =⇒ Tf = T0 + b) Por ser un gas ideal se verifica: mgh0 nCp P f Vf P 0 V0 = . Teniendo en cuenta V0 = Sh0 , Vf = Shf y el apartado Tf T0 anterior, se obtiene: hf = h 0 c) ∆U = nCv (Tf − T0 ) = nCv P0 S R nCp T0 + mgh0 nCp T0 + mgh0 = h0 nCp T0 mg + P0 S Cp mg + P0 S mgh0 mgh0 = y ∆H = nCp (Tf − T0 ) = mgh0 nCp γ mgh0 . Por otra parte, el trabajo realizado por la masa al γ descender se hace sobre el ´embolo y finalmente se almacena como energ´ıa interna. Por tanto W m = mgh0 ∆U = γ d) Por el Primer Principio Wg = −∆U = − e) La veriaci´ on de entrop´ıa del gas es: ∆Sg = nCp ln Tf Pf mgh0 − nR ln = nCp ln 1 + T0 P0 nCp T0 − nR ln 1 + Teniendo en cuenta la ecuaci´ on de los gases ideales, se obtiene P0 S = del gas es: ∆Sg = nCp ln 1 + mgh0 nCp T0 − nR ln 1 + mg SP0 nRT0 y la variaci´ on de entrop´ıa h0 mgh0 nRT0 La variaci´ on de la entrop´ıa del entorno es cero porque el sistema est´ a t´ermicamente aislado. Por tanto ∆SU N IV ERSO = nCp ln 1 + mgh0 nCp T0 − nR ln 1 + mgh0 nRT0 Cuando mgh0 nCp T0 y mg P0 S, se tiene en cuenta que para |x|, ln(1 + x) x. La expresi´ on de la variaci´ on de entrop´ıa del gas y del universo se reduce a ∆SU N IV ERSO = ∆Sg = 0, a primer orden en m.
Por tanto, para este caso la transformaci´ on adiab´ atica es reversible y por consiguiente cuasiest´ atica. Es decir en este caso la transformaci´ on es cuasiest´ atica y se cumple la ecuaci´ on P V γ = Cte.
f) Las ondas sonoras, que se generan en el recipiente, son ondas sonoras estacionarias con un extremo fijo, el fondo, y uno movil el ´embolo. Las oscilaciones corresponden a las del ´embolo alrededor de su 4hf posici´ on final de equilibrio, hf . Las longitudes de onda posibles deben cumplir λ = , siendo 2n − 1 n = 1, 2, ....
g) El desplazamiento, para todo arm´ onico, ser´ a de la forma φ(x, t) = A cos(ω n t + α) sin(kn x) En el γRT0 π y ω1 = k1 c. Donde c es la velocidad del sonido y vale , fundamental: λ1 = 4hf , k1 = 2hf M siendo M la masa molecular del gas.
La ecuaci´ on del modo fundamental es: φ(x, t) = A cos(ω1 t + α) sin(k1 x) la amplitud es el valor absoluto de la separaci´ on m´ axima respecto a la posici´ on de equilibrio, h 0 − hf y x la coordenada del punto respecto al fondo del ´embolo.
Haciendo t = 0, queda φ(x, 0) = (h0 − hf ) cos(α) sin(k1 x) ∂φ (x, 0) = −(h0 − hf ) sin(alpha) sin(k1 x) ∂t Considerando ahora x = hf en las ecuaciones anteriores, queda φ(x, t) = (h0 − hf ) cos(ω1 t) sin(k1 x) o z Problema 2 (5 puntos). Consideremos una distribuci´ on superficial de carga, con densidad σ, en un plano horizontal que tomaremos como el plano coordenado (x, y). Las cargas de esta distribuci´ on se mueven con velocidad constante u en direcci´ on y positiva. Sea z la coordenada normal al plano. Se pide: q,m y σ u x a) Justificar que en este problema podemos aplicar las ecuaciones de la electrost´ atica y de la magnetost´ atica, y calcular el campo el´ectrico en todo el espacio.
b) Demostrar que el campo magn´etico es paralelo al eje x, y calcularlo en todo el espacio.
c) Consideremos una part´ıcula de carga q y masa m, inicialmente en reposo en el semiespacio z > 0.
Obtener las ecuaciones del movimiento de dicha part´ıcula, y calcular su velocidad en funci´ on del tiempo v(t).
d) Calcular la posici´ on de la part´ıcula en funci´ on del tiempo. Describir el movimiento, y dibujar la trayectoria que seguir´ a.
Nota: Se supone que la part´ıcula no llega a chocar con el plano que contiene la distribuci´ on de carga σ.
a) La distribuci´ on de cargas y corrientes es estacionaria (no cambia con el tiempo) por lo que las ecuaciones de Maxwell no contienen t´erminos con derivadas temporales. Las ecuaciones para los campos el´ectricos y magn´eticos se desacoplan, y coinciden con las de la electrost´ atica y magnetost´ atica respectivamente.
Por simetr´ıa de rotaci´ on el campo el´ectrico es paralelo al eje z, y por invariancia de traslaci´ on en las direcciones x e y depende s´ olo de z. Por simetr´ıa de reflexi´ on respecto del plano z = 0, Ez (−z) = −Ez (z). Aplicando la ley de Gauss al cilindro de la figura obtenemos E dS = 2Ez (z)S = Qint / 0 = σS/ 0 S para z > 0; Ez (z) = −σ/2 0 → z S Ez (z) = σ/2 0 , para z < 0.
b) Podemos descomponer la corriente en el plano z = 0 en una infinidad de hilos conductores paralelos al eje y. Considerando el campo magn´etico creado por dos de estos hilos tal como muestra la figura, vemos que B es paralelo al eje x.
Por invariancia de traslaci´ on y por la simetr´ıa de reflexi´ on, Bx (−z) = −Bx (z).
Aplicando el teorema de Amp`ere al circuito de la figura, B1 B B2 1 z 2 x B d = 2Bx c = µ0 I.
z En ∆t la carga σ avanza u∆t, y la carga que atraviesa el circuito es ∆Q = x σcu∆t; la intensidad es por tanto I = ∆Q/∆t = σcu, y el campo magn´etico vale Bx (z) = µ0 σu/2 para z > 0, Bx (z) = −µ0 σu/2 para z < 0.
a c) La fuerza sobre la part´ıcula viene dada por la fuerza de Lorenz F = q(E + v × B). La segunda ley de Newton en componentes nos queda: mv˙ x = 0, mv˙ y = qBx vz , mv˙ z = q(Ez − Bx vy ).
Luego vx = 0, ya que la part´ıcula est´ a inicialmente en reposo. Suponiendo la part´ıcula en el semiplano superior (z > 0), Ez y Bx son constantes. Pongamos ω = qBx /m = qµ0 σu/(2m): vz = v˙ y /ω, v˙ z = ω(Ez /Bx − vy ) = v¨y /ω, → v¨z + ω 2 vz = ω 2 Ez /Bx = ω 2 /( 0 µ0 u) = ω 2 c2 /u, √ donde c = 1/ 0 µ0 es la velocidad de la luz. La ecuaci´ on obtenida es la de un oscilador arm´ onico, que tiene como soluci´ on c2 c2 z˙ = vz (t) = sin ωt, (4) y˙ = vy (t) = (1 − cos ωt), u u donde hemos usado la condici´ on inicial vy (0) = vz (0) = 0.
d) El movimiento es superposici´ on de una traslaci´ on con velocidad c2 /u en direcci´ on y, y una rotaci´ on en el plano (y, z) con velocidad angular ω. Integrando las ecuaciones (4) respecto del tiempo, y usando condiciones iniciales y = z = 0, nos queda c2 c2 (ωt − sin ωt), z(t) = (1 − cos ωt), uω uω que es la ecuaci´ on de una cicloide, como muestra la figura.
y(t) = z y F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Examen Final ETSECCPB Soluci´ on problemas 18 Junio 2004 Problema 1 (5 puntos). Un mol de gas ideal describe un proceso cuasiest´ atico, cuya ecuaci´ on es V = a+bT , siendo a, b constantes y T la temperatura absoluta. La temperatura del gas pasa de T 1 a T2 > T1 . Calcular a) El trabajo realizado por el gas.
b) El calor absorbido por el gas.
c) El aumento de entrop´ıa del gas.
d) El aumento de entrop´ıa del universo. Se supone que todo el calor lo absorbe de una fuente t´ermica, a una temperatura constante 2T2 .
e) Calcular el calor espec´ıfico molar del gas para cualquier punto de este proceso.
a) Usando la ecuaci´ on de estado del gas ideal pV = nRT y la ecuaci´ on del proceso, V = a + bT , podemos ponerlo todo en funci´ on de T : f W = T2 p dV = i T1 a nRT b dT = nR T − ln(a + bT ) a + bT b T2 T1 = nR T2 − T1 − a V2 ln b V1 > 0, suponiendo a y b positivos.
b) Para un gas ideal, dU = ncV dT , y suponiendo cV constante, a V2 > 0 Q = ∆U + W = ncV (T2 − T1 ) + W = ncp (T2 − T1 ) − nR ln b V1 c) Para un gas ideal con cV constante, f ∆Sgas = i dQ T2 V2 = ncV ln + nR ln > 0 T T1 V1 d) Como el calor que recibe el exterios es menos el que recibe el gas, f ∆Sext = − i dQ Q =− < 0.
2T2 2T2 La variaci´ on de entrop´ıa del universo es la suma de las dos, ∆SUniv = ∆Sgas + ∆Sext , que es positiva, puesto que durante el proceso la temperatura del gas T < 2T2 : f ∆SUniv = i 1 1 − dQ > 0.
T 2T2 e) El calor espec´ıfico molar c vale: nc = dQ dU dV = +p = ncV + pb.
dT dT dT Problema 2 (5 puntos). Una resistencia R, un condensador C y una autoinducci´ on L se disponen en serie como muestra la figura. El circuito se cierra con una barra conductora de longitud y masa m, unida a un muelle de constante k. El conjunto est´ a inmerso en un campo magn´etico B uniforme, constante y ortogonal al plano del circuito. En t = 0, el condensador est´ a descargado, la barra en reposo y el muelle estirado una distancia d. Se pide:  ✁✂   ✁✂   ✁  ✁✂✂    ✁✂   ✁✂   ✁✂   ✁  ✁✂✂    ✁✂   ✁✂  L m,l k B x C I −Q +Q R b a) Demostrar que se cumplen las ecuaciones: L dI Q dx + RI + =B , dt C dt m d2 x + kx = −B I, dt2 donde Q es la carga del condensador, I la intensidad y x el desplazamiento de la barra desde la posici´ on de equilibrio del muelle.
b) Obtener una equaci´ on para el balance de energ´ıa del sistema (electromagn´etica y mec´ anica), y discutir el resultado.
c) Si se eliminan la resistencia y la autoinducci´ on (R = L = 0), obtener la intensidad, la carga del condensador y el desplazamiento de la barra en funci´ on del tiempo.
d) En las condiciones del apartado anterior, calcular la energ´ıa mec´ anica de la barra y la energ´ıa almacenada en el condensador en funci´ on del tiempo. ¿Qu´e sucede con la energ´ıa total?.
a) El flujo del campo magn´etico a trav´es del circuito es Φm = B (b − x), y la fuerza electromotriz inducida vale E = −dΦm /dt = B v. La segunda ley de Kirchhoff para el circuito nos da L dI Q + RI + = E = B v.
dt C La fuerza magn´etica sobre la valilla vale Fm = −I B, y la segunda ley de Newton para la varilla es m d2 x + kx = −B I.
dt2 b) Multiplicando la primera ecuaci´ on por I, la segunda por v y sumando, obtenemos: LI dI Q dQ dv dx d 1 2 Q2 1 1 + RI 2 + + mv + kx = LI + + mv 2 + kx2 + RI 2 = 0, dt C dt dt dt dt 2 2C 2 2 es decir, d 1 2 Q2 1 1 LI + + mv 2 + kx2 = −RI 2 , dt 2 2C 2 2 que nos dice que la energ´ıa total del sistema, energ´ıa electromagn´etica (en la bobina y el condensador) m´ as energ´ıa mec´ anica (cin´etica m´ as potencial el´ astica), no se conserva, sino que se disipa en forma de calor por efecto Joule en la resistencia R.
c) Substituyendo R = L = 0 en las ecuaciones del apartado a), obtenemos Q = BC v → I= dv dQ = CB dt dt → m d2 x dv + kx = −C(B )2 2 dt dt → [m + C(B )2 ] d2 x + kx = 0, dt2 que es la ecuaci´ on de un oscilador arm´ onico simple. La soluci´ on correspondiente a las condiciones iniciales 2 dadas (x = d, v = 0) es x(t) = d cos(ωt) , con ω = k/[m + C(B )2 ]. Usando Q = BC v, I = dQ/dt obtenemos Q(t) = −B Cdω sin(ωt) , I(t) = −B Cdω 2 cos(ωt) .
d) Calculemos la energ´ıa mec´ anica Em y la energ´ıa del condensador EC : 1 1 1 1 1 1 mv 2 + kx2 = md2 ω 2 sin2 (ωt) + kd2 cos2 (ωt) = md2 ω 2 + C(B dω)2 cos2 (ωt) 2 2 2 2 2 2 Q2 1 1 EC = = (B Cdω)2 sin2 (ωt) = C(B dω)2 sin2 (ωt), 2C 2C 2 Em = donde hemos substituido k en funci´ on de ω. Sumando, obtenemos la energ´ıa mec´ anica total E: E = E m + EC = 1 1 1 1 md2 ω 2 + C(B dω)2 = d2 ω 2 [m + C(B )2 ] = kd2 , 2 2 2 2 que es constante e igual a la energ´ıa inicial, puesto que al ser R = 0, no hay disipaci´ on por efecto Joule, de acuerdo con lo visto en el apartado b).
F´ ISICA Plan 95 Test. Primer Parcial. Diciembre 2003.
Departamento de F´ısica Aplicada Identificaci´ on de la prueba: 250 18004 00 0 00 Notas: El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con l´ apiz o bol´ıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutaci´ on, NO se corregir´ a el TEST.
1. Un cilindro, r´ıgido y t´ermicamente aislado, est´ a dividido inicialmente en dos compartimentos iguales mediante un tabique diatermo que se puede desplazar. En el lado izquierdo hay 2 moles de un gas ideal y en el derecho un mol. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Al final el volumen de la izquierda es doble que ´el de la derecha.
b) No se puede decir nada del volumen final de cada gas porque no se conocen sus presiones y temperaturas iniciales.
c) La entrop´ıa del universo no var´ıa por el paso del estado inicial al final porque el sistema est´ a aislado.
d ) La temperatura final ser´ a mayor o igual a la m´ axima de las temperaturas iniciales.
2. Se tienen tres muestras de igual masa de una sustancia l´ıquida en un calor´ımetro adiab´ atico, cuya capacidad calor´ıfica se puede considerar nula. Las temperaturas iniciales de las muestras son T 1 , T2 y T3 y cumplen T1 > T2 > T3 . La temperatura final de la mezcla cumple: a) Puede ser mayor que que T1 .
b) Es mayor que T2 , si T2 < (T1 + T3 )/2.
c) Puede ser menor que T3 .
d ) Su valor, T , cumple siempre T2 < T < T1 .
3. Se tienen tres muestras de igual masa de una sustancia l´ıquida. Las temperaturas iniciales de las muestras son T1 , T2 y T3 . La temperatura final de las tres, para que su entrop´ıa total no varie, debe ser: a) (T1 + T2 + T3 )/3.
b) T < T2 si T2 > (T1 + T3 )/2.
c) (T1 T2 T3 )1/3 .
√ d) T 1 T2 T3 .
4. Una transformaci´ on politr´ opica de un gas ideal es un proceso cuasiest´ atico y viene dada por la ecuaci´ on P V α = C, siendo α un n´ umero real. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta para todos estos procesos a) El trabajo realizado por el gas es igual a la variaci´ on de su energia interna cambiada de signo.
b) La entrop´ıa del universo no var´ıa.
c) El calor espec´ıfico molar del gas es constante e igual a Cv + R/(1 − α).
d ) El gas no intercambia calor.
5. La energ´ıa interna de un mol de gas ideal a) depende u ´nicamente de la entalp´ıa.
b) depende u ´nicamente del volumen.
c) depende de la masa molecular.
d ) depende u ´nicamente de la presi´ on.
6. Un l´ıquido tiene un calor espec´ıfico cL (T ), que var´ıa con la temperatura. Se calienta una masa m desde una temperatura inicial, Ti , a una temperatura final ,TF , sin que varie su volumen. El calor absorbido por el l´ıquido vale: a) m(cL (TF )TF − cL (Ti )Ti ).
b) TF Ti mcL (T )dT .
c) mcL (TF )(TF − Ti ).
d ) mcL (Tm )(TF − Ti ), con Tm = (TF + Ti )/2.
7. Una m´ aquina t´ermica reversible de Carnot trabaja entre dos focos calor´ıficos cuyas temperaturas son 400 K y 300 K. En estas condiciones desarrolla un trabajo de 300 j. Invirtiendo el ciclo, se usa luego como bomba de calor entre las mismas temperaturas. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Es imposible, su rendimiento ser´ıa mayor que la unidad.
b) Su rendimiento (eficiencia), como bomba de calor, ser´ıa η = 1 − 3/4.
c) Si consume 300 j, entrega 1200 j a la fuente caliente.
d ) Si consume 300 j, entrega 2500 j a la fuente caliente.
8. Un gas est´ a encerrado en un pist´ on cil´ındrico del que no puede salir. Su estado inicial es (p i , Vi , Ti ). Se expande isot´ermicamente contra el vac´ıo hasta doblar su volumen. Indicar que afirmaci´ on es cierta: a) Su energ´ıa interna disminuye.
b) Esta transformaci´ on no es adiab´ atica.
c) Se realiza un trabajo no nulo.
d ) Su entalp´ıa no var´ıa.
9. En los datos t´ecnicos de un motor t´ermico pone: rendimiento = 25 %. Se sabe que extrae calor de un foco a 127o C y cede calor a un foco a 27o C. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Es un motor reversible de Carnot.
b) Es un motor tipo Carnot, pero irreversible.
c) Es un disparate.
d ) Es un motor de lo m´ as corriente.
10. En las instrucciones de una nevera se afirma que su rendimiento, (eficiencia), es 1. Indicar que afirmaci´ on es cierta: a) Esta afirmaci´ on se contradice con el segundo principio de Termodin´ amica.
b) Esta afirmaci´ on se contradice con el primer principio de Termodin´ amica.
c) Solo es posible si funciona mediante un ciclo de Carnot reversible.
d ) Es posible para cualquier nevera en la que el calor extraido del foco frio por unidad de tiempo sea igual a la potencia consumida.
11. M es la masa, L longitud, T el tiempo y K la temperatura absoluta. Las dimensiones de la conductividad t´ermica son: a) M −1 L2 T 2 K −2 .
b) M LT 2 K−1.
c) M LT −3K −1 .
d ) M LT 3 K −1 .
12. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Hay procesos reversibles que no son cuasiest´ aticos.
b) Existen procesos cuasiest´ aticos que no son reversibles.
c) Todo proceso cuasiest´ atico es reversible.
d ) Los procesos cuasiest´ aticos deben ser isot´ermicos.
13. Se asocian varias resistencias t´ermicas. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Si est´ an en paralelo la resistencia resultante es mayor que cada una de las resistencias asociadas.
b) Si est´ an en serie la resistencia resultante es menor que cualquiera de las resistencias asociadas.
c) Si est´ an en serie la resistencia resultante es menor que la mayor de todas las resistencias asociadas, pero mayor que la menor.
d ) Si est´ an en paralelo la resistencia resultante es menor que cualquiera de las resistencias asociadas.
14. Se tiene una caseta, cuya base es un cuadrado de lado a, y cuya altura es b = 2a. Solo intercambia calor por las paredes y el techo. Tanto las paredes como el techo est´ an formados por una capa de ladrillo, de espesor xL y conductividad kL , y una capa de yeso, de espesor xL /4 y conductividad KL /4.
a) La resistencia t´ermica de la caseta es R = 9xL /(2a2 KL ).
b) La resistencia t´ermica de la caseta es R = xL /(a2 KL ).
c) El flujo de calor, a trav´es de las cuatro paredes, es ocho veces mayor que el flujo a trav´es del techo.
d ) El flujo de calor a trav´es el techo es el doble que el flujo a trav´es de cualquier pared.
15. En una cuerda muy larga, tanto que se puede considerar de longitud infinita, se propaga hacia la derecha una onda arm´ onica de frecuencia angular ω = 600π rad/s, n´ umero de onda k = 6π rad/m y amplitud 0,25 m. Inicialmente, el punto de la cuerda de abscisa x = 1/12 m est´ a en reposo y su separaci´ on de la posici´ on de equilibrio es +0,25 m.
a) b) La ecuaci´ on de la onda es y(x, t) = 0,25 sin(6πx − 600πt) m.
La ecuaci´ on de la onda es y(x, t) = 0,25 cos(6πx − 600πt) m.
c) La ecuaci´ on de la onda es y(x, t) = 0,25 sin(6πx − 600πt + π/2) m.
d ) La ecuaci´ on de la onda es y(x, t) = 0,25 cos(6πx − 600πt + π/2) m.
16. En una cuerda de longitud L, con un extremo fijo y otro libre, se tiene una onda estacionaria con ocho nodos. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Su n´ umero de ondas vale k = 15π/L.
b) Su n´ umero de ondas vale k = 15π/(2L).
c) Su n´ umero de ondas vale k = 15π/(4L).
d ) Su n´ umero de ondas vale k = 15π/(6L).
17. Para una onda estacionaria en una cuerda de longitud L se cumple: a) La energ´ıa cin´etica total de la cuerda es constante.
b) La energ´ıa mec´ anica total de la cuerda no es constante.
c) La energ´ıa mec´ anica total de la cuerda es constante.
d ) La energ´ıa potencial de la cuerda es constante.
18. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) Para toda onda transversal en una cuerda la energ´ıa cin´etica y potencial son iguales.
b) La energ´ıa mec´ anica de las ondas estacionarias en una cuerda no se conserva.
c) La energ´ıa cin´etica de las ondas estacionarias es cero porque no se propagan.
2 2 d ) La energ´ıa de toda onda, que cumple la ecuaci´ on ∂tt φ(x, t) = c2 ∂xx φ(x, t), se conserva.
19. En un tubo cil´ındrico, de secci´ on transversal S y de longitud que se puede considerar infinita, se propaga una onda sonora, cuya ecuaci´ on en funci´ on de la perturbaci´ on de la presi´ on es p(x, t) = pm cos(kx − ωt − π/2).
a) La ecuaci´ on en funci´ on de la velocidad de oscilaci´ on es v(x, t) = vm cos(kx − ωt − π/2), con vm = pm /(ρ0 c).
b) La ecuaci´ on en funci´ on de la velocidad de oscilaci´ on es v(x, t) = vm cos(kx − ωt), con vm = pm /(ρ0 c).
c) La ecuaci´ on en funci´ on de la velocidad de oscilaci´ on es v(x, t) = vm cos(kx − ωt − π), con vm = pm /(ρ0 c).
d ) La ecuaci´ on en funci´ on de la velocidad de oscilaci´ on es v(x, t) = vm cos(kx − ωt + π/2), con vm = pm /(ρ0 c).
20. La intensidad de una onda de presi´ on en un punto cumple: a) Es inversamente proporcional a la amplitud del desplazamiento en ese punto.
b) Es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del desplazamiento en ese punto.
c) Es directamente proporcional a la amplitud del desplazamiento en ese punto.
d ) Es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del desplazamiento en ese punto e independiente del valor de cualquier magnitud en el estado de equilibrio.
F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Test. Segundo Parcial Prueba: 250 18004 02 0 00 ETSECCPB 1 junio 2004 Notas: El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con l´ apiz o bol´ıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutaci´ on, NO se corregir´ a el TEST.
1. Indicar cual de las siguientes igualdades es falsa: a) b) c) d) ∇ · (A × B) = (∇ × A) · B + A · (∇ × B).
∇ · (f A) = (∇f ) · A + f (∇ · A).
∇ × (f A) = (∇f ) × A + f (∇ × A).
∇(f g) = g(∇f ) + f (∇g).
2. Indicar qu´e ecuaci´ on es cierta.
∂S (∇ × A) · dl = ∂S A · dl = a) b) c) V S ∂V A · dS.
(∇ × A) · dS.
(∇ × A)dV = d) S (∇ × A)dS = ∂V A × dS.
AdV V 3. Dada la funci´ on g = p · r/r 3 , con r = (x, y, z), p vector constante y r =| r |, indicar qu´e afirmaci´ on es cierta.
a) b) c) d) ∇g = −3 p .
r4 p (p · r)r −3 .
4 r r5 p (p · r)r .
∇g = 3 − 3 r r5 (p · r)r p .
∇g = 3 − 3 r r4 ∇g = 4. Para el campo vectorial V = αr/r3 , con r = (x, y, z), αconstante y r =| r |, se verifica: a) S V · dS = 4πα, para toda superficie cerrada.
S V · dS = 0, para toda superficie cerrada.
S V · dS = 0, para toda superficie cerrada con el origen en su espacio interior.
S V · dS = 4πα, para toda superficie cerrada con el origen en su espacio interior.
b) c) d) 5. Las unidades del flujo del campo el´ectrico son: a) V.m b) V/m c) N.C/m2 .
d ) N/(C.m2 ).
6. Las unidades de la permeabilidad magn´etica µ son: a) N.A2 .
b) N/A2 .
c) N.m2 .
d ) N.m2 .
7. Indicar cual de las siguientes afirmaciones es cierta: a) Un condensador con un diel´ectrico aumenta su capacidad solamente si el diel´ectrico se introduce con el condensador aislado.
b) Un condensador con un diel´ectrico aumenta su capacidad solamente si el diel´ectrico se introduce con el condensador conectado a una diferencia de potencial constante.
c) Un condensador con un diel´ectrico aumenta su capacidad.
d ) Un condensador con un diel´ectrico disminuye su capacidad.
8. ¿Que afirmaci´ on es cierta? a) El potencial el´ectrico en el interior de un conductor es siempre nulo.
b) El potencial el´ectrico en el interior de un conductor en equilibrio electrost´ atico es siempre nulo.
c) El campo el´ectrico en el interior de un conductor es siempre nulo.
d ) El campo el´ectrico en el interior de un conductor en equilibrio electrost´ atico es siempre nulo.
9. La fuerza ejercida por un campo el´ectrico constante sobre un dipolo cumple: a) Ninguna de las opciones restantes es cierta.
b) Es paralela al momento dipolar (el´ectrico) del dipolo.
c) Forma un a ´ngulo de 180o con el momento dipolar (el´ectrico) del dipolo.
d ) Perpendicular al momento dipolar (el´ectrico) del dipolo.
10. Tres part´ıculas puntuales id´enticas de carga q se encuentran distribuidas sobre el per´ımetro de una circunferencia de radio r, equidistantes las unas de las otras. La energ´ıa electrost´ atica del sistema es: √ q2 3 .
a) 2π 0 √ q2 3 .
b) 4π 0 r √ q2 3 3 c) .
2π 0 r q2 d) .
2π 0 r 11. Una superficie esf´erica de radio R fijada en el espacio contiene una carga Q > 0 uniformemente distribuida. Se coloca una part´ıcula de masa m y carga q < 0 en reposo a una distancia d del centro de la esfera, con d < R. Inmediatamente despues: a) la part´ıcula se acelera hacia el centro de la esfera hasta alcanzar en dicho punto una velocidad v= b) | qQ | (R − d) .
2π 0 mRd la part´ıcula colisiona con la esfera con una velocidad v = | qQ | (R − d) .
2π 0 mRd c) ninguna de las opciones restantes es cierta.
d ) la part´ıcula colisiona con la esfera con una velocidad v = | qQ | (R − d) .
4π 0 mRd 12. Una esfera conductora de radio r con carga neta q se encuentra en el interior de una corteza conductora esf´erica conc´entrica de radios interior y exterior R1 y R2 , respectivamente, cargada con una carga neta Q. Se cumple: a) b) la carga que aparece sobre la superficie de radio R2 es −q.
la carga que aparece sobre la superficie de radio R1 es −Q.
c) la carga que aparece sobre la superficie de radio R2 es −(Q + q).
d ) la carga que aparece sobre la superficie de radio R2 es Q + q.
13. Un campo magn´etico nunca puede a) variar la energ´ıa cin´etica de una part´ıcula cargada.
b) ejercer una fuerza sobre una part´ıcula cargada.
c) acelerar una part´ıcula cargada.
d ) variar la cantidad de movimiento de una part´ıcula cargada.
14. Dos espiras circulares conc´entricas de radios R y 2R transportan intensidades I y 2I en sentido horario y antihorario, respectivamente y se encuentran sobre un mismo plano. El m´ odulo del campo magn´etico en el centro com´ un de las espiras es: µ0 I .
R µ0 I .
b) 2R µ0 I c) .
4R d ) nulo.
a) 15. Un anillo de radio R est´ a cargado uniformemente con una densidad lineal de carga λ. El anillo gira con velocidad angular uniforme ω alrededor de un eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por el centro del mismo. El m´ odulo del campo magn´etico en el centro del anillo es (Ayuda: modulo de campo B creado por espira circular con intensidad I en su centro vale B = µ0 I/2R): a) µ0 λω/2.
b) µ0 λω/R.
c) µ0 λω/2R.
d ) µ0 λω.
16. La corriente de desplazamiento de Maxwell viene dada por la expresi´ on: a) b) c) d) ∂E .
∂t ∂D .
∂t ∂B .
∂t ∂H .
∂t 17. Para el campo el´ectrico se cumple: a) ∇ × E = 0 , siempre.
b) ∇ × E = 0 , si c) d) ∂E = 0.
∂t ∂B ∇ × E = 0 , si = 0.
∂t ∇ × E = 0 , si ∇ · B = 0.
18. En un circuito RL serie, la fase ϕ de la impedancia equivalente cumple: a) ϕ = arctan R .
R2 + (Lω)2 b) ϕ = arctan R2 Lω .
+ (Lω)2 Lω .
R R d ) ϕ = arctan .
Lω c) ϕ = arctan 19. Se tiene un circuito LC serie. La carga inicial del condensador es Q0 . Para este circuito se cumple: a) b) Q2 Q2 LI 2 + = 0 2 2C 2C 2 la energ´ıa inicial es Q0 /(2C) y decrece exponencialmente con el tiempo.
la energ´ıa cumple la ecuaci´ on c) la energ´ıa se almacena solamente en el campo el´ectrico del condensador.
d ) la energ´ıa es siempre nula porque no se disipa en ninguna parte del circuito.
20. Para la corriente continua se verifica: a) La ley de Ohm s´ olo es cierta para intensidades d´ebiles.
b) La relaci´ on j = σ E, siendo σ la conductividad el´ectrica s´ olo se cumple para conductores.
c) La relaci´ on j = σ E, siendo σ la conductividad el´ectrica se cumple para todos los elementos de un circuito, como condensadores y generadores de f.e.m.
d ) La relaci´ on j = σ E, siendo σ la conductividad el´ectrica s´ olo se cumple para conductores filiformes.
F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Test. Primer y Segundo Parcial Prueba: 250 18004 10 0 00 ETSECCPB 1 junio 2004 Notas: El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con l´ apiz o bol´ıgrafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutaci´ on, NO se corregir´ a el TEST.
1. La funci´ on: y(z, t) = A sin (πz − 4πt) + A sin (πz + 4πt) a) Puede representar una onda transversal estacionaria en una cuerda situada en el eje z.
b) S´ olo puede representar una onda transversal estacionaria en una cuerda situada en el eje z con extremos fijos y longitud unidad.
c) No puede representar ondas transversales que se propagan en una cuerda.
d ) Es una onda no peri´ odica.
2. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta para una onda sonora en un gas ideal a) La velocidad de propagaci´ on es independiente del tipo de proceso (isot´ermico, adiab´ atico,...) usado para describir la onda.
b) La velocidad de propagaci´ on es mayor para ondas descritas por un proceso adiab´ atico que para las descritas por un proceso isot´ermico.
c) La velocidad de propagaci´ on es mayor para ondas descritas por un proceso isot´ermico que para las descritas por un proceso adiab´ atico.
d ) La velocidad de propagaci´ on, en el caso adiab´ atico, no depende de que el gas sea mono o diat´ omico.
3. Indicar cual de las siguientes funciones puede representar una onda sonora, que se propaga en un gas ideal.
a) p(x, t) = pm sin(x/t + π).
b) p(x, t) = pm cos(xt + π).
c) p(x, t) = pm sinh(x − t), (sinh es el seno hiperb´ olico).
d ) Ninguna de ellas.
4. La intensidad media en un periodo de una onda sonora estacionaria arm´ onica vale: a) p2m /(2ρ0 ), pm es la amplitud de la perturbaci´ on de la presi´ on y ρ0 la densidad del gas en equilibrio.
b) pm vm /2, pm es la amplitud de la perturbaci´ on de la presi´ on y vm la amplitud de la velocidad de oscilaci´ on.
c) no se puede decir, hace falta m´ as informaci´ on para contestar esta pregunta.
d ) cero.
5. Las ondas sonoras (cs 340 m/s) de cierta m´ usica se codifican en una emisora de radio como ondas electromagn´eticas (cL 3 × 108 m/s) de longitud de onda λL = 300 m. La longitud de onda de las ondas sonoras es λs = 3 m. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta.
a) Las ondas electromagn´eticas tienen mayor frecuencia.
b) Las ondas sonoras tienen mayor frecuencia.
c) Esto es imposible, son dos tipos distintos de ondas.
d ) Esto es imposible porque no tienen la misma velocidad de propagaci´ on.
6. Se tiene una masa de hielo m a una temperatura inicial ti ≤ 0o C. Al a˜ nadir una masa m/8 de vapor de agua a 100o C, se funde todo el hielo y queda agua l´ıquida a 0o C. Lf = 80 cal/g, Lv = 540 cal/g, chielo = 0,5 cal/(g.o C), cliq = 1 cal/(g.o C). Indicar el valor de ti a) b) −2 o C 0 oC c) −5 o C d ) −8 o C 7. Un circuito est´ a formado por un condensador de capacidad C y una resistencia R en serie. Inicialmente el condensador tiene una carga Q0 y al cabo de un cierto tiempo τF , se puede considerar totalmente descargado. La temperatura del circuito no var´ıa durante el proceso de descarga del condensador y es igual a la del ambiente Ta .
a) Este proceso es reversible porque el condensador se puede volver a cargar.
b) Este proceso es irreversible porque la entrop´ıa de la resistencia aumenta en Q 20 /(2CTa ) y la del ambiente no var´ıa.
c) Este proceso es irreversible porque la entrop´ıa del ambiente aumenta en Q 20 /(2CTa ) y la de la resistencia no var´ıa.
d ) La variaci´ on de entrop´ıa del universo es cero porque el aumento de entrop´ıa del ambiente es igual y de signo contrario a la variaci´ on de entrop´ıa del circuito.
8. Una persona ingiere cada d´ıa unas 2 × 103 kilocalor´ıas de m´ as y decide no aumentar su peso, sin hacer r´egimen. Para ello se apunta a un gimnasio, a levantar una pesa de 418 N de peso hasta 2 m y luego dejarla caer, las veces que haga falta. Se supone que tarda unos 5 s cada vez. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta: a) En un par de horas lo consigue, no es una mala idea.
b) Levantando una pesa no se consume energ´ıa, por tanto ese m´etodo no vale.
c) No quema esa energ´ıa aunque haga 15 horas diarias de esa gimnasia.
d ) Deber´ a pasar m´ as de 12 horas diarias en el gimnasio para conseguirlo.
9. Una bomba de calor pasa calor de un foco frio, la calle, a uno caliente, el interior de la casa. Para hacerla funcionar se enchufa a la red el´ectrica. La intensidad eficaz de la red es Ie y su fuerza electromotriz eficaz es Ve .
a) La bomba puede suministrar al interior una potencia mayor que Ie Ve .
b) La bomba puede suministrar al interior una potencia m´ axima Ie Ve .
c) La bomba debe suministrar al interior una potencia menor que Ie Ve .
d ) La bomba debe extraer de la calle una potencia igual a Ie Ve .
10. En un proceso el sistema absorbe constantemente calor de su entorno y su entrop´ıa experimenta una variaci´ on ∆Ss > 0. Indicar qu´e afirmaci´ on es cierta para la variaci´ on de entrop´ıa del entorno, ∆S e .
a) b) ∆Ss ≥ ∆Se ≥ 0.
0 ≥ ∆Se ≥ −∆Ss .
c) ∆Se > 0.
d ) ∆Se = 0.
11. Indicar qu´e ecuaci´ on es cierta.
a) ∂S (∇ × A) · dl = ∂S A · dl = b) c) V S ∂V A · dS.
(∇ × A) · dS.
(∇ × A)dV = d) S (∇ × A)dS = ∂V A × dS.
AdV V 12. Dada la funci´ on g = p · r/r 3 , con r = (x, y, z), p vector constante y r =| r |, indicar qu´e afirmaci´ on es cierta.
a) b) c) d) ∇g = −3 p .
r4 p (p · r)r −3 .
r4 r5 (p · r)r p .
∇g = 3 − 3 r r5 p (p · r)r ∇g = 3 − 3 .
r r4 ∇g = 13. Las unidades de la permeabilidad magn´etica µ son: a) N.A2 .
b) N/A2 .
c) N.m2 .
d ) N.m2 .
14. ¿Que afirmaci´ on es cierta? a) El potencial el´ectrico en el interior de un conductor es siempre nulo.
b) El potencial el´ectrico en el interior de un conductor en equilibrio electrost´ atico es siempre nulo.
c) El campo el´ectrico en el interior de un conductor es siempre nulo.
d ) El campo el´ectrico en el interior de un conductor en equilibrio electrost´ atico es siempre nulo.
15. Tres part´ıculas puntuales id´enticas de carga q se encuentran distribuidas sobre el per´ımetro de una circunferencia de radio r, equidistantes las unas de las otras. La energ´ıa electrost´ atica del sistema es: √ q2 3 .
a) 2π 0 √ q2 3 b) .
4π 0 r √ q2 3 3 .
c) 2π 0 r q2 d) .
2π 0 r 16. Un anillo de radio R est´ a cargado uniformemente con una densidad lineal de carga λ. El anillo gira con velocidad angular uniforme ω alrededor de un eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por el centro del mismo. El m´ odulo del campo magn´etico en el centro del anillo es (Ayuda: modulo de campo B creado por espira circular con intensidad I en su centro vale B = µ0 I/2R): a) µ0 λω/2.
b) µ0 λω/R.
c) µ0 λω/2R.
d ) µ0 λω.
17. Para el campo el´ectrico se cumple: a) ∇ × E = 0 , siempre.
b) ∇ × E = 0 , si c) d) ∂E = 0.
∂t ∂B ∇ × E = 0 , si = 0.
∂t ∇ × E = 0 , si ∇ · B = 0.
18. En un circuito RL serie, la fase ϕ de la impedancia equivalente cumple: a) ϕ = arctan R R2 + (Lω)2 .
b) ϕ = arctan R2 Lω .
+ (Lω)2 Lω .
R R d ) ϕ = arctan .
Lω c) ϕ = arctan 19. Se tiene un circuito LC serie. La carga inicial del condensador es Q0 . Para este circuito se cumple: a) b) Q2 Q2 LI 2 + = 0 2 2C 2C 2 la energ´ıa inicial es Q0 /(2C) y decrece exponencialmente con el tiempo.
la energ´ıa cumple la ecuaci´ on c) la energ´ıa se almacena solamente en el campo el´ectrico del condensador.
d ) la energ´ıa es siempre nula porque no se disipa en ninguna parte del circuito.
20. Para la corriente continua se verifica: a) La ley de Ohm s´ olo es cierta para intensidades d´ebiles.
b) La relaci´ on j = σ E, siendo σ la conductividad el´ectrica, s´ olo se cumple para conductores.
c) La relaci´ on j = σ E, siendo σ la conductividad el´ectrica, se cumple para todos los elementos de un circuito, como condensadores y generadores de f.e.m.
d ) La relaci´ on j = σ E, siendo σ la conductividad el´ectrica, s´ olo se cumple para conductores filiformes.
F´ ISICA Plan 95 DEPARTAMENTO de F´ ISICA APLICADA Respostes als Test.
Primer Parcial Preg.
1 a 2 b 3 c 4 c 5 a 6 b 7 c 8 d 9 a 10 d 11 c 12 b 13 d 14 c 15 a 16 b 17 c 18 d 19 a 20 b Segundo Parcial Preg.
1 a 2 b 3 c 4 d 5 a 6 b 7 c 8 d 9 a 10 b 11 c 12 d 13 a 14 d 15 a 16 b 17 c 18 c 19 a 20 b Primer y Segundo Parcial Preg.
1 a 2 b 3 c 4 d 5 a 6 b 7 c 8 d 9 a 10 b 11 b 12 c 13 b 14 d 15 b 16 a 17 c 18 d 19 a 20 b ETSECCPB ...