Tema 3 Matematicas Ingenieria informatica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Europea Miguel de Cervantes
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Matematicas I
Año del apunte 2014
Páginas 85
Fecha de subida 26/11/2014
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Tema 2 Matematicas Ingenieria informatica

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Tema 3 L´ımites, continuidad y derivabilidad de funciones de una variable 3.1.
Funciones reales de variable real Una funci´on real de variable real es una aplicaci´on f : X °! Y en donde X e Y son conjuntos de n´ umeros reales.
El conjunto X es el dominio de la funci´on f .
Se llama gr´afica de la funci´on f al conjunto {(x, f (x)) : x 2 X}.
Si A Ω X, la imagen directa de A por f es el conjunto f (A) = {f (x) : x 2 A}. En particular, el conjunto f (X) es el recorrido de la funci´on f .
Si B Ω Y , la imagen inversa de B por f es el conjunto f °1 (B) = {x 2 X : f (x) 2 B}.
Ejemplo Sea f : R °! R dada por f (x) = x2 . Si A = {x : 0 ∑ x ∑ 2}, entonces f (A) = {y : 0 ∑ y ∑ 4}.
Si B = {y : 0 ∑ y ∑ 4}, entonces f °1 (B) = {x : °2 ∑ x ∑ 2}. As´ı, en este caso, vemos que f °1 (f (A)) 6= A.
Por otra parte, se tiene que f (f °1 (B)) = B. Pero si C = {y : °1 ∑ y ∑ 1}, entonces se tiene que f (f °1 (C)) = {y : 0 ∑ y ∑ 1} 6= C.
Si S Ω X, podemos definir una nueva funci´on f |S : S °! Y por f |S (x) = f (x), x 2 S, que recibe el nombre de restricci´ on de f a S.
Ejemplos (1) Sea f : R °! R dada por f (x) = x. El dominio y el recorrido son el conjunto R.
p (2) Para las funciones f : [0, +1) °! R, f (x) = x2 y g : [0, +1) °! R, g(x) = x, el dominio y el recorrido son el conjunto [0, +1).
(3) Sea f : [0, 2] °! R definida por ( x + 1 si x 2 [0, 1), f (x) = x2 si x 2 [1, 2].
Se trata de una funci´on definida a trozos. El dominio es [0, 2]; el recorrido es [1, 4].
(4) Sea f : R °! R definida por f (x) = |x| = ( x si x ∏ 0, °x si x < 0.
Esta es la funci´on valor absoluto. Su dominio es R y su recorrido es [0, +1).
1 3.1. Funciones reales de variable real 2 (5) La funci´on f : R °! R dada por f (x) = 1 es una funci´on constante. Su dominio es R y su recorrido es {1}.
Observaci´ on En ocasiones, cuando se nos da una funci´on, se facilita solamente la f´ormula y = f (x) que permite hallar la imagen y de cada elemento x, pero no se da, de modo expreso, el conjunto X, el dominio de f . En tales casos, se entiende que el dominio de f es el conjunto m´as amplio posible, es decir, el conjunto de los n´ umeros reales x para los que existe f (x).
Las funciones dadas por x2 ° 1 f (x) = x + 1 y g(x) = x°1 no son iguales pues el dominio de f es R y el de g es R \ {1}. No obstante f (x) = g(x) para todo x 2 R \ {1}.
Definici´ on 3.1.1 Sea f : X °! Y una funci´on real de variable real.
(1) Se dice que f es inyectiva si siempre que x 6= x0 entonces f (x) 6= f (x0 ) (o, lo que es equivalente, si f (x) = f (x0 ) implica x = x0 ).
(2) Se dice que f es sobre si f (X) = Y (esto es, si todo elemento de Y es imagen de alg´ un elemento de X).
(3) Se dice que f es biyectiva si es inyectiva y sobre.
Que una funci´on f : X °! Y sea biyectiva significa que cada elemento de Y es la imagen de un elemento de X, y s´olo de uno. En esta situaci´on, cada y 2 Y determina un´ıvocamente el elemento x 2 X tal que y es la imagen de x por f , es decir, y = f (x). Queda as´ı establecida una funci´on con dominio Y y recorrido X, que se llama inversa de f y se designa por f °1 . As´ı pues, y = f (x) si, y s´olo si, x = f °1 (y).
Si f : X °! Y es biyectiva y f °1 : Y °! X es su inversa, es claro que f °1 es tambi´en biyectiva y que la inversa de f °1 es f .
En muchas ocasiones, cuando y se obtiene haciendo algunas operaciones aritm´eticas con x, la determinaci´on de f °1 consiste en “despejar” la x en la relaci´on que liga x con y. Por ejemplo, si f viene dada por la relaci´on y = 3x°1 , se “despeja” x y se obtiene x = 2y+1 . De aqu´ı resulta 2 3 y = f (x) = 3x ° 1 , 2 x = f °1 (y) = 2y + 1 .
3 Es m´as usual decir que las dos funciones anteriores son una inversa de la otra y describirlas usando una u ´nica letra: 3x ° 1 2x + 1 f (x) = , f °1 (x) = .
2 3 Aqu´ı hemos considerado X = Y = R. En cualquier asunto relativo a una funci´on y a su inversa deben siempre precisarse cu´ales son los conjuntos X e Y .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 3 Los puntos del plano cartesiano que tienen las dos coordenadas iguales constituyen la recta de ecuaci´on y = x. Si un punto (a, b) pertenece a la gr´afica de una funci´on f : X °! Y biyectiva, entonces el punto (b, a) pertenece a la gr´afica de f °1 . Como los puntos (a, b) y (b, a) son sim´etricos respecto de la recta y = x, resulta que las gr´aficas de f y f °1 son sim´etricas respecto de esta recta (cf. Figura 3.1).
Y y x b,a a f 1 b a,b f b O X a Figura 3.1: Las gr´aficas de una funci´on f y de su inversa f °1 .
La funci´on dada por f (x) = x2 no es inyectiva, luego no tiene inversa.
La funci´on g : [0, +1) °! [0, +1) definida por g(x) = x2 es biyectiva y su inversa es g °1 : p °1 [0, +1) °! [0, +1) dada por g (x) = x. En la Figura 3.2 aparecen las gr´aficas de estas dos funciones.
Y 4 y x g 2 g 1 1 X 0 1 2 4 Figura 3.2 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 4 La funci´on h : (°1, 0] °! [0, +1) definida por h(x) = x2 es biyectiva y su inversa es h°1 : p [0, +1) °! (°1, 0] dada por h°1 (x) = ° x. En la Figura 3.3 vemos las gr´aficas de estas dos funciones.
Y 4 h y x 1 1 2 1 4 0 X 1 h 1 2 Figura 3.3 Nota Si f : X °! Y es una funci´on inyectiva y no biyectiva, la funci´on g : X °! f (X) dada por g(x) = f (x) es biyectiva y, por tanto, tiene inversa. Es decir, cualquier funci´on inyectiva se convierte en biyectiva sin m´as que restringir, si es preciso, el conjunto Y de llegada. Por esta raz´on, podemos referirnos a la inversa de una funci´on f inyectiva con dominio X recurriendo a la construcci´on indicada, y es usual que la nueva funci´on de X en f (X) se siga designando por f .
Es habitual querer “componer” dos funciones f, g hallando en primer lugar f (x) y despu´es aplicando g para obtener g(f (x)); sin embargo, esto es posible solamente cuando f (x) pertenece al dominio de g. Si queremos hacer esto para todo f (x), tendremos que suponer que el recorrido de f est´a contenido en el dominio de g.
Definici´ on 3.1.2 Dadas las funciones f : X °! Y y g : Y °! Z, se llama funci´ on compuesta de f con g (en este orden) a la funci´on g ± f : X °! Z (se lee ‘g c´ırculo f ’) definida por (g ± f )(x) = g(f (x)) para cada x 2 X.1 1 Observa que la funci´ on mencionada en primer lugar, la funci´ on g, es la que act´ ua en segundo lugar.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 5 Ejemplos (a) El orden de la composici´on debe tratarse con cuidado. En efecto, consideremos f : R °! R y g : R °! R definidas por f (x) = 2x y g(x) = x2 . Entonces el dominio de g ± f es R y (g ± f )(x) = (2x)2 = 4x2 . Por otra parte, el dominio de la funci´on compuesta f ± g es tambi´en R, pero (f ± g)(x) = 2x2 . As´ı, en este caso, se tiene que g ± f 6= f ± g.
(b) Asimismo hay que ser cuidadosos para asegurar que el recorrido p de f est´e contenido en el 2 dominio de g. Si f y g vienen dadas por f (x) = 1 ° x y g(x) = x, como el dominio de g es [0, +1), la funci´on compuesta g ± f se define por p (g ± f )(x) = 1 ° x2 s´olo para los x del dominio de f que verifican f (x) ∏ 0, es decir, para los x que verifican °1 ∑ x ∑ 1.
Si invertimos el orden, la composici´on f ± g viene dada por la f´ormula (f ± g)(x) = 1 ° x, pero s´olo para los x del dominio de g, es decir, para los x ∏ 0.
El proceso de composici´on o encadenamiento de dos funciones se puede iterar y, para tres funciones f, g, h, se define h ± g ± f (en este orden) mediante (h ± g ± f )(x) = h(g(f (x))).
Naturalmente, se requiere que el recorrido de f est´e contenido en el dominio de g, y que el recorrido de g est´e contenido en el dominio de h. La extensi´on de la definici´on a cualquier cadena finita de funciones (nombre habitual para este tipo de composiciones) es obvia.
Definici´ on 3.1.3 Sea f : X °! R una funci´on en la que X Ω R es sim´etrico respecto de cero, es decir, tal que x 2 X ) °x 2 X. Se dice que f es una funci´ on par si f (°x) = f (x) y que f es una funci´ on impar si f (°x) = °f (x) para todo x 2 X.
La gr´afica de una funci´on par es sim´etrica respecto del eje de ordenadas y la gr´afica de una funci´on impar es sim´etrica respecto del origen de coordenadas (Figuras 3.4 y 3.5).
Y f x f x P P f x 0 x Figura 3.4: Funci´on par: f (°x) = f (x).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara X 3.1. Funciones reales de variable real 6 Y f P f x x x 0 f x X P Figura 3.5: Funci´on impar: f (°x) = °f (x).
Definici´ on 3.1.4 Se dice que una funci´on f es peri´ odica si existe un n´ umero real p > 0 tal que f (x + p) = f (x) para todos los valores posibles de x.2 Cualquier n´ umero p que verifique dicha propiedad se denomina periodo de la funci´on, si bien lo habitual ser´a considerar como periodo el menor p que la cumpla.
Si p > 0 es un periodo de la funci´on f , entonces f (x + mp) = f (x) para todo x y todo m 2 Z.
Para conocer la funci´on peri´odica f (de periodo p > 0) basta conocer los valores de f en un intervalo de longitud p. La gr´afica de la funci´on se obtiene trasladando a derecha e izquierda sucesivas veces la gr´afica correspondiente a ese intervalo (Figura 3.6).
Y f p 0 X p Figura 3.6: Funci´on peri´odica: f (x + p) = f (x).
2 El dominio de f contiene x + p siempre que contenga x y f (x + p) = f (x) para todo x del dominio de f .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 7 Algunas funciones fundamentales Presentamos aqu´ı de forma breve algunas funciones b´asicas, de uso frecuente. Debe establecerse una conexi´on indisoluble entre la definici´on y la correspondiente gr´afica para que siempre que se maneje una funci´on de estas, de forma aislada o en relaci´on con otras funciones, surja de manera autom´atica in mente la representaci´on gr´afica de la situaci´on, lo que ayudar´a a recordar propiedades esenciales y, por tanto, a que los razonamientos puedan producirse con m´as facilidad.
p Las funciones y = xn, y = n x, n 2 N La funci´on y = xpn , n 2 N, se puede definir para todo x 2 R.
n La funci´on y = p x, n impar, se puede definir para todo x 2 R.
n La funci´on y = x, n par, se define para todo x ∏ 0.
p Si n es impar, la funci´on y = xn , x 2 R, tiene por inversa a la funci´on y = n x,px 2 R.
Si n es par, la funci´on y = xn , x 2 [0, +1), tiene por inversa a la funci´on y = n x, x 2 [0, +1).
La Figura 3.7 muestra las gr´aficas de las funciones y = xn para n = 1, 2, 3, 4. En las Figuras 3.8 y p 3.9 aparecen las gr´aficas de las funciones y = n x para n = 1, 3, 5 y para n = 2, 4, 6, respectivamente.
Y 1 1 0 1 X 1 Figura 3.7: Gr´aficas de y = x, y = x2 , y = x3 , y = x4 .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 8 Y 1 1 0 X 1 1 Figura 3.8: Gr´aficas de y = x, y = p 3 x, y = p 5 x.
Y 1 X 0 1 Figura 3.9: Gr´aficas de y = p x, y = p 4 x, y = p 6 x.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 9 En las Figuras 3.10 y 3.11 visualizamos la funci´on y = xn y su inversa y = los dominios adecuados).
p n x, para n > 1 (en Y y x y xn 1 y n x 1 0 X 1 1 Figura 3.10: Gr´afica de y = xn y de su inversa y = p n x, con n impar mayor que 1.
Y y x y xn 1 y n x X 0 1 Figura 3.11: Gr´afica de y = xn , x 2 [0, +1), y de su inversa y = Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara p n x, con n par.
3.1. Funciones reales de variable real 10 Finalmente, la Figura 3.12 presenta las gr´aficas de las funciones y = xn en el intervalo [0, 1] y las de sus inversas para n = 2, 3, 4.
Y 1 12 14 18 1 16 X 0 1 16 1 8 14 12 1 Figura 3.12: Gr´aficas de y = x, y = x2 , y = x3 , y = x4 y de sus respectivas inversas pde las funciones p p 3 y = x, y = x, y = 4 x, en el intervalo [0, 1].
Las funciones exponencial y logar´ıtmica La funci´on y = ex , x 2 R, se llama funci´ on exponencial . Es inyectiva y su recorrido es (0, +1) (cf. p´ag. 50 de este tema), por lo que su inversa, la funci´ on logar´ıtmica (funci´on logaritmo neperiano o logaritmo natural) y = ln x, tiene por dominio (0, +1) y por recorrido R. En la Figura 3.13 aparecen las gr´aficas de ambas.
Y y ex y x e y ln x 1 X 0 1 e Figura 3.13: Gr´aficas de las funciones exponencial y logar´ıtmica.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 11 En general, si a es un n´ umero real con a > 0, a 6= 1, se llama funci´on exponencial de base a a x x ln a la funci´on y = a = e , x 2 R. Es una funci´on inyectiva y su recorrido es (0, +1), por lo que su inversa, la funci´on logar´ıtmica de base a, y = loga x, tiene por dominio (0, +1) y por recorrido R.
As´ı pues, y = ax () x = loga y.
Para todos x, y 2 R, se verifican las siguientes leyes de los exponentes: ax = ax°y , ay (4) (ax )y = axy = (ay )x .
(1) ax ay = ax+y , 1 (2) a°x = x , a (3) Para cualesquiera x > 0, y > 0 y Æ 2 R, se verifican las siguientes propiedades: 1 = ° loga y, y (4) loga (xÆ ) = Æ loga x.
(1) loga (xy) = loga x + loga y, x (2) loga = loga x ° loga y, y (3) loga Adem´as, si b > 0, b 6= 1, se verifica la siguiente f´ormula de cambio de base3 : loga x = Observemos que logb x .
logb a µ ∂°ª 1 a = , ª 2 R, a ª luego la gr´afica de y = ° 1 ¢x es la sim´etrica de la gr´afica de y = ax respecto del eje de ordenadas.
a Observemos tambi´en que log1/a ≥ = ° loga ≥, ≥ 2 (0, +1), luego la gr´afica de y = log1/a x es la sim´etrica de la gr´afica de y = loga x respecto del eje de abscisas.
En las Figuras 3.14 y 3.15 se representan estas dos situaciones, siendo a > 1.
3 Euler expuso esta f´ ormula, a la que llam´ o “regla de oro de los logaritmos”, en su obra Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1748.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 12 Y y 1a x y ax a 1 1 X 0 Figura 3.14 Y y loga x X 0 1 a 1 y log1 a x Figura 3.15 Los logaritmos utilizados con m´as frecuencia son los correspondientes a la base 2 (log2 x, logaritmos binarios), e = 2.71828... (loge x, que designamos habitualmente por ln x, (logaritmos neperianos o naturales)) y 10 (log10 x, logaritmos comunes).4 En la Figura 3.16 aparecen las gr´aficas de estas tres funciones logar´ıtmicas.
4 En las calculadoras y algunos libros de texto elementales se utiliza la notaci´ on log x para designar el logaritmo en base 10, sin embargo para los matem´ aticos y, consecuentemente, en libros de matem´ atica avanzada, la notaci´ on log x significa ln x, es decir, el logaritmo en base e. Por consiguiente, debemos tener especial cuidado cuando consultemos la literatura.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 13 Y 1 0 1 2 e X 10 Figura 3.16: Gr´aficas de las funciones y = log2 x, y = ln x, y = log10 x.
Las funciones trigonom´ etricas En An´alisis Matem´atico los ´angulos no se miden en grados sino en radianes. Situemos el ´angulo que deseamos medir de forma que su v´ertice coincida con el centro de un c´ırculo de radio 1. La medida en radianes µ del ´angulo ACB es la longitud del arco AB (Figura 3.17).5 La longitud de una circunferencia de radio 1 es 2º, luego un ´angulo de 180± tiene medida en radianes º, un ´angulo de 90± tiene medida en radianes º/2, un ´angulo de 45± tiene medida en radianes º/4 y un ´angulo de 360± tiene medida en radianes 2º. Rec´ıprocamente, un ´angulo de 1 radi´an expresado en grados es (180/º)± , o aproximadamente 57± 170 4500 .
B Θ A C 1 Figura 3.17: La medida en radianes del ´angulo ACB es la longitud del arco AB.
5 La medida en radianes de un ´ angulo tambi´ en puede definirse como dos veces el ´ area del correspondiente sector del c´ırculo de radio uno.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 14 En lo sucesivo, siempre que hablemos de un ´angulo x estaremos hablando de un ´angulo cuya medida en radianes es x. Por ejemplo, si hablamos del ´angulo º/3, queremos decir º/3 radianes (que es 60± ) y no º/3 grados.
Hablaremos tambi´en de ´angulos negativos. Dado un ´angulo en el plano, consideraremos un sistema de referencia cartesiano rectangular de manera que el v´ertice est´e situado en el origen de coordenadas y haremos coincidir uno de sus lados con la parte positiva del eje de abscisas. El ´angulo se considerar´a positivo (resp. negativo) si es medido en sentido antihorario (resp. horario) desde la parte positiva del eje de abscisas.
Definimos ahora las funciones trigonom´etricas b´asicas (seno y coseno) mediante un procedimiento geom´etrico. Consideremos la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 (circunferencia unidad). Para cada x 2 R, la semirrecta que pasa por el origen y forma un ´angulo de x radianes con la parte positiva del eje de abscisas determina un punto Px en la circunferencia. Se definen las funciones sen (funci´on seno) y cos (funci´on coseno) por: cos x es la abscisa del punto Px y sen x es la ordenada del punto Px (Figura 3.18). Vemos que °1 ∑ sen x ∑ 1 y °1 ∑ cos x ∑ 1. Las funciones sen y cos tienen dominio R y recorrido [°1, 1]. Ambas funciones son peri´odicas de periodo 2º; sen es impar y cos es par. En la Figura 3.19 aparecen las gr´aficas de las funciones sen y cos.
Y 1 Px sen x x x rad X 1 0 cos x 1 1 Figura 3.18: Definici´on geom´etrica de las funciones trigonom´etricas seno y coseno.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.1. Funciones reales de variable real 15 Y y sen x 1 Π2 Π 3Π 2 Π 0 2Π Π2 X 5Π 2 1 y cos x Figura 3.19 Para los valores de x para los que cos x 6= 0 se define la funci´on tg (funci´ on tangente) por tg x = sen x .
cos x Su dominio es R \ { º2 + kº : k 2 Z} y su recorrido es R. Es peri´odica de periodo º y es impar. La gr´afica de la funci´on tg aparece en la Figura 3.20.
Y y tg x 2Π Π 3Π 2 2Π Π Π2 0 Π2 3Π 2 X Figura 3.20 Otras funciones trigonom´etricas elementales son cosecante, secante y cotangente, definidas por: cosec x = 1 , sen x sec x = 1 , cos x cotg x = Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara cos x .
sen x 3.1. Funciones reales de variable real 16 Las funciones £ ºseno § y coseno son inyectivas en determinados intervalos de longitud º. Para el º seno elegimos ° 2 , 2 , y para el coseno, [0, º]. En ambos casos el recorrido es [°1, 1]. As´ı las cosas: £ § La funci´on sen : ° º2 , º2 °! [°1, 1] es biyectiva. La funci´on inversa recibe £ º el §nombre de º funci´ on arco seno y se designa por arcsen. As´ı pues, arcsen : [°1, 1] °! ° 2 , 2 es tal que arcsen a = b , sen b = a.
La funci´on cos : [0, º] °! [°1, 1] es biyectiva. La funci´on inversa recibe el nombre de funci´ on arco coseno y se designa por arccos. As´ı pues, arccos : [°1, 1] °! [0, º] es tal que arccos a = b , cos b = a.
En la Figura 3.21 se muestran las gr´aficas de seno y arco seno, y en la Figura 3.22, las de coseno y arco coseno.
Y y arcsen x y x Π2 y sen x 1 Π2 1 X 0 1 Π2 1 Π2 Figura 3.21 Y y arccos x Π y x Π2 1 Π2 1 0 Π X 1 1 y cos x Figura 3.22 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 17 ° º ¢ º La funci´on tangente es inyectiva , ¢k 2 Z, y el recorrido es ° º º ¢ en cada intervalo ° 2 + kº, 2 + ° kº º º R. Si elegimos el intervalo ° 2 , 2 , tenemos que la funci´on tg : ° 2 , 2 °! R es biyectiva.
La funci´on inversa el nombre de funci´ on arco tangente y se designa por arctg. As´ı pues, ° º ºrecibe ¢ arctg : R °! ° 2 , 2 es tal que arctg a = b , tg b = a. En la Figura 3.23 se presentan las gr´aficas de estas dos funciones.
Y y tg x y x Π2 y arctg x Π2 0 Π2 X Π2 Figura 3.23 3.2.
L´ımites de funciones En esta secci´on introducimos la noci´on importante de l´ımite de una funci´on. Intuitivamente, la idea de que una funci´on f tenga l´ımite L en el punto a se expresa diciendo que los valores f (x) se acercan a L cuando x se acerca a (pero es distinto de) a. Naturalmente, la expresi´on “se acerca a” requiere una mayor precisi´on, con la cuantificaci´on adecuada (definici´on 3.2.2).
Para que tenga sentido la idea de l´ımite de una funci´on f en un punto a, es necesario que f est´e definida en puntos pr´oximos al punto a. No es necesario que est´e definida en el punto a, pero, para que el estudio sea interesante, deber´ıa estar definida en bastantes puntos cercanos al punto a.
Este es el motivo de la definici´on siguiente.
Definici´ on 3.2.1 Sea X Ω R. Un punto a 2 R es un punto de acumulaci´on de X si para todo ± > 0 existe al menos un punto x 2 X, x 6= a tal que |x ° a| < ±.
Ejemplos (1) Para el intervalo abierto X = (0, 1), cada punto del intervalo cerrado [0, 1] es un punto de acumulaci´on de X. Los puntos 0 y 1 son puntos de acumulaci´on de X, pero no pertenecen a X.
(2) El conjunto X = { n1 : n 2 N} tiene solamente al punto 0 como punto de acumulaci´on. Ning´ un punto de X es un punto de acumulaci´on de X.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 18 Establecemos ahora la definici´on precisa de l´ımite de una funci´on f en un punto a. Es importante observar que en esta definici´on es indiferente que f est´e definida en a o no lo est´e, porque excluimos a de nuestra consideraci´on en la determinaci´on del l´ımite.
Definici´ on 3.2.2 Sea X Ω R y sea a un punto de acumulaci´on de X. Se dice que f : X °! R tiene l´ımite L 2 R en el punto a y se escribe l´ım f (x) = L x!a (o tambi´en f (x) ! L cuando x ! a) si para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, entonces |f (x) ° L| < ".
Las desigualdades 0 < |x ° a| < ± y |f (x) ° L| < " significan que los puntos de la gr´afica de f correspondientes al intervalo (a ° ±, a + ±), excluido a, est´an en la uni´on de los dos productos de intervalos abiertos (a ° ±, a) £ (L ° ", L + ") y (a, a + ±) £ (L ° ", L + "), coloreados en la Figura 3.24 en amarillo y cian, respectivamente.
Y f f a L L f x L O a ∆ x a X a ∆ Figura 3.24: El l´ımite de f en a es L.
Nuestro primer resultado es que el n´ umero real L, si existe, est´a un´ıvocamente determinado, es decir, que una funci´on no puede tener dos l´ımites distintos en un mismo punto.
Teorema 3.2.1 Si f : X °! R y si a es un punto de acumulaci´on de X, entonces f puede tener solamente un l´ımite en a.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 19 El c´alculo de l´ımites se facilita utilizando el siguiente teorema, que proporciona unas reglas operativas b´asicas.
Teorema 3.2.2 Sean X Ω R, f, g : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de X. Si l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M , entonces: x!a x!a (1) l´ım kf (x) = kL para todo k 2 R, x!a (2) l´ım [f (x) + g(x)] = L + M , x!a (3) l´ım [f (x)g(x)] = LM , x!a (4) Si M 6= 0, es f (x) L 6 = .
x!a g(x) M l´ım Ejemplos (1) A partir de la definici´on 3.2.2, es muy sencillo establecer que l´ım k = k, para todo k 2 R, y que x!a l´ım x = a (h´agase como ejercicio). Entonces, por el teorema anterior, tenemos l´ım x2 = a2 , y x!a 1 x!a x si a 6= 0, es l´ım x!a = a1 .
(2) Si f : X °! R, a 2 R es un punto de acumulaci´on de X y existe l´ım f (x), entonces x!a l´ım |f (x)| = | l´ım f (x)|.
x!a x!a Esto es consecuencia inmediata de la desigualdad ||x| ° |y|| ∑ |x ° y|, v´alida para todos x, y 2 R (cf. teorema 1.2.6(3)).
(3) Si f : X °! R, a 2 R es un punto de acumulaci´on de X, f (x) ∏ 0 para todo x 2 X y existe l´ım f (x), entonces x!a q p l´ım f (x) = l´ım f (x) .
x!a x!a En efecto, sea l´ım f (x) = L(∏ 0).
x!a Si L > 0, dado " >p0 tomemos ± > 0 tal que para x 2 X con 0 < |x ° a| < ±, se tenga que |f (x) ° L| < " L. Entonces, si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, se tiene que Øp p ØØ 1 Ø Ø f (x) ° L Ø ∑ p |f (x) ° L| < ".
L Si L = 0, dado " > 0 tomemos ± > 0 tal que para x 2 X con 0 <p |x ° a| < ±, se tenga que f (x) < "2 . Entonces, si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, se tiene que f (x) < ".
p p Se concluye que l´ım f (x) = L.
x!a 6 Es costumbre designar por kf, f + g, f g y f /g las funciones cuyos valores para cada x son kf (x), f (x) + g(x), f (x)g(x) y f (x)/g(x), respectivamente. Estas funciones se denominan producto de f por un escalar y suma, producto y cociente de f y g, respectivamente. La diferencia f ° g es la funci´ on cuyo valor para cada x es f (x) ° g(x), es decir, f ° g = f + (°1)g.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 20 x3 °6 2 x!2 x +1 (4) Por el teorema 3.2.2, se tiene que l´ım (x2 + 1)(x3 ° 6) = 5 · 2 = 10 y que l´ım x!2 2 = 25 .
x °4 Veamos que l´ım 3x°6 = 43 . Observa que ahora no se puede aplicar el teorema 3.2.2(4), porque x!2 l´ım 3x ° 6 = 0. Ahora bien, si x 6= 2, resulta que x!2 x2 ° 4 (x + 2)(x ° 2) 1 = = (x + 2).
3x ° 6 3(x ° 2) 3 Por consiguiente, x2 ° 4 1 4 = l´ım (x + 2) = .
x!2 3x ° 6 x!2 3 3 l´ım p x°1 p .
Como l´ım 1 ° x = 0, tampoco podemos aplicar el teorema 3.2.2(4) para calcular l´ım 1° x x!1 x!1 Sin embargo, si x ∏ 0, x 6= 1, es p p p x°1 (x ° 1)(1 + x) (x ° 1)(1 + x) p = p p = = °(1 + x), 1°x 1° x (1 ° x)(1 + x) y, por tanto, p x°1 p = l´ım °(1 + x) = °2.
x!1 1 ° x x!1 l´ım (5) Sea p : R °! R la funci´on polin´omica p(x) = cn xn + cn°1 xn°1 + · · · + c1 x + c0 . Del teorema 3.2.2 y del hecho de que l´ım xj = aj , j 2 N, resulta x!a l´ım p(x) = l´ım (cn xn + cn°1 xn°1 + · · · + c1 x + c0 ) x!a x!a = l´ım cn xn + l´ım cn°1 xn°1 + · · · + l´ım c1 x + l´ım c0 x!a x!a x!a x!a = cn an + cn°1 an°1 + · · · + c1 a + c0 = p(a).
(6) Sean p, q : R °! R funciones polin´omicas con q(a) 6= 0. Existe a lo sumo un n´ umero finito de n´ umeros reales Æ1 , . . . , Æm (los ceros reales de q(x)) tales que q(Æj ) = 0 y si x 2 / {Æ1 , . . . , Æm }, entonces q(x) 6= 0. Por tanto, para x 2 / {Æ1 , . . . , Æm } podemos definir la funci´on racional r por p(x) r(x) = .
q(x) Si a no es un cero de q(x), entonces q(a) 6= 0 y del ejemplo 5 se deduce que l´ım q(x) = q(a) 6= 0.
x!a Por consiguiente, podemos aplicar el teorema 3.2.2(4) para concluir l´ım p(x) p(x) p(a) = x!a = .
x!a q(x) l´ım q(x) q(a) l´ım x!a Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 21 El teorema siguiente muestra la relaci´on existente entre desigualdades y paso al l´ımite.
Teorema 3.2.3 Sean X Ω R, f, g : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de X.
Supongamos que l´ım f (x) = L y l´ım g(x) = M .
x!a x!a (1) Si k < L (resp. k > L), existe un ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, entonces k < f (x) (resp. k > f (x)).
(2) Si existe un ± > 0 tal que para x 2 X con 0 < |x ° a| < ±, se tiene k < f (x) (resp. k > f (x)), entonces k ∑ L (resp. k ∏ L).
(3) Si L < M , existe un ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, entonces f (x) < g(x).
(4) Si existe un ± > 0 tal que para x 2 X con 0 < |x ° a| < ±, se tiene f (x) < g(x), entonces L ∑ M.
Si en las cercan´ıas de un punto a los valores de una funci´on f est´an “atrapados” entre los valores de dos funciones que en a tienen el mismo l´ımite, dicho l´ımite es tambi´en el l´ımite de f en a.
Teorema 3.2.4 (Teorema del s´ andwich) Sea X Ω R, sean f, g, h : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de X. Si existe ± > 0 tal que g(x) ∑ f (x) ∑ h(x) ° ¢ para todo x 2 X\ (a ° ±, a + ±) \ {a} , y adem´as l´ım g(x) = L = l´ım h(x), entonces l´ım f (x) = L.
x!a x!a x!a Ejemplo Sea f : R \ {0} °! R definida por f (x) = x sen(1/x) . Como °1 ∑ sen ª ∑ 1 () |sen ª| ∑ 1 para todo ª 2 R, es |sen (1/x)| ∑ 1 para todo x 2 R \ {0}, luego Ø Ø Ø Ø Øx sen 1 Ø ∑ |x| () °|x| ∑ x sen 1 ∑ |x| Ø xØ x para todo x 2 R \ {0}, y como l´ım |x| = 0, por el teorema anterior resulta que x!0 l´ım x sen x!0 1 = 0.
x La gr´afica de la funci´on f oscila infinidad de veces en la proximidad de 0, cortando al eje de abscisas 1 en los puntos kº , k 2 Z \ {0}, por lo que no podemos esperar que la representaci´on sea realmente “exacta” (Figuras 3.25 y 3.26).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 22 Y y x 1 y x sen 1 x X 0 y x Figura 3.25: Gr´afica de y = x sen(1/x), 0.03 ∑ |x| ∑ 1.5.
Y y x 1 2Π 1Π 1 2Π 1 3Π 1 3Π X 1Π 0 y x sen 1 x y x Figura 3.26: Gr´afica de y = x sen(1/x), 0.035 ∑ |x| ∑ 0.45.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 23 Nos ocupamos ahora de algunas extensiones del concepto de l´ımite: l´ımites laterales, l´ımites infinitos, l´ımites en el infinito.
Definici´ on 3.2.3 Sea X Ω R y sea f : X °! R.
(1) Sea a 2 R un punto de acumulaci´on del conjunto X \ (a, +1) = {x 2 X : x > a}. Se dice que f tiene l´ımite L 2 R en el punto a por la derecha y se escribe l´ım f (x) = L x!a+ si para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < x ° a < ±, entonces |f (x) ° L| < ".
(2) Sea a 2 R un punto de acumulaci´on del conjunto X \ (°1, a) = {x 2 X : x < a}. Se dice que f tiene l´ımite L 2 R en el punto a por la izquierda y se escribe l´ım f (x) = L x!a° si para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < a ° x < ±, entonces |f (x) ° L| < ".
l´ım f (x) y l´ım° f (x) se llaman l´ımites laterales de f en a.
x!a+ x!a Teorema 3.2.5 Sea X Ω R, sea f : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de los conjuntos X \ (a, +1) y X \ (°1, a). Entonces l´ım f (x) = L x!a si, y s´olo si, l´ım f (x) = L = l´ım° f (x).
x!a+ x!a Notas y ejemplos (1) Es posible que no exista ninguno de los l´ımites laterales, que exista uno de ellos y no exista el otro o que existan ambos y sean distintos. Un ejemplo de esta u ´ltima situaci´on lo proporciona la funci´ on signo, sgn, definida por 8 > < 1 si x > 0, sgn(x) = 0 si x = 0, > : °1 si x < 0.
Y y sgn x 1 X 0 1 Figura 3.27: La funci´on signo.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 24 Vemos su gr´afica en la Figura 3.27. Observa que sgn(x) = x/|x| para x 6= 0. Es claro que l´ım+ sgn(x) = 1 y que l´ım° sgn(x) = °1. Puesto que los l´ımites laterales son distintos, la x!0 x!0 funci´on signo no tiene l´ımite en el punto 0 (teorema 3.2.5).
(2) Si X es un intervalo cuyo extremo izquierdo es a, entonces claramente f : X °! R tiene l´ımite en a si, y s´olo si, tiene l´ımite en a por la derecha. Adem´as, en este caso el l´ımite l´ım f (x) x!a y el l´ımite por la derecha l´ım+ f (x) son iguales y es preferible designar el l´ımite con el s´ımbolo x!a p p l´ım+ f (x). Por ejemplo, si f : [0, +1) °! R est´a dada por f (x) = x, se tiene l´ım+ x = 0.
x!a x!0 La situaci´on es an´aloga para el l´ımite por la izquierda cuando X es un intervalo con extremo derecho a.
Definici´ on 3.2.4 Sea X Ω R, sea f : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de X.
(1) Se dice que f tiende hacia +1 cuando x tiende hacia a y se escribe l´ım f (x) = +1 x!a si para cada Æ 2 R existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, entonces f (x) > Æ.
(2) Se dice que f tiende hacia °1 cuando x tiende hacia a y se escribe l´ım f (x) = °1 x!a si para cada Ø 2 R existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < |x ° a| < ±, entonces f (x) < Ø.
En la Figura 3.28 se ilustra la definici´on 3.2.4(1).
Y f f x Α O a ∆x a a ∆ X Figura 3.28: l´ım f (x) = +1.
x!a Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 25 El siguiente es un resultado an´alogo al del teorema 3.2.4.
Teorema 3.2.6 Sea X Ω R, sean f, g : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de X.
Supongamos que existe ± > 0 tal que f (x) ∑ g(x) ° ¢ para todo x 2 X\ (a ° ±, a + ±) \ {a} .
(1) Si l´ım f (x) = +1, entonces l´ım g(x) = +1.
x!a x!a (2) Si l´ım g(x) = °1, entonces l´ım f (x) = °1.
x!a x!a Definici´ on 3.2.5 Sea X Ω R y sea f : X °! R.
(1) Sea a 2 R un punto de acumulaci´on del conjunto X \ (a, +1) = {x 2 X : x > a}. Se dice que f tiende hacia +1 (resp. f tiende hacia °1) cuando x tiende hacia a por la derecha y se escribe µ ∂ l´ım f (x) = +1 x!a+ resp.
l´ım f (x) = °1 x!a+ si para cada Æ 2 R existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < x ° a < ±, entonces f (x) > Æ (resp.
f (x) < Æ).
(2) Sea a 2 R un punto de acumulaci´on del conjunto X \ (°1, a) = {x 2 X : x < a}. Se dice que f tiende hacia +1 (resp. f tiende hacia °1) cuando x tiende hacia a por la izquierda y se escribe µ ∂ l´ım f (x) = +1 x!a° resp.
l´ım f (x) = °1 x!a° si para cada Ø 2 R existe ± > 0 tal que si x 2 X y 0 < a ° x < ±, entonces f (x) > Ø (resp.
f (x) < Ø).
Teorema 3.2.7 Sea X Ω R, sea f : X °! R y sea a 2 R un punto de acumulaci´on de los conjuntos X \ (a, +1) y X \ (°1, a). Entonces l´ım f (x) = ±1 x!a si, y s´olo si, l´ım f (x) = ±1 = l´ım° f (x).
x!a+ x!a Ejemplos p (1) l´ım (1/x2 ) = +1. En efecto, dado Æ > 0 podemos elegir ± = 1/ Æ, y de esta forma, si x!0 0 < |x| < ±, entonces x2 < 1/Æ luego 1/x2 > Æ (Figura 3.29).
(2) Es f´acil ver que l´ım+ (1/x) = +1 y l´ım° (1/x) = °1. Por tanto, no existe l´ım (1/x) (Figura x!0 x!0 3.30).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara x!0 3.2. L´ımites de funciones 26 Y 7 Y 3 6 2 5 1 y 1x 4 X 3 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 y 1x 2 3 X 3 2 1 0 1 2 3 Figura 3.30: l´ım+ (1/x) = +1, l´ım° (1/x) = °1.
Figura 3.29: l´ım (1/x2 ) = +1.
x!0 x!0 x!0 Definici´ on 3.2.6 Sea X Ω R y sea f : X °! R.
(1) Supongamos que (a, +1) Ω X para alg´ un a 2 R. Se dice que f tiene l´ımite L 2 R cuando x tiende hacia +1 y se escribe l´ım f (x) = L x!+1 si para cada " > 0 existe K > a tal que si x > K, entonces |f (x) ° L| < ".
(2) Supongamos que (°1, b) Ω X para alg´ un b 2 R. Se dice que f tiene l´ımite L 2 R cuando x tiende hacia °1 y se escribe l´ım f (x) = L x!°1 si para cada " > 0 existe K < b tal que si x < K, entonces |f (x) ° L| < ".
En la Figura 3.31 se ilustra la definici´on 3.2.6(1).
Y f L f x L L O a K x Figura 3.31: l´ım f (x) = L.
x!+1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara X 3.2. L´ımites de funciones 27 Ejemplo Es f´acil probar que l´ım (1/x) = 0 = l´ım (1/x) (cf. Figura 3.30).
x!+1 x!°1 Observaci´ on Supongamos que (a, +1) Ω X para alg´ un a 2 R y sea g : X °! R. Designemos por °X el conjunto sim´etrico de X respecto de 0, es decir, °X = {x 2 R : °x 2 X}, con lo que (°1, °a) Ω °X. Sea f : °X °! R dada por f (ª) = g(°ª) (las gr´aficas de f y g son sim´etricas respecto del eje de ordenadas). Entonces l´ım g(x) = l´ım f (x). En efecto, si l´ım g(x) = L, para cada " > 0 x!+1 x!°1 x!+1 existe K > a tal que si x > K, entonces |g(x) ° L| < ", luego existe °K < °a tal que si °x < °K, entonces |f (°x) ° L| = |g(x) ° L| < ", y resulta que l´ım f (x) = L (Figura 3.32).
x!°1 Y f x g X x 0 Figura 3.32: g(x) = f (°x); l´ım f (x) = l´ım f (°x).
x!°1 x!+1 Definici´ on 3.2.7 Sea X Ω R y sea f : X °! R.
(1) Supongamos que (a, +1) Ω X para alg´ un a 2 R. Se dice que f tiende hacia +1 (resp. °1) cuando x tiende hacia +1 y se escribe µ ∂ l´ım f (x) = +1 resp. l´ım f (x) = °1 x!+1 x!+1 si para cada Æ 2 R existe K > a tal que si x > K, entonces f (x) > Æ (resp. f (x) < Æ).
(2) Supongamos que (°1, b) Ω X para alg´ un b 2 R. Se dice que f tiende hacia +1 (resp. °1) cuando x tiende hacia °1 y se escribe µ ∂ l´ım f (x) = +1 resp. l´ım f (x) = °1 x!°1 x!°1 si para cada Ø 2 R existe K < b tal que si x < K, entonces f (x) > Ø (resp. f (x) < Ø).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 28 Teorema 3.2.8 Sea X Ω R, f, g : X °! R y supongamos que (a, +1) Ω X para alg´ un a 2 R.
Supongamos adem´as que g(x) > 0 para todo x > a y que f (x) =L x!+1 g(x) l´ım con L 2 R, L 6= 0.
(1) Si L > 0, entonces l´ım f (x) = +1 si, y s´olo si, l´ım g(x) = +1.
x!+1 x!+1 (2) Si L < 0, entonces l´ım f (x) = °1 si, y s´olo si, l´ım g(x) = +1.
x!+1 x!+1 Se verifica un resultado an´alogo para x ! °1.
Ejemplos (1) l´ım xn = +1 para n 2 N.
x!+1 Sea f (x) = xn para x 2 (0, +1). Dado Æ 2 R, sea K = m´ax{1, Æ}. Entonces para todo x > K, se tiene f (x) = xn ∏ x > Æ. Como Æ 2 R es arbitrario, resulta que l´ım f (x) = +1.
x!+1 (2) l´ım xn = +1 para n 2 N, n par, y l´ım xn = °1 para n 2 N, n impar.
x!°1 x!°1 Teniendo en cuenta el ejemplo (1), basta considerar la observaci´on posterior a la definici´on 3.2.6 y que se ilustra en la Figura 3.32.
(3) Sea p : R °! R la funci´on polin´omica p(x) = an xn + an°1 xn°1 + · · · + a1 x + a0 .
Entonces l´ım p(x) = +1 si an > 0, y l´ım p(x) = °1 si an < 0.
x!+1 x!+1 En efecto, pongamos g(x) = xn y apliquemos el teorema 3.2.8. Como µ ∂ µ ∂ µ ∂ p(x) 1 1 1 = an + an°1 + · · · + a1 + a0 , n°1 g(x) x x xn resulta que l´ım (p(x)/g(x)) = an , y puesto que l´ım g(x) = +1, la afirmaci´on se sigue del x!+1 x!+1 citado teorema.
(4) Sea p la funci´on polin´omica del ejemplo (3). Entonces l´ım p(x) = +1 (resp. °1) si n es x!°1 par (resp. impar) y an > 0.
En efecto, basta tener en cuenta los resultados del ejemplo (2).
(5) Supongamos que (a, +1) Ω X para alg´ un a 2 R y sea f : X °! R con f (x) p ∏ 0 para todo x 2 R. Es f´acil probar que si l´ım f (x) existe y es finito, entonces l´ım f (x) = x!+1 x!+1 q p l´ım f (x), y que si l´ım f (x) = +1, entonces l´ım f (x) = +1.
x!+1 x!+1 x!+1 Las nociones de cota inferior y cota superior para un conjunto de n´ umeros reales son aplicables a una funci´on real. Basta asociar estos conceptos al recorrido de la funci´on.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 29 Definici´ on 3.2.8 Una funci´on f : X °! R est´a acotada superiormente (resp. inferiormente) si lo est´a su recorrido f (X). Una cota inferior A y una cota superior B para f son una cota inferior y una cota superior respectivamente para f (X), es decir A ∑ f (x), x 2 X f (x) ∑ B, x 2 X.
y Se dice que f es acotada si est´a acotada superior e inferiormente, lo que equivale a decir que existe M > 0 tal que |f (x)| ∑ M para todo x 2 X.
Teorema 3.2.9 Sean X Ω R, a un punto de acumulaci´on de X y f : X °°! R. Si f tiene l´ımite ¢ finito en el punto a, entonces existe un ± > 0 tal que f es acotada en X\ (a ° ±, a + ±) \ {a} .
Definici´ on 3.2.9 Sea I Ω R un intervalo.
(1) Se dice que f : I °! R es creciente (resp. decreciente) en I si para cualesquiera x1 , x2 2 I, con x1 < x2 , se verifica f (x1 ) ∑ f (x2 ) (resp. f (x1 ) ∏ f (x2 )). Se dice que f es mon´ otona en I si es creciente en I o es decreciente en I.
(2) Se dice que f : I °! R es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente) en I si para cualesquiera x1 , x2 2 I, con x1 < x2 , se tiene f (x1 ) < f (x2 ) (resp. f (x1 ) > f (x2 )).
Se dice que f es estrictamente mon´ otona en I si es estrictamente creciente en I o es estrictamente decreciente en I.
Las funciones mon´otonas tienen un comportamiento muy sencillo en relaci´on con sus posibles l´ımites. El siguiente resultado, v´alido para una funci´on mon´otona creciente, se extiende de forma natural al caso de una funci´on mon´otona decreciente.
Teorema 3.2.10 Sea I Ω R un intervalo abierto y f : I °! R una funci´on mon´otona creciente.
(1) Si a 2 I, entonces existen y son finitos los l´ımites laterales de f en a, y se verifica l´ım f (x) = sup{f (x) : x 2 I, x < a}, l´ım f (x) = ´ınf{f (x) : x 2 I, x > a}, x!a° x!a+ y l´ım f (x) ∑ f (a) ∑ l´ım+ f (x).
x!a° x!a (2) Si I es acotado, a es su ´ınfimo y b es su supremo, entonces l´ım f (x) = ´ınf{f (x) : x 2 I} x!a+ y l´ım f (x) = sup{f (x) : x 2 I}, x!b° y estos l´ımites laterales son infinitos cuando f no tiene la correspondiente cota.
(3) Si I no tiene cota inferior, entonces l´ım f (x) = ´ınf{f (x) : x 2 I}, x!°1 y si I no tiene cota superior, entonces l´ım f (x) = sup{f (x) : x 2 I}.
x!+1 Estos l´ımites son infinitos cuando f carece de la cota correspondiente.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 30 Existe una relaci´on importante entre el concepto de l´ımite de una sucesi´on estudiado en el tema 2 y el concepto de l´ımite de una funci´on que venimos estudiando en este tema.
Teorema 3.2.11 Sea X Ω R, a un punto de acumulaci´on de X y f : X °! R. Los siguientes enunciados son equivalentes: (1) l´ım f (x) = L 2 R.
x!a (2) Para cada sucesi´ on (xn )1 n=1 de puntos de X que converge hacia a con xn 6= a para todo n 2 N, la sucesi´ on (f (xn ))1 converge hacia L.
n=1 En muchas ocasiones tendremos que ser capaces de afirmar que cierto n´ umero no es el l´ımite de una funci´on en un punto, o bien que la funci´on no tiene l´ımite en un punto. Para ello disponemos del resultado siguiente, consecuencia del teorema anterior.
Teorema 3.2.12 Sea X Ω R, a un punto de acumulaci´on de X y f : X °! R.
(a) Si L 2 R, entonces f no tiene l´ımite L en a si, y s´olo si, existe una sucesi´ on (xn )1 n=1 de 1 puntos de X con xn 6= a para todo n 2 N tal que la sucesi´ on (xn )n=1 converge hacia a pero la sucesi´ on (f (xn ))1 n=1 no converge hacia L.
(b) La funci´on f no tiene l´ımite en a si, y s´olo si, existe una sucesi´ on (xn )1 n=1 de puntos de X 1 con xn 6= a para todo n 2 N tal que la sucesi´ on (xn )n=1 converge hacia a pero la sucesi´ on (f (xn ))1 no converge en R.
n=1 Ejemplos (1) Ya sabemos que l´ım sgn(x) no existe (cf. p´ag. 24). Ve´amoslo ahora utilizando el criterio x!0 anterior. Para ello, vamos a proporcionar una sucesi´on (xn )1 ım xn = 0, pero tal n=1 tal que l´ n!1 que (sgn(xn ))1 n=1 no converge.
Sea xn = (°1)n /n, n 2 N. Entonces l´ım xn = 0 y como sgn(xn ) = (°1)n , n 2 N, la sucesi´on n!1 (sgn(xn ))1 ım sgn(x) no existe.
n=1 diverge. Por tanto, l´ x!0 (2) Sea f : R \ {0} °! R definida por f (x) = sen(1/x). En las Figuras 3.33 y 3.34 aparece la gr´afica de f en representaciones necesariamente aproximadas pues oscila infinidad de veces 1 en las cercan´ıas de 0, cortando al eje de abscisas en los puntos kº , k 2 Z \ {0} (compara con la funci´on g : R \ {0} °! R definida por g(x) = x sen(1/x), para la que l´ım g(x) = 0, x!0 y representada en las Figuras 3.25 y 3.26)). Veremos que no existe l´ım f (x) mostrando dos x!0 1 sucesiones (xn )1 ım xn = n=1 e (yn )n=1 con xn 6= 0 e yn 6= 0 para todo n 2 N y tales que l´ n!1 0 = l´ım yn , pero l´ım f (xn ) 6= l´ım f (yn ). En virtud del teorema 3.2.11, esto implica que no n!1 n!1 n!1 puede existir l´ım f (x).
x!0 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 31 Y 1 y sen 1 x X 1 Figura 3.33: Gr´afica de y = sen(1/x), 0.025 ∑ |x| ∑ 2.4.
Y 1 y sen 1 x 1Π 1 3Π 1 2Π 0 1 2Π 1 3Π 1Π X 1 Figura 3.34: Gr´afica de y = sen(1/x), 0.031 ∑ |x| ∑ 0.33.
Recordemos que sen t = 0 si t = kº para k 2 Z y que sen t = 1 si t = º2 + 2ºk para k 2 Z.
Sea xn = (nº)°1 para n 2 N; entonces l´ım xn = 0 y f (xn ) = sen(nº) = 0 para todo n 2 N, n!1 ° ¢°1 luego l´ım f (xn ) = 0. Por otra parte, sea yn = º2 + 2ºn para n 2 N; entonces l´ım yn = 0 n!1 n!1 °º ¢ y f (yn ) = sen 2 + 2ºn = 1 para todo n 2 N, de modo que l´ım f (yn ) = 1. Se concluye que n!1 l´ım sen(1/x) no existe.
x!0 (3) Si (xn )1 on de n´ umeros reales que converge hacia 0, con xn 6= 0 para todo n 2 N, n=1 es una sucesi´ las definiciones geom´etricas de seno y coseno establecen que l´ım sen xn = 0 y l´ım cos xn = 1.
n!1 n!1 Por tanto, l´ım sen x = 0 y l´ım cos x = 1.
x!0 x!0 Naturalmente existen teoremas an´alogos a los dos anteriores para l´ımites infinitos y l´ımites en el infinito, as´ı como versiones para l´ımites laterales. Dejamos como ejercicio escribir los enunciados de dichos teoremas.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 32 Un l´ımite importante Sea f la funci´on definida para x 6= 0 mediante f (x) = senx x . ¿Existe l´ım f (x)? En caso afirmativo, x!0 ¿cu´al es su valor? La siguiente f´ormula da respuesta a estas preguntas: sen x = 1.
x!0 x l´ım Observando la Figura 3.35, si comparamos las ´areas de los tri´angulos OAB y OAC y el ´area del sector OAB del c´ırculo unidad, encontramos que si 0 < x < º/2 1 1 1 sen x < x < tg x.
2 2 2 De aqu´ı se deduce x 1 < , sen x cos x 1< que es equivalente a sen x < 1, x para 0 < |x| < º/2 (n´otese el car´ater par de las funciones y = (sen x)/x e y = cos x). Como l´ım cos x = 1, resulta que l´ım senx x = 1, en virtud del teorema del s´andwich.
cos x < x!0 C tg x B x sen x x!0 O cos x A Figura 3.35 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 33 A partir de senx x < 1 para 0 < |x| < º/2, es inmediato que | sen x| < |x| para 0 < |x| < º/2.
Ahora bien, como | sen x| ∑ 1, la desigualdad | sen x| < |x| tambi´en se verifica para |x| ∏ º/2 > 1.
Adem´as, sen 0 = 0. Por consiguiente, | sen x| ∑ |x| para todo x 2 R, verific´andose la igualdad si, y s´olo si, x = 0.
La f´ormula l´ım x!0 sen x x = 1 nos permite deducir otros resultados interesantes como, por ejemplo, l´ım x!0 tg x sen x 1 = l´ım · l´ım = 1, x!0 x!0 x x cos x y tambi´en 1 ° cos x = 0.
x!0 x Este u ´ltimo se deduce de la f´ormula, v´alida para 0 < |x| < º, l´ım 1 ° cos x (1 ° cos x)(1 + cos x) 1 ° cos2 x = = x x(1 + cos x) x(1 + cos x) = sen x 1 · · sen x.
x 1 + cos x Cuando x ! 0 el primer factor por la derecha tiende hacia 1, el segundo hacia 1/2 y el tercero hacia 0; por tanto, el producto tiende hacia 0, como hab´ıamos afirmado.
Si en la f´ormula anterior dividimos por x, obtenemos 1 ° cos x ≥ sen x ¥2 1 = , 2 x x 1 + cos x de donde 1 ° cos x 1 = .
2 x!0 x 2 l´ım Notaci´ on de Landau. Funciones equivalentes El matem´atico alem´an Edmund Landau (1877-1938) populariz´o dos s´ımbolos, “O” y “o”,7 que resultan particularmente ventajosos cuando se estudia c´omo se comporta una funci´on en las proximidades de un punto (n´ umero real, +1 o bien °1), es decir, su comportamiento asint´otico.
Habitualmente, el comportamiento asint´otico se determina utilizando una segunda funci´on que sea m´as simple o est´e mejor estudiada y que reproduzca los valores de la funci´on que estemos estudiando en las cercan´ıas del punto en cuesti´on con un error relativo peque˜ no.
7 El s´ımbolo O fue introducido por el matem´ atico alem´ an Paul Bachmann (1837-1920), y apareci´ o en el segundo volumen de su obra Analytische Zahlentheorie, publicada en 1894. El s´ımbolo o es original de Landau y aparece en su Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, de 1909, donde Landau tambi´ en utiliza la notaci´ on O, manifestando haberla visto por primera vez en el libro de Bachmann.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 34 Definici´ on 3.2.10 Sean a 2 R] = R [ {+1, °1} y f, g dos funciones reales definidas al menos en un entorno reducido de a.
(1) Se dice que f es una O de g en el punto a (se lee ‘f es una o grande de g en a’), y se escribe f = O(g) en a, si existe M > 0 tal que se verifica la relaci´ on |f (x)| ∑ M |g(x)| en las proximidades de a, es decir, cuando |x ° a| es positivo y menor que alg´ un ± (si a es un n´ umero), cuando x es mayor que alg´ un Æ (si a es +1) o cuando x es menor que alg´ un Ø (si a es °1).
(2) Se dice que f es una o de g en el punto a (se lee ‘f es una o peque˜ na de g en a’), y se escribe f = o(g) en a, si existe una funci´on " definida en un entorno (o en un entorno reducido) de a, con l´ım "(x) = 0 y tal que se verifica la relaci´ on x!a f (x) = "(x)g(x) en las proximidades de a, es decir, cuando |x ° a| es positivo y menor que alg´ un ± (si a es un n´ umero), cuando x es mayor que alg´ un Æ (si a es +1) o cuando x es menor que alg´ un Ø (si a es °1).
Nota f = O(g) (resp. f = o(g)) en a, tambi´en se expresa escribiendo f (x) = O(g(x)) (resp. f (x) = o(g(x))) cuando x ! a.
Observaci´ on Si a 2 R] y f = o(g) en a, entonces dado ≤ > 0, se verifica |f (x)| ∑ ≤|g(x)| en las proximidades de a y, por tanto, f = O(g) en a. Si g no se anula en un entorno reducido de a, f = o(g) en a significa que l´ım f (x)/g(x) = 0 y f = O(g) en a significa que f /g es acotada en las proximidades x!a de a.
En particular, cuando g(x) ¥ 1, la notaci´on f (x) = o(1) en a significa que l´ım f (x) = 0 y la x!a notaci´on f (x) = O(1) en a significa que f es acotada en las proximidades de a. As´ı, x = o(1) en 0 y sen x = O(1) en ±1.
Una expresi´on de la forma f1 = f2 + o(g) (resp. f1 = f2 + O(g)) en a, significa f1 ° f2 = o(g) (resp. f1 ° f2 = O(g)) en a.
Definici´ on 3.2.11 Sea a 2 R] y f una funci´on real definida al menos en un entorno reducido de a. Se dice que f es un infinit´ esimo (resp. infinito) en a si f tiene l´ımite 0 (resp. infinito8 ) en el punto a.
8 ¡Atenci´ on! Aqu´ı la palabra infinito aparece sin signo determinado. En este contexto, la expresi´ on l´ımite infinito incluye situaciones en las que un l´ımite lateral es +1 y el otro °1 (en cuyo caso, como sabemos, no existe el l´ımite). Por ejemplo, l´ım (1/x) = +1 y x!0+ l´ım (1/x) = °1 (cf. Figura 3.30). As´ı, la funci´ on dada por f (x) = 1/x, x 6= 0 es un infinito en 0.
x!0° Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 35 Definici´ on 3.2.12 Sean a 2 R] y f, g dos funciones reales definidas al menos en un entorno reducido de a.
(1) Si f = o(g) en a y g es un infinit´esimo en a, se dice que f es un infinit´esimo de orden superior a g en a.
(2) Si f y g son infinitos en a y f = o(g) en a, se dice que g tiene orden superior a f en a.
Ejemplos (1) x2 = o(x) en 0 y x = o(x2 ) en ±1.
(2) x2 es un infinit´esimo de orden superior a x en 0.
x2 es un infinito de orden superior a x en ±1.
x°2 = 1/x2 es un infinit´esimo de orden superior a x°1 = 1/x en ±1.
x°2 = 1/x2 es un infinito de orden superior a x°1 = 1/x en 0.
° ¢ (3) x1 + sen x x = O(x) en ±1.
Si convenimos en designar por O(g) (resp. o(g)) una funci´on no especificada que sea una O de g (resp. una o de g),9 entonces podemos escribir expresiones como, por ejemplo, O(1) + O(1) = O(1) que, por tanto, significa ‘si f1 = O(1) y f2 = O(1), entonces f1 + f2 = O(1)’. Con frecuencia, las f´ormulas en las que aparezcan los s´ımbolos O y o no ser´an reversibles. As´ı, o(1) = O(1), es decir, ‘si f = o(1), entonces f = O(1)’, es verdadera, pero O(1) = o(1) es falsa. De hecho, se verifica o(g) = O(g).
En el teorema siguiente se re´ unen algunas reglas sencillas para el manejo de los s´ımbolos o y O.
Teorema 3.2.13 En a 2 R] , tenemos (1) (2) (3) (4) (5) (6) O(O(')) = O('), o(o(')) = o('), O(o(')) = o('), O(') + O(') = O('), o(') + o(') = o('), O(') + o(') = O('), (7) (8) (9) (10) (11) (12) O(') + O(√) = O(' + √), ' O(√) = O('√), ' o(√) = o('√), O(')O(√) = O('√), o(')o(√) = o('√), O(')o(√) = o('√).
El s´ımbolo O tambi´en se utiliza en ocasiones con un significado global: si S Ω R, f = O(g) en S significa que existe M > 0 tal que |f (x)| ∑ M |g(x)| cuando x 2 S. As´ı, ln x = O(x) para x > 1, x = O(sen x) para |x| < º/2 y cos x = 1 + O(x2 ) para x 2 R.
9 Es decir, pensamos O(g) (resp. o(g)) como el conjunto de funciones f que verifican la propiedad de la definici´ on 3.2.10(1) (resp.
3.2.10(2)). Por esta raz´ on, podemos encontrar en la literatura las notaciones f 2 O(g) (resp. f 2 o(g)) en lugar de f = O(g) (resp.
f = o(g)). Nosotros utilizamos las notaciones cl´ asicas (con el signo de igualdad), pero observa que desde el principio en tales notaciones hemos usado el signo “=” en el sentido de ‘es’, es decir, en el sentido de ‘ser miembro de’, considerando, por tanto, la idea de pertenencia.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 36 Definici´ on 3.2.13 Sean a 2 R] y f, g dos funciones reales definidas al menos en un entorno reducido de a. Se dice que f se comporta asint´oticamente como g en a o bien, en forma m´as breve, que f es equivalente a g en a si existe una funci´on Æ definida en un entorno (o en un entorno reducido) de a, con l´ım Æ(x) = 1 y tal que se verifica la relaci´ on x!a f (x) = Æ(x)g(x) en las proximidades de a, es decir, cuando |x ° a| es positivo y menor que alg´ un ± (si a es un n´ umero), cuando x es mayor que alg´ un Æ (si a es +1) o cuando x es menor que alg´ un Ø (si a es °1). En este caso escribimos f ªa g o bien f ª g en a.
Nota f ª g en a tambi´en se expresa escribiendo f (x) ª g(x) cuando x ! a.
Observaciones Es sencillo comprobar que la relaci´on establecida en la definici´ ° on anterior es de ¢equivalencia, es decir, verifica las propiedades reflexiva (f ª f ), sim´ e trica (f ªa g) ) (g ªa f ) y transitiva a ° ¢ [(f ªa g) y (g ªa h)] ) (f ªa h) . En particular, por la simetr´ıa, la expresi´on “f es equivalente a g en a” puede sustituirse por “f y g son equivalentes en a”.
Si a 2 R] y g no se anula en un entorno reducido de a, f ª g en a significa que l´ım f (x)/g(x) = 1.
x!a Es inmediato que si dos funciones son equivalentes en a 2 R] y una de ellas tiene l´ımite L 2 R] en a, entonces la otra tambi´en tiene l´ımite L en a.
Por otra parte, es claro tambi´en que si dos funciones tienen el mismo l´ımite en a 2 R] y ese l´ımite es finito y distinto de cero, entonces son equivalentes en a. Es necesario que el l´ımite sea distinto de cero (x2 , x son infinit´esimos no equivalentes cuando x ! 0) y que el l´ımite sea finito (x2 , x son infinitos no equivalentes cuando x ! +1).
Observemos que l´ım Æ(x) = 1 equivale a la existencia de una funci´on " definida en un entorno x!a (o en un entorno reducido) de a con l´ım "(x) = 0 y tal que Æ(x) = 1 + "(x) en las proximidades de x!a a. Entonces la relaci´on f ªa g equivale a f (x) = Æ(x)g(x) = g(x) + "(x)g(x) = g(x) + o(g(x)) cuando x ! a, es decir, f ªa g () f = g + o(g) en a.
Vemos pues, que si aproximamos f en las cercan´ıas de a por una funci´on g (que no se anula en un entorno reducido de a) equivalente a f en a, el error relativo Ø Ø Ø f (x) ° g(x) Ø Ø!0 |"(x)| = ØØ Ø g(x) cuando x ! a.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 37 A continuaci´on se presenta una relaci´on de equivalencias usuales. La funci´on " designa un infinit´esimo en a 2 R] .
sen "(x) ª "(x) cuando x ! a, en particular, sen x ª x cuando x ! 0 tg "(x) ª "(x) cuando x ! a, en particular, tg x ª x cuando x ! 0 arcsen "(x) ª "(x) cuando x ! a, en particular, arcsen x ª x cuando x ! 0 arctg "(x) ª "(x) cuando x ! a, en particular, arctg x ª x cuando x ! 0 1 ° cos "(x) ª ("(x))2 x2 cuando x ! a, en particular, 1 ° cos x ª cuando x ! 0 2 2 e"(x) ° 1 ª "(x) cuando x ! a, en particular, ex ° 1 ª x cuando x ! 0 ln(1 + "(x)) ª "(x) cuando x ! a, en particular, ln(1 + x) ª x cuando x ! 0 Siendo Æ una funci´on con l´ım Æ(x) = 1, la u ´ltima fila puede escribirse de forma equivalente as´ı: x!a ln Æ(x) ª Æ(x) ° 1 cuando x ! a, en particular, ln x ª x ° 1 cuando x ! 1.
Si ! es una funci´on con l´ım !(x) = ±1, y P (ª) = a0 +a1 ª +· · ·+ak ª k es una funci´on polin´omica de x!a grado k ∏ 1 (ak 6= 0), entonces P (!(x)) ª ak (!(x))k cuando x ! a y, en particular, P (x) ª ak xk cuando x ! ±1.
A la hora de calcular el l´ımite en a 2 R] de una funci´on que es el producto de otras, una cualquiera de las funciones factor puede sustituirse por otra que sea equivalente a ella en a. Precisando, si f ª fe en a, entonces l´ım f (x)g(x) = l´ım fe(x)g(x), siempre que uno de estos l´ımites x!a x!a exista. En efecto, al existir una funci´on Æ con l´ım Æ(x) = 1 y tal que f (x) = Æ(x)fe(x) en las x!a proximidades de a, tenemos l´ım f (x)g(x) = l´ım Æ(x)fe(x)g(x) = l´ım Æ(x) · l´ım fe(x)g(x) = l´ım fe(x)g(x).
x!a x!a x!a x!a x!a Esta “regla de sustituci´on” no se extiende a sumas o diferencias de funciones (cf. ejemplo (2) siguiente).
Ejemplos (1) Se tiene ln cos x 1 ln cos2 x 1 ln(1 ° sen2 x) 1 °sen2 x 1 x2 1 = l´ ım = l´ ım = l´ ım = ° l´ ım = ° .
x!0 sen(x2 ) 2 x!0 x2 2 x!0 x2 2 x!0 x2 2 x!0 x2 2 l´ım Hemos usado las equivalencias siguientes (cuando x ! 0): sen "11 (x) ª "11(x) , que se deduce de sen "1 (x) ª "1 (x), con "1 (x) = x2 ; ln(1 + "2 (x)) ª "2 (x), con "2 (x) = °sen2 x; sen2 x ª x2 , que se deduce de sen x ª x.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones (2) p 38 x2 + x ª x cuando x ! +1, puesto que r p x2 + x 1 l´ım = l´ım 1 + = 1.
x!+1 x!+1 x x Pero l´ım °p x!+1 De hecho, l´ım °p x!+1 x2 ¢ ¢ x2 + x ° x = 6 l´ım (x ° x) = 0.
x!+1 + x ° x = l´ım x!+1 °p 1 = l´ım q x!+1 ¢ °p ¢ x2 + x ° x x2 + x + x x °p ¢ = l´ım p x!+1 x2 + x + x x2 + x + x 1+ 1 x 1 = .
2 +1 Las definiciones y resultados sobre comportamiento asint´otico que hemos visto pueden aplicarse a las sucesiones, pues una sucesi´on es una funci´on cuyo dominio es el conjunto de los n´ umeros p naturales.
En este caso,pa solamente puede ser +1. As´ı, por ejemplo, n = o(n), n = o(n2 ) y p n n = O( n!) (pues n/ n n! ! e (cf. tema 2, p´ag. 7)) cuando n ! +1. En el contexto de las sucesiones suprimiremos habitualmente la expresi´on “cuando n ! +1”.
Una de las equivalencias m´as importantes en el ´ambito de las sucesiones es la siguiente: Teorema 3.2.14 (F´ ormula de Stirling) n! p l´ım n!1 nn e°n es decir, 2ºn = 1, p n! ª nn e°n 2ºn.
Ejemplos (1) Si an ª bn , ¿se verifica que ean ª ebn ? La respuesta es negativa. Por ejemplo, n + 1 ª n pero en+1 y en no son equivalentes, puesto que en+1 e · en l´ım = l´ım = e 6= 1.
n!1 en n!1 en an Ahora bien, si bn = O(1) para n 2 N (i.e., (bn )1 ª ebn .
n=1 es acotada) y an ª bn , entonces e En efecto, sea M > 0 tal que |bn | ∑ M para todo n 2 N. Como an ª bn , existe una sucesi´on (Æn )1 ım Æn = 1 y tal que an = Æn bn para todo n mayor que un cierto n0 . Entonces n=1 con l´ n!1 |an ° bn | = |bn ||Æn ° 1| ∑ M |Æn ° 1|, n > n0 , y como l´ım Æn ° 1 = 0, resulta que l´ım (an ° bn ) = 0. Por tanto, n!1 n!1 an e ° 1 = l´ım ean °bn ° 1 = l´ım (an ° bn ) = 0, n!1 ebn n!1 n!1 donde se ha utilizado la equivalencia e"n ° 1 ª "n , con "n = an ° bn .
l´ım Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.2. L´ımites de funciones 39 (2) Sean ahora an , bn > 0 para todo n 2 N. Si an ª bn , ¿ser´a verdad que ln an ª ln bn ? De nuevo, la respuesta es negativa. Por ejemplo, e1/n ª e1/2n pues e1/n 1 ° 1 = l´ım e1/2n ° 1 = l´ım =0 1/2n n!1 e n!1 n!1 2n l´ım (se ha aplicado la equivalencia e"n ° 1 ª "n , con "n = 1/2n), pero ln(e1/n ) 1/n = l´ ım = 2 6= 1.
n!1 ln(e1/2n ) n!1 1/2n l´ım Ahora bien, si la sucesi´on (bn )1 ımite L 2 R] , L 6= 1, y an ª bn , entonces ln an ª ln bn .
n=1 tiene l´ En efecto, como l´ım bn 6= 1, la sucesi´on (ln bn )1 ımite (en R] ) distinto de cero.10 n=1 tiene l´ n!1 Entonces, por ser an ª bn , tenemos ln an ln an ° ln bn ln(an /bn ) ° 1 = l´ım = l´ım =0 n!1 ln bn n!1 n!1 ln bn ln bn l´ım (para establecer la u ´ltima igualdad se ha aplicado la equivalencia ln Æn ª Æn ° 1, con Æn = an /bn ).
(3) Veamos que n = o(en ) (en es un infinito de orden superior a n). Si hacemos a = e ° 1 > 0 y para n ∏ 2 usamos el teorema binomial (cf. ejercicio 2(b) del tema 1), se tiene que µ ∂ n µ ∂ X n k n 2 n(n ° 1) 2 e = (1 + a) = a > a = a, k 2 2 k=0 n n luego 0< 2 2 n!1 a (n°1) y, como l´ım n 2 < 2 , n e a (n ° 1) = 0, resulta que l´ım n/en = 0.
n!1 (4) Veamos ahora que n! = o(nn ) (nn es un infinito de orden superior Se tiene 0 < p a n!).
n n para n 2 N y como l´ım n/e = 0 (ejemplo 3), resulta que l´ım n/e = 0. Entonces n!1 p n en ∑ n en n!1 p p n! nn e°n 2ºn p °n l´ım n = l´ım = 2º l´ ım e n = 0.
n!1 n n!1 n!1 nn Ahora bien, ln(n!)pª ln(nn ). En efecto, por la f´ormula de Stirling y el ejemplo 2, tenemos que ln(n!) ª ln(nn e°n 2ºn ). Por tanto, p ° ¢ 1 ln nn e°n 2ºn (ln 2º + ln n) + n ln n ° n ln(n!) l´ım = l´ım = l´ım 2 = 1.
n n n!1 ln(n ) n!1 n!1 ln(n ) n ln n 10 En esta afirmaci´ on aparece impl´ıcitamente la noci´ on de continuidad (cf. secci´ on 3.3).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 3.3.
40 Funciones continuas La noci´on de continuidad es uno de los conceptos centrales del An´alisis Matem´atico. Consideremos un punto a que pertenece al conjunto en el que est´a definida una funci´on f ; existe, pues, f (a). Ahora la situaci´on no es la que ten´ıamos en la secci´on anterior al referirnos al l´ımite de f en a, pues entonces a pod´ıa ser ±1 o, si era un n´ umero, f pod´ıa no estar definida en a. En t´erminos intuitivos, la funci´on f es continua en a si f (x) se aproxima al valor f (a) cuando x se acerca hacia a.
Definici´ on 3.3.1 Sea X Ω R, sea f : X °! R y sea a 2 X. Se dice que f es continua en a si para cada " > 0 existe ± > 0 tal que si x 2 X y |x ° a| < ±, entonces |f (x) ° f (a)| < ". Si f no es continua en a, entonces se dice que f es discontinua en a.
Las desigualdades |x ° a| < ± y |f (x) ° f (a)| < " significan que los puntos de la gr´afica de f correspondientes al intervalo (a ° ±, a + ±) est´an en el producto de intervalos abiertos (rect´angulo abierto) (a ° ±, a + ±) £ (f (a) ° ", f (a) + ") coloreado en la Figura 3.36.
Y f f a f x f a f a O a ∆ a xa ∆ X Figura 3.36: La funci´on f es continua en a.
Observaciones (1) Si a 2 X es un punto de acumulaci´on de X, comparando las definiciones 3.2.2 y 3.3.1 se concluye que f es continua en a si, y s´olo si, l´ım f (x) = f (a).
x!a Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 41 As´ı pues, si a es un punto de acumulaci´on de X, deben verificarse tres condiciones para que f sea continua en a: (a) f debe estar definida en a (de modo que f (a) tenga sentido), (b) el l´ımite de f en a debe existir en R (de modo que l´ım f (x) tenga sentido y sea un x!a n´ umero), y (c) estos dos valores deben ser iguales.
Tambi´en pueden considerarse los l´ımites laterales de f en a. Quiz´a uno de ellos es f (a) y el otro no existe, o s´ı existe pero no es f (a). Decimos entonces que f es continua a un lado de a y no al otro. En t´erminos precisos: f es continua en a por la derecha (resp. por la izquierda) si, y s´olo si, µ ∂ l´ım f (x) = f (a) x!a+ resp.
l´ım f (x) = f (a) .
x!a° Naturalmente, si f est´a definida a ambos lados de a, la continuidad de f en a equivale a la continuidad en a por la derecha y por la izquierda.
(2) Si a 2 X no es un punto de acumulaci´on de X, entonces existe ± > 0 tal que X \(a°±, a+±) = {a} y por tanto, f es autom´aticamente continua en a (no hay m´as puntos x en X que satisfagan |x ° a| < ± que el propio a y, para ´el, obviamente, se tiene |f (a) ° f (a)| = 0 < "). Tales puntos reciben el nombre de puntos aislados de X. Estos puntos tienen poco inter´es pr´actico para nosotros porque no tienen relaci´on con los procesos de l´ımite. As´ı pues, se estudiar´a la continuidad solamente en puntos de acumulaci´on y, por consiguiente, la continuidad en a vendr´a caracterizada por la condici´on l´ım f (x) = f (a).
x!a Teniendo en cuenta el teorema 3.2.11, la continuidad de una funci´on en un punto a puede expresarse en t´erminos de l´ımites de sucesiones. Observa que ahora, a diferencia de la secci´on anterior, no hay que exigir que los t´erminos de las sucesiones sean distintos del punto a.
Teorema 3.3.1 Sean X Ω R, a 2 X y f : X °! R. La funci´on f es continua en a si, y s´olo si, para cada sucesi´ on (xn )1 on (f (xn ))1 n=1 de puntos de X que converge hacia a, la sucesi´ n=1 converge hacia f (a).
Compara el siguiente criterio de discontinuidad con el teorema 3.2.12(a), para L = f (a).
Teorema 3.3.2 Sean X Ω R, a 2 X y f : X °! R. La funci´on f es discontinua en a si, y s´olo 1 si, existe una sucesi´ on (xn )1 on n=1 de puntos de X tal que (xn )n=1 converge hacia a pero la sucesi´ 1 (f (xn ))n=1 no converge hacia f (a).
Hasta ahora hemos hablado de continuidad en un punto. La definici´on de continuidad en un conjunto es sencilla.
Definici´ on 3.3.2 Sea X Ω R y sea f : X °! R. Si A es un subconjunto de X, se dice que f es continua en el conjunto A si f es continua en cada punto de A.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 42 Ejemplos (1) Las tres funciones siguientes son continuas en R: la funci´on constante f (x) = k, la funci´on g(x) = x y la funci´on h(x) = x2 (cf. ejemplo 1, p´ag. 19).
(2) La funci´on '(x) = 1/x es discontinua en x = 0, pues en este punto no est´a definida. Es continua en R \ {0} (cf. ejemplo 1, p´ag. 19).
(3) La funci´on signo, sgn, es discontinua en 0, pues sabemos que no existe l´ım sgn(x). Es un x!0 ejercicio f´acil ver que sgn es continua en R \ {0}.
(4) La funci´on parte entera E(x) = [x] (cf. tema 1, teorema 1.4.2) es continua en R \ Z. En cada n´ umero entero es continua por la derecha y no lo es por la izquierda (Figura 3.37).
Y 3 y x 2 1 3 2 1 X 0 1 2 3 4 1 2 3 Figura 3.37: La funci´on parte entera.
(5) Sea D : R °! R la funci´ on de Dirichlet definida por ( 1 si x es racional, D(x) = 0 si x es irracional.
Esta funci´on fue introducida en 1829 por P. G. L. Dirichlet.11 Se trata de una funci´on discontinua en cada n´ umero real.
En efecto, si Æ es un n´ umero racional, sea (xn )1 on de n´ umeros irracionales que n=1 una sucesi´ converge hacia Æ (tal sucesi´on existe, cf. tema 1, teorema 1.6.3). Como D(xn ) = 0 para todo n 2 N, se tiene l´ım D(xn ) = 0, mientras que D(Æ)=1. Por consiguiente, D es discontinua en n!1 el n´ umero racional Æ.
11 El matem´ atico alem´ an Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) la present´ o en un destacado art´ıculo titulado “Sur la convergence des s´ eries trigonom´ etriques qui servent ` a repr´ esenter une fonction arbitraire entre des limites don´ ees”, publicado en la revista Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 4 (1829), p´ ags. 157-169. Estas son sus palabras: ((... si l’on supposait '(x) ´egale ` a une constante d´ etermin´ ee c lorsque la variable x obtient une valeur rationelle, et ´ egale ` a une autre constante d, lorsque cette variable est irrationelle)) (p´ ag. 169).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 43 Por otra parte, si Ø es un n´ umero irracional, sea (yn )1 on de n´ umeros racionales n=1 una sucesi´ que converge hacia Ø (tal sucesi´on existe, cf. tema 1, teorema 1.6.2). Como D(yn ) = 1 para todo n 2 N, se tiene l´ım D(yn ) = 1, mientras que D(Ø)=0. Por consiguiente, D es discontinua n!1 en el n´ umero irracional Ø.
A veces una funci´on f : X °! R no es continua en un punto a porque no est´a definida ah´ı. Sin embargo, si la funci´on f tiene l´ımite L 2 R en el punto a y definimos F : X [ {a} °! R por ( L si x = a, F (x) = f (x) si x 2 X, entonces F es continua en a. La funci´on F se denomina extensi´ on continua de f para el punto a. Si f no tiene l´ımite en a, entonces es claro que no hay manera de proporcionar una entensi´on continua de f para el punto a.
Ejemplos (1) La funci´on definida para x 6= 0 por f (x) = sen(1/x) no tiene l´ımite en el punto 0 (cf. ejemplo 2, p´ags. 30-31 y Figuras 3.33, 3.34). Por tanto, no es posible obtener una extensi´on continua de f para el punto 0.
(2) Sea ahora f : R \ {0} °! R definida por f (x) = x sen(1/x). Como f no est´a definida en 0, f es discontinua ah´ı. Sin embargo, sabemos que l´ım x sen(1/x) = 0 (cf. p´ag. 21 y Figuras 3.25, x!0 3.26). Por tanto, la funci´on F : R °! R definida por ( 0 si x = 0, F (x) = x sen(1/x) si x = 6 0, es la extensi´on continua de f para el punto 0.
A partir de los teoremas 3.2.3(1) y 3.2.9 deducimos de forma inmediata el teorema siguiente: Teorema 3.3.3 Sean X Ω R y f : X °! R una funci´on que es continua en el punto a 2 X.
(1) Existe un ± > 0 tal que f es acotada en (a ° ±, a + ±) \ X.
(2) Si f (a) 6= 0, existe un ± > 0 tal que f (x) tiene el mismo signo que f (a) para todo x 2 (a ° ±, a + ±) \ X.
El resultado siguiente es similar al teorema 3.2.2, del cual se deduce.
Teorema 3.3.4 Sea X Ω R y sean f, g : X °! R. Supongamos que a 2 X y que f y g son continuas en a. Entonces: (1) kf es continua en a para todo k 2 R.
(2) f + g es continua en a.
(3) f g es continua en a.
(4) Si g(a) 6= 0, entonces f /g es continua en a.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 44 El pr´oximo resultado es consecuencia inmediata del teorema anterior, aplicado a cada punto de X.
Teorema 3.3.5 Sea X Ω R y sean f, g : X °! R continuas en X. Entonces: (1) kf es continua en X para todo k 2 R.
(2) f + g es continua en X.
(3) f g es continua en X.
(4) Si g(x) 6= 0 para todo x 2 X, entonces f /g es continua en X.
Ejemplos (1) Si p es una funci´on polin´omica entonces p(a) = l´ım p(x) para cualquier a 2 R (cf. p´ag. 20).
x!a As´ı pues, las funciones polin´ omicas son continuas en R.
(2) Sean p, q funciones polin´omicas y r la funci´on racional dada por r(x) = p(x)/q(x). Si q(a) 6= 0, entonces p(a) p(x) r(a) = = l´ım = l´ım r(x), x!a q(a) q(x) x!a (cf. p´ag. 20). Es decir, r es continua en a. Como a es un n´ umero real que no es ra´ız de q, se deduce que las funciones racionales son continuas en todos los n´ umeros reales para los que est´ an definidas.
(3) Recordemos que | sen x| ∑ |x| para todo x 2 R (cf. p´ag. 33). Utilizaremos esta desigualdad para probar la continuidad de las funciones seno y coseno.
Sea a 2 R. Se tiene Ø Ø Ø Ø x + a x ° a Ø | sen x ° sen a | = ØØ 2 cos sen 2 2 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Øx ° aØ x ° a ØØ Ø Ø Ø = |x ° a| < ", ∑ 2 Ø sen ∑2Ø 2 Ø 2 Ø siempre que |x ° a| < ± = ". Como a es arbitrario, se deduce que la funci´on seno es continua en R. Para deducir la continuidad de la funci´on coseno en R se procede de manera an´aloga, aplicando la f´ormula x+y x°y cos x ° cos y = °2 sen sen , 2 2 v´alida para todos x, y 2 R.
(4) Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en todos los puntos en los que est´an definidas.
Por ejemplo, la funci´on cotangente, definida por cotg x = R \ {kº : k 2 Z}.
cos x , sen x Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara es continua en su dominio: 3.3. Funciones continuas 45 (5) Sea X Ω R y f : X °! R. Sea |f | la funci´on definida por |f |(x) = |f (x)| para x 2 X.
Observa que si ponemos g(x) = |x| para x 2 R, es |f | = g ± f .
Si f es continua en un punto a 2 X, entonces |f | es continua en a. Esto es inmediato a partir de la igualdad l´ım |f (x)| = | l´ım f (x)| (cf. ejemplo 2, p´ag. 19). Por tanto, si f es continua en x!a x!a X, entonces |f | es continua en X. En particular, si f (x) = x para x 2 R, se deduce que g es continua en R.
p (6) Sean X Ω R, fp: X °! p R y supongamos que f (x) ∏ 0 para todo x 2 X. Seap f la funci´on definida por ( f )(x) = f (x) para x 2 X. Observa que si ponemos g(x) = x para x ∏ 0, p es f = g ± f .
p Si f es continua en un punto p a 2 X, entonces f es continua en a. Esto se deduce inmeq diatamente de la igualdad l´ım f (x) = l´ım f (x) (cf. ejemplo 3, p´ag. 19). Por consiguiente, x!a x!a p si f es continua en X, entonces f es continua en X. En particular, si f (x) = x para x ∏ 0, se deduce que g es continua en [0, +1).
El siguiente teorema generaliza las situaciones presentadas en los ejemplos 5 y 6 anteriores.
Teorema 3.3.6 Sean X, Y Ω R y f : X °! R, g : Y °! R funciones tales que f (X) Ω Y .
(a) Si f es continua en un punto a 2 X y g es continua en b = f (a) 2 Y , entonces la funci´on compuesta g ± f : X °! R es continua en a.
(b) Si f : X °! R es continua en X y g : Y °! R es continua en Y , entonces la funci´on compuesta g ± f : X °! R es continua en X.
El teorema anterior es muy u ´til para establecer la continuidad de funciones compuestas y puede usarse en muchas situaciones en las que ser´ıa dif´ıcil aplicar directamente la definici´on de continuidad.
Ejemplos (1) Sean f (x) = 1/x para x 6= 0 y g(x) = sen x para x 2 R. Las funciones f y g son continuas en sus respectivos dominios. Por el teorema anterior, ' = g ± f es continua en R \ {0}. Se trata de la funci´on dada por '(x) = sen(1/x). Recordemos que la funci´on ' no tiene una extensi´on continua para el punto 0 (cf. ejemplo 1, p´ag. 43).
(2) Como consecuencia del teorema 3.3.6, se tiene que la composici´on de un n´ umero finito de funciones continuas es una funci´on continua en su dominio. Por ejemplo, la funci´on Ø Ø Ø 1 ØØ 3Ø f (x) = sen Ø 2 ° cos x Ø ©º ™ tiene por dominio el conjunto R \ 2 (2k + 1) : k 2 Z , en el cual es continua.
Si somos menos restrictivos y, en concreto, no exigimos la continuidad de f en el punto a, obtenemos el resultado siguiente para funciones compuestas.
Teorema 3.3.7 Sean X, Y Ω R y f : X °! R, g : Y °! R funciones tales que f (X) Ω Y . Sea a un punto de acumulaci´on de X. Supongamos que f tiene l´ımite b 2 Y en el punto a y que g es continua en b. Entonces ≥ ¥ l´ım g(f (x)) = g l´ım f (x) = g(b).
x!a x!a Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 46 Ejemplo Sean f (x) = x sen(1/x) para x 6= 0 y g(x) = cos x para x 2 R. La funci´on f es discontinua en 0, por no estar definida ah´ı. Ahora bien, g es continua en l´ım x sen(1/x) = 0 (para esta igualdad, x!0 cf. p´ag. 21 y Figuras 3.25 y 3.26). Entonces, por el teorema anterior, tenemos l´ım cos[x sen(1/x)] = 1.
x!0 Las funciones continuas en intervalos gozan de importantes propiedades, de las que vamos a ocuparnos a continuaci´on.
El siguiente resultado nos asegura que una funci´on continua en un intervalo toma (al menos una vez) cada valor situado entre dos de sus valores. Esta propiedad expresa la idea intuitiva b´asica de continuidad: la gr´afica de una funci´on continua se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el l´apiz del papel.
Teorema 3.3.8 (Teorema del valor intermedio) Sea I Ω R un intervalo y f : I °! R continua en I. Sean a, b 2 I tales que f (a) es distinto de f (b). Si k es un n´ umero situado entre f (a) y f (b) (i.e., f (a) < k < f (b) o bien f (b) < k < f (a)), entonces existe c 2 I entre a y b tal que f (c) = k.
Naturalmente, el punto c de cuya existencia se habla en la conclusi´on del teorema del valor intermedio no tiene por qu´e ser u ´nico (Figura 3.38).
Y f b k f k f a O a c1 c2 c3 c b X Figura 3.38: Teorema del valor intermedio.
Una consecuencia inmediata del teorema anterior es el resultado siguiente, que a su vez, puede utilizarse para obtener el teorema 3.3.8.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 47 Teorema 3.3.9 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b]. Si f (a) y f (b) tienen signos distintos, es decir, f (a)f (b) < 0, entonces existe c 2 (a, b) tal que f (c) = 0.
En la Figura 3.39 se ilustra este resultado en una situaci´on en la que existe un u ´nico c tal que f (c) = 0.
Y f b f a c O b X f a Figura 3.39: Teorema de Bolzano.
La funci´on f definida en el intervalo (0, +1) por f (x) = 1/x es continua, y no es acotada ya que para M > 0 podemos tomar el punto xM = M1+1 2 (0, +1) y entonces f (xM ) = 1/xM = M + 1 > M . As´ı pues, las funciones continuas no tienen por qu´e ser acotadas. Ahora bien: Teorema 3.3.10 Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b]. Entonces f es acotada.
Observaciones Cada hip´otesis del teorema 3.3.10 es necesaria.
(1) El intervalo debe ser acotado. La funci´on dada por f (x) = x, x 2 [0, +1), es continua pero no acotada.
(2) El intervalo debe ser cerrado. La funci´on dada por g(x) = 1/x, x 2 (0, 1], es continua pero no acotada.
(3) La funci´on debe ser continua. La funci´on h : [0, 1] °! R definida por ( 1 si x = 0, h(x) = 1 si x 2 (0, 1], x es discontinua (en 0) y no acotada.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 48 Definici´ on 3.3.3 Sea X Ω R y f : X °! R. Se dice que f tiene un m´ aximo absoluto en X si § existe un punto x 2 X tal que f (x§ ) ∏ f (x) para todo x 2 X.
Se dice que f tiene un m´ınimo absoluto en X si existe un punto x§ 2 X tal que f (x§ ) ∑ f (x) para todo x 2 X.
Se dice que x§ es un punto de m´ aximo absoluto para f en X y que x§ es un punto de m´ınimo absoluto para f en X, si existen.
Observaciones Una funci´on continua en un conjunto no tiene necesariamente un m´aximo absoluto o un m´ınimo absoluto en dicho conjunto. Por ejemplo, si f est´a definida por f (x) = 1/x para x 2 (0, +1), en este conjunto f no est´a acotada superiormente y, por tanto, no tiene m´aximo absoluto. Adem´as, no hay ning´ un punto en el que f tome el valor 0 = ´ınf{f (x) : x 2 (0, +1)}, por lo que f tampoco tiene m´ınimo absoluto en (0, +1). La funci´on f |(0,1) tampoco tiene ni m´aximo absoluto ni m´ınimo absoluto en su dominio, el intervalo (0, 1), mientras que la restricci´on f |[1,2] s´ı tiene tanto m´aximo absoluto como m´ınimo absoluto en [1, 2]. La funci´on f |[1,+1) tiene m´aximo absoluto pero no m´ınimo absoluto en [1, +1); la funci´on f |(1,+1) no tiene en su dominio ni m´aximo absoluto ni m´ınimo absoluto.
Es claro que si una funci´on tiene un m´aximo (resp. m´ınimo) absoluto en un conjunto no tiene por qu´e existir un u ´nico punto de m´aximo (resp. m´ınimo) absoluto para la funci´on en dicho conjunto.
Por ejemplo, la funci´on definida por g(x) = x2 para x 2 [°1, 1], tiene dos puntos de m´aximo absoluto, ±1, y un u ´nico punto de m´ınimo absoluto, 0, en [°1, 1]. Si consideramos la funci´on constante dada por h(x) = 1, x 2 R, cada n´ umero real es un punto de m´aximo absoluto y de m´ınimo absoluto para h.
El teorema 3.3.10 nos dice que si f : I = [a, b] °! R es continua entonces su recorrido f (I) es un conjunto acotado. El teorema siguiente es muy importante y afirma que existen puntos x§ y x§ en I tales que ´ınf f (I) = f (x§ ) y sup f (I) = f (x§ ).
Teorema 3.3.11 (Teorema del m´ aximo-m´ınimo) Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b]. Entonces f tiene un m´aximo absoluto y un m´ınimo absoluto en [a, b].12 El teorema del m´aximo-m´ınimo y el teorema del valor intermedio, nos permiten deducir el resultado siguiente.
Teorema 3.3.12 Sea I Ω R un intervalo cerrado y acotado, y f : I °! R continua en I. Si m = m´ın f (I) y M = m´ax f (I), entonces f (I) es el intervalo cerrado y acotado [m, M ].
Observaci´ on Si f : I = [a, b] °! R es continua en I, el teorema anterior dice que f (I) = [m, M ]. Pero no dice que f (I) sea el intervalo [f (a), f (b)]; puede suceder que f (I) no sea [f (a), f (b)] (Figura 3.40).
12 Este teorema se debe al matem´ atico alem´ an Karl Weierstrass (1815-1897). En su curso titulado DiÆerential Rechnung impartido en la Universidad de Berl´ın en 1861, se refer´ıa a ´el como Hauptlehrsatz (“teorema principal”).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 49 Y M f b f f a m O a x x b X Figura 3.40: f ([a, b]) = [m, M ].
El siguiente teorema extiende el resultado anterior a intervalos generales. No obstante, debemos advertir que aunque la imagen de un intervalo por una funci´on continua es un intervalo, no es verdad que el intervalo imagen tenga necesariamente la misma forma que el intervalo dominio.
Por ejemplo, la imagen por una funci´on continua de un intervalo abierto no tiene por qu´e ser un intervalo abierto y la imagen por una funci´on continua de un intervalo cerrado no acotado no tiene por qu´e ser un intervalo cerrado. En efecto, si f (x) = 1/(x2°+ 1)§ para x 2 R, entonces f es continua en R y es f´acil ver que si I1 = (°1, 1), entonces f (I1 ) = 12 , 1 , que no es un intervalo abierto; si I2 = [0, +1), entonces f (I2 ) = (0, 1], que no es un intervalo cerrado (Figura 3.41).
Y 1 y 1 x2 1 12 1 0 1 X Figura 3.41 Teorema 3.3.13 Sea I Ω R un intervalo y f : I °! R continua en I. Entonces el conjunto f (I) es un intervalo.
Recordemos que una funci´on tiene inversa si, y s´olo si, es inyectiva (debe ser biyectiva, pero una funci´on inyectiva se convierte autom´aticamente en biyectiva sin m´as que restringir, si es preciso, el conjunto de llegada al recorrido de la funci´on (cf. p´ags. 2-4)). Es obvio que una funci´on estrictamente mon´otona es inyectiva y, por tanto, tiene inversa. El siguiente teorema nos dice que si f : I °! R Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.3. Funciones continuas 50 es una funci´on estrictamente mon´otona continua, entonces f tiene una funci´on inversa definida en J = f (I) que es estrictamente mon´otona y continua en J.
Teorema 3.3.14 Sean I Ω R un intervalo y f : I °! R estrictamente mon´otona y continua en I. Entonces f °1 , la inversa de f , es estrictamente mon´otona y continua en f (I). Adem´ as, si f es estrictamente creciente (resp. decreciente), f °1 es estrictamente creciente (resp. decreciente).
Ejemplos (1) Recordemos que la funci´on exponencial ha sido introducida en el tema 2, p´ag. 19, y que se 1 n P x trata de una funci´on positiva (cf. tema 2, p´ag. 20) que viene definida por la serie ex = = n! 1+ 1 P n=1 n=0 xn n! . Sea a 2 R. Dado " > 0, tomemos ± = m´ın{1, "/(2ea )}. Entonces, si |h| < ±, se verifica " |ea+h ° ea | = ea · |eh ° 1| ∑ 2± Ø 1 ØX hn Ø ·Ø Ø n! n=1 1 " X 1 " < · = (e ° 1) < ".
2 n=1 n! 2 Ø 1 Ø X " |h|n°1 Ø ∑ |h| · Ø Ø 2± n! n=1 Como a es arbitrario, se deduce que la funci´on y = ex es continua en R.
Si x < y, entonces ex < ey (cf. tema 2, p´ag. 20), luego la funci´on exponencial es estrictamente creciente en R (por tanto, inyectiva en R).
Puesto que ex > 1 + x si x > 0 (es inmediato a partir de la definici´on), y l´ım (1 + x) = +1, x!+1 1 x x!+1 e resulta que l´ım ex = +1, y entonces l´ım ex = l´ım e°x = l´ım x!+1 x!°1 x!+1 = 0. De aqu´ı y del teorema del valor intermedio se deduce que cada y > 0 pertenece al recorrido de la funci´on exponencial, y como ex > 0 para todo x 2 R, dicho recorrido es el intervalo (0, +1).
(2) El dominio de la funci´on logar´ıtmica, y = ln x, es (0, +1) y su recorrido es R, por ser la funci´on inversa de la exponencial. Adem´as, por el teorema 3.3.14, la funci´on logar´ıtmica es estrictamente creciente y continua en (0, +1).
Que la funci´on logar´ıtmica tenga por recorrido R y sea estrictamente creciente traen como consecuencia que l´ım ln x = +1 y l´ım+ ln x = °1.
x!+1 x!0 (3) Si a > 0, a 6= 1, la funci´on y = ax tiene dominio R, recorrido (0, +1), es continua y estrictamente mon´otona: Si a > 1, es estrictamente creciente y l´ım ax = +1, l´ım ax = 0.
x!+1 x!°1 x Si 0 < a < 1, es estrictamente decreciente y l´ım a = 0, l´ım ax = +1.
x!+1 x!°1 Si a > 0, a 6= 1, la funci´on y = loga x tiene dominio (0, +1), recorrido R, es continua y estrictamente mon´otona: Si a > 1, es estrictamente creciente y l´ım loga x = +1, l´ım+ loga x = °1.
x!+1 x!0 Si 0 < a < 1, es estrictamente decreciente y l´ım loga x = °1, l´ım+ loga x = +1.
x!+1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara x!0 3.4. Funciones derivables 51 £ § (4) La definici´on geom´etrica de la funci´on seno establece que sen : ° º2 , º2 °! [°1, 1] es estrictamente creciente, y ya sabemos que es continua (cf.£ ejemplo § 3, p´ag. 44). Entonces, por el teorema 3.3.14, su funci´on inversa, arcsen : [°1, 1] °! ° º2 , º2 es continua y estrictamente creciente.
An´alogamente, como cos : [0, º] °! [°1, 1] es estrictamente decreciente y continua, su inversa arccos : [°1, 1] °! [0, º] es tambi´en continua y estrictamente decreciente.
° ¢ Finalmente, la funci´on tg : ° º2 , º2 °! R es continua y estrictamente creciente (para el crecimiento estricto, se considera el significado geom´etrico de tg x, basado en el de sen x y cos x). Como el crecimiento es estricto y el recorrido es R, tenemos l´ım ° tg x = +1 y x!(º/2) ° º º¢ l´ım tg x = °1. La funci´on inversa arctg : R °! ° 2 , 2 es continua y estrictamente x!(°º/2)+ ° ¢ creciente. Puesto que el recorrido es ° º2 , º2 y el crecimiento es estricto, se deduce que l´ım arctg x = º2 y l´ım arctg x = ° º2 .
x!+1 3.4.
x!°1 Funciones derivables Supongamos que una part´ıcula se mueve en una recta horizontal con su localizaci´on x en el tiempo t dada por su funci´on de posici´ on x = s(t). As´ı, la l´ınea de movimiento se considera como un eje coordenado con un origen y un sentido positivo; s(t) es la coordenada x de la part´ıcula en movimiento en el tiempo t.
Consideremos un intervalo de tiempo, de un instante t1 a otro t2 . La part´ıcula se mueve de la posici´on s(t1 ) a la posici´on s(t2 ) en ese intervalo. Su desplazamiento es s(t2 ) ° s(t1 ). La velocidad media de la part´ıcula en el intervalo de tiempo entre t1 y t2 es el cociente s(t2 ) ° s(t1 ) .
t2 ° t1 Podemos considerar este tipo de cocientes cuando t1 es un instante fijo ø , mientras que t2 var´ıa alrededor de ø y se designa por t. Se define as´ı una funci´on de la variable t: s(t) ° s(ø ) , t 6= ø.
t°ø Si nos fijamos en la diferencia (positiva o negativa) h = t ° ø , el cociente anterior se expresa s(ø + h) ° s(ø ) , h 6= 0.
h Estas funciones cociente pueden tener l´ımite finito cuando t ! ø , o bien h ! 0, y tal l´ımite se interpreta como una velocidad instant´anea en el momento ø .
La situaci´on que acabamos de presentar, motiva a hacer la siguiente construcci´on para cualquier funci´on real f cuyo dominio es un intervalo I. Se fija a en I y se considera la funci´on de la variable x definida mediante el cociente f (x) ° f (a) , x 2 I, x 6= a.
x°a El cambio de variable h = x ° a permite expresar tambi´en este cociente mediante f (a + h) ° f (a) , a + h 2 I, h 6= 0 h (raz´on entre lo que ha variado f y el cambio experimentado por a, al pasar de a a a + h).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 52 Definici´ on 3.4.1 Sea I Ω R un intervalo, f : I °! R y a 2 I. Se dice que f es derivable en a si existe y es finito el l´ımite f (x) ° f (a) f (a + h) ° f (a) l´ım = l´ım , x!a h!0 x°a h que se designa por f 0 (a) y recibe el nombre de derivada de f en a.
Observaciones (1) Derivadas laterales.
Permitimos la posibilidad de que a sea un extremo del intervalo. Si el l´ımite existe y es finito cuando x ! a+ (h ! 0+ ) (resp. cuando x ! a° (h ! 0° )), se le llama derivada por la derecha (resp. derivada por la izquierda), de f en a, y se designa por f 0 (a+ ) o bien por f+0 (a) (resp. f 0 (a° ) o bien por f°0 (a)). Si a es un punto interior del intervalo I, f es derivable en a si, y s´olo si, existen las derivadas laterales de f en a y son iguales. Si el punto a es un extremo del intervalo I y se habla de la derivada de la funci´on f en el punto a, se entender´a que dicha derivada es lateral.
(2) Es posible formular la noci´on de derivada evitando recurrir a un cociente. Para ello se introduce la funci´on f (x) ° f (a) "(x) = ° f 0 (a) x°a definida para x 2 I, x 6= a. De esta igualdad se obtiene la siguiente f (x) ° f (a) = (x ° a)[f 0 (a) + "(x)], lo que permite redefinir f 0 (a) como un n´ umero tal que existe una funci´on " con l´ımite 0 en a que verifica la relaci´on anterior. Esta u ´ltima igualdad tambi´en es v´alida para x = a siempre que definamos en este punto la funci´on "; as´ı, podemos definir "(a) = 0 para que " sea continua en a. Con la notaci´on de Landau, podemos expresar la situaci´on as´ı: f (x) ° f (a) = (x ° a)f 0 (a) + o(x ° a), cuando x ! a, x 2 I.
La sustituci´on de x ° a por h permite hacer una formulaci´on paralela en t´erminos de la variable h.
(3) Funci´ on derivada y derivadas sucesivas.
La funci´on cuyo dominio es el subconjunto de I formado por los puntos en los que f es derivable y que asigna a cada punto la derivada de f en ese punto se designa por f 0 (o por Df ) y recibe el nombre de la funci´on derivada de f o, simplemente, la derivada de f .
Si la derivada f 0 (x) existe en cada punto x de un intervalo J que contenga al punto a, entonces podemos considerar la existencia de la derivada de la funci´on f 0 en el punto a. En el caso de que f 0 sea derivable en el punto a, el n´ umero resultante se llama segunda derivada de f en a, y designamos este n´ umero por f 00 (a) o por f (2) (a). De forma similar se define la tercera derivada, f 000 (a) o bien f (3) (a),..., la n-´esima derivada o derivada de orden n, f (n) (a), siempre que estas derivadas existan. Observa que la existencia de la n-´esima derivada en a presupone la existencia de la (n°1)-´esima derivada en un intervalo que contenga al punto a, y se permite la posibilidad de que a pueda ser un extremo de tal intervalo. De forma an´aloga a como hemos definido la funci´on derivada de f , se definen las funciones derivada segunda de f , f 00 o bien f (2) , derivada tercera de f , f 000 o bien f (3) ,..., derivada n-´esima de f o derivada de orden n de f , f (n) . Para n > 3 se utilizan exclusivamente las notaciones f (n) (a) y f (n) .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 53 Ejemplos (1) Supongamos que f es una funci´on constante, digamos f (x) = k para todo x 2 R (k 2 R fijo).
En este caso f (x) ° f (a) k°k l´ım = l´ım = 0.
x!a x!a x ° a x°a As´ı pues, f es derivable en a para cualquier n´ umero a, y f 0 (a) = 0. La funci´on f 0 est´a definida en todo R y f 0 (x) = 0, x 2 R.
(2) Sea ahora f una funci´on af´ın, es decir, una funci´on de la forma f (x) = mx + b para todo x 2 R (m y b son constantes reales). Para cualquier a 2 R, tenemos f (x) ° f (a) mx + b ° (ma + b) m(x ° a) = l´ım = l´ım = m, x!a x!a x!a x°a x°a x°a l´ım luego f es derivable en a y f 0 (a) = m. La derivada de f es la funci´on constante definida en todo R por f 0 (x) = m.
(3) Si f se define por f (x) = x2 , x 2 R, entonces para cualquier a 2 R, se tiene f (x) ° f (a) x2 ° a2 (x + a)(x ° a) l´ım = l´ım = l´ım = l´ım (x + a) = 2a.
x!a x!a x!a x!a x°a x°a x°a Por tanto, la derivada de f es la funci´on f 0 definida en todo R por f 0 (x) = 2x.
(4) Consideremos la funci´on exponencial f (x) = ex , x 2 R. Para cualquier a 2 R, se verifica f (a + h) ° f (a) ea+h ° ea ea (eh ° 1) ea h = l´ım = l´ım = l´ım = ea h!0 h!0 h!0 h!0 h h h h l´ım (hemos usado la equivalencia eh ° 1 ª h cuando h ! 0). As´ı pues, la derivada de f es la propia funci´on f , es decir, f 0 (x) = ex , x 2 R.
(5) Sea f (x) = sen x, x 2 R, y a un n´ umero real cualquiera. Entonces ° ¢ ° ¢ 2 sen h2 cos a + h2 f (a + h) ° f (a) sen(a + h) ° sen a l´ım = l´ım = l´ım h!0 h!0 h!0 h h h °h¢ µ ∂ sen 2 h = l´ım cos a + · l´ım = cos a h h!0 h!0 2 2 (hemos usado la equivalencia sen "(h) ª "(h), con "(h) = h/2, cuando h ! 0). Por consiguiente, f 0 (x) = cos x para todo x 2 R.
Se prueba de manera an´aloga (cf. identidad trigonom´etrica para la diferencia de cosenos del ejemplo 2, p´ag. 44) que si g(x) = cos x, x 2 R, entonces g 0 (x) = °sen x, x 2 R.
(6) Consideremos la funci´on definida por f (x) = |x|, x 2 R. Si a 6= 0, la funci´on f es derivable en a. En efecto: f 0 (a) = 1 si a > 0 y f 0 (a) = °1 si a < 0 (t´engase en cuenta la derivada de una funci´on af´ın; cf. ejemplo 2). ¿Qu´e sucede en el punto 0? Se tiene f (0 + h) ° f (0) |h| = .
h h Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 54 Ahora bien, si h > 0 es |h|/h = h/h = 1, y si h < 0 es |h|/h = (°h)/h = °1. Por tanto, f 0 (0+ ) = l´ım+ h!0 f (0 + h) ° f (0) =1 h y f (0 + h) ° f (0) = °1, h!0 h luego f no es derivable en 0. La derivada de f es la funci´on definida en R \ {0} por ( °1 si x < 0, f 0 (x) = 1 si x > 0.
f 0 (0° ) = l´ım° La funci´on f es continua en 0 (cf. ejemplo 5, p´ag. 45) y acabamos de ver que no es derivable en 0. Por consiguiente, la continuidad de una funci´on en un punto no asegura la existencia de derivada en ese punto.
El teorema siguiente nos dice algo importante: para que una funci´on pueda ser derivable en un punto es necesario que sea continua en ese punto. Si no hay continuidad, ya podemos concluir que no hay derivabilidad. Por tanto, nos aseguraremos primero de que la funci´on es continua antes de investigar si es derivable.
Teorema 3.4.1 Si f : I °! R es derivable en a 2 I, entonces f es continua en a.
Si f es continua en a, entonces puede ocurrir que f no sea derivable en a (lo hemos visto con la funci´on valor absoluto, en el u ´ltimo ejemplo). En resumen: la continuidad de una funci´on en un punto es una condici´on necesaria pero no suficiente para la existencia de derivada en dicho punto.
Significado geom´ etrico de la derivada Sea I Ω R un intervalo, f : I °! R y a un punto interior de I. Supongamos que f es derivable en a. Sea P (a, f (a)) y, para x 6= a, Px (x, f (x)). Sea Æx el ´angulo de inclinaci´on de la recta P Px (Figura 3.42).13 La pendiente de la recta P Px es tg Æx = f (x) ° f (a) .
x°a Cuando x tiende hacia a esta pendiente tiende hacia f 0 (a), el punto Px “tiende” hacia P (i.e. Px se mueve hacia P recorriendo la gr´afica de f ) y entonces podemos asignar el valor f 0 (a) a la pendiente de la recta que pasa por P y es la “posici´on l´ımite” de las rectas P Px cuando Px tiende hacia el punto fijo P . Si designamos por Æ el ´angulo de inclinaci´on de esta recta, tenemos f 0 (a) = l´ım x!a f (x) ° f (a) = l´ım tg Æx = tg Æ.
x!a x°a 13 El ´ angulo de inclinaci´ on ¡ de una recta es el ´ angulo medido en sentido antihorario desde la parte positiva del eje x hasta encontrar por primera vez a dicha recta. As´ı pues, se tiene 0 ∑ ¡ < º. Si este ´ angulo es 0, la recta es horizontal; si es º/2, la recta es vertical.
La pendiente m de una recta no vertical se define como la tangente de su ´ angulo de inclinaci´ on: m = tg ¡. Una recta vertical no tiene pendiente.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 55 Y f Px f x t f a f a x a Qx f x f a P f a Α Αx x a a O X x Figura 3.42: f 0 (a) es la pendiente de la recta tangente t.
A la recta t que pasa por P y tiene como pendiente f 0 (a) se la llama tangente a la gr´afica de f en el punto P . La ecuaci´on de esta recta tangente es y ° f (a) = f 0 (a)(x ° a).
Observemos que la recta vertical que pasa por Px corta a la recta tangente en P , en el punto Qx (x, f (a) + f 0 (a)(x ° a)). La separaci´on entre los puntos Px y Qx viene dada por f (x) ° [f (a) + f 0 (a)(x ° a)] = o(x ° a), cuando x ! a, x 2 I, es decir, la separaci´on de la gr´afica y la tangente en la vertical determinada por Px es un infinit´esimo de orden superior a x ° a, cuando x ! a.
Las derivadas laterales de f en a tienen una interpretaci´on an´aloga. Cuando existen y son distintas conducen a la idea geom´etrica de semirrectas tangentes a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)).
Suele decirse que la gr´afica presenta en (a, f (a)) un punto anguloso (Figura 3.43).
Y f t2 t1 f a X O a Figura 3.43: (a, f (a)) es un punto anguloso.
t1 : y ° f (a) = f 0 (a+ )(x ° a), x ∏ a, t2 : y ° f (a) = f 0 (a° )(x ° a), x ∑ a.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 56 Nota Sea f : I °! R continua en un punto interior a de I.
Si l´ım x!a f (x)°f (a) x°a = ±1 se dice que (a, f (a)) es un punto de inflexi´on de tangente vertical de la gr´afica de f . Por ejemplo, (0, 0) es p un punto de inflexi´on de tangente vertical para la funci´on f : R °! R definida por f (x) = 3 x (compru´ebese).
Ω æ Ω æ +1 °1 f (x)°f (a) f (x)°f (a) Si l´ım+ x°a = y l´ım° x°a = , se dir´a que la gr´afica de f presenta x!a °1 +1 x!a en (a, f (a)) un punto de retroceso y que en este punto tiene semirrecta tangente vertical.
El origen p de coordenadas es un punto de retroceso para la funci´on f : R °! R dada por f (x) = |x| (compru´ebese).
El siguiente teorema relaciona la noci´on de derivada con las operaciones algebraicas entre funciones, proporcionando unas reglas b´asicas para el c´alculo de derivadas.
Teorema 3.4.2 Sea I Ω R un intervalo, a 2 I y sean f : I °! R y g : I °! R funciones derivables en a. Entonces: (a) Si Æ 2 R, la funci´on Æf es derivable en a, y (Æf )0 (a) = Æf 0 (a).
(b) La funci´on f + g es derivable en a, y (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a).
(c) (Regla del producto) La funci´on f g es derivable en a, y (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a).
(d) (Regla del cociente) Si g(a) 6= 0, la funci´on f /g es derivable en a, y µ ∂0 f f 0 (a)g(a) ° f (a)g 0 (a) (a) = .
g (g(a))2 Es f´acil establecer extensiones del teorema 3.4.2(b,c), utilizando inducci´on.
Corolario 3.4.1 Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones reales definidas en un intervalo I y derivables en a 2 I. Entonces: (a) La funci´on f1 + f2 + · · · + fn es derivable en a y (f1 + f2 + · · · + fn )0 (a) = f10 (a) + f20 (a) + · · · + fn0 (a).
(b) La funci´on f1 f2 · · · fn es derivable en a y (f1 f2 · · · fn )0 (a) = f10 (a)f2 (a) · · · fn (a) + f1 (a)f20 (a) · · · fn (a) + · · · + f1 (a)f2 (a) · · · fn0 (a).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 57 Ejemplos (1) Un caso especial importante del corolario 3.4.1(b) surge cuando las funciones son iguales, es decir, f1 = f2 = · · · = fn = f . Entonces, se tiene (f n )0 (a) = n(f (a))n°1 f 0 (a).
En particular, si f (x) = x, entonces la derivada de g(x) = xn es g 0 (x) = nxn°1 , n 2 N.
Esta f´ormula es tambi´en v´alida si el exponente es un entero negativo. En efecto, si n 2 N y h(x) = x°n = x1n , x 6= 0, tenemos, aplicando la regla del cociente (teorema 3.4.2(d)), que °nxn°1 h (x) = = (°n)x(°n)°1 .
2n x 0 (2) Consideremos la funci´on polin´omica dada por p(x) = an xn + an°1 xn°1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 .
Su derivada viene dada por la expresi´on p0 (x) = nan xn°1 + (n ° 1)an°1 xn°2 + · · · + 2a2 x + a1 (teorema 3.4.2(a,b) y ejemplo anterior).
(3) Seg´ un acabamos de ver, una funci´on polin´omica es derivable en cada punto de la recta real.
Por consiguiente, una funci´on racional r = p/q ser´a derivable en cada punto a 2 R tal que q(a) 6= 0. Su derivada se obtiene aplicando la f´ormula del teorema 3.4.2(d).
3 2 Por ejemplo, sea r(x) = x°x 2 +1 . En este caso, q(x) = x + 1 6= 0 para todo x 2 R. Entonces la derivada de r est´a definida en todo R y viene dada por r0 (x) = °3x2 (x2 + 1) ° (°x3 )2x °x2 (x2 + 3) = .
(x2 + 1)2 (x2 + 1)2 (4) Recordando que sen0 = cos y cos0 = °sen, aplicamos de nuevo el teorema 3.4.2(d), y obtenemos ≥ sen ¥0 sen0 x cos x ° sen x cos0 x 0 tg x = (x) = cos cos2 x cos2 x + sen2 x 1 = , cos2 x cos2 x en cada x tal que cos x 6= 0, es decir, en el dominio de la funci´on tangente.
= An´alogamente se prueba que cotg0 x = ° sen12 x , para x 6= kº, k 2 Z.
El teorema siguiente proporciona una f´ormula, de extraordinaria importancia, para encontrar la derivada de una funci´on compuesta g ± f en t´erminos de las derivadas de g y f .
Teorema 3.4.3 (Regla de la cadena) Sean f : I °! R y g : J °! R dos funciones, definidas en sendos intervalos I y J, tales que f (I) Ω J, y sea a 2 I. Si f es derivable en a y g es derivable en f (a), entonces la funci´on compuesta g ± f es derivable en a y (g ± f )0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 58 Nota Obviamente la regla de la cadena se puede extender al caso de una composici´on de m´as de dos funciones. As´ı, para tres funciones, tenemos: si f es derivable en a, g es derivable en f (a) y h es derivable en g(f (a)), entonces la funci´on compuesta h ± g ± f es derivable en a y (h ± g ± f )0 (a) = h0 (g(f (a))) · g 0 (f (a)) · f 0 (a).
Por ejemplo, sea F la funci´on definida en todo R por F (x) = sen (ecos x ). En este caso, F = h ± g ± f , con f (x) = cos x, g(y) = ey y h(z) = sen z. Entonces, para todo x 2 R, se tiene F 0 (x) = cos (ecos x ) · ecos x · (°sen x).
Una vez establecido que si una funci´on es continua y estrictamente mon´otona entonces su inversa es tambi´en continua (cf. teorema 3.3.14), abordamos ahora el asunto de la derivabilidad.
Teorema 3.4.4 (Derivada de la funci´ on inversa) Sean I Ω R un intervalo y f : I °! R estrictamente mon´otona y continua en I. Sean J = f (I) y f °1 : J °! R la funci´on inversa de f .
Si f es derivable en a 2 I y es f 0 (a) 6= 0, entonces f °1 es derivable en b = f (a) 2 J y (f °1 )0 (b) = 1 f 0 (a) = 1 f 0 (f °1 (b)) .
Nota En el teorema anterior, es esencial la hip´otesis f 0 (a) 6= 0. Si f 0 (a) = 0, entonces la funci´on inversa f °1 no es derivable en b = f (a). En efecto, como f (f °1 (b)) = b, si f °1 fuese derivable en b, la regla de la cadena implicar´ıa que f 0 (f °1 (b)) · (f °1 )0 (b) = 1, de donde 0 · (f °1 )0 (b) = 1, lo cual es absurdo. La funci´on dada por f (x) = x3 proporciona un ejemplo sencillo de esta situaci´on. Al ser f 0 (0) = 0, la funci´on f °1 no es derivable en 0 = f (0).
Teorema 3.4.5 Sean I Ω R un intervalo y f : I °! R estrictamente mon´otona en I. Sean J = f (I) y f °1 : J °! R la funci´on inversa de f . Si y = f (x) es derivable en I y f 0 (x) 6= 0 para todo x 2 I, entonces x = f °1 (y) es derivable en J y (f °1 )0 (y) = 1 f 0 (f °1 (y)) ,y2J (f °1 )0 (f (x)) = o bien y tambi´en podemos escribir (f °1 )0 (y) = 1 f 0 (x) en los correspondientes valores x e y.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 1 f 0 (x) , x 2 I, 3.4. Funciones derivables 59 Ejemplos (1) Si f : I °! R es derivable en I y g(ª) = ª n para ª 2 R y n 2 N, entonces, puesto que g 0 (ª) = nª n°1 , aplicando la regla de la cadena resulta (f n )0 (x) = (g ± f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) = n(f (x))n°1 f 0 (x) para x 2 I, como ya hab´ıamos visto (cf. ejemplo 1, p´ag. 57).
(2) La funci´on exponencial y = f (x) = ex (estrictamente creciente) es derivable en R y f 0 (x) = ex 6= 0 para todo x 2 R (cf. ejemplo 4, p´ag. 53) . Entonces la derivada de la funci´on logar´ıtmica x = f °1 (y) = ln y es 1 1 ln0 y = ln y = , y 2 (0, +1) e y en virtud del teorema 3.4.5.
(3) Sea n un n´ umero natural par. Sean I = [0, +1) y f : I °! R definida por f (x) = xn . La funci´on f es estrictamente creciente y continua en I, luego su inversa, que viene dada por f °1 (y) = y 1/n para y 2 J = [0, +1), es tambi´en estrictamente creciente y continua en J.
Adem´as, se tiene f 0 (x) = nxn°1 para todo x 2 I. Por tanto, si y > 0, entonces (f °1 )0 (y) = 1 f 0 (f °1 (y)) = 1 ny (n°1)/n = 1 (1/n)°1 y .
n La funci´on f °1 no es derivable en 0 (cf. nota posterior al teorema 3.4.4).
(4) Sea n un n´ umero natural impar, distinto de 1. La funci´on F : R °! R dada por F (x) = xn es estrictamente creciente y continua, por lo que su inversa, F °1 : R °! R definida por F °1 (y) = y 1/n , tambi´en es continua y estrictamente creciente. Como en el ejemplo anterior, se concluye que F °1 es derivable para y 6= 0, siendo (F °1 )0 (y) = (1/n)y (1/n)°1 , y F °1 no es derivable en 0.
(5) Consideremos la funci´on f (x) = xÆ , x > 0 (Æ 2 R fijo). Para encontrar la derivada de f escribiremos xÆ = eÆ ln x y aplicaremos la regla de la cadena. Si ponemos h(ª) = eª y g(x) = Æ ln x, resulta f 0 (x) = (h ± g)0 (x) = h0 (g(x)) · g 0 (x) = eÆ ln x · Æ = ÆxÆ°1 , x para x > 0.
(6) Haciendo uso, de nuevo, del teorema 3.4.5, podemos obtener las derivadas de las funciones arcsen, arccos y arctg, inversas de sen, cos y tg, respectivamente.
£ º º§ Sabemos que la funci´ o n sen : £ º º § ° 2 , 2 °!0 [°1, 1] (estrictamente°creciente) ¢ tiene por inversa º º arcsen : [°1, 1] °! ° 2 , 2 . Adem´as, sen x = cos x 6= 0 si x 2 ° 2 , 2 . Para |x| < º/2, se tiene |y| < 1 para los valores y = sen x. Por tanto, para todo y 2 (°1, 1), arcsen0 y = 1 1 1 1 p p = = = .
sen0 x cos x 1 ° sen2 x 1 ° y2 El signo que precede a la ra´ız se ha escogido teniendo en cuenta que cos x > 0 para |x| < º/2.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 60 An´alogamente se prueban las f´ormulas arccos0 y = ° p 1 1 ° y2 , |y| < 1, arctg0 y = y 1 , y 2 R.
1 + y2 Las funciones arco seno y arco coseno no son derivables ni en °1 ni en 1 (cf. nota posterior al teorema 3.4.4).
(7) Sean I Ω R un intervalo, f : I °! R derivable en I y g(ª) = |ª|. Recordemos que g es derivable en cada ª 6= 0 y que g 0 (ª) = sgn(ª), ª 6= 0 (cf. ejemplo 6, p´ags. 53-54). Entonces, por la regla de la cadena, la funci´on g ± f = |f | es derivable en todo punto x 2 I tal que f (x) 6= 0, y ( f 0 (x) si f (x) > 0, 0 0 |f | (x) = sgn(f (x)) · f (x) = °f 0 (x) si f (x) < 0.
Si el intervalo I es abierto, a 2 I y f (a) = 0, entonces |f | es derivable en a si, y s´olo si, f 0 (a) = 0 (cf. ejercicio 25).
Por ejemplo, si f (x) = x2 ° 1 para x 2 R, entonces su valor absoluto es |f |(x) = |x2 ° 1| y |f |0 (x) = sgn(x2 ° 1) · 2x para x 2 R \ {°1, 1}. En la Figura 3.44 vemos las gr´aficas de las funciones |f | y |f |0 .
Y 6 f 5 4 3 2 1 3 2 1 0 1 2 3 X 2 3 f 4 5 Figura 3.44 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 61 (8) Sean I Ω R un intervalo y f : I °! R derivable en I. Consideremos la funci´on F definida por F (x) = ln |f (x)| para cada x tal que f (x) 6= 0. Si h(ª) = ln ª, ª > 0, se tiene que F = h ± |f |.
Entonces, por la regla de la cadena, 8 1 f 0 (x) > 0 > · f (x) = si f (x) > 0, > < |f (x)| f (x) F 0 (x) = h0 (|f |(x)) · |f |0 (x) = > 1 f 0 (x) > 0 > · f (x) = si f (x) < 0.
:° |f (x)| f (x) Por tanto, F 0 (x) = f 0 (x) , f (x) para todo x tal que f (x) 6= 0.
(9) Sean f y g funciones derivables y supongamos que f (x) > 0 para todo x. Consideremos la funci´on ' definida por '(x) = [f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x) . Teniendo en cuenta el resultado del ejemplo anterior, si F (x) = ln '(x) = g(x) ln f (x), entonces f 0 (x) F (x) = g (x) ln f (x) + g(x) , f (x) 0 0 luego 0 g(x) ' (x) = [f (x)] ∑ ∏ f 0 (x) g (x) ln f (x) + g(x) .
f (x) 0 En particular, si '(x) = xx , x > 0, entonces '0 (x) = xx (1 + ln x) para x > 0.
En la tabla siguiente, como resumen, se muestran las derivadas de algunas funciones b´asicas: f (x) f 0 (x) Dominio de f 0 k (constante) 0 x2R ex ex x2R 1 ln |x| x 2 R \ {0} x n n°1 x ,n 2 N nx x2R xn , n 2 Z, n < 0 nxn°1 x 2 R \ {0} 1 (1/n)°1 1/n x , n 2 N par x x>0 n 1 (1/n)°1 1/n x , n 2 N impar n x x 2 R \ {0} xÆ = eÆ ln x , Æ 2 R ÆxÆ°1 x>0 sen x cos x x2R cos x °sen x x2R 1 tg x = sec2 x = 1 + tg2 x x 6= (2k + 1) º2 , k 2 Z cos2 x p 1 arcsen x |x| < 1 1°x2 1 arccos x ° p1°x2 |x| < 1 1 arctg x x2R 1+x2 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 62 La notaci´ on de Leibniz Estamos utilizando el s´ımbolo f 0 para referirnos a la derivada de una funci´on f . Esta notaci´on, fue introducida en 1797 por el matem´atico franc´es J.-L. Lagrange (1736-1813) en su libro Th´eorie des fonctions analytiques, en el que aparece por primera vez la denominaci´on “funci´on derivada”.
El s´ımbolo D para indicar la derivada fue introducido por L. F. A. Arbogast (1759-1803) en su obra Du calcul des d´erivations, publicada en 1800. El fil´osofo y matem´atico alem´an G. W. Leibniz (16461716) empleaba para designar la derivada una notaci´on algo diferente de las anteriores. Utilizando (x) ¢y y en lugar de f (x), el cociente de diferencias f (x+h)°f lo escrib´ıa en la forma ¢x , poniendo ¢x en h vez de h, y ¢y en vez de f (x + h) ° f (x) (el s´ımbolo ¢ no es un factor sino que sirve para indicar una diferencia en los valores de la variable que lo sigue). El l´ımite del cociente de diferencias cuando (x) dy d h ! 0, es decir, la derivada f 0 (x), la designaba Leibniz por dx o bien dfdx o tambi´en dx f (x). Con esta notaci´on la definici´on de derivada se escribe as´ı: dy ¢y = l´ım .
dx ¢x!0 ¢x No solamente era distinta la notaci´on, sino tambi´en la manera que ten´ıa Leibniz de pensar las derivadas, pues consideraba el l´ımite anterior como un cociente de cantidades “infinitamente pequedy n ˜as” o “infinitesimales” dy y dx, que llamaba “diferenciales”, y entonces la derivada dx era un “cociente diferencial”. En vez de utilizar el paso al l´ımite para definir la derivada, pasaba de ¢y y ¢x a dy y dx indicando simplemente que ¢y y ¢x se transformaban en infinitesimales.14 El manejo de las cantidades infinitamente peque˜ nas proporcion´o al c´alculo diferencial en sus comienzos un cierto aire de misterio, siempre asociado a la palabra “infinito”. Gradualmente, durante el siglo XIX, se fue prescindiendo de las cantidades infinitesimales. Sin embargo, la notaci´on de dy Leibniz sigue utiliz´andose debido a su gran flexibilidad. El s´ımbolo dx tiene la ventaja de ayudarnos a recordar el proceso completo del c´alculo de un cociente de diferencias y posterior paso al l´ımite.
dy Ahora bien, no debe olvidarse que dx es un s´ımbolo y no una raz´on o cociente. Muchos c´alculos y expresiones formales en los que aparece involucrado dicho s´ımbolo, muestran que se puede tratar con ´el como si dy y dx fueran n´ umeros reales, pero ¡no lo son! Una f´ormula tal como d(x2 ) = 2x dx 14 La diferencial de una variable es la diferencia infinitamente peque˜ na entre dos valores sucesivos de dicha variable. Leibniz consideraba que una curva estaba formada por segmentos indivisibles de longitud infinitesimal, con lo que asociaba a la curva distintas sucesiones de n´ umeros: la sucesi´ on de las abscisas, la sucesi´ on de las ordenadas, la sucesi´ on de las longitudes de los segmentos, etc. As´ı, dy es la diferencia infinitamente peque˜ na entre dos ordenadas y sucesivas, mientras que dx es la diferencia infinitamente peque˜ na entre dos abscisas x sucesivas. El s´ımbolo d (que proviene de la palabra latina diÆerentia), es introducido por Leibniz en un manuscrito fechado el 29 de octubre de 1675, situ´ andolo en un denominador (por cuestiones de dimensionalidad en las que no entraremos aqu´ı). Pronto se da cuenta de que esto constituye una desventaja notacional, por lo que piensa que es mejor situar el s´ımbolo d precediendo a la variable. As´ı, el 11 de noviembre de 1675, escribe: ((Idem est dx et x , id est diÆerentia inter duas x proximas)). M´ as adelante en el mismo manuscrito d x se pregunta si (dx)(dy) es lo mismo que d(xy) y si dx es lo mismo que d .
En otro manuscrito posterior, fechado el 11 de julio de 1677, dy y y Leibniz expone las reglas de la diferencial de un producto y de un cociente: d(xy) = x dy + y dx; d x = x dy°y dx .
x2 El primer art´ıculo que public´ o Leibniz sobre su calculus diÆerentialis lleva por t´ıtulo “Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus” y apareci´ o en la revista Acta Eruditorum, vol. 3 (1684), p´ ags. 467-473 (Leibnizens Mathematische Schriften (ed. C. I. Gerhardt), vol. V (1858), p´ ags. 220-226). En este art´ıculo, Leibniz, consciente de que su c´ alculo utilizaba cantidades infinitamente peque˜ nas que no estaban definidas rigurosamente, tom´ o la decisi´ on de presentar la diferencial no como una cantidad infinitesimal, sino mediante el siguiente artificio geom´ etrico: introduce un segmento finito que denomina dx, y define la diferencial dy en un punto P de la curva como el segmento que es a dx como la ordenada dy y y es a la subtangente æ. Es decir, dx = æ . Definida de esta forma, dy resulta ser tambi´ en un segmento finito. En terminolog´ıa moderna, y dy como æ coincide con la pendiente de la recta tangente en P , Leibniz est´ a diciendo que dx es la derivada.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.4. Funciones derivables 63 tiene un significado suficientemente claro: la derivada de la funci´on f definida por f (x) = x2 es la funci´on f 0 definida por f 0 (x) = 2x. Ahora bien, en una ecuaci´on no podemos tener en un lado una (x) funci´on y en el otro un n´ umero. En la pr´actica, el s´ımbolo dfdx unas veces significa f 0 (funci´on) y 0 otras veces significa f (x) (n´ umero). Para evitar esta ambig¨ uedad, f 0 (a), la derivada de la funci´on f en el punto a (que es un n´ umero), se designa por Ø df (x) ØØ .
dx Øx=a As´ı, por ejemplo, Ø d(x2 ) ØØ = 2(°1) = °2.
dx Øx=°1 La regla de la cadena (teorema 3.4.3) nos dice que si f : I °! R y g : J °! R son dos funciones, definidas en sendos intervalos I y J, tales que f (I) Ω J, y existen f 0 (x) y g 0 (f (x)), entonces existe (g ± f )0 (x) y (g ± f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x).
(1) Si escribimos y = f (x) y z = g(y), entonces z = g(y) = g(f (x)) = (g ± f )(x).
dy dz La notaci´on de Leibniz nos hace designar por dx la derivada f 0 (x), por dy la derivada g 0 (y) y por dz la derivada (g ± f )0 (x), con lo que la regla de la cadena expresada en (1) se escribe ahora en la dx forma dz dz dy = · .
dx dy dx Por ejemplo, si queremos hallar con la notaci´on de Leibniz la derivada de la funci´on F definida por dz F (x) = cos(x2 ), escribiremos y = x2 y z = cos y. Entonces z = cos(x2 ) y dx = F 0 (x). Por tanto, d cos(x2 ) dz dz dy = = · = °sen y · 2x = °2x sen(x2 ).
dx dx dy dx dy dx El teorema 3.4.5 tambi´en presenta un aspecto atractivo con la notaci´on de Leibniz. Si escribimos en lugar de f 0 (x) y cambiamos (f °1 )0 (y) por dx , entonces dy dx 1 = dy .
dy dx Por ejemplo, si f esta definida por f (x) = xn , n 2 N impar, distinto de 1, y queremos hallar la derivada de su inversa f °1 , definida por f °1 (y) = y 1/n , utilizando la notaci´on de Leibniz se escribe y = xn y x = y 1/n , con lo que, para y 6= 0, se tiene d(y 1/n ) dx 1 1 1 1 1 = = dy = = = 1°(1/n) = y (1/n)°1 .
n°1 1/n n°1 dy dy nx n(y ) ny n dx Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables 64 Finalmente, mencionamos la notaci´on de Leibniz para las derivadas sucesivas. El uso de la notaci´on de Leibniz para la segunda derivada f 00 (x) nos llevar´ıa a escribir ° dy ¢ d dx , dx pero para ella, Leibniz introdujo la notaci´on Leibniz escribe d3 y (dx)3 d2 y .
(dx)2 An´alogamente para la tercera derivada f 000 (x), . Estas notaciones suelen abreviarse as´ı: dn y .
dxn d2 y d3 y , .
dx2 dx3 En general, para la derivada n-´esima f (n) 3.5.
Propiedades de las funciones derivables (x), se escribe Naturalmente, se utilizan tambi´en las versiones dn f (x) dxn o bien dn f (x).
dxn Definici´ on 3.5.1 Sea I Ω R un intervalo. Se dice que f : I °! R tiene un m´ aximo relativo (resp. m´ınimo relativo) en a 2 I si existe ± > 0 tal que f (x) ∑ f (a) (resp. f (a) ∑ f (x)) para todo x 2 (a ° ±, a + ±) \ I. Se dice que f tiene un extremo relativo en a 2 I si tiene o bien un m´aximo relativo o bien un m´ınimo relativo en a. Si para todo x 2 ((a ° ±, a + ±) \ {a}) \ I se verifica f (x) < f (a) (resp. f (a) < f (x)) decimos que f tiene un m´ aximo relativo estricto (resp. m´ınimo relativo estricto) en a. Se dice que f tiene un extremo relativo estricto en a si tiene o bien un m´aximo relativo estricto o bien un m´ınimo relativo estricto en a.
El teorema siguiente proporciona una condici´on necesaria para que una funci´on derivable en un punto interior de su intervalo de definici´on tenga en dicho punto un extremo relativo.
Teorema 3.5.1 Sea a un punto interior del intervalo I en el que f : I °! R tiene un extremo relativo. Si f es derivable en a, entonces f 0 (a) = 0.
Observaciones (1) Es esencial que a sea un punto interior de I. Por ejemplo, la funci´on definida por f (x) = x en [0, 1] tiene un m´ınimo relativo en 0 y un m´aximo relativo en 1 y f 0 (0+ ) = f 0 (1° ) = 1 6= 0.
(2) La condici´on f 0 (a) = 0 no es suficiente para que f tenga en a un extremo relativo: la funci´on definida por f (x) = x3 en (°1, 1), verifica f 0 (0) = 0 pero no tiene un extremo relativo en 0.
(3) Es claro que puede haber extremo relativo en un punto en el que la funci´on no es derivable: si f (x) = |x|, x 2 [°1, 1], entonces f tiene un m´ınimo relativo en 0, pero no existe la derivada de f en 0.
Si la funci´on f es derivable en el punto a, interior a su dominio de definici´on (usualmente el dominio ser´a un intervalo o una uni´on de intervalos), y f 0 (a) = 0, se dice que a es un punto cr´ıtico o estacionario de f . Los u ´nicos puntos en los que f puede tener un extremo relativo son los puntos cr´ıticos, los puntos interiores en los que no es derivable y los puntos no interiores al dominio.
Los teoremas 3.5.1 y del m´aximo-m´ınimo implican el resultado siguiente.
Teorema 3.5.2 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b] y derivable en (a, b) y tal que f (a) = f (b). Entonces existe c 2 (a, b) tal que f 0 (c) = 0.
El teorema de Rolle nos dice, en t´erminos geom´etricos, que en alg´ un punto (c, f (c)), estando c situado entre a y b, la tangente es horizontal y paralela, por tanto, al segmento que une los extremos de la gr´afica de f .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables 65 Uno de los resultados m´as importantes del An´alisis Matem´atico se debe a Joseph-Louis Lagrange y es el llamado teorema del valor medio. El teorema de Rolle es un caso particular a partir del cual puede deducirse el teorema general.15 Teorema 3.5.3 (Teorema del valor medio) Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c 2 (a, b) tal que f (b) ° f (a) = f 0 (c)(b ° a).
(a) La pendiente del segmento que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) es f (b)°f , luego el significado b°a geom´etrico del teorema del valor medio es el siguiente: en alg´ un punto (c, f (c)), estando c situado entre a y b, la tangente es paralela al segmento que une los extremos de la gr´afica de f . Naturalmente, el punto c de cuya existencia se habla en la conclusi´on del teorema no tiene por qu´e ser u ´nico (Figura 3.45).
Y f b f f a O a c1 c2 c3 b X Figura 3.45: El teorema del valor medio.
Observaciones (1) En la f´ormula f (b) ° f (a) = f 0 (c)(b ° a) se observa que a y b se pueden intercambiar, por lo que no es necesario pensar que a < b. Asimismo esta f´ormula puede expresarse de otra manera. Poniendo h = b°a resulta f (a+h)°f (a) = f 0 (c)h, y h puede ser positivo o negativo.
El n´ umero c situado entre a y b admite la expresi´on c = a + µh, siendo µ alg´ un n´ umero del intervalo (0, 1), con lo cual la f´ormula se escribe as´ı: f (a + h) ° f (a) = hf 0 (a + µh), 0 < µ < 1.
(2) Supongamos que hemos recorrido en un autom´ovil 170 kil´ometros en 2 horas. Designamos por f (t) la distancia recorrida en el tiempo t, con t 2 [0, 2]. La velocidad media del viaje es f (2)°f (0) = 170 = 85 km/h y f 0 (ø ) es la velocidad instant´anea en el instante t = ø . El teorema 2°0 2 del valor medio nos dice que en alg´ un momento habremos estado viajando exactamente a 85 km/h.
15 Lagrange incluye el teorema del valor medio en la primera edici´ on, publicada en 1797, de su famoso libro Th´ eorie des fonctions analytiques. En la obra D´ emonstration d’une m´ ethode pour r´ esoudre les ´ egalitez de tous les degrez, de 1691, el matem´ atico franc´ es Michel Rolle (1652-1719) incluy´ o el teorema que lleva su nombre. Rolle presenta el teorema de modo incidental al tratar de un m´ etodo para resolver ecuaciones de una manera aproximada.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables 66 Gracias al teorema del valor medio, la derivada f 0 se convierte en una excelente fuente de informaci´on para obtener propiedades de la funci´on f .
Teorema 3.5.4 Sea f : [a, b] °! R continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f 0 (x) = 0 para todo x 2 (a, b). Entonces f es constante en [a, b].
Como consecuencia se tiene el siguiente resultado, de gran importancia para el c´alculo integral.
Corolario 3.5.1 Sean f, g : [a, b] °! R continuas en [a, b], derivables en (a, b) y tales que f 0 (x) = g 0 (x) para todo x 2 (a, b). Entonces existe una constante C tal que f = g + C en [a, b].
A partir del signo de la derivada, deducimos propiedades de monoton´ıa.
Teorema 3.5.5 Sea f : I °! R derivable en el intervalo I. Entonces: (a) f es creciente en I si, y s´olo si, f 0 (x) ∏ 0 para todo x 2 I.
(b) f es decreciente en I si, y s´olo si, f 0 (x) ∑ 0 para todo x 2 I.
(c) Si f 0 (x) > 0 para todo x 2 I, entonces f es estrictamente creciente en I.
(d) Si f 0 (x) < 0 para todo x 2 I, entonces f es estrictamente decreciente en I.
Observaci´ on Las afirmaciones rec´ıprocas de (c) y (d) no son ciertas. Por ejemplo, la funci´on f : R °! R definida por f (x) = x3 es estrictamente creciente en R, pero f 0 (0) = 0.
El teorema del valor medio permite establecer una conexi´on importante entre derivada lateral y l´ımite lateral de la derivada.
Teorema 3.5.6 Sea f : I °! R una funci´on definida en un intervalo I = [a, a + ±) (resp.
I = (a ° ±, a]), ± > 0. Si f es continua en I, es derivable en I \ {a} y existe y es finito el l´ımite de f 0 (x) cuando x ! a+ (resp. cuando x ! a° ), entonces existe la derivada de f en a por la derecha (resp. por la izquierda) y µ ∂ 0 + 0 0 ° 0 f (a ) = l´ım+ f (x) resp. f (a ) = l´ım° f (x) .
x!a x!a Nota Con las hip´otesis del teorema anterior, si existe el l´ımite de f 0 (x) cuando x ! a+ (resp. cuando x ! a° ) pero no es finito, entonces µ ∂ f (x) ° f (a) f (x) ° f (a) 0 0 l´ım = l´ım+ f (x) resp. l´ım° = l´ım° f (x) .
x!a+ x!a x!a x!a x°a x°a Observaci´ on ¿La existencia de derivada lateral implica la existencia del correspondiente l´ımite lateral de la derivada? La respuesta es negativa. Para verlo, consideremos la funci´on f definida por f (x) = x2 sen(1/x) si x > 0, y f (0) = 0. Para cada x > 0 es 1 1 f 0 (x) = 2x sen ° cos , x x Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables 67 por lo que no existe el l´ımite de f 0 (x) cuando x ! 0+ (pues no existe el l´ımite de cos(1/x) cuando x ! 0+ ; la prueba es similar a la que vimos en las p´ags. 30-31 para sen(1/x)). Sin embargo, l´ım+ x!0 f (x) ° f (0) 1 = l´ım+ x sen = 0 x!0 x°0 x (cf. ejemplo p´ag. 21), luego f 0 (0+ ) = 0.
Usando el teorema del valor medio se obtienen las siguientes condiciones suficientes para que una funci´on tenga un extremo relativo en un punto.
Teorema 3.5.7 Sea f continua en un entorno U de un punto c y derivable en U \ {c}. Entonces: (a) Si existe un intervalo (c ° ±, c + ±) Ω U tal que f 0 (x) ∏ 0 para c ° ± < x < c y f 0 (x) ∑ 0 para c < x < c + ±, entonces f tiene un m´aximo relativo en c. Si f 0 (x) > 0 para c ° ± < x < c y f 0 (x) < 0 para c < x < c + ±, entonces f tiene un m´aximo relativo estricto en c.
(b) Si existe un intervalo (c ° ±, c + ±) Ω U tal que f 0 (x) ∑ 0 para c ° ± < x < c y f 0 (x) ∏ 0 para c < x < c + ±, entonces f tiene un m´ınimo relativo en c. Si f 0 (x) < 0 para c ° ± < x < c y f 0 (x) > 0 para c < x < c + ±, entonces f tiene un m´ınimo relativo estricto en c.
Observaci´ on Las condiciones suficientes del teorema anterior no son necesarias. Por ejemplo, consideremos la funci´on definida por f (x) = 2x2 + x2 sen(1/x) si x 6= 0, y f (0) = 0. Como para todo x se tiene que x2 ∑ f (x) ∑ 3x2 es claro que la funci´on tiene un m´ınimo relativo estricto en el punto 0. Ahora bien, si ± > 0, en cada intervalo (°±, ±) la derivada 1 1 f 0 (x) = 4x + 2x sen ° cos , f 0 (0) = 0, x x toma valores positivos tanto en (°±, 0) como en (0, ±). En efecto, basta observar que ≥ y negativos ¥ ° 1 ¢ 1 0 0 f 2kº < 0 y que f (2k°1)º > 0, para k 2 Z \ {0}.
A partir del teorema de Rolle puede deducirse un resultado para dos funciones que se debe al matem´atico franc´es Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y que generaliza el teorema del valor medio.
Teorema 3.5.8 (Teorema del valor medio de Cauchy) Sean f, g : [a, b] °! R continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe c 2 (a, b) tal que [f (b) ° f (a)]g 0 (c) = [g(b) ° g(a)]f 0 (c).
Observaciones Si g 0 (x) 6= 0 para todo x 2 (a, b), entonces g(b) 6= g(a) por el teorema de Rolle, y la conclusi´on puede escribirse as´ı: f (b) ° f (a) f 0 (c) = 0 .
g(b) ° g(a) g (c) El teorema del valor medio es el caso particular del teorema 3.5.8 en el que g(x) = x. En la f´ormula que establece el teorema del valor medio de Cauchy, se observa que a y b se pueden intercambiar, por lo que no es necesario pensar que a < b.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables 68 El teorema del valor medio de Cauchy o teorema generalizado del valor medio, es la herramienta fundamental necesaria para demostrar un teorema que facilita el c´alculo del l´ımite de un cociente de funciones, conocido con el nombre de regla de L’Hˆopital.16 En el c´alculo de l´ımites aparecen con frecuencia las llamadas formas indeterminadas: 0 1 , , 1 ° 1 , 0 · 1 , 00 , 11 , 10 .
0 1 Son expresiones simb´olicas correspondientes a la tendencia de dos funciones f y g hacia sus respectivos l´ımites en diferentes situaciones. Por ejemplo, si l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = 0 y queremos x!a x!a estudiar el comportamiento de la funci´on f /g en las cercan´ıas del punto a, decimos que se presenta una indeterminaci´on del tipo 0/0. Las formas indeterminadas esenciales son 0/0 y 1/1 ya que las otras situaciones de indeterminaci´on se reducen a ellas, realizando manipulaciones algebraicas y utilizando las funciones exponencial y logar´ıtmica.
Teorema 3.5.9 (Regla de L’Hˆ opital) Sean a, b 2 R] = R [ {°1, +1} con a < b y sean f y g funciones reales derivables en (a, b) con g 0 (x) 6= 0 para todo x 2 (a, b). Supongamos que o bien l´ım f (x) = l´ım+ g(x) = 0 x!a+ x!a o bien l´ım g(x) = ±1.
x!a+ Supongamos adem´as que l´ım+ x!a f 0 (x) = L 2 R] .
g 0 (x) 16 El matem´ atico suizo Johann Bernoulli (1667-1748) escribi´ o en los a˜ nos 1691-1692 dos peque˜ nos libros, que se publicar´ıan mucho m´ as tarde, sobre el c´ alculo diferencial y el c´ alculo integral, desarrollando las ideas de Leibniz, a quien Johann reconoci´ o siempre como su maestro y fiel amigo. En 1691, Bernoulli conoce en Par´ıs a un joven y competente matem´ atico franc´ es, el marqu´ es Guillaume-Fran¸coisAntoine de L’Hˆ opital (1661-1704), perteneciente al c´ırculo elitista del fil´ osofo Nicolas Malebranche, que era el foco de la intelectualidad francesa de esa ´ epoca. Sin embargo, L’Hˆ opital no conoc´ıa el nuevo c´ alculo en la forma en que ya era dominado por Johann. A ra´ız de las conversaciones que ambos mantuvieron sobre el tema, el marqu´ es de L’Hˆ opital, muy impresionado, contrat´ o a Johann para que fuera su maestro. Las lecciones se desarrollaron tanto en Par´ıs como en la casa de campo de L’Hˆ opital, en Oucques. A finales de 1692, Bernoulli abandona Par´ıs y regresa a su ciudad natal, Basilea. Las clases contin´ uan por correspondencia. Y es precisamente en la correspondencia entre Bernoulli y L’Hˆ opital donde se menciona un acuerdo establecido entre las dos partes, en 1694, que obligaba a Johann a transmitir al marqu´ es todos sus descubrimientos para que L’Hˆ opital los utilizase a su voluntad, y a abstenerse de comunicar a otros los contenidos transmitidos, a cambio de un elevado salario regular. Uno de los resultados que Johann comunic´ o al marqu´ es por carta se ha conocido siempre con el nombre de “regla de L’Hˆ opital”, y data de 1694. Esta regla la incorpor´ o L’Hˆ opital en el primer texto sobre c´ alculo diferencial que apareci´ o impreso, su Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, publicado en Par´ıs en 1696.
Parte del material de esta obra es resultado indudablemente de los trabajos del propio L’Hˆ opital, sobre todo en cuanto a la forma de exposici´ on, pero los teoremas del libro son esencialmente de Bernoulli. La prueba de esto se obtuvo en 1922, cuando el matem´ atico Paul Schafheitlin (1861-1924) descubri´ o en la biblioteca de la Universidad de Basilea una copia en lat´ın del texto de c´ alculo diferencial de Johann realizada por su sobrino Nikolaus I Bernoulli, probablemente en 1705. Schafheitlin se encarg´ o de publicar el mismo a˜ no de su descubrimiento el citado documento, Johannis (I) Bernoullii Lectiones de calculo diÆerentialium, y asimismo public´ o en 1924 una traducci´ on al alem´ an titulada Die DiÆerentialrechnung von Johann Bernoulli aus dem Jahre 1691/92. En este libro no aparece la “regla de L’Hˆ opital”. El texto de Bernoulli sobre c´ alculo integral mencionado antes fue publicado en sus Opera omnia de 1742, en donde Johann afirma en una nota a pie de p´ agina que omit´ıa sus lecciones sobre el c´ alculo diferencial, dado que su contenido estaba ya al alcance de cualquiera en el Analyse de L’Hˆ opital. Despu´ es de la muerte de L’Hˆ opital, Bernoulli reclam´ o en´ ergicamente, pero con escaso ´ exito, la autor´ıa del Analyse, por supuesto, sin mencionar el curioso y poco honorable acuerdo. El resarcimiento definitivo de Johann lleg´ o en 1955, cuando se publica, editada por Otto Spiess, una parte de su correspondencia (Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli. Band 1: Der Briefwechsel mit Jakob Bernoulli, dem Marquis de l’Hˆ opital u. a.), donde s´ı aparece la famosa “regla”. Naturalmente seguiremos refiri´ endonos a la “regla de L’Hˆ opital” as´ı, con el nombre de siempre, pero no debemos olvidar que en realidad se trata de un resultado debido a Johann Bernoulli.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables 69 Entonces l´ım+ x!a f (x) = L.
g(x) Se verifica el mismo resultado si x ! a+ se sustituye por x ! b° .
Nota El teorema anterior permite las posibilidades a = °1 y b = +1. En estos casos se consideran los l´ımites cuando x ! °1 y cuando x ! +1 respectivamente.
Ejemplos p sen x cos x p = l´ım 2 x cos x = 0.
(1) l´ım+ p = l´ım+ x!0 x!0 1/(2 x) x!0+ x p Las funciones f y g dadas por f (x) = sen x y g(x) = x son derivables en (0, +1) y ambas tienden hacia 0 cuando x ! 0+ . Adem´as g 0 (x) 6= 0 para todo x 2 (0, +1), luego puede aplicarse la regla de L’Hˆopital.
1 ° cos x sen x cos x 1 = l´ ım = l´ ım = .
x!0 x!0 2x x!0 x2 2 2 (2) l´ım Aqu´ı se ha aplicado dos veces la regla de L’Hˆopital (cf. p´ag. 33, para otra prueba diferente de este resultado).
(3) Se tiene ex ° 1 ex = l´ım = 1, x!0 x!0 1 x con lo que hemos probado ex ° 1 ª x cuando x ! 0.
l´ım ln x 1/x = l´ım = 1, es decir, ln x ª x ° 1 cuando x ! 1.
x!1 x ° 1 x!1 1 (4) l´ım ln x 1/x = l´ım = 0.
x!+1 x 1 Si Æ > 0, tenemos (5) l´ım x!+1 ln x 1/x 1 = l´ım = l´ım = 0.
Æ Æ°1 x!+1 x!+1 x Æx ÆxÆ Mediante el cambio de variable t = 1/x, se obtiene l´ım x!+1 ln x 1 = l´ım+ tÆ ln = ° l´ım+ tÆ ln t, Æ x!+1 x t!0 t!0 t l´ım luego l´ım tÆ ln t = 0.
t!0+ x2 2x 2 = l´ım x = l´ım x = 0.
x x!+1 e x!+1 e x!+1 e (6) l´ım e°x x2 = l´ım x!+1 Aqu´ı se ha aplicado dos veces la regla de L’Hˆopital.
(7) l´ım+ x!0 ln sen x cos x/sen x x x = l´ım+ = l´ım+ · cos x = l´ım+ · l´ım cos x = 1 · 1 = 1.
x!0 x!0 sen x x!0 sen x x!0+ ln x 1/x Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.5. Propiedades de las funciones derivables (8) l´ım+ x!0 µ 1 1 ° x sen x ∂ = l´ım+ x!0 70 sen x ° x cos x ° 1 °sen x = l´ım+ = l´ım+ = 0.
x!0 sen x + x cos x x!0 2 cos x ° x sen x x sen x La forma indeterminada 1 ° 1 se ha transformado en 0/0 y despu´es se ha aplicado dos veces la regla de L’Hˆopital.
µ ∂ x 1 x ln x ° x + 1 ln x x°1 1 (9) l´ım ° = l´ım = l´ım = l´ ım = .
°1 °2 °1 x!1 x!1 (x ° 1) ln x x!1 1 ° x x ° 1 ln x + ln x x!1 x + x 2 Como en el ejemplo 8, dos aplicaciones de la regla de L’Hˆopital nos han conducido al resultado.
(10) Consideremos l´ım+ xx . Se tiene xx = ex ln x . Entonces, teniendo en cuenta el ejemplo 5 y la x!0 continuidad de la funci´on exponencial en 0, resulta (cf. teorema 3.3.7) l´ım xx = l´ım+ ex ln x = e0 = 1.
x!0+ x!0 (11) Consideremos l´ım (1 + 1/x)x . Se tiene (1 + 1/x)x = ex ln(1+1/x) . Adem´as x!+1 ln(1 + 1/x) (°1/x2 )/(1 + 1/x) 1 l´ım x ln(1 + 1/x) = l´ım = l´ım = l´ ım = 1.
x!+1 x!+1 x!+1 x!+1 1 + 1/x 1/x °1/x2 As´ı pues l´ım (1 + 1/x)x = e1 = e, x!+1 por la continuidad de la funci´on exponencial en 1.
(12) Consideremos l´ım+ (1 + 1/x)x . Se tiene x!0 l´ım+ x ln(1 + 1/x) = l´ım+ x!0 x!0 ln(1 + 1/x) 1 = l´ım+ = 0.
x!0 1 + 1/x 1/x Por tanto, por la continuidad de la funci´on exponencial en 0, resulta l´ım (1 + 1/x)x = e0 = 1.
x!0+ La derivada f 0 de una funci´on derivable f no tiene por qu´e ser una funci´on continua. Por ejemplo, la funci´on f definida por f (x) = x2 sen(1/x) si x 6= 0, y f (0) = 0, es derivable en cada n´ umero real, siendo f 0 (x) = 2x sen(1/x) ° cos(1/x), para x 6= 0, y f 0 (0) = 0, y no existe el l´ımite de esta funci´on cuando x ! 0, luego f 0 no es continua en R. Sin embargo, la derivada de una funci´on derivable posee la propiedad del valor intermedio al igual que las funciones continuas (cf. teorema 3.3.8). El resultado se debe al matem´atico franc´es Gaston Darboux (1842-1917).17 Teorema 3.5.10 (Teorema de Darboux) Sea f : [a, b] °! R derivable en [a, b] y supongamos que ∞ es un n´ umero comprendido entre f 0 (a+ ) y f 0 (b° ). Entonces existe c 2 (a, b) tal que f 0 (c) = ∞.
17 ´ El teorema apareci´ o en el art´ıculo “M´ emoire sur les fonctions discontinues” publicado en Annales scientifiques de l’Ecole Normale Sup´ erieure, Serie 2, vol. 4 (1875), p´ ags. 57-112, concretamente en las p´ aginas 109-110.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.6. Funciones convexas 3.6.
71 Funciones convexas La noci´on de convexidad juega un papel importante en un gran n´ umero de ´areas, en particular en la moderna teor´ıa de la optimizaci´on. Terminamos este tema fijando nuestra atenci´on en los aspectos b´asicos de las funciones convexas de una variable real.
Definici´ on 3.6.1 Sea I Ω R un intervalo. Se dice que f : I °! R es convexa si para cualesquiera a, b 2 I y 0 ∑ t ∑ 1, se tiene f ((1 ° t)a + tb) ∑ (1 ° t)f (a) + tf (b).
(2) Se dice que f es c´ oncava si °f es convexa. Se dice que f es estrictamente convexa si para cualesquiera a, b 2 I con a 6= b y 0 < t < 1, se tiene f ((1 ° t)a + tb) < (1 ° t)f (a) + tf (b).
Se dice que f es estrictamente c´ oncava si °f es estrictamente convexa.
Observaciones (a) Si escribimos x = (1 ° t)a + tb,18 vemos que la desigualdad (2) es equivalente a f (x) ∑ = b°x x°a f (a) + f (b) b°a b°a f (b) ° f (a) (x ° a) + f (a).
b°a Esto significa, geom´etricamente, que f es convexa si, y s´olo si, los puntos de la gr´afica de f |[a,b] est´an por debajo de (o en) la cuerda que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)), para todos a, b 2 I con a < b. Esta situaci´on geom´etrica puede expresarse tambi´en mediante el llamado criterio de las tres cuerdas: f es convexa si, y s´olo si, para cualesquiera a, b, c 2 I con a < c < b, se tiene que f (c) ° f (a) f (b) ° f (a) f (b) ° f (c) ∑ ∑ c°a b°a b°c (desigualdades estrictas si, y s´olo si, f es estrictamente convexa). En la Figura 3.46 se ilustra el significado geom´etrico de la convexidad.
(b) Si f : I °! R es convexa, entonces f es acotada en cada subintervalo cerrado [a, b] de I. En efecto, f est´a acotada superiormente por M = m´ax{f (a), f (b)}, puesto que si x = (1 ° t)a + tb 2 [a, b], f (x) ∑ (1 ° t)f (a) + tf (b) ∑ (1 ° t)M + tM = M.
18 Los puntos del intervalo abierto de extremos a y b son precisamente los de la forma (1 ° t)a + tb para 0 < t < 1. En efecto, si por ejemplo a < b, entonces a = (1 ° t)a + ta < (1 ° t)a + tb < (1 ° t)b + tb = b, y rec´ıprocamente, si a < x < b, entonces x = (1 ° t)a + tb para 0<t= x°a < 1.
b°a Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.6. Funciones convexas 72 Escribamos ahora un punto arbitrario x del intervalo [a, b] en la forma x = alg´ un ∏ con |∏| ∑ b°a . Entonces 2 µ ∂ µ ∂ µ ∂ a+b 1 a+b 1 a+b f ∑ f +∏ + f °∏ , 2 2 2 2 2 es decir, a+b 2 + ∏, para µ ∂ µ ∂ µ ∂ a+b a+b a+b f + ∏ ∏ 2f °f °∏ .
2 2 2 ° ¢ Ahora bien, se tiene que °f a+b ° ∏ ∏ °M , luego 2 µ ∂ µ ∂ a+b a+b f + ∏ ∏ 2f °M 2 2 ° ¢ y f est´a acotada inferiormente por 2 f a+b ° M.
2 Y f b R 1 t f a tf b f a P f x f Q a x 1 t a tb O b X Figura 3.46: Funci´on convexa: pendiente de PQ ∑ pendiente de PR ∑ pendiente de QR.
Una funci´on convexa no tiene por qu´e ser derivable en cada punto. Basta considerar por ejemplo f (x) = |x|, x 2 R. Sin embargo, si f est´a definida en un intervalo abierto I y es convexa, las derivadas laterales de f existen en cada punto de I.
Teorema 3.6.1 Sean I Ω R un intervalo abierto y f : I °! R convexa. Entonces (1) f+0 (x) y f°0 (x) existen en cada x 2 I, (2) f+0 y f°0 son funciones crecientes en I (son estrictamente crecientes si f es estrictamente convexa), (3) f°0 ∑ f+0 en I, (4) Si [Æ, Ø] Ω I y K = m´ax{|f+0 (Æ)|, |f°0 (Ø)|}, entonces |f (x) ° f (y)| ∑ K|x ° y| para todos x, y 2 [Æ, Ø], (5) f es continua en I.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.6. Funciones convexas 73 Notas (1) Si f : [a, b] °! R es convexa, entonces existen y son finitos l´ım+ f (x) y l´ım° f (x).
x!a x!b Si f es mon´otona en el intervalo (a, b), este resultado es consecuencia del teorema 3.2.10, puesto que f , por ser convexa en [a, b], es acotada. Si f no es mon´otona en (a, b), entonces existen puntos x1 < x2 < x3 en (a, b) tales que f (x1 ) > f (x2 ) < f (x3 ). Como f es continua en [x1 , x3 ], alcanza su ´ınfimo en este intervalo en un punto Æ 2 (x1 , x3 ), es decir, f (Æ) = ´ınf f ([x1 , x3 ]). De hecho, f (Æ) = ´ınf f ((a, b)). En efecto, si x 2 (a, b), x < x1 , entonces de donde f (Æ) ° f (x) f (Æ) ° f (x1 ) ∑ , Æ°x Æ ° x1 (Æ ° x1 )f (x) ∏ (x ° x1 )f (Æ) + (Æ ° x)f (x1 ) ∏ (Æ ° x1 )f (Æ), es decir, f (x) ∏ f (Æ). El caso x 2 (a, b), x3 < x, se trata de forma similar. Observemos ahora que si u, v 2 (a, b), u < v < Æ, entonces f (v) ° f (u) f (Æ) ° f (u) ∑ ∑0 v°u Æ°u de donde f (u) ∏ f (v) y, por tanto, f es decreciente en (a, Æ). An´alogamente, si u, v 2 (a, b), Æ < u < v, se deduce que f (u) ∑ f (v), luego f es creciente en (Æ, b). Nuevamente, se deduce el resultado como consecuencia del teorema 3.2.10.
(2) Una funci´on f : [a, b] °! R convexa, no tiene por qu´e ser continua en [a, b]: por el teorema 3.6.1(5), f puede ser discontinua en los extremos del intervalo. Ahora bien, por la nota 1, la discontinuidad, si existe, se presentar´a en forma de “salto hacia arriba” y entonces, la funci´on fe : [a, b] °! R definida por 8 l´ım f (x) si x = a > > > <x!a+ si x 2 (a, b) fe(x) = f (x) > > > : l´ım f (x) si x = b, ° x!b continua en [a, b], es tambi´en convexa. As´ı, por ejemplo, la funci´on f : [°1, 1] °! R definida por f (x) = |x| si x 6= 1, y f (1) = 2 es convexa y es discontinua en 1, puesto que l´ım° f (x) = x!1 1 < f (1).
Definici´ on 3.6.2 Se dice que f definida en un intervalo I tiene soporte en c 2 I si existe una funci´ on af´ın A(x) = m(x ° c) + f (c) tal que A(x) ∑ f (x) para todo x 2 I. La gr´afica de la funci´on soporte A recibe el nombre de recta de soporte para f en c.
Geom´etricamente es evidente que por cada punto de la gr´afica de una funci´on convexa pasa una recta que nunca queda por encima de la gr´afica. Sea I Ω R un intervalo abierto. Supongamos que f : I °! R es convexa y sea c 2 I. Si m es cualquier n´ umero real que verifique f°0 (c) ∑ m ∑ f+0 (c), entonces, para x 2 I, si x > c se tiene f (x) ° f (c) ∏ f+0 (c) ∏ m x°c Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.6. Funciones convexas 74 y si x < c se tiene Por tanto, f (x) ° f (c) ∑ f°0 (c) ∑ m.
x°c f (x) ∏ m(x ° c) + f (c) para todo x 2 I. Supongamos ahora que f : I °! R tiene una recta de soporte en cada punto de I. Sean a, b 2 I. Si c = (1 ° t)a + tb, t 2 [0, 1], sea A(x) = m(x ° c) + f (c) la funci´on soporte para f en c. Entonces f (c) = A(c) = (1 ° t)A(a) + tA(b) ∑ (1 ° t)f (a) + tf (b) y, por tanto, f es convexa. As´ı pues, hemos demostrado la siguiente caracterizaci´on de las funciones convexas.
Teorema 3.6.2 Sea I Ω R un intervalo abierto. Una funci´on f : I °! R es convexa si y s´olo si, existe al menos una recta de soporte para f en cada c 2 I.
El resultado siguiente est´a relacionado con el teorema anterior.
Teorema 3.6.3 Sea I Ω R un intervalo abierto, f : I °! R convexa y c 2 I. La funci´on f es derivable en c si, y s´olo si, la recta de soporte para f en c es u ´nica. En este caso, la u ´nica funci´on 0 soporte es la definida por A(x) = f (c)(x ° c) + f (c).
La convexidad estricta puede caracterizarse por medio de las funciones soporte, como muestra el teorema siguiente.
Teorema 3.6.4 Sea I Ω R un intervalo abierto. Una funci´on f : I °! R es estrictamente convexa si, y s´olo si, para cada c 2 I existe una funci´on soporte A tal que f (x) > A(x) para todo x 2 I, x 6= c.
Como consecuencia del teorema 3.6.2 se obtiene la siguiente desigualdad importante, que lleva el nombre del matem´atico dan´es J. L. W. V. Jensen (1859-1925).
Teorema 3.6.5 (Desigualdad de Jensen) Sean I Ω R un intervalo abierto y f : I °! R convexa. Supongamos que x1 , x2 , . . . , xn 2 I y que los n´ umeros reales positivos p1 , p2 , . . . , pn satisfacen n P pj = 1. Entonces j=1 √ n ! n X X f pj x j ∑ pj f (xj ).
j=1 j=1 Adem´ as se verifica la igualdad si, y s´olo si, f es af´ın en el intervalo cerrado m´as peque˜ no que contiene a los puntos x1 , x2 , . . . , xn .
Se proporciona ahora un criterio u ´til para la convexidad.
Teorema 3.6.6 Sean I Ω R un intervalo abierto y f : I °! R derivable en I. Entonces f es convexa (resp. estrictamente convexa) si, y s´olo si, f 0 es creciente (resp. estrictamente creciente).
Corolario 3.6.1 Sean I Ω R un intervalo abierto y f : I °! R derivable dos veces en I. Entonces f es convexa si, y s´olo si, f 00 (x) ∏ 0 para todo x 2 I. Si f 00 (x) > 0 para todo x 2 I, entonces f es estrictamente convexa.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.6. Funciones convexas 75 Nota La u ´ltima afirmaci´on del corolario anterior no es reversible. Basta considerar, por ejemplo, la funci´on f : (°1, 1) °! R definida por f (x) = x4 . Como f 0 (x) = 4x3 para °1 < x < 1, la derivada f 0 es estrictamente creciente y, por tanto, f es estrictamente convexa. Es claro que f 00 (0) = 0.
Ejemplos (1) La funci´on exponencial de base a, definida por f (x) = ax , a > 0, a 6= 1, x 2 R, es estrictamente convexa, puesto que f 00 (x) = ax (ln a)2 > 0 para todo x 2 R.
(2) La funci´on f : (0, +1) °! R definida por f (x) = estrictamente convexa si 0 < a < 1 y estrictamente ( >0 1 f 00 (x) = ° 2 x ln a < 0 loga x (funci´on logar´ıtmica de base a) es c´oncava si a > 1, puesto que si 0 < a < 1 si a > 1 para todo x 2 (0, +1).
(3) La funci´on f : (0, +1) °! R definida por f (x) = xÆ , Æ 2 R, verifica f 00 (x) = Æ(Æ ° 1)xÆ°2 , x 2 (0, +1), luego es convexa si Æ ∑ 0 o Æ ∏ 1 (estrictamente convexa si Æ < 0 o Æ > 1) y es c´oncava si 0 ∑ Æ ∑ 1 (estrictamente c´oncava si 0 < Æ < 1).
Definici´ on 3.6.3 Sea f : (a, b) °! R una funci´on derivable en (a, b), c 2 (a, b), y supongamos que la funci´on f es convexa (resp. c´oncava) en el intervalo (a, c) y c´oncava (resp. convexa) en el intervalo (c, b). Entonces se dice que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexi´ on de la gr´afica de f.
Observaci´ on Si (c, f (c)) es un punto de inflexi´on de la gr´afica de una funci´on f definida y derivable en un intervalo abierto y, adem´as, f es dos veces derivable en c, entonces los teoremas 3.6.6 y 3.5.10 nos permiten concluir que f 0 tiene un extremo relativo en c y, por el teorema 3.5.1, resulta que f 00 (c) = 0.
El rec´ıproco no es cierto: si f 00 (c) = 0, el punto (c, f (c)) no tiene por qu´e ser de inflexi´on. Por ejemplo, para la funci´on f definida en todo R por f (x) = x4 , se tiene f 0 (x) = 4x3 , f 00 (x) = 12x2 , x 2 R. Se verifica que f 00 (0) = 0, pero (0, 0) no es un punto de inflexi´on. En el punto 0, la funci´on f tiene un m´ınimo relativo estricto, pues f 0 (x) < 0 si x < 0 y f 0 (x) > 0 si x > 0.
El teorema 3.5.7 hace uso de la derivada (primera) para determinar si una funci´on tiene en un punto un extremo relativo. Las derivadas de orden superior, si existen, pueden utilizarse con ese mismo fin, as´ı como para la determinaci´on de puntos de inflexi´on, seg´ un muestra el resultado siguiente, que se deduce de un teorema importante no estudiado en este curso: el teorema de Taylor.
Teorema 3.6.7 Sean I Ω R un intervalo abierto, f : I °! R y c un punto de I. Supongamos que f tiene derivadas f 0 , f 00 , . . . , f (n) en I, con n ∏ 2, y que f (n) es continua en c. Supongamos adem´as que f 0 (c) = · · · = f (n°1) (c) = 0 pero f (n) (c) 6= 0.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 76 (1) Si n es par y f (n) (c) > 0, entonces f tiene un m´ınimo relativo en c.
(2) Si n es par y f (n) (c) < 0, entonces f tiene un m´aximo relativo en c.
(3) Si n es impar, entonces f no tiene ni m´ınimo relativo ni m´aximo relativo en c. En este caso (c, f (c)) es un punto de inflexi´ on de la gr´afica de f y, en ese punto, la tangente a la gr´afica de f es paralela al eje de abscisas.19 Ejemplos (1) Consideremos la funci´on f definida por f (x) = sen x, x 2 R. Como f 00 (x) = °sen x, tenemos f 00 (x) < 0 si 2kº < x < (2k + 1)º y f 00 (x) > 0 si (2k ° 1)º < x < 2kº, donde k 2 Z.
El c´oncava ° corolario 3.6.1 ¢ nos dice que la funci´on seno es estrictamente ° ¢ en los intervalos 2kº, (2k + 1)º y estrictamente convexa en los intervalos (2k ° 1)º, 2kº , donde ° ¢ k 2 Z. En particular, se deduce que los puntos de la gr´afica de f |[0,º/2] , excepto (0, 0) y º2 , 1 , est´an por encima de la cuerda que une los puntos exceptuados. Por tanto, sen x ∏ º2 x para 0 ∑ x ∑ º2 , verific´andose la igualdad si, y s´olo si, x = 0 o x = º2 .
Los puntos de inflexi´on de la gr´afica de la funci´on seno son (kº, 0), k 2 Z.
2 (2) Sea f la funci´on definida por f (x) = e°x , x 2 R. Se tiene que 2 f 0 (x) = °2xe°x , 2 f 00 (x) = (4x2 ° 2)e°x , f 000 (x) = (°8x3 + 12x)e°x 2 para todo x 2 R. La ecuaci´on f 0 (x) = 0 tiene como u ´nica soluci´on x = 0. Como f 0 (x) > 0 para x < 0 y f 0 (x) < 0 para x > 0, la funci´on f tiene un m´aximo relativo estricto en el punto p p 2 2 00 0; f (0) = 1. La ecuaci´on f (x) = 0 tiene dos soluciones: x1 = ° 2 y x2 = ≥ . Evaluando 2 ¥ la derivada tercera en x1 y en x2 vemos que f 000 (x1 ) < 0 y f 000 (x2 ) > 0, luego ° ≥p ¥ 2 ° 12 , e son los puntos de inflexi´on de la gr´afica de f .
2 3.7.
p 2 ° 12 ,e 2 y Ejercicios Los ejercicios se˜ nalados en rojo proporcionan resultados importantes que complementan la teor´ıa.
1. Considera las funciones definidas por p f (x) = 1 ° x2 , p g(x) = ° 1 ° x2 , para x 2 [0, 1]. Determina el recorrido de f y el de g. Obt´en las f´ormulas que definen a las funciones f °1 y g °1 . Traza en una misma figura las gr´aficas de las cuatro funciones.
19 pero Si n ∏ 3 es impar y se tiene f 00 (c) = · · · = f (n°1) (c) = 0 f (n) (c) 6= 0, entonces (c, f (c)) es un punto de inflexi´ on de la gr´ afica de f y, en ese punto, la tangente a la gr´ afica de f tiene pendiente f 0 (c).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 77 2. Dado un entero positivo fijo n ∏ 2, demuestra que la funci´on f : R °! R definida por f (x) = n X k=1 p p p p cos (x k) = cos (x 1) + cos (x 2) + · · · + cos (x n) no es peri´odica.
3. Resuelve el sistema ln (2xy) = ln x ln y, ln (yz) = ln y ln z, ln (2zx) = ln z ln x.
4. Determina el dominio de la funci´on f dada por la f´ormula f (x) = ln{ln[ ln(ln x)]}.
5. Sean X Ω R, f, g : X¢ °! R y a un punto de acumulaci´on de X. Demuestra que si f es acotada ° en (a ° ±, a + ±) \ {a} \ X para alg´ un ± > 0 y l´ım g(x) = 0, entonces l´ım [f (x)g(x)] = 0.
x!a x!a 6. Sean a, b > 0. Estudia la existencia del l´ımite en 0 para las funciones definidas en R \ {0} por ∑ ∏ x b b hxi f (x) = y g(x) = , a x x a ([ª] designa la parte entera de ª).
7. Sea f la funci´on definida en R por f (x) = ´ınf{|x ° n| : n 2 Z}.
Demuestra que no existe l´ım f (1/x) pero s´ı existe l´ım xf (1/x). Calcula este u ´ltimo l´ımite.
x!0 x!0 8. Se considera la funci´on definida en R por 8 > A + B ln x si x > 0, > > > < si x = 0, f (x) = C > > > 3x E > :De + si x < 0, x3 donde A, B, C, D y E son par´ametros reales. Encuentra los valores de los par´ametros para los que se verifica: (1) l´ım f (x) = +1, x!0 (2) l´ım f (x) = 2, x!0 (3) l´ım f (x) = 3, x!+1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara (4) l´ım f (x) = 0.
x!°1 3.7. Ejercicios 78 9. Calcula los l´ımites siguientes: 1 ° x4 , x!1 x3 ° 1 (1) l´ım (2) l´ım x ° x!+1 p x2 ° x , °x2 + 5x + 3 (3) l´ım , x!+1 3x ° 5 (6) l´ım p l´ım p x!+1 x!°1 1 ° x2 p , x!±1 2 ° 5 ° x2 (8) 2x3 ° x2 ° 3x , x!°1 x3 + 1 l´ım l´ım x p , x!0 1 ° x+1 (9) l´ım 2x (4) l´ım p , x!°1 3x2 + x (5) (7) (10) l´ım x!+1 q x+ p x° q x° p x, x(1 ° cos x) , x!0 sen3 x x2 + 3x ° x , (11) l´ım x2 + 2x + x , (12) l´ım x arctg x .
x!0 cos x sen2 (2x) 10. Para las funciones siguientes, indica el dominio y los puntos de discontinuidad. ¿Puedes extender la definici´on de la funci´on de modo que la funci´on resultante sea continua en toda la recta real? p p p x3 ° 1 x°1 1°x° 1+x (a) f (x) = 2 , (b) f (x) = , (c) f (x) = .
x °1 x°1 x 11. Sea f : (0, 1) °! R definida por f (x) = x2 ° x .
sen(ºx) ¿C´omo puede extenderse la definici´on de la funci´on de modo que la funci´on resultante sea continua en el intervalo cerrado [0, 1]? 12. Estudia la continuidad de la siguiente funci´on seg´ un los valores de a: ( x2 si x ∑ a, f (x) = a + 2 si x > a.
13. Considera la funci´on ( ln x si 0 < x ∑ 1, f (x) = 2 ax + b si x > 1.
Determina los valores de a y b para que f sea continua en x = 1 y f (2) = 3. Escribe la funci´on resultante y dibuja su gr´afica.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 79 14. Halla a y b para que la siguiente funci´on sea continua: 8 > a(x ° 1)2 si x ∑ 0, > > > < f (x) = sen(b + x) si 0 < x < º, > > > > :º si x ∏ º.
x 15. Estudia la continuidad de la funci´on definida por ( e1/x sen(º/x) si x 6= 0, f (x) = 0 si x = 0.
16. Demuestra que la ecuaci´on º x = e tiene una soluci´on en el intervalo (0, 1).
17. ¿Puedes afirmar que la ecuaci´on sen x + 2x ° 1 = 0 tiene al menos una ra´ız real? Si es as´ı, halla un intervalo en el cual se encuentre dicha ra´ız.
18. Demuestra que la funci´on f (x) = 6 2 + sen x alcanza el valor 4 en el intervalo [° º2 , º2 ].
19. Sea f : [a, b] °! [a, b] continua. Demuestra que f tiene un punto fijo en [a, b], es decir, existe c 2 [a, b] tal que f (c) = c.
20. Supongamos que f, g : [a, b] °! R son continuas y tales que f (a) < g(a) y f (b) > g(b).
Demuestra que existe c 2 (a, b) tal que f (c) = g(c).
21. Sea f : R °! R continua y peri´odica con periodo p > 0. Demuestra que existe c tal que ≥ p¥ f c+ = f (c).
2 22. Sea f : (a, b) °! R continua. Demuestra que, dados x1 , x2 , . . . , xn 2 (a, b), existe c 2 (a, b) tal que ¢ 1° f (c) = f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) .
n 23. La funci´on F : R °! R satisface la siguiente relaci´on (para todo x): F (x + 1)F (x) + F (x + 1) + 1 = 0.
Demuestra que F no es continua.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 80 24. Halla la derivada de las siguientes funciones: r 1 1°x (1) f (x) = 3 2 , (9) f (x) = arccos p , x 2 (2) f (x) = e°x ln(cos x) , (3) f (x) = sen (7 (4) f (x) = ln (5) f (x) = r p x x2 ), x , +1 cos (sen x) p , x 1 (6) f (x) = p , x 1 + (ln x)2 (10) f (x) = arctg (x + (11) f (x) = ln r p 1 + x2 ) , 1 + sen x , 1 ° sen x (12) f (x) = xsen x , x > 0 , (13) f (x) = (sen x)cos x , 0 < x < º , (14) f (x) = arcsen(cos x) , p (7) f (x) = cos2 x + esen x , (15) f (x) = ln(x + 1 + (8) f (x) = ln(tg 2x) , p (16) f (x) = arcsen (2x 1 ° x2 ) .
x2 + 2x + 1) , 25. Sea f una funci´on definida en un intervalo abierto al que pertenece a, derivable en a y tal que f (a) = 0. Demuestra que |f | es derivable en a si, y s´olo si, f 0 (a) = 0.
26. Estudia la continuidad y derivabilidad de la funci´on f : [°º, º] °! R definida por f (x) = sen|x| .
27. Demuestra que la funci´on f (x) = x|x ° 1| no es derivable en x = 1.
28. Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente funci´on: 8 > <|x + 2| si x < °1, f (x) = x2 si °1 ∑ x ∑ 1, > : 2x + 1 si x > 1.
29. Halla los valores de a y b para que la funci´on ( ax2 + bx ° 1 si x ∑ 1, f (x) = 2(bx ° 1) si x > 1, sea continua y derivable en R.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 81 30. Estudia la continuidad y derivabilidad de la funci´on ( x2 + ax + a ° 1 si x < 2, f (x) = ln(x ° 1) si x ∏ 2, seg´ un los valores del par´ametro a.
31. Demuestra que si f es una funci´on par y derivable, entonces la derivada f 0 es una funci´on impar. Demuestra tambi´en que si g es una funci´on impar y derivable, entonces g 0 es una funci´on par.
32. ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la funci´on f (x) = ¿Existe c 2 (°1, 1) tal que f 0 (c) = 0? p x2 ° x4 en el intervalo [°1, 1]? 33. Determina a, b y c para que la funci´on ( ax2 + bx + 5 si x < 1, f (x) = 3x + 1 si x ∏ 1 verifique las hip´otesis del teorema de Rolle en el intervalo [°2, c].
34. Considera la funci´on f (x) = ex ° x ° 3. Demuestra que f tiene un u ´nico cero en el intervalo (0, +1).
35. Sean 0 < a < b y f : [a, b] °! R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Demuestra que si f (a) f (b) = , a b entonces existe x0 2 (a, b) tal que x0 f 0 (x0 ) = f (x0 ).
36. Demuestra que |sen x ° sen y| ∑ |x ° y| para x, y 2 R.
37. Sean a y b dos n´ umeros reales tales que 0 < a < b. Demuestra que b°a b°a < arctg b ° arctg a < .
2 1+b 1 + a2 38. Demuestra que ln(1 + x2 ) ∏ x2 , x 2 R.
1 + x2 39. Demuestra la siguiente generalizaci´on de la desigualdad de Bernoulli: si Æ > 1, entonces (1 + x)Æ ∏ 1 + Æx para todo x > °1, verific´andose la igualdad si, y s´olo si, x = 0.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 82 40. Supongamos que f es derivable en (0, +1) y f 0 (x) = O(x) cuando x ! +1. Demuestra que f (x) = O(x2 ) cuando x ! +1.
41. Calcula el l´ımite l´ım n!1 p n "µ 1 1+ n+1 ∂n+1 µ ∂n # 1 ° 1+ .
n 42. Encuentra las soluciones reales de la ecuaci´on 2x + 5x = 3x + 4x .
43. Calcula los siguientes l´ımites: x (1) l´ım , x!+1 (ln x)3 + 2x (2) (7) xn ,n 2 N, x!+1 ex l´ım (3) l´ım x!0 µ 1 1 ° 2 x sen2 x ∂ (8) , l´ım x!±1 µ 3 1 + 2 tg x ∂x , l´ım xsen x , x!0+ 2 (9) l´ım (cos 2x)3/x , x!0 x(x1/x ° 1) (4) l´ım , x!+1 ln x ∂ º (10) l´ım x ° arctg x , x!±1 2 (5) l´ım (1 + sen 3x)cotg 2x , (11) x!0 (6) µ l´ım (tg x)tg 2x , x!º/4 ∑µ ∂x ∏ 1 (12) l´ım x 1 + °e .
x!+1 x x l´ım (cotg x) , x!0+ 44. Demuestra que para x > 0, se verifica x < ln(1 + x) < x .
1+x 45. Encuentra las soluciones reales del sistema de ecuaciones 4x2 = y, 4x2 + 1 4y 2 = z, 4y 2 + 1 4z 2 = x.
4z 2 + 1 Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 83 46. Demuestra que para x ∏ 0, se verifica 1 + x ∑ ex .
Como aplicaci´on, demuestra que dados los n´ umeros reales no negativos a1 , a2 , . . . , an , la media geom´etrica p Gn (a1 , a2 , . . . , an ) = n a1 a2 · · · an es menor o igual que la media aritm´etica a1 + a2 + · · · + an , n y que se verifica la igualdad si, y s´olo si, a1 = a2 = · · · = an .
An (a1 , a2 , . . . , an ) = 47. Demuestra que x ln x ∏ x ° 1 Utiliza esta desigualdad para probar que n X i=1 para pi > 0, qi > 0 (i = 1, 2, . . . , n) y n P i=1 1, 2, . . . , n).
pi ln pi ∏ pi = n P para x > 0.
n X pi ln qi i=1 qi . La igualdad se verifica si, y s´olo si, pi = qi (i = i=1 48. Encuentra las soluciones reales de la ecuaci´on sen (cos x) = cos (sen x).
49. Sea 0 < a < 1. Resuelve x a xa = a x para n´ umeros positivos x.
50. Encuentra el m´ınimo de µ ∂ µ ∂ µ ∂ 1 1 1 logx1 x2 ° + logx2 x3 ° + · · · + logxn x1 ° 4 4 4 °1 ¢ donde x1 , x2 , . . . , xn son n´ umeros reales del intervalo 4 , 1 .
51. Encuentra los extremos relativos, los intervalos de monoton´ıa, los puntos de inflexi´on y los intervalos de convexidad y de concavidad para las funciones siguientes: p (1) f (x) = x ° x2 , x > 0, (5) f (x) = x(ln x)2 , x > 0, (2) f (x) = |x2 ° 3|, °2 ∑ x ∑ 1, (6) f (x) = x2 ln x, x > 0, (3) f (x) = (x ° 1)ex , (7) f (x) = (|x| ° 1)2 e°x , 2 (4) f (x) = xe°x , (8) f (x) = x + sen(2x).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 84 52. Halla las dimensiones del rect´angulo de ´area m´axima inscrito en un tri´angulo equil´atero de lado a.
53. Una pieza de alambre de longitud L se corta en dos trozos. Con uno de ellos se forma un tri´angulo equil´atero y con el otro un c´ırculo. ¿C´omo debe cortarse el alambre para que la suma de las ´areas del c´ırculo y del tri´angulo sea m´ınima? 54. Halla la longitud de la barra m´as larga que puede hacerse pasar horizontalmente por una esquina de un pasillo de a metros de ancho a otro de b metros de ancho.
55. Determina el punto del suelo desde el cual se ve un segmento vertical AB bajo un ´angulo m´aximo, siendo a y b las distancias desde el plano del suelo a los puntos A y B respectivamente.
56. Se quiere inscribir un cilindro en una esfera de radio R. Halla las dimensiones del cilindro si su volumen ha de ser m´aximo.
57. Las manecillas de un reloj miden 8 y 10 cm. Unimos sus extremos formando un tri´angulo.
Determina el instante comprendido entre las 12:00 y las 12:30 para el cual el ´area del tri´angulo es m´axima y halla dicha ´area m´axima.
58. Un canal abierto, de fondo horizontal y cuyas paredes laterales tienen una inclinaci´on de 45± , ha de tener una secci´on de 12 m2 . Determina las dimensiones de la secci´on para que con dicha ´area tenga un per´ımetro m´ınimo.
59. Sea f una funci´on convexa en el intervalo I Ω R. Demuestra que para cualesquiera a < b < c en I, se tiene f (a ° b + c) ∑ f (a) ° f (b) + f (c).
60. Sean a, b > 0 y n un entero positivo. Demuestra la desigualdad µ ∂n an + bn a+b ∏ .
2 2 61. Demuestra que q 3 3° p 3 3+ q 3 3+ p 3 p 3 3 < 2 3.
62. Sean a, b, c > 0. Demuestra la desigualdad de Nesbitt a b c 3 + + ∏ .
b+c c+a a+b 2 63. Sean a y b n´ umeros reales positivos tales que a + b = 1. Demuestra que µ ∂2 µ ∂2 1 1 25 a+ + b+ ∏ .
a b 2 64. Sean a, b y c n´ umeros reales positivos. Demuestra que aa bb cc ∏ (abc) a+b+c 3 .
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 3.7. Ejercicios 85 65. Demuestra que si x, y, z > 0 y x + y + z = 1, entonces µ ∂µ ∂µ ∂ 1 1 1 64 ∑ 1 + 1+ 1+ .
x y z 66. Demuestra que para cualquier tri´angulo con lados a, b, c y ´area A, se verifica la desigualdad de Hadwiger-Finsler p a2 + b2 + c2 ∏ (a ° b)2 + (b ° c)2 + (c ° a)2 + 4 3A.
67. Desigualdad de Young. Para x, y > 0 y p, q > 0 tales que xy ∑ 68. Sean xj > 0 y pj > 0 para 1 ∑ j ∑ n y n Y j=1 n P 1 p + 1 q = 1, demuestra que xp y q + .
p q pj = 1. Demuestra que j=1 p xj j ∑ n X pj x j , j=1 verific´andose la igualdad si, y s´olo si, x1 = x2 = · · · = xn . ¿Qu´e nos dice esto cuando cada pj = n1 ? 69. Sea x = 1 n n P k=1 xk con x1 , . . . , xn 2 (0, º). Demuestra que (a) n Y k=1 n sen xk ∑ (sen x) , (b) n Y sen xk k=1 xk ∑ ≥ sen x ¥n x 70. Sea f : (0, +1) °! R convexa y tal que l´ım f (x) = 0.
x!0+ Demuestra que la funci´on g definida por g(x) = f (x) x es creciente en (0, +1).
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara .
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