Exercicis del tema 5 resolt: Optimització lineal amb restriccions de desigualtat (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 30
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del tema 5: Optimització lineal amb restriccions de desigualtat 33. Resoleu gràficament i pel mètode del símplex els problemes següents: a) Mètode gràfic: Imatge 30 Imatge 31 147 Llúcia Mauri Masdeu No hi ha regió admissible, ja que és buida. Per tant, no tenim vèrtexs ni tampoc òptims.
Mètode del símplex: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef ¦X ¦X v.b.
c d x 1 ¦ ¦ y ¦ 1 1 t ¦ 0 w u 0 ¦ w c 1 0 0 d 0 1 0 B 1 1 ¦X Coef 1 ¦X v.b.
x d x 1 0 0 y ¦ 0 0 t ¦ ¦ ¦ X u 0 ¦ w c 1 1 1 d 0 1 0 B 1 2 ¦X Hi ha inexistència de solució factible, ja que la variable artificial d = 2  0.
b) Mètode gràfic: 148 Matemàtiques II Imatge 32 Vèrtexs (a, b) Valor de la funció f(x, y) Imatge 33 (0, 0) 0 (0, 2) 2 (2, 4) 8 Veiem que la regió admissible no està buida, però no està acotada (hi falten vèrtexs) el màxim s’assoleix al punt (2,4) dels vèrtexs considerats, però si prenem el punt (3,4) la funció val 10, i si prenem (4,4) la funció val 12,... És a dir, el màxim estaria a un dels vèrtexs que ens fa falta.
Mètode del símplex: El programa estandarditzat: 149 Llúcia Mauri Masdeu Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 v.b.
t u x ¦ 0 ¦ y 1 1 ¦ t 1 0 0 u 0 1 0 B 2 4 0 Inexistència de solució òptima; és a dir, la solució no està limitada, ja que hi ha una columna (la primera) on z1–c10 i ai1)0.
c) Mètode gràfic: Imatge 34 Vèrtexs (a, b) Valor de la funció f(x, y) Imatge 35 (0, 4) 32 (1, 1) 14 (7/5, 0) 42/5 Veiem que la regió admissible no està buida, però no està acotada (hi falten vèrtexs) el mínim s’assoleix al punt (7/5,0) dels vèrtexs considerats, però si prenem el punt 150 Matemàtiques II (2,0) la funció val 12 i si prenem (0,5) la funció val 40. És a dir, el mínim està en el vèrtex (7/5,0).
Mètode del símplex: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef ¦X ¦X v.b.
c d x 3 5 ¦X  y 1 2 ¦X  t ¦ 0 w u 0 ¦ w Coef ¦ ¦X v.b.
x d x 1 0 0 y 1/3 1/3 ¦X t ¦ 5/3 ¦X u 0 ¦ w Coef ¦ 0 v.b.
x t x 1 0 0 y 2/5 1/5 28/5 t 0 1 0 u ¦ ¦ 6/5 c 1 0 0 d 0 1 0 B 4 7 ¦X c 1/3 ¦ ¦ X d 0 1 0 B 4/3 1/3 ¦¦X c 0 ¦ w d 1/5 3/5 X¦ B 7/5 1/5 ¦ El problema té solució òptima única. El punt òptim és el punt a la funció objectiu és .
151 i el valor d’aquest Llúcia Mauri Masdeu d) Mètode gràfic: Imatge 36 Imatge 37 Vèrtexs (a, b) Valor de la funció f(x, y) (14/9, 5/3) 3 (8/3, 0) 8 Veiem que la regió admissible no està buida, però no està acotada (hi falten vèrtexs) el mínim s’assoleix al punt (14/9,5/3) dels vèrtexs considerats, però si prenem el punt (7/3,4) la funció val 3. És a dir, el mínim s’assoleix en tots els punts de la recta y = 3x–3. Per tant, tenim infinites (múltiples) solucions òptimes.
152 Matemàtiques II Mètode del símplex: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef ¦X ¦X v.b.
c d x 3 3 ¦X  y 2 ¦ ¦X¦ t ¦ 0 w u 0 ¦ w c 1 0 0 d 0 1 0 B 8 3 ¦X Coef ¦X ¦ v.b.
c x x 0 1 0 y 3 ¦ ¦X t ¦ 0 w u 1 ¦ ¦X  c 1 0 0 d ¦ 1/3 X¦ B 5 1 ¦X¦ Coef 1 ¦ v.b.
y x x 0 1 0 y 1 0 0 t ¦ ¦ 0 u 1/3 ¦ 1 c 1/3 1/9 w d ¦ 2/9 ¦ X B 5/3 14/9 ¦ El problema té solució òptima múltiple no fitada, ja que la tercera columna és una variable no bàsica i z3–c3=0 i, a més a més, ai3)0 per i=1,2.
e) Mètode gràfic: 153 Llúcia Mauri Masdeu Imatge 38 Vèrtexs (a, b) Valor de la funció f(x, y) Imatge 39 (0, 0) 0 (0, 2) 2 (2/3, 8/3) 4 (2, 2) 6 (3, 0) 6 Veiem que hi ha dos vèrtex on s’assoleix el màxim. Per tant, el màxim d’aquest problema s’assoleix en tots els punts del segment que uneix el (2,2) i el (3,0). Llavors, tenim una solució múltiple (fitada).
Mètode del símplex: p El programa estandarditzat: 154 Matemàtiques II Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 0 v.b.
t u v x ¦ 2 1 ¦ y 1 1 2 ¦ t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v 0 0 1 0 B 2 6 6 0 Coef 0 2 0 v.b.
t x v x 0 1 0 0 y 3/2 1/2 3/2 0 t 1 0 0 0 u 1/2 1/2 ¦ 1 v 0 0 1 0 B 5 3 3 6 El problema té solució òptima múltiple fitada. Hi ha alguna variable no bàsica, per exemple, la y, tal que z2–c2=0 i hi ha per algun i=1, 2, 3 ai20 (en aquest cas tots).
Una solució òptima serà el punt (3, 0) i el valor de la funció al punt òptim és 6.
f) Mètode gràfic: Imatge 40 Imatge 41 155 Llúcia Mauri Masdeu Vèrtexs (a, b) Valor de la funció f(x, y) (0, 0) 0 (0, 4) 12 (4/3, 14/3) 46/3 (6, 0) 6 Veiem que assoleix el màxim al vèrtex (4/3, 14/3).
Mètode del símplex: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 v.b.
t u x 1 ¦ ¦ y 1 2 ¦ t 1 0 0 u 0 1 0 B 6 8 0 Coef 0 3 v.b.
t y x 3/2 ¦ ¦ y 0 1 0 t 1 0 0 u ¦ 1/2 3/2 B 2 4 12 Coef 1 3 v.b.
x y x 1 0 0 y 0 1 0 t 2/3 1/3 5/3 u ¦ 1/3 2/3 B 4/3 14/3 46/3 El problema té solució òptima única. El punt òptim és el .
punt òptim a la funció objectiu és 156 .. I el valor del Matemàtiques II 34. Resoleu els programes següents pel mètode del símplex: a) El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 0 v.b.
t u v x 3 2 2 ¦ y 2 3 1 ¦ t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v 0 0 1 0 B 240 300 145 0 Coef 0 0 7 v.b.
t u x x 0 0 1 0 y 1/2 2 1/2 ¦ t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v ¦ ¦ 1/2 7/2 B 45/2 155 145/2 1015/2 Coef 6 0 7 v.b.
y u x x 0 0 1 0 y 1 0 0 0 t 2 ¦ ¦ 5 u 0 1 0 0 v ¦ 5 2 ¦ B 45 65 50 620 Coef 6 0 7 v.b.
y v x x 0 0 1 0 y 1 0 0 0 t ¦ ¦ 3/5 9/5 u 3/5 1/5 ¦ 4/5 v 0 1 0 0 B 84 13 24 672 El problema té solució òptima única. El punt (24,84) és un màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 672.
157 Llúcia Mauri Masdeu b) ) El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef ¦X 0 v.b.
c u x 1 1 ¦X  y 1 ¦ ¦X  t ¦ 0 w u 0 1 0 c 1 0 0 B 2 0 ¦X Coef ¦X ¦ v.b.
c x x 0 1 0 y 2 ¦ ¦X  t ¦ 0 w u ¦ 1 X¦ c 1 0 0 B 2 0 ¦X Coef ¦ ¦ v.b.
y x x 0 1 0 y 1 0 0 t ¦ ¦ 7/2 u ¦ 1/2 1/2 c 1/2 1/2 ¦ X B 1 1 ¦ El problema té solució òptima única. El punt (1, 1) és un mínim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 7.
c) 158 Matemàtiques II El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 ¦ ¦X v.b.
t z c x 1 1 ¦ ¦ X y 1 1 1 ¦X  z 0 1 0 0 t 1 0 0 0 u 0 ¦ 0 3 v 0 0 ¦ w c 0 0 1 0 B 100 200 0 ¦ Coef 0 ¦ ¦ v.b.
t z y x 2 2 ¦ 0 y 0 0 1 0 z 0 1 0 0 t 1 0 0 0 u 0 ¦ 0 3 v 1 1 ¦ 2 c ¦ ¦ 1 ¦ X B 100 200 0 ¦ El problema té solució òptima única. El punt (0,0,200) és un mínim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 600.
d) El programa estandarditzat: 159 Llúcia Mauri Masdeu Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 v.b.
t u x 2 2 ¦ y 5 3 ¦ z 0 4 ¦ t 1 0 0 u 0 1 0 B 2400 2600 0 Coef 5 0 v.b.
y u x 2/5 4/5 ¦ y 1 0 0 z 0 4 ¦ t 1/5 ¦ 1 u 0 1 0 B 480 1160 2400 Coef 5 4 v.b.
y z x 2/5 1/5 ¦ y 1 0 0 z 0 1 0 t 1/5 ¦ 2/5 u 0 1/4 1 B 480 290 3560 Coef 3 4 v.b.
x z x 1 0 0 y 5/2 ¦ 1/2 z 0 1 0 t 1/2 ¦ 1/2 u 0 1/4 1 B 1200 50 3800 El problema té solució òptima única. El punt (1200,0,50) és el màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 3800.
e) El programa estandarditzat: 160 Matemàtiques II Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 v.b.
t u x ¦ 3 ¦ y 2 2 ¦ t 1 0 0 u 0 1 0 B 800 2400 0 Coef 8000 0 v.b.
y u x ¦ 4 ¦ y 1 0 0 t 1/2 ¦ 4000 u 0 1 0 B 400 1600 3200000 Coef 8000 6000 v.b.
y x x 0 1 0 y 1 0 0 t 3/8 ¦ 1500 u 1/8 1/4 2500 B 600 400 7200000 El problema té solució òptima única. El punt (400, 600) és el màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 7200000.
35. L’empresa EPC fabrica dos tipus de telèfons mòbils: T-truc i T-Call.. Ambdós productes necessiten mà d’obra d’electrònica i de muntatge. Cada T-Truc necessita 4 hores de treball en electrònica i 2 en muntatge. Cada T-Call, 3 i 1 hores, respectivament.
Actualment, es disposa de 240 hores en el departament d’electrònica i de 100 al de muntatge. La producció s’organitza tenint en compte la restricció que el nombre de TCalls, com a molt, ha de representar el 85% de la producció total. Cada T-Truc suposa un benefici net de 8 euros i cada T-Call, 5 euros. Es desitja determinar la millor combinació d’ambdós productes per tal de maximitzar el benefici total.
Nota: Malgrat que les variables prenen valors enters, considerarem que les variables prenen valors reals a fi i efecte de poder aplicar l’algoritme del símplex.
Considerem: x = nre. de T-Truc y = nre. de T-Call Electrònica Muntatge T-Truc 4 2 Volem maximitzar la funció de benefici: 161 T-Call 3 1 Total 240 100 Llúcia Mauri Masdeu Max 8x + 5y s.a. 4 x + 3y  240 2x + y  100 y  0'85(x + y) x, y  0 Es demana: a) Calculeu tots els vèrtexs que delimiten la regió de solucions possibles. Calculeu el valor de la funció objectiu en cadascun d’aquests.
Max 8x + 5y s.a. 4 x + 3y  240 2x + y  100 y  0'85(x + y) x, y  0 Max 8x + 5y s.a. 4 x + 3y  240 2x + y  100 0'85x + 0'15y  0 x, y  0 Imatge 42 (x, y) F(x, y) (0, 0) 0 (50, 0) 400 (30, 40) 440 (80/7, 1360/21) 8720/21 5415,24 b) Apliqueu el mètode del símplex per trobar l’òptim. Expliqueu de quin tipus és la solució que heu obtingut.
162 Matemàtiques II El programa estandarditzat: Max 8x + 5y + 0t + 0u + 0v s.a. 4 x + 3y + t = 240 2x + y + u = 100 0'85x 0'15y + v = 0 x, y,t,u,v  0 Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 0 v.b.
t u v x 4 2 ¦ ¦ y 3 1 3/20 ¦ Coef 0 8 0 v.b.
t x v x 0 1 0 0 y 1 1/2 23/40 ¦ Coef 5 8 0 v.b.
y x v x 0 1 0 0 y 1 0 0 0 t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v 0 0 1 0 B 240 100 0 0 t 1 0 0 0 u ¦ 1/2 17/40 4 v 0 0 1 0 B 40 50 85/20 400 t 1 ¦ ¦ 1 u ¦ 3/2 63/40 2 v 0 0 1 0 B 40 30 39/2 440 El problema té solució òptima única. El punt (30, 40) és el màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 440 .
c) Relacioneu les taules de l’apartat anterior amb els vèrtexs obtinguts del primer apartat i comenteu-ne els resultats.
A les taules surten alguns dels vèrtexs de l’apartat a) i també el valor de f(x,y).
36. Un sastre té 80 m2 de cotó i 120 m2 de teixit de llana. Un vestit d’home requereix 1 m2 de cotó i 3 m2 de llana, i un vestit de dona requereix 2 m2 de cadascun dels teixits.
Calculeu el nombre de vestits d’home i de dona que ha de confeccionar per maximitzar els ingressos si ambdós vestits es venen al mateix preu de dues unitats monetàries. Quin seria l’ingrés si pogués disposar de 12 m2 addicionals de cotó? I si fossin 12 m2 de llana? Considerem: 163 Llúcia Mauri Masdeu x = nre. de vestits d’home y = nre. de vestits de dona Vestit d'home (x) 1 3 Cotó Llana Vestit de dona (y) 2 2 Total 80 120 Volem maximitzar la funció d’ingrés: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 v.b.
t u x 1 3 ¦ y 2 2 ¦ t 1 0 0 u 0 1 0 B 80 120 0 Coef 0 2 v.b.
t x x 0 1 0 y 4/3 2/3 ¦ t 1 0 0 u ¦ 1/3 2/3 B 40 40 80 Coef 2 2 v.b.
y x x 0 1 0 y 1 0 0 t 3/4 ¦ 1/2 u ¦ 1/2 1/2 B 30 20 100 El problema té solució òptima única. El punt (20, 30) és el màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és de 100 . Per tant, per maximitzar els ingressos s’hauran de confeccionar 20 vestits d’home i 30 vestits de dona.
Quin seria l’ingrés si pogués disposar de 12 m2 addicionals de cotó? I si fossin 12 m2 de llana? Si disposéssim de 12 m2 addicionals de cotó: 164 Matemàtiques II Abans Ara La variació de f serà: Per tant, l’ingrés serà Si disposéssim de 12 m2 addicionals de llana: Abans u.m.
Ara La variació de f serà: Per tant, l’ingrés serà u.m.
37. Un pagès barreja moresc, farina de peix i pinso per crear una dieta per alimentar les seves aus. La dieta ha de contenir, almenys, 3 u. de ferro i 4 u. de vitamines; cada quilo de moresc dóna 2,5 u. de ferro i 1 u. de vitamines; cada quilo de farina de peix, 3 de ferro i 3 de vitamines; i cada quilo de cert pinso, 1 de ferro i 2 de vitamines. Els preus són de 20,30 i 16 u.m. per quilogram, respectivament. Quines quantitats de cada producte s’han de barrejar per a una dieta que minimitzi els costos? Considerem: x = kg de moresc y = kg de farina de peix z = kg de pinso sintètic 165 Llúcia Mauri Masdeu Ferro Vitamines Kg de moresc (x) Kg de farina de peix (y) Kg de pinso (z) 2,5 3 1 1 3 2 Total 3 4 Volem minimitzar la funció costos: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef ¦X ¦X v.b.
c d x y 5/2 3 1 3 ¦X  ¦X  z 1 2 ¦X  Coef ¦ ¦X v.b.
y d x 5/6 ¦ X¦ y 1 0 0 z 1/3 1 ¦X  Coef ¦ ¦ v.b.
y z x 4/3 ¦ 4 y 1 0 0 z 0 1 0 t ¦ 0 w u 0 ¦ w t u ¦ 0 1 ¦ ¦X  w t ¦ 1 4 u 1/3 ¦ 6 El problema té solució òptima única. El punt c 1 0 0 d 0 1 0 B 3 4 ¦X c 1/3 ¦ X¦ d 0 1 0 B 1 1 ¦X¦ c 2/3 ¦ X¦ d –1/3 1 X¦ B 2/3 1 ¦ és el mínim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 36. Per tant, per tal de minimitzar costos haurem de prendre 0 kg de moresc, 2/3 kg de farina de peix i 1kg de pinso.
Quin és el cost marginal de cada unitat de vitamines? Quin és el cost marginal de cada unitat de ferro? Cost marginal de cada unitat de vitamines serà d 4 u.m. més:   2 1 =  30 16( 1) = 4   3 166 Matemàtiques II Cost marginal de cada unitat de ferro serà de 6 u.m. més:    1 2 =  30  161 = 6  3   38. Un client d’un banc disposa de 30.000 euros per adquirir fons d’inversió. El banc li ofereix dos tipus de fons, A i B. El del tipus A té una rendibilitat del 12% i unes limitacions legals de 12.000 euros d’inversió màxima. El de tipus B presenta una rendibilitat del 8% sense cap limitació. A més, per tal de diversificar el risc, el client vol invertir en el fons del tipus B, com a màxim, el doble de l’invertit en el del tipus A. Quines quantitats ha de col·locar en cada fons per tal de maximitzar els beneficis totals? Considerem: x = euros invertits al fons A y = euros invertits al fons B Volem maximitzar els beneficis totals: (*) (*)Nota: Considerem que hem d'invertir els 30000 euros íntegrament.
El programa estandarditzat: 167 Llúcia Mauri Masdeu Apliquem l’algoritme del símplex: Coef ¦X 0 0 v.b.
c t u x y 1 1 1 0 ¦ 1 ¦X¦ ¦X¦ t 0 1 0 0 Coef ¦X 3/25 0 v.b.
c x u x 0 1 0 0 y 1 0 1 ¦X t -1 1 2 w+3/25 Coef 2/25 3/25 0 v.b.
y x u x 0 1 0 0 y 1 0 0 0 t ¦ 1 3 1/25 u 0 0 1 0 u 0 0 1 0 c 1 0 0 0 c 1 0 0 0 u 0 0 1 0 B 30000 12000 0 ¦X B 18000 12000 24000 ¦X  c 1 0 ¦ 2/25 B 18000 12000 6000 2880 El problema té solució òptima única. El punt (12000, 18000) és el màxim global.
I el valor del punt a la funció objectiu és 2880. Per tant, per tal de maximitzar els beneficis haurem d’invertir 12.000 euros al fons A i 18.000 euros al fons B.
39. Una empresa disposa de 1.000 tones del mineral A, 2.000 tones del mineral B i 500 tones del mineral C. A partir d’aquests minerals, s’elaboren els productes x1, x2, x3. L’empresa desitja determinar la quantitat que ha de fabricar de cada producte, a partir dels minerals aprofitables, a fi i efecte d’obtenir el màxim de profit de l’operació. Cal tenir en compte que per elaborar una tona de producte x1 es necessiten 5 tones de A, 10 de B i 10 tones de C. Cada tona del producte x2 necessita 5 tones de A, 8 de B i 5 de C. Finalment, utilitzarem 10 tones de A, 5 de B i cap de C per a cada tona de x3. El fabricant obtindrà 100 euros de benefici per tona del producte x1, 200 per tona de x2 i 50 euros per tona de x3. Determineu les quantitats a fabricar de cadascun dels productes per tal de maximitzar el benefici. De quin tipus és la solució que heu obtingut? Considerem: x = Tones de producte x1.
y = Tones de producte x2.
z = Tones de producte x3.
Mineral A Mineral B Mineral C Producte x1 (x) 5 10 10 Producte x2 (y) 5 8 5 168 Producte x3 (z) 10 5 0 Total 1000 2000 500 Matemàtiques II Volem maximitzar el benefici: Max 100x + 200y + 50z s.a. 5x +10y +10z  1000 5x + 8y + 5z  2000 10x + 5y  500 x, y,z  0 El programa estandarditzat: Max 100x + 200y + 50z + 0t + 0u + 0v s.a. 5x +10y +10z + t = 1000 5x + 8y + 5z + u = 2000 10x + 5y + v = 500 x, y,z,t,u,v  0 Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 0 v.b.
t u v x 5 10 10 ¦ y 5 8 5 ¦ z 10 5 0 ¦ t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v 0 0 1 0 B 1000 2000 500 0 Coef 0 0 200 v.b.
y u v x –5 –6 2 300 y 0 0 1 0 z 10 5 0 –50 t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v –1 –8/5 1/5 40 B 500 1200 100 20000 Coef 50 0 200 v.b.
z u y x –1/2 –7/2 2 275 y 0 0 1 0 z 1 0 0 0 t 1/10 –1/2 0 5 u 0 1 0 0 v –1/10 –11/10 1/5 35 B 50 950 100 22500 De quin tipus és la solució que heu obtingut? El problema té solució òptima única. El punt (0, 100, 50) és el màxim. I el valor del punt a la funció objectiu és 22500. Per tant, per tal de maximitzar el benefici haurem de fabricar 0 tones de producte x1, 100 tones de producte x2, 50 tones de producte x3.
169 Llúcia Mauri Masdeu 40. El fabricant de joguines TOYOT produeix dos tipus de joguines: soldadets i trens.
Un soldadet es ven a 27 euros i un tren a 21 euros. La matèria primera per fer un soldadet costa 10 euros i per fer un tren 9 euros. Cada soldadet fabricat repercuteix en 14 euros sobre els costos en concepte de mà d’obra i de costos generals. Per al cas dels trens aquesta repercussió és de 10 euros. En la factoria hi ha dues seccions: fusteria i acabats.
Cada soldadet necessita 42 minuts de feina de fusteria i 105 minuts d’acabats. En canvi, cada tren necessita 90 minuts de fusteria i 75 minuts d’acabats. Atès el nombre de treballadors que hi ha contractats actualment en la fàbrica, l’empresa TOYOT calcula que setmanalment disposa, com a molt, de 80 hores de fusteria i de 100 hores d’acabats.
Actualment el mercat només és capaç d’absorbir, com a molt, 40 soldadets cada setmana. TOYOT vol organitzar la seva producció per tal de maximitzar el benefici total.
Considerem: x = nre. de soldadets y = nre. de trens Fusteria Acabats Soldadets (x) 42 105 Trens (y) 90 75 Total 4800 6000 Beneficis unitaris: Ingressos Costos Matèria primera Mà d'obra i costos generals Benefici Volem maximitzar la funció beneficis: Max 3x + 2y s.a. 42x + 90y  4800 105x + 75y  6000 x  40 x, y  0 El programa estandarditzat: Max 3x + 2y + 0t + 0u s.a. 42x + 90y + t = 4800 105x + 75y + u = 6000 x + v = 40 x, y,t,u  0 170 Soldadets 27 10 Trens 21 9 14 10 3 2 Matemàtiques II Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 0 Coef 0 0 3 Coef 0 2 3 v.b.
t u v x 42 105 1 ¦ y 90 75 0 ¦ x 0 0 1 0 y 90 75 0 –2 v.b.
t u x v.b.
t y x x 0 0 1 0 t 1 0 0 0 t 1 0 0 0 y 0 1 0 0 t 1 0 0 0 u 0 0 1 0 u 0 1 0 0 u –6/5 1/75 0 2/75 v 0 0 1 0 v –42 –105 1 3 v 84 –7/5 1 1/5 B 4800 6000 40 0 B 3120 1800 40 120 B 960 24 40 168 El problema té solució òptima única. El punt (40, 24) és el màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 1200/7. Per tant, per tal de maximitzar el benefici haurem de fabricar 57 soldadets i cap tren.
41. L’empresa PIPASA fabrica dos tipus de tabac per a pipa: mentolat i aromatitzat, i barreja tres varietats de fulles de tabac, anomenades A, B i C. Les disposicions duaneres vigents limiten la nostra importació de la varietat A a un màxim de 24.000 kg. Cada quilo de tabac tipus mentolat conté 0,3 kg de fulles A, mentre que el tipus aromatitzat en porta 0,2 kg (la resta de ssubstàncies fins a fer un quilo de tabac no són rellevants en aquest problema). Pel que fa a la varietat de fulla B, cada quilo de tabac mentolat i aromatitzat conté, respectivament, 0,2 kg i 0,3 kg. L’empresa disposa d’un màxim de 30.000 kg d’aquesta varietat de fulla. Finalment, en relació amb les fulles tipus C, en disposarem d’un màxim de 14.500 kg, i cada quilo del tipus de tabac mentolat i aromatitzat conté 0,2 kg i 0,1 kg de fulla C, respectivament. El benefici que obté PIPASA per cada quilo de mentolat és de 350 euros, i per a l’aromatitzat és de 300 euros. Volem decidir quants quilograms de cada tipus de tabac hem de produir a fi i efecte de maximitzar el benefici total. El model que resulta és: 171 Llúcia Mauri Masdeu on x1 i x2 representen els quilos de tabac mentolat i aromatitzat produïts, respectivament.
Es demana: Per què no és possible fabricar 33.750 kg de tabac mentolat i 77.500 kg de tabac aromatitzat? Vegem si compleix les restriccions: x1  33750 i x 2  77500 Com que no compleix totes les restriccions, el punt no pertany a la regió admissible.
Després de fer algunes iteracions, s’ha obtingut la taula següent: cj 350 300 0 0 0 ch B x1 x2 s1 s2 s3 b 300 x2 0 1 20 0 ¦ _ 0 s2 0 0 ¦ 1 5 6500 350 x1 1 0 ¦ 0 20 50000 0 0 2500 0 ` a en la qual s’han perdut el valor d’algunes caselles. Deduïu raonadament el valor d’aquestes caselles. [Nota: No es demana que plantegeu la taula inicial i feu iteracions!] Per determinar el valor de `: 172 Matemàtiques II Per determinar el valor de _: Sabem que en la columna b hi ha d’haver un vèrtex de la regió admissible. Per tant, ha de complir almenys dues de les restriccions amb igualtat.
Sabem x1  50000 , x 2  ? Llavors, _= 45000 Per determinar el valor de a: Una vegada obtingueu els valors perduts, raoneu si la taula és òptima o no ho és.
En el cas que no ho sigui, realitzeu les iteracions escaients a fi i efecte de calcular la taula òptima.
La taula no és òptima, ja que hi ha almenys un nombre negatiu en l’última fila; per tant, no compleix la condició de detenció.
cj 350 300 0 0 0 ch B x1 x2 s2 s2 s3 b 300 x2 0 1 20 0 ¦ 45000 0 s2 0 0 ¦ 1 5 6500 350 x1 1 0 ¦ 0 20 50000 0 0 0 2500 0 ¦ 31000000 cj 350 300 0 0 0 ch B x1 x2 s2 s2 s3 b 300 x2 0 1 ¦ 6 0 84000 0 s3 0 0 ¦ 1/5 1 1300 350 x1 1 0 6 ¦ 0 24000 0 0 0 900 400 0 33600000 173 Llúcia Mauri Masdeu 42. Una fàbrica produeix tres tipus de mobles (A, B i C) a base de plàstics i fusta. Es disposa setmanalment de 600 kg de plàstic i 300 kg de fusta. La despesa de recursos per unitat fabricada i el benefici unitari es mostren al quadre següent: Plàstic Fusta Benefici (euros) Moble A (x) 6 2 8 Moble B (y) 1 4 6 Moble C (z) 4 3 3 TOTAL 600 300 A més a més, les instal·lacions no permeten produir més unitats de A que de B.
Determineu el nivell de producció òptim setmanal que maximitza el benefici.
Considerem: x = nre. de mobles del tipus A.
y = nre. de mobles del tipus B.
z = nre. de mobles del tipus C.
Volem maximitzar la funció beneficis: El programa estandarditzat: Apliquem l’algoritme del símplex: Coef 0 0 0 v.b.
t u v x 6 2 1 ¦ y 1 4 ¦ ¦ z 4 3 0 ¦ 174 t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v 0 0 1 0 B 600 300 0 0 Matemàtiques II Coef 0 0 8 v.b.
t u x x 0 0 1 0 y 7 6 ¦ ¦ z 4 3 0 ¦ t 1 0 0 0 u 0 1 0 0 v ¦ ¦ 1 8 B 600 300 0 0 Coef 0 6 8 v.b.
t y x x 0 0 1 0 y 0 1 0 0 z 1/2 1/2 1/2 4 t 1 0 0 0 u ¦ 1/6 1/6 7/3 v ¦ ¦ 2/3 10/3 B 250 50 50 700 El problema té solució òptima única. El punt (50, 50, 0) és el màxim global. I el valor del punt a la funció objectiu és 700. Per tant, per tal de maximitzar el benefici haurem de fabricar 50 mobles del tipus A, 50 mobles del tipus B i cap del tipus C.
Quin preu estaríeu disposats a pagar per 10 kg addicionals de plàstic? I per 6 kg de fusta? Si disposéssim de 10 kg addicionals de plàstic: Abans Ara Max 8x + 6y + 3z s.a. 6x + y + 4z  610 2x + 4 y + 3z  300 xy x, y  0 h1 = 0u1+6u0+8u0=0 La variació de f serà: Per tant, el benefici serà u.m.
No estaríem disposats a pagar cap preu per 10 kg addicionals de plàstic, ja que no ens repercuteix cap benefici extra.
Si disposéssim de 6 kg addicionals de fusta: 175 Llúcia Mauri Masdeu Abans Ara Max 8x + 6y + 3z s.a. 6x + y + 4z  600 2x + 4 y + 3z  306 xy x, y  0  7 1 1 7 2 = 0  + 6 + 8 =  6 6 6 3 7 3 La variació de f serà: f (x) = 2 b2 = 6 = 14  Per tant, el benefici serà f (50,50,0) 6f (x)  700 14  714 u.m.
Estaríem disposats a pagar com a màxim 14 u.m. més pels 6 kg de fusta addicionals.
176 ...