Tema 3 (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED)
Grado Química - 3º curso
Asignatura Materiales
Año del apunte 2015
Páginas 22
Fecha de subida 30/06/2017
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TEMA 3. ESTRUCTURA INTERNA DE LOS MATERIALES 3.1 Introducción Los sólidos pueden clasificarse en dos amplias categorías: cristalinos y amorfos.
• Los sólidos cristalinos, debido a la estructura ordenada de sus átomos, moléculas o iones tienen formas bien definidas. Los metales son cristalinos y están compuestos por cristales o granos bien definidos. Los granos son pequeños y no son observables claramente dada la naturaleza opaca de los metales. En los minerales, principalmente de naturaleza translúcida a transparente, las formas cristalinas bien definidas se pueden observar con claridad.
• En contraste, los sólidos amorfos presentan un orden pobre o de corto alcance y no se identifican ni con la simetría ni la regularidad de los sólidos cristalinos.
3.2. Estado sólido La estructura física de los sólidos depende del ordenamiento de los átomos, iones o moléculas que constituyen el sólido, y de las fuerzas de enlace entre ellos.
3.2.a. Materiales cristalinos: Si los átomos o iones de un sólido están ordenados de acuerdo con un patrón que se repite en el espacio, forman un sólido que tiene un orden de largo alcance (OLA) al cual se le llama sólido cristalino o material cristalino. Existen varios tipos de sólidos cristalinos: Tema 3. Estructura interna de los materiales 21 El ordenamiento atómico en los sólidos cristalinos se puede describir representando a los átomos en los puntos de intersección de una red tridimensional que llamamos red espacial de forma que cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico. Cada red espacial puede describirse especificando la posición de los átomos en una celda unitaria repetitiva. Un grupo de átomos organizados en una disposición determinada en relación unos con otros y asociados con puntos de la red, constituye un motivo o base.
El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres vectores de la red a, b y c, con origen en un vértice de la celda unitaria. Las longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γ son las constantes de la red de la celda unitaria.
3.2.b. Materiales amorfos: Si los átomos o iones no están ordenados en forma de largo alcance, periódica y repetible, y poseen únicamente un orden de corto alcance (OCA) el orden existe únicamente en la vecindad inmediata de un átomo o molécula. Como ejemplo tenemos al agua líquida. Los materiales que presentan solamente un orden de corto alcance se clasifican como amorfos (sin forma) o no cristalinos.
3.3. Sistemas cristalinos. Redes de Bravais Asignando los valores específicos para las longitudes axiales y ángulos interaxiales se pueden construir celdas unitarias de diferentes tipos. Existen siete tipos diferentes de celdas unitarias, llamados sistemas cristalinos: Cúbico, tetragonal, ortorrómbico, romboédrico, hexagonal, monoclínico y triclínico.
Existen cuatro tipos básicos de celdas unitarias: simple, centrada en el cuerpo, centrada en las caras y centrada en las bases Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar se pueden describir todas las redes posibles: • Cúbica simple • Ortorrómbico centrado en las caras • Cúbica centrada en el cuerpo • Ortorrómbico centrado en las bases • Cúbica centrada en las caras • Romboédrica simple • Tetragonal simple • Hexagonal simple • Tetragonal centrada en el cuerpo • Monoclínico simple • Ortorrómbico simple • Monoclínico centrado en las bases • Ortorrómbico centrado en el cuerpo • Triclínico simple Tema 3. Estructura interna de los materiales 22 Las estructuras de las catorce redes de Bravais posibles son las siguientes: Sistema cristalino Parámetros Cúbico a=b=c α=β=γ= 90º Tetragonal a=b≠c α=β=γ= 90º Simple Centrada en el cuerpo Centrada en las caras Centrada en las bases a≠b≠c Ortorrómbico α=β=γ= 90º Romboédrico a = b = c α=β=γ≠ 90º o trigonal Hexagonal a=b≠c α=β=90º γ = 120º Monoclínico a≠b≠c α=γ=90º≠β Triclínico a≠b≠c α≠β≠γ≠ 90º Tema 3. Estructura interna de los materiales 23 3.4. Isomorfismo y alotropía 3.4.a. Isomorfismo: Dos o más sólidos son isomorfos si presentan la misma estructura cristalina pero con composición química diferente. Se produce cuando dos iones de radio muy parecido pueden ocupar indistintamente la misma posición en la red cristalina sin obligarla a ninguna modificación. En estos casos es frecuente que haya muchas composiciones que pueden constituir la misma estructura. Un ejemplo es la forsterita y la fayalita, que solo se diferencian en que la posición del Mg2+ de una es ocupada por Fe2+ en la otra, aunque lo más frecuente es que haya iones de los dos tipos en cualquier proporción.
3.4.b. Polimorfismo y alotropía: Dos sustancias cristalinas son polimorfas cuando presentan una composición química idéntica entre ellas pero cristalizan en diferentes sistemas, debido a que las condiciones de presión y temperatura donde se han originado ha sido diferente. Si este fenómeno le ocurre a elementos puros, hablamos de alotropía. Como ejemplo de polimorfismo está la calcita y el aragonito, que siendo su composición química CaCO3 cristalizan en los sistemas romboédrico y rómbico respectivamente. Un ejemplo de alotropía es el diamante y el grafito, compuestos de carbono que cristalizan en el sistema cúbico y hexagonal respectivamente.
Algunos metales también pueden presentar el fenómeno de alotropía, entre los que destacan el hierro, el titanio o el cobalto. Como ejemplo podemos analizar la gráfica de enfriamiento del hierro puro desde su temperatura de fusión hasta la temperatura ambiente a presión atmosférica. En esta gráfica el hierro presenta varias formas cristalinas alotrópicas entre distintos rangos de Tema 3. Estructura interna de los materiales 24 temperatura.
3.5. Índices de Miller A veces es necesario referirse a los planos reticulares específicos de los átomos que se encuentran en una estructura cristalina, o puede ser interesante conocer la orientación cristalográfica de un plano o de grupos de planos en una red cristalina.
Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cúbica se utiliza el sistema de notación de Miller.
3.5.a. Posiciones del átomo en la celda unitaria cúbica: Para situar las posiciones atómicas en las celdas unitarias cúbicas se utilizan los ejes cartesianos x, y y z. En cristalografía, la zona positiva del eje x es generalmente la situada hacia afuera del papel, la zona positiva del eje y es la situada hacia la derecha del papel, y la zona positiva del eje z es la situada hacia arriba del papel. Las zonas negativas son las opuestas a las que se han descrito.
Las posiciones de los átomos en la celda unitaria se localizan mediante distancias unitarias a lo largo de los ejes x, y y z. Por ejemplo las posiciones atómicas para los átomos situados en los vértices de la celda unitaria BCC, son (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) También podemos definir para los cristales cúbicos los índices de las direcciones cristalográficas, que son las componentes del vector de dirección descompuesto sobre cada eje de coordenadas y reducidos a mínimos enteros, que se colocan entre corchetes y sin separación por comas. En caso de que el vector de dirección sea negativo, se escribe con una barra encima del índice.
Las direcciones serán cristalográficamente equivalentes si el espacio atómico en cada dirección es el mismo. Por ejemplo las direcciones de las aristas del cubo son direcciones cristalográficamente equivalentes: E100F, E010F, E001F, E1G00F, E01G0F, E001GF ≡ 〈100〉 Tema 3. Estructura interna de los materiales 25 Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familia o tipo.
3.5.b. Índices de Miller en celdas unitarias cúbicas: Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el recíproco de las fracciones de intersección (con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalográficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celda unitaria cúbica. Las aristas del cubo en la celda unitaria representan longitudes unidad y las intersecciones de los planos reticulares se miden con base en estas longitudes unidad.
El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano cristalográfico cúbico es el siguiente: 1. Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0).
2. Se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes cristalográficos x, y y z para un cubo unidad. Pueden ser fraccionarias.
3. Se obtiene el recíproco de las intersecciones.
4. Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma proporción que las intersecciones. Este conjunto de números enteros son los índices de un plano cristalográfico y se encierran en paréntesis sin utilizar comas. La notación (hkl) se utiliza para indicar los índices de Miller en un sentido general, donde h, k y l son los índices de Miller de un plano cristalino cúbico para los ejes x, y y z, respectivamente.
Ejemplo 1. En el plano sombreado de la figura las intersecciones para los ejes x, y y z son respectivamente 1, ∞, ∞, respectivamente.
Los recíprocos de estas intersecciones serían por tanto 1, 0, 0. Como estos números no son fraccionarios, los índices de Miller son (100) que se lee como plano uno-cero-cero.
Ejemplo 2. En el plano sombreado de la figura las intersecciones para los ejes x, y y z son respectivamente 1, 1, ∞. Los recíprocos de las intersecciones son 1, 1, 0. Como no son números fraccionarios, los índices de Miller son (110).
Ejemplo 3. En el plano sombreado de la figura las intersecciones para los ejes x, y y z son respectivamente 1, 1, 1. Los recíprocos de las intersecciones son 1, 1, 1. Como no son números fraccionarios, los índices de Miller son (111).
Ejemplo 4. En el plano sombreado de la figura tiene las intersecciones 1/3, 2/3, 1. Los recíprocos de estas intersecciones son 3, 3/2, 1. Como no son números enteros se convertir, Tema 3. Estructura interna de los materiales 26 transformándose en 6, 3, 2. Por lo tanto los índices de Miller son (632) Si el plano cristalino considerado pasa por el origen de tal forma que una o más de las intersecciones son cero, el plano debe ser movido a una posición equivalente en la misma celda unitaria y el plano debe ser paralelo al plano original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes se encuentran indicados por los mismos índices de Miller.
Si varios grupos de planos reticulares equivalentes están relacionados por la simetría del sistema cristalino, se llaman planos de una familia o forma y los índices de un plano de la familia se encierran entre llaves como {hkl} representando los índices de una familia de planos simétricos. Por ejemplo, los índices de Miller de los planos de las caras del cubo (100), (010) y (001) se designan conjuntamente como una familia o forma mediante la notación {100}.
Una relación importante en el sistema cúbico y solamente en el sistema cúbico, es que los índices de dirección de una dirección perpendicular a un plano cristalino tienen los mismos índices de Miller que el plano. Por ejemplo, la dirección E100F es perpendicular al plano cristalino (100).
En las estructuras cristalinas cúbicas, el espaciado interplanar entre dos planos paralelos con los mismos índices de Miller se indica como dhkl, donde h, k y l son los índices de Miller de los planos. Este espaciado representa la distancia desde un origen elegido que contiene a un plano a otro plano paralelo con los mismos índices que sea cercano al primero. Por ejemplo en la figura adjunta la distancia entre los planos (110) 1 y 2, d110, es AB. También la distancia entre los planos (110) 2 y 3 es d110 y su longitud es BC.
Por simple geometría, se puede demostrar que para las estructuras cristalinas cúbicas: V RSTU = √ℎY + Z Y + [Y dhkl = espaciado interplanar entre planos paralelos contiguos.
a = constante de red (arista del cubo unidad).
h, k, l = índices de Miller de los planos cúbicos considerados.
3.5.c. Índices de Miller en celdas unitarias hexagonales (HCP): Los planos cristalinos en la celda unitaria HCP se identifican mediante cuatro índices en vez de tres. Los índices Tema 3. Estructura interna de los materiales 27 de los planos cristalinos HCP, llamados índices de Miller-Bravais, se indican por las letras h, k, i y l y van encerrados en paréntesis como (hkil). Estos índices hexagonales de cuatro dígitos se basan en el sistema de coordenadas de cuatro ejes.
Hay tres ejes basales a1, a2, a3, donde a1 y a2 forman ángulos de 120° entre sí. El cuarto eje o eje c es el eje vertical localizado en el centro de la celda unitaria. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1, a2, a3 es la distancia entre dos átomos localizados a lo largo de estos ejes. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celda unitaria. Los recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes a1, a2, a3 dan los índices h, k e i, mientras que el recíproco de la intersección con el eje c da el índice l.
• Planos basales: En la celda unitaria HCP los planos basales son muy importantes.
Dado que el plano basal superior en la celda unitaria HCP es paralelo a los ejes a1, a2 y a3, su intersección con estos ejes será en el infinito. Así, a1 =∞, a2= ∞ y a3 = ∞.
El eje c, sin embargo, es unitario, ya que el plano basal superior intersecta el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas intersecciones se tienen los índices de Miller-Bravais para el plano basal HCP. Así, h = 0, k = 0, i = 0 y l = 1. El plano basal HCP es, por tanto, cero-cero-cero-uno, o el plano (0001).
• Planos del prisma: Aplicando el mismo método, las intersecciones del plano frontal del prisma (ABCD) son a1 = +1, a2 = ∞, a3 = −1 y c = ∞. Tomando los recíprocos de estas intersecciones, se tiene h = 1, k = 0, i = −1 y l = 0, o el plano (101G0). De forma análoga, el plano del prisma ABEF tiene los índices (11G00). y el plano (DCGH) los índices (011G0).. Todos los planos del prisma HCP pueden ser indicados colectivamente como la familia de planos {101G0}.
A veces, los planos HCP son indicados solamente por tres índices (hkl), dado que h + k = −i. Sin embargo, los índices (hkil) se utilizan habitualmente, debido a que ponen de manifiesto el carácter hexagonal de la celda unitaria HCP.
Tema 3. Estructura interna de los materiales 28 3.6. Redes cristalinas de los metales 3.6.a. Las tres redes cristalinas de los metales: La mayoría de los metales puros (aproximadamente 90%) cristalizan al solidificar en tres estructuras cristalinas porque la energía disminuye a medida que los átomos se acercan y se enlazan entre sí.
De este modo, las estructuras más compactas corresponden a ordenamientos de niveles energéticos menores y más estables.
• Cúbica centrada en el cuerpo (BCC): En la estructura cúbica centrada en el interior, los átomos están situados en los vértices de la celdilla cúbica y en su centro. Dicha estructura se obtiene situando átomos idénticos en los nudos de la red de Bravais del mismo nombre.
• Cúbica centrada en las caras (FCC): En la estructura cúbica centrada en las caras, los átomos están situados en los vértices de la celdilla unidad y en el centro de sus caras, o sea, en las posiciones de los nudos de la red de Bravais del mismo nombre.
• Hexagonal compacta (HCP): La estructura HCP es una modificación más densa de la estructura cristalina hexagonal simple. En la estructura hexagonal compacta los átomos ocupan los vértices de un prisma hexagonal regular, los centros de las bases y los centros de los triángulos alternos en que puede descomponerse la sección intermedia del prisma. Las longitudes axiales de esta estructura son la arista de la base, a, y la altura del prisma, c.
3.6.b. Factores característicos de una estructura cristalina: Para poder estudiar una estructura cristalina es necesario estudiar una serie de parámetros: 1. Parámetros de red: Llamamos parámetros de red a la distancia constante de las celdas unitarias o "dimensión de cada celda" con respecto a su estructura cristalina.
Las redes en tres dimensiones generalmente tienen tres parámetros de red, a, b y c.
2. Volumen de la celda unidad: Se determina por fórmulas geométricas sencillas. Para cualquier celda unidad, la expresión del volumen es: b = Vcde1 − dfg Y h − dfg Y i − dfg Y j + 2 · dfgh · dfgi · dfgj Para el caso concreto de la geometría cúbica, esta fórmula se reduce a: blúmnlo = Vp Tema 3. Estructura interna de los materiales 29 Para el caso concreto de la geometría hexagonal, esta fórmula se reduce a: bSqrostuoU = VY d · gvw60 < √3 Y V d 2 A menudo, en el caso del sistema hexagonal se toma la celdilla unidad como el prisma hexagonal, por lo que su volumen es tres veces mayor: 3 √3 Y bxynz{o SqrostuoU < V d 2 3. Número de átomos en la celda unidad (n): Para calcular el número de átomos que hay dentro de una celda, hay que tener en cuenta que: • Los átomos situados en el interior de la celda (nI) se encuentran por completo dentro de esa celda.
• Los átomos situados en las caras (nC) se comparten por dos celdas.
• Los átomos situados en los vértices (nV) se comparten por seis celdas en el caso de redes hexagonales y por ocho celdas en el resto de las redes.
Según esto, el número de átomos por celda se calcula: 1 1 w|qU}o SqrostuoU < w~ A w| A w• 2 6 1 1 w€qz•t lqU}oz < w~ A w| A w• 2 8 4. Índice de coordinación: El número (o índice) de coordinación (Z) es el número de vecinos más próximos que rodean a un átomo dado, es decir, el número de átomos que está directamente en contacto con un átomo dado.
5. Densidad teórica (Densidad volumétrica): Se calcula mediante la expresión „vwg…RVR †vó‡…dV < w k ˆV ‰Š k b n< número de átomos por celda Ma< Masa atómica NA < Número de Avogadro V < Volumen de la celda unidad 6. Radio atómico: Si suponemos que las cortezas electrónicas son esféricas y que los átomos se encuentran en las posiciones de equilibrio de la red cristalina, se puede considerar como radio atómico la mitad de la distancia interatómica, por lo que se puede relacionar por geometría con los parámetros de red.
Tema 3. Estructura interna de los materiales 30 7. Factor de empaquetamiento o de compactación (FC): Es la relación entre el volumen que ocupan los átomos y el volumen de la celda unidad. Su significado es el porcentaje de la celda ocupado por átomos y viene dado por la relación: 4 w • Ž•op • 3 Œ| = blqU}o Siendo n el número de átomos de la celda unidad.
8. Densidad atómica planar: A veces, es importante determinar la densidad atómica en varios planos cristalinos. Para ello se calcula una cantidad llamada densidad atómica planar aplicando la relación: „vwg…RVR V†ó‘…dV ’[VwV‡ = wº Rv á†f‘fg dfw dvw†‡f vw v[ ’[Vwf w = á‡vV Rv[ ’[Vwf Rvw†‡f Rv [V dv[R…[[V “ Por conveniencia, se utiliza en estos cálculos el área de un plano que corta a una celda unitaria. Es importante resaltar que para que el área de un átomo se contabilice en este cálculo, el plano de interés debe cortar el centro del átomo.
9. Densidad atómica lineal: Algunas veces es importante determinar la densidad atómica de varias direcciones en las estructuras cristalinas. Para ello se calcula una magnitud llamada densidad atómica lineal a partir de la relación: „vwg…RVR V†ó‘…dV […wvV[ = wº Rv á†f‘fg dfw dvw†‡f vw v[ gv”‘vw†f w = [fw”…†•R Rvw†‡f Rv [V dv[R…[[V – 3.7. Intersticios en las redes cristalinas Los espacios interatómicos libres dentro de la red cristalina se denominan intersticios. En ellos se pueden alojar no solo impurezas sino elementos de aleación cuyos volúmenes sean del orden del tamaño de los intersticios.
3.7.a. Tipos de huecos: Podemos distinguir dos tipos de intersticios • Huecos tetraédricos: Una esfera descarga sobre otras tres. Los centros de las cuatro esferas coinciden con el vértice de un tetraedro regular. Cada esfera está en contacto con otras tres de la capa superior y con otras tres más de la capa de abajo.
Por lo tanto hay dos huecos tetraédricos asociados a cada esfera.
Tema 3. Estructura interna de los materiales 31 • Huecos octaédricos: Este sitio está rodeado por seis esferas, cuyos centros quedan en los vértices de un octaedro regular. Hay un sitio octaédrico por cada esfera.
3.7.b. Huecos en las redes: En cada red se pueden encontrar los dos tipos de huecos. En estos huecos El conocimiento del número, tipo y ubicación de los intersticios de una determinada estructura es una cuestión de relativa importancia, porque a menudo estas oquedades sirven de alojamiento a átomos extraños. Para saber si un átomo cabe en un intersticio se utiliza la relacion ‡/• donde ‡ es el tamaño máximo que cabría en un sitio intersticial de una celda con átomos de radio •. Por geometría simple se puede calcular que esta relación es aproximadamente 0,225 para los huecos tetraédricos y de 0,414 para los huecos octaédricos.
• Huecos en una red cúbica centrada en el cuerpo (BCC): Posee en total 12 huecos tetraédricos y 6 huecos octaédricos por cada celda unidad.
Huecos tetraédricos Huecos octaédricos • Huecos en una red cúbica centrada en las caras (FCC): Posee en total 8 huecos tetraédricos y 4 huecos octaédricos por cada celda unidad.
Huecos tetraédricos Huecos octaédricos • Huecos en una red hexagonal compacta (HCP): Posee en total 12 huecos tetraédricos y 6 huecos octaédricos por cada celda unidad.
Huecos tetraédricos Tema 3. Estructura interna de los materiales Huecos octaédricos 32 3.8. Materiales amorfos Algunos materiales se denominan amorfos o no cristalinos porque carecen de ordenamiento de largo alcance en su estructura atómica. En general, los materiales tienen una tendencia a alcanzar un estado cristalino debido a que es el estado más estable y corresponde al menor nivel de energía. Sin embargo, los átomos de los materiales amorfos están enlazados de manera desordenada debido a factores que inhiben la formación de un ordenamiento periódico.
Finalmente, es importante mencionar que los materiales amorfos no muestran patrones definidos de difracción al analizarlos con técnicas de difracción de rayos X.
Esto se debe a la falta de orden y periodicidad de la estructura atómica.
Los materiales amorfos se clasifican en tres grupos: 3.8.a. Materiales polímeros: En polímeros, los enlaces secundarios entre las moléculas no permiten la formación de cadenas paralelas y muy empaquetadas durante la solidificación. Como resultado de ello, los polímeros, como el cloruro de polivinilo, constan de cadenas moleculares largas y torcidas que se entrelazan para formar un sólido de estructura amorfa. En algunos polímeros, como el polietileno, las moléculas están empaquetadas más eficaz y estrechamente en algunas regiones del material para producir un mayor grado de ordenamiento a gran distancia en determinadas regiones.
Como resultado de ello, estos polímeros suelen clasificarse como semicristalinos.
3.8.b. Los vidrios: El vidrio inorgánico basado en óxidos que forman vidrios, sílice (SiO2), se caracteriza en general como material cerámico (vidrio cerámico) y es otro ejemplo de un material con estructura amorfa. En este tipo de vidrio, la subunidad fundamental en las moléculas es el tetraedro de SiO42-. En su estado líquido y viscoso, las moléculas tienen una movilidad limitada y en general la cristalización ocurre lentamente. Por tanto, una velocidad de enfriamiento modesta suprime la formación de la estructura cristalina y, en lugar de ello, los tetraedros se unen vértice con vértice para formar una red que carece de ordenamiento de largo alcance.
3.8.c. Metales amorfos: Algunos metales tienen también la capacidad para forma estructuras amorfas (vidrio metálico) en condiciones estrictas. A diferencia de los vidrios, los metales contienen bloques móviles muy pequeños cuando están fundidos.
Como resultado de ello, es difícil impedir que los metales cristalicen. Sin embargo, aleaciones como una de 78%Fe-9%Si-13%B, que contienen un alto porcentaje de semimetales, Si y B, pueden formar vidrios metálicos por medio de la solidificación rápida para velocidades de enfriamiento mayores a 108 ºC/s. A velocidades de enfriamiento tan altas, los átomos sencillamente no tienen tiempo suficiente para formar una estructura cristalina y en lugar de ello forman un metal con estructura amorfa, esto es, están muy desordenados.
Tema 3. Estructura interna de los materiales 33 3.9. Anexo: Esquema de las redes cristalinas de los metales Red cúbica centrada en el cuerpo (BCC ó cc) Red cúbica centrada en las caras (FCC ó ccc) 2 4 Red hexagonal compacta (HCP ó hc) Estructura de la red 6 Átomos por celdilla (1 en el centro y 8 x 1/8 en los vértices) Índice de coordinación (4 átomos por encima y 4 por debajo) (4 átomos por encima, 4 por debajo y 4 coplanares) (3 átomos por encima, 3 por debajo y 6 coplanares) Los átomos se tocan a lo largo de cualquiera de las diagonales principales del cubo, 〈111〉 Los átomos están en contacto a lo largo de las diagonales de la cara, es decir, a lo largo de las direcciones 〈110〉 Los átomos están en contacto a lo largo de las aristas de las bases del prisma V = 2√2• V = 2• 2 √6 d= • 3 Direcciones de mayor concentración atómica Relación a/R Fracción de empaquetamiento 8 V= 4• √3 0,68 (No compacta) (6 x ½ en las caras y 8 x 1/8 en los vértices) 12 0,74 (2 x ½ en las bases, 3 en el centro y 12 x 1/6 en los vértices) 12 0,74 (Compacta) (Compacta) Planos de mayor concentración atómica {110} {111} Los paralelos a las bases del prisma hexagonal Huecos 12 tetraédricos 6 octaédricos 8 tetraédricos 4 octaédricos 12 tetraédricos 6 octaédricos Tema 3. Estructura interna de los materiales 34 EJERCICIOS DEL TEMA 3 Ejercicios resueltos 1- El hierro a 20 ºC es cc con átomos con un radio atómico de 0,124 nm. Calcule la constante de red a para el vértice del cubo de la celda unitaria de hierro.
Los átomos que están en la celda unitaria cc se tocan a través de las diagonales del cubo, por lo tanto: V= 4• √3 = 4 · 0,124 · 10›œ √3 = 2,863 k 10›•ž ‘ V < 0,2863 w‘ 2- Calcule el factor de empaquetamiento atómico (FC) para la celda unitaria cc considerando a los átomos como esferas rígidas.
Œ| < 4 w •3 Ž• p • blqU}o n < 2 (Hay un átomo central y 8 átomos en los vértices que contribuyen cada uno con 1/8) Œ| < 4 2 •3 Ž• p • Vp < 4 2 •3 Ž• p • 4• Ÿ √3 p < 0,68 Luego el 68 % del volumen total de la celda está ocupado por átomos.
3- Calcule a) El volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina del zinc con los datos siguientes: el zinc puro tiene una estructura cristalina hc con unas constantes de red a < 0,2665 nm y c < 0,4947 nm. b) Determine el volumen de la celda mayor.
a) Se deduce por trigonometría: V < (a2sen60º)c < 0,0304 nm3 b) Vmax < 3 k Vcelda < 0,0912 nm3 Tema 3. Estructura interna de los materiales 35 4- Dibuje los siguientes vectores de dirección en celdas unitarias cúbicas: a) E100F y E110F b) E112F c) E1G10F d) E3G21GF 5- Dibuje los siguientes planos cristalográficos en una celda unitaria cúbica: a) (101) b) (11G0) c) (221) d) Dibuje un plano (110) en una celda unitaria cc de esferas e indique las coordenadas de posición de los átomos que están intersecados por este plano.
a) Determinar primero los recíprocos de los índices de Miller del plano (101). Estos son 1, ∞, 1. El plano (101) debe pasar por el cubo unitario y cortar en x = 1 y z = 1 y ser paralelo al eje y.
b) Determinar primero los recíprocos de los índices de Miller del plano (11G0). Estos son 1, -1, ∞.
Por lo tanto el plano debe pasar por el cubo unitario y cortar en x = 1 y y = -1 y ser paralelo al eje z. El origien de los ejes debe desplazarse al vértice inferior posterior derecho del cubo.
c) Determinar primero los recíprocos de los índices de Miller del plano (221). Estos son ½, ½ y 1. El plano (221) debe pasar por el cubo unitario y cortar en intersecciones x = ½, y = ½ y z = 1.
d) Las posiciones atómicas cuyos centros están intersecados por el plano (110) son (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1,) y (½ , ½, ½) Tema 3. Estructura interna de los materiales 36 6- Determine los índices de Miller del plano cristalográfico cúbico mostrado en la figura: Primero se traslada el plano paralelo al eje z1/4 de unidad a la derecha a lo largo del eje y, como se muestra en la figura hasta que el plano corta el eje x a una distancia unidad a partir del nuevo origen localizado en el vértice inferior derecho del cubo. La nueva intersección del plano trasladado con los ejes de coordenadas es ahora (+ 1, − 5/12, ∞) Ahora se toma el recíproco de estas GGGG0) para los intersecciones, que es (1, − 12/5, 0). Finalmente, se elimina la fracción, obteniendo (512 índices de Miller de este plano.
7- Determine los índices de Miller en un plano cristalino cúbico que intersecciona con las coordenadas de posición (1, 1/4, 0), (1, 1, 1/2), (3/4 , 1, 1/4), y todos los ejes de las coordenadas.
Primero se localizan las tres posiciones coordenadas en A, B y C. A continuación, se unen A y B, se continúa hasta D, y se unen A y C.
Finalmente, se une A hasta C para completar el plano ACD. El origen de este plano en el cubo puede ser escogido en E, que da intersecciones axiales para el plano ACD en x = - ½, y = - ¾ y z = ½. Los recíprocos de estas intersecciones son − 2, − 4/3 , y 2. Multiplicando estas intersecciones por 3 simplificamos las fracciones, dando unos índices de Miller para el plano (6G4G6).
8- El cobre tiene una extructura cristalina FCC y una celda unitaria con una constante de red de 0,361 nm. ¿Cuál es su distancia interplanar d220? RSTU = V √ℎY + Z Y + [ Y = Tema 3. Estructura interna de los materiales 0,361 w‘ √2Y + 2Y + 0Y = 0,128 w‘ 37 9- El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atómico de 0,1278 nm.
Considerando a los átomos como esferas rígidas que se tocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC, calcule el valor teórico de la densidad del cobre en megagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es de 63,54 g/mol.
„vwg…RVR †vó‡…dV = n = 4 (hay cuatro átomos por cada celda) w · ˆV ‰Š · b ¤€ p V = a3 = • Y• = 4,7 · 10›Yœ ‘p √ „vwg…RVR †vó‡…dV = w · ˆV ” ˆ” = 8,68 · 10›¥ p = 8,68 p ‰Š · b ‘ ‘ 10- Calcule la densidad atómica planar ρp en el plano (110) de la red BCC del hierro α en átomos por milímetro cuadrado. La constante de red del hierro α es 0,287 nm.
§x = wº Rv á†f‘fg dfw dvw†‡f vw v[ ’[Vwf w < á‡vV Rv[ ’[Vwf Rvw†‡f Rv [V dv[R…[[V “ n = 2 átomos A = √2V · V = √2VY §x = 2 √20,287Y = 17,2 á†f‘fg V†f‘fg = 1,72 · 10•p Y ‘‘Y w‘ 11- Calcule la densidad atómica lineal ρl en la dirección E110F de la red cristalina de cobre en átomos por milímetro. El cobre es FCC y tiene una constante de red de 0,361 nm.
§U = wº Rv á†f‘fg dfw dvw†‡f vw v[ gv”‘vw†f w < [fw”…†•R Rvw†‡f Rv [V dv[R…[[V – n = 1,5 átomos l = √2V = √2 · 0,361 §U = 1,5 √2 · 0,361 = 2,93 á†f‘fg á†f‘fg = 2,93 · 10¥ w‘ w‘ Cuestiones teóricas 1- Relacione el estado sólido y amorfo cristalino con los materiales de uso general.
2- ¿Qué diferencias más significativas existen entre los materiales amorfos y cristalinos? 3- ¿Qué se entiende por monocristal y por policristal? 4- ¿Cómo se define un sistema cristalino y una red cristalina? Tema 3. Estructura interna de los materiales 38 5- El Mg presneta una red (hc) cuyo parámetro de red es 0,321 nm. ¿Está bien definida la red? 6- El Al presenta una red cúbica cuyo parámetro de red es de 0,405 nm. ¿Está bien definida la red? 7- ¿Es correcta la siguiente afirmación?: Ni, Cr y Al son metales isomorfos.
8- Cuando alguno de los índices de Miller correspondiente a la notación de planos cristalográficos es cero, ¿qué significado geométrico tiene? 9- Justifique qué red presenta un mayor empaquetamiento, ¿la cc o la ccc? 10- ¿Qué red cúbica presenta mayor cantidad de intersticios y cuál es la que presenta el menor? Ejercicios prácticos 1- Calcular cuál de las dos redes (ccc) y (cc) presenta mayor factor de compactación.
Suponiendo que un metal presenta un cambio alotrópico de (cc) a (ccc) a la temperatura T, calcular la variación de volumen asociada a dicha transformación.
2- Calcular las densidades atómicas de los planos (110) y (111) de las redes cc y ccc.
3- Calcular la densidad atómica lineal correspondiente a las direcciones cristalográficas E110F y E111F de las redes cc y ccc.
4- Asigne a cada plano su índice de Miller correspondiente: Tema 3. Estructura interna de los materiales 39 5- Asigne a cada plano su índice de Miller correspondiente: 6- Determina los índices de Miller de las direcciones cristalográficas que se presentan en la figura: 7- ¿Cuáles son los índices de Miller de un plano en una red (ccc) que pasa por y = ½; z = 1 y es paralelo a x? ¿Qué cantidad de átomos contiene dicho plano? 8- El Ti cristaliza en el sistema (hc) con parámetro de red a = 0,295 nm. ¿Cuántos átomos tiene la celda unidad? 9- ¿Cuántos átomos hay en 1 mg de Al metal? Tema 3. Estructura interna de los materiales 40 10- Represente en el espacio las siguientes notaciones de Miller: 11- El W cristaliza en una red (cc) y parámetro de red a = 0,31648 nm y densidad de 19300 kg/m3. Calcular: a) su masa atómica, b) su volumen atómico, c) su radio atómico.
12- La celda unidad del Al es (ccc), su masa atómica es 26,97 g/mol y su densidad 2699 kg/m3. Calcular: a) parámetro de red, b) factor de empaquetamiento, c) densidad atómica superficial de los planos (100) y (110).
13- La distancia entre los planos (220) de un metal (cc) es de 0,2336 nm. ¿Cuál es el parámetro reticular y el radio atómico del metal? 14- El Pt cristaliza en una red (ccc) y un parámetro reticular de 0,393 nm. Calcule su Ra.
15- ¿Cuál es la densidad del Pb (ccc), si el parámetro reticular es de 0,495 nm y su masa atómica de 207,19 g/mol? 16- ¿Qué índices de Miller le corresponderán a las direcciones cristalográficas perpendiculares a los planos cristalográficos (111), (110) y (100)? 17- Calcule las densidades atómicas superficiales de los planos más característicos de las redes cc y ccc.
18- Calcule las densidades atómicas lineales de las direcciones más características de las redes cc y ccc.
19- Un metal cristaliza en el sistema (hc) cuyos parámetros resticulares son 0,2978 y 0,5617 nm respectivamente. Calcule el factor de empaquetamiento y la densidad atómica superficial de los planos (0001) y (101G0).
20- Calcule el diámetro máximo de los átomos que pueden alojarse en los intersticios de las redes cc y ccc.
Tema 3. Estructura interna de los materiales 41 Tema 3. Estructura interna de los materiales 42 ...

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