La funció de Green de l'equació d'ones (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Electrodinàmica
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

La funci´ o de Green de l’equaci´ o d’ones —– Xoc Introducci´ o.
La funci´ o de Green juga un paper central en un m`etode matem`atic per a la resoluci´o d’equacions diferencials inhomog`enies sota unes determinades condicions de contorn, valgui la redund`ancia, aquest m`etode s’anomena m`etode de la funci´ o de Green.
Donada una equaci´ o diferencial inhomog`enia, Lx [y(x)] = f (x), la funci´o de Green es defineix com aquella funci´ o que ´es soluci´ o a l’equaci´o diferencial original amb una font puntual situada en el punt x , Lx [G(x, x )] = δ(x − x ),1 de manera que la soluci´o al problema original est`es ´es: y(x) = dx f (x )G(x − x ).
(0.1) En f´ısica, la soluci´ o a una equaci´ o diferencial sovint la podem identificar amb un camp i la part inhomog`enia amb una font distribu¨ıda en una regi´o, Ω. La idea del m`etode de Green ´es trobar el camp que crea una font puntual situada en un punt x (aix`o defineix la funci´o de Green), i posteriorment trobar el camp total integrant (sumant) sobre totes les fonts puntuals que conformen la font estesa (a grans trets, el que feim ´es aplicar el principi de superposici´o, i per aix`o cal que l’operador diferencial Lx sigui lineal).
En particular, a electrodin` amica aquest m`etode ens ´es u ´til per resoldre les equacions de Maxwell inhomog`enies, 4π µ J .
(0.2) ✷Aµ = c Buscam la soluci´ o a l’equaci´ o diferencial distribucional ✷G(x − x ) = δ 4 (x − x ), (0.3) de manera que Aµ (x) = Aµ0 (x) + 4π c d4 x J µ (x )G(x − x ) (0.4) Ω essent Aµ0 (x) una soluci´ o a l’equaci´ o homog`enia. Un cop hem trobat la funci´o de Green del problema anterior, la podem reciclar per trobar la soluci´o d’altres equacions que apareixen en f´ısica, com per exemple quan s’estudia la generaci´o d’ones gravitacionals. Aix´ı doncs, l’objectiu ´es resoldre l’equaci´ o (0.3), i per fer-ho, disposem com a m´ınim de dues maneres diferents, encara que una d’aquestes dues precisa d’elements de teoria de distribucions i teoria de Green, ra´o per la qual no presento.
Funci´ o de Green.
Volem calcular la funci´ o de Green de l’equaci´o d’ona en l’espai de Minkowski, aix`o ´es aquella funci´o G(x − x ) que satisf` a la PDE distribucional ✷G(x − x ) = δ 4 (x − x ) sota condicions de 1 Notar que aquesta ´es una definici´ o de la funci´ o de Green en el sentit de les distribucions. La funci´ o de Green tamb´e admet una definici´ o cl` assica, encara que pels nostres prop` osits no ens interessa.
1 contorn causals: G(t − t , x − x ) = 0 per t < t (c = 1). La soluci´o clarament ha de ser invariant sota translacions en l’espai-temps, com ja ho reflecteix el car`acter invariant de l’operador “box”, de manera que per comoditat primer prenem x = 0 (t = 0 i x = 0), i un cop determinada la G(x), farem un “shift” (un despla¸cament) d’aquesta soluci´o fins al punt original x = 0 (t = 0, x = 0), obtenint aix´ı la funci´ o de Green G(x − x ) desitjada.
Per resoldre l’equaci´ o ✷G(x) = δ 4 (x), procedim per transformades de Fourier amb k µ = (ω, k) = (ω, kx , ky , kz ). La funci´ o de Green en termes de la seva transformada de Fourier ´es G(x) = 1 (2π)2 ikν xν ˆ d4 k G(k)e .
(0.5) En aplicar l’operador D’Alemberti` a sobre l’expressi´o anterior, aquest entrar`a a dins la integral i sols actuar` a sobre l’exponencial. Se segueix, ✷G(x) = Calculem expl´ıcitament ✷eikν x ν 1 (2π)2 ν ikν x ˆ d4 k G(k)✷e .
(0.6) ν ν ν ν ν ✷eikν x = ∂ µ ∂µ eikν x = ∂ µ [ikν ∂µ xν eikν x ] = ∂ µ [ikν δµν eikν x ] = ∂ µ [ikµ eikν x ] ν ν ν = ikµ ikν ∂ µ xν eikν x = −η µν kµ kν eikν x = −kµ k µ eikν x .
Llavors ✷G(x) = 1 (2π)2 µ ikν xν ˆ d4 k G(k)(−k .
µ k )e (0.7) (0.8) Per altra banda, δ 4 (x) = 1 (2π)4 ν d4 keikν x , (0.9) d’on ajuntant-ho tot: 1 (2π)2 ✷G(x) = δ 4 (x) =⇒ ˆ d4 k −kµ k µ G(k) − 1 (2π)2 ν eikν x = 0.
(0.10) La igualtat anterior s’ha de verificar per qualsevol mode de l’espai de Fourier, d’on resulta que la transformada de Fourier de la funci´ o de Green ´es: ˆ G(k) =− 1 4π 2 kµ k µ 1 1 1 1 = 2 2 .
2 2 2 4π ω − k 4π k − ω 2 (0.11) 1 ν eikν x 2 −ω 1 d4 k 2 eiωt e−ik·x .
k − ω2 (0.12) =− Substituint-la en (0.5) trobam que 1 (2π)4 1 = (2π)4 G(x) = d4 k k2 Separant les integrals sobre la variable temps i la variable espai, arribam al seg¨ uent resultat G(t, x) = d3 k (2π)3 2 dω ei(ωt−k·x) .
(2π) k 2 − ω 2 (0.13) Un fet curi´ os ´es que la funci´ o de Green no sols ´es invariant sota translacions en l’espai-temps, sin´o que ´es invariant sota transformacions de Lorentz en general. De forma compacta hem trobat que 1 d4 k ikν xν G(x) = − e .
(0.14) (2π)4 kµ k µ Sota transformacions de Lorentz, kν xν = kν xν , kµ k µ = kµ k µ , d4 k = d4 k . Les dues primeres igualtats s´on clares: no tenen cap ´ındex lliure, aix´ı i tot es poden demostrar f`acilment fent un boost i utilitzant que ηµ ν = Λµµ Λνν ηµν . Per mostrar que el quadri-volum no canvia cal considerar com transforma una m`etrica en general, llavors es pot veure que −|g|d4 k = −|g |d4 k .
(0.15) En el nostre cas no hi ha problema, la m`etrica ´es la de Minkowski: −|η| = +1, −|η | = −|Λ||Λ||η| = −(±1)(±1)(−1) = +1, per tant d4 k = d4 k . En conclusi´o, la funci´o de Green d’aquest problema ´es invariant sota translacions i transformacions de Lorentz en general.
Per calcular (0.13) orientam el vector k en la direcci´o de l’eix z de manera que k·x = kr cos θ amb r = |x|, k = |k|. En esf`eriques d3 k = k 2 sin θdkdθdϕ. Si integram sobre els angles, 2π ∞ π eiωt 1 2 −ikr cos θ dϕ k dk e sin θdθ dω (2π)4 0 k2 − ω2 0 0 i 1 ∞ eiωt =− k eikr − e−ikr dk dω 2 3 (2π) r 0 k − ω2 i 1 +∞ ikr eiωt =− ke dk dω .
(2π)3 r −∞ k2 − ω2 G(t, x) = (0.16) Donat que al final esperam que ens apareguin δ’s de Dirac (en la seva forma integral), en la integral sobre e−ikr he fet k → −k, de manera que he pogut agrupar la difer`encia eikr − e−ikr en una sola integral sobre R. Com que l’integral sobre ω t´e dos pols de primer ordre a ±k, la manera natural de calcular-la ´es a trav´es de m`etodes de variable complexa, en particular, amb el teorema dels residus. Volem calcular +∞ dω −∞ eiωt .
k2 − ω2 (0.17) La idea ´es la seg¨ uent: el que farem ´es calcular la integral anterior en el pla complex (considerant la ω com una variable complexa) i ens les enginyarem per tal que aquesta integral en el pla complex (la qual podrem calcular directament amb el teorema dels residus) sigui directament la integral real (0.17). Considerem ω = Re(ω) + iIm(ω), (0.18) llavors, eiωt = ei[Re(ω)+iIm(ω)]t = eiRe(ω)t e−Im(ω)t .
(0.19) Per garantir la converg`encia de la integral hem d’escollir Im(ω) > 0, t > 0, o b´e, Im(ω) < 0, t < 0, de manera que e−Im(ω)t → 0 per Im(ω) → ∞. Proposem dos circuits d’integraci´o (vegeu la fig. 1), el primer (γ1 ) amb Im(ω) > 0, mentre que el segon (γ2 ) amb Im(ω) < 0. On els pols 3 que en un principi estaven situats sobre l’eix real, els hem despla¸cat i (al final farem → 0) vegades per sobre d’aquest per tal d’evitar-los. La ra´o de per qu`e els hem despla¸cat a dalt ´es perqu`e d’aquesta manera se satisf` a la condici´o causal (s’ha d’anar provant fins que un troba un contorn/prescripci´ o i consistent amb la causalitat). Volem que per t > 0, G(t, x) = 0, i per t < 0, G(t, x) = 0. Donat que t < 0 ⇐⇒ Im(ω) < 0, si despla¸cam els pols a dalt, aquests no contribueixen a la integral que tanca per baix, i.e. Im(ω) < 0 (els pols donen una contribuci´ o nul·la a la funci´ o de Green per t < 0). En canvi, t > 0 ⇐⇒ Im(ω) > 0; Si despla¸cam els pols a dalt, aquests donen una total contribuci´o a la integral que tanca per dalt, o sigui, per Im(ω) > 0. En conseq¨ u`encia, si prenem tals circuits d’integraci´o havent despla¸cat els pols a dalt, les contribucions a la funci´ o de Green sols provenen d’esdeveniments que han tingut lloc a t = 0 < t, ´es a dir, esdeveniments del passat.
Im(ω) γ1 Im(ω) R −k + i −k + i k+i k+i Re(ω) Re(ω) γ2 R Figura 1: Camins d’integraci´ o en el pla complex de la variable ω, juntament amb els pols despla¸cats.
Justificat aix` o, recordem el teorema dels residus: “Sigui f (z) una funci´ o anal´ıtica en un domini simplement connex D excepte en un nombre finit, N , de punts zp , pols o singularitats essencials de la funci´ o f (z). Considerem un circuit γ ⊂ D a l’interior del qual estan continguts els pols zp . Llavors es t´e, f (z)dz = 2πi γ Res[f (z), zp ].
(0.20) p En virtut del teorema que acabo d’anunciar, la integral sobre γ2 ´es zero. En canvi, la integral sobre γ1 no ´es zero. Calculem-la; comencem per re-escriure l’integrand,2 dω γ1 eiωt (k + ω)(k − ω) γ1 eiωt = lim dω →0 γ1 (k − i + ω)(k + i − ω) −eiωt = lim dω →0 γ1 (ω − ω1 )(ω − ω2 ) eiωt = k2 − ω2 dω 2 (0.21) La integral sobre el circuit γ1 porta impl´ıcita una theta de Heaviside θ(t), encara que per evitar escriure de m´es, no la considerar´e fins al final.
4 amb ω1 = −k + i , ω2 = k + i ( > 0). Segons el teorema dels residus 2 eiωt −eiωt dω 2 = lim 2πi Res , ωj .
→0 k − ω2 (ω − ω1 )(ω − ω2 ) γ1 j=1 (0.22) Recordem que per pols de primer ordre els residus els calcul`avem com segueix Res[f (z), zi ] = lim (z − zi )f (z).
(0.23) z→zi En el nostre cas, −eiωt −eiωt ei(−k+i , ω1 = lim (ω − ω1 ) = ω→ω1 (ω − ω1 )(ω − ω2 ) (ω − ω1 )(ω − ω2 ) 2k )t −eiωt −eiωt ei(k+i Res , ω2 = lim (ω − ω2 ) =− ω→ω2 (ω − ω1 )(ω − ω2 ) (ω − ω1 )(ω − ω2 ) 2k )t Res (0.24) .
Per tant, de (0.22) resulta que dω γ1 eiωt 1 = lim 2πi ei(−k+i 2 2 →0 k −ω 2k )t − ei(k+i )t = πi 1 −ikt e − eikt .
k (0.25) Aix`o per una banda, per` o el que volem ´es relacionar la integral que acabam de calcular amb la integral que a nosaltres ens interessa, la (0.17). Si parametritzam el circuit d’integraci´o: per fer de −R → +R, ω = x, i per integrar la part angular de 0 → θ , ω = Reiθ ; se segueix, dω γ1 eiωt = lim →0 k2 − ω2 +R dx −R −eixt + lim →0 (x − ω1 )(x − ω2 ) ×e θ iReiθ dθeiRt cos θ 0 −Rt sin θ −1 .
iθ (Re − ω1 )(Reiθ − ω2 ) (0.26) Arribats aqu´ı, cal destacar dues coses: la primera, ´es que per recuperar la integral real que ens interessa haurem de prendre R → ∞; La segona, ´es que volem que la integral sobre θ (sobre l’arc) sigui nul·la. Notar que de moment no he especificat si tanco per dalt o per baix (en el l´ımit superior he posat un angle θ qualsevol, encara que anteriorment ja he justificat que la manera correcte ´es tancant per dalt, o sigui θ = π). Com veurem a continuaci´o, demanar que la integral sobre l’arc s’anul·li ´es totalment consistent amb els circuits i la prescripci´o que hem pres. Per assegurar-nos de que aix` o passi, podem fer Rt sin θ > 0 a fi de que e−Rt sin θ vagi a zero per R → ∞. Com que R > 0, tenim dues opcions: 1. t > 0, sin θ > 0. Aquesta ´es la primera de les dues condicions que hem trobat per tal de garantir la converg`encia de la integral: t > 0, Im(ω) > 0. Com que sin θ > 0, la integral sobre θ va de 0 a π (´es la semi-circumfer`encia del semi-pl`a superior). En aquest cas t > 0, i com que G(t > 0, x) = 0, si despla¸cam els pols a dalt, el semi-pla superior (l’associat a t > 0) aporta totes les contribucions a la funci´o de Green.
´ l’altra condici´o que hem comentat al principi: t < 0, Im(ω) < 0.
2. t < 0, sin θ < 0. Es Aquesta opci´ o implica que el domini de la variable θ va de 0 a −π (o sigui, la semicircumfer`encia del semi-pl` a inferior). Com que per aquest cas t < 0, i per causalitat G(t < 0, x) = 0, despla¸cam els pols a dalt. Aix´ı, el semi-pl`a inferior, l’associat a t < 0, no aporta cap contribuci´ o a la funci´ o de Green.
5 La causalitat ´es respectada. Tenint en compte els resultats (0.25) i (0.26), si feim R → ∞ resulta que +∞ eiωt eiωt 1 −ikt ikt dω = dω 2 e − e = πi .
(0.27) k − ω2 k k2 − ω2 −∞ γ1 Substituint aquest u ´ltim resultat en (0.16), 1 i 1 +∞ ikr ke dkπi e−ikt − eikt 3 (2π) r −∞ k 1 1 +∞ dk eik(r−t) − eik(r+t) = 4πr 2π −∞ 1 [δ(r − t) − δ(r + t)] .
= 4πr G(t, x) = − (0.28) Considerant la theta de Heaviside, G(t, x) = θ(t) δ(r − t) 4πr (0.29) ja que θ(t)δ(r + t) = 0. Finalment fent el “shift” corresponent, determinam que la funci´o de Green ´es: θ(t − t ) G(t − t , x − x ) = δ[|x − x | − (t − t )] (0.30) 4π|x − x | ´ a El fet de que la funci´ o de Green estigui definida per t > t v´e a dir que va cap el futur. Es dir, es tracta d’una ona que sols pot afectar a esdeveniments que tinguin lloc a dins del seu con de llum futur (de fet, aix` o ´es el principi de causalitat). Matem`aticament, ho posa de manifest la funci´o de Heaviside θ(t − t ), la qual val 1 per t > t . A m´es, l’ona sols existeix en aquells punts tals que |x − x | = t − t , en forma covariant v´e a ser: xµ xµ = 0 (tipus llum) =⇒ la funci´o de Green ´es no nul·la sobre el con de llum la qual cosa ens indica que l’ona va a 1, ´es a dir, a c.
Per tant, que la funci´ o de Green sigui invariant sota transformacions de Lorentz, de curi´os no en t´e res, ja que al propagar-se a c, tal objecte matem`atic no pot dependre de en quin sistema de refer`encia es miri. L’expressi´ o (0.14) ho prova rigorosament.
Soluci´ o.
D’acord amb (0.4), la soluci´ o m´es general a les equacions de Maxwell inhomog`enies ser`a: θ(t − t ) 4π dt d3 x J µ (t , x ) δ |x − x | − (t − t ) c 4π|x − x | 1 1 = Aµ0 (t, x) + d3 x dt J µ (t , x )θ(t − t )δ |x − x | − (t − t ) c |x − x | 1 J µ (t − |x − x |, x ) = Aµ0 (t, x) + d3 x .
c |x − x | Aµ (t, x) = Aµ0 (t, x) + (0.31) Per trobar una soluci´ o m´es concreta, cal especificar la forma del quadri-corrent, per exemple el d’una font puntual: J µ = qδ 3 (x − y(τ ))(c, v).
Nota: segons la convenci´ o que s’utilitzi pel parell transformada/anti-transformada de Fourier, passa que per calcular la integral sobre ω respectant la causalitat, s’han de baixar els pols enlloc ´ a dir, si enlloc de definir el parell de fourier com: f (x) ∼ dk fˆ(k)eikx − de pujar-los. Es 6 fˆ(k) ∼ dxf (x)e−ikx (que ´es la convenci´o que utilitzo en aquest paper), el definim com: f (x) ∼ dk fˆ(k)e−ikx − fˆ(k) ∼ dxf (x)eikx , aix`o d´ona lloc a un signe global que al final es reflecteix en un signe negatiu en l’exponencial de (0.17), de manera que per arribar al resultat correcte cal baixar els pols i no pas pujar-los.
7 ...