Números Complejos (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 9
Fecha de subida 29/09/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

Els Números Complexos Operacions fonamentals 1) Avalueu les expressions següents: a 3 − 2i −1  i Tenim que 3 − 2i  3 − 2i  −1 − i  −3 − 3i  2i  2i 2  −5 − i  − 5 − 1 i −1  i −1  i −1 − i 2 2 2 1 − i2 b 3 − 7i 4  2i 2 Resulta 3 − 7i3 − 4i 3 − 7i 3 − 7i   3 − 7i  2 2 12  16i 43  4i3 − 4i 16  16i  4i 4  2i 2  9 − 21i − 12i 2 28i  −19 − 33i  − 19 − 33 i 100 100 100 49 − 16i  c 5  5i  20 3 − 4i 4  3i Tenim que 5  5i  20  5  5i  3  4i  20  4 − 3i 3 − 4i 4  3i 3 − 4i 3  4i 4  3i 4 − 3i 2 15  20i  15i  20i   80 − 60i2 2 16 − 9i 9 − 16i −5  35i 80 − 60i    3−i 25 25 d 1  i −4  1 − i −4 En aquest cas 1 1 1 1    1  4i − 6 − 4i  1 1 − 4i − 6  4i  1 1  i 4 1 − i 4  −1 − 1  −1 4 4 2 1  i −4  1 − i −4  30 19 e 3i − i 2i − 1 Si fem servir la propietat que i 2  −1 2 15 2 9 15 9 3i 30 − i 19  3i  − i  i  3−1 − −1 i 2i − 1 2i − 1 −1  2i 2  −3  i  −1 − 2i  3  6i − i −2 2i  5  5i  1  i 5 −1  2i −1 − 2i 1 − 4i 2) Proveu la relació següent: Re z  z  z̄ , Im z  z − z̄ 2i 2 Siguin els complexos z  a  ib i z̄  a − ib, aleshores es compleix que z  z̄  a  ib  a − ib  2a de manera que a  Re z  z  z̄ 2 De la mateixa manera z − z̄  a  ib − a − ib  2ib i per tant b  Im z  z − z̄ 2i 3 3) Si z 1  2  i, z 2  3 − 2i i z 3  − 1  i, trobeu el valor numèric de cada una 2 2 de les expressions següents: a |3z 1 − 4z 2 | En aquest cas tenim que |3z 1 − 4z 2 |  |32  i − 43 − 2i|  |6  3i − 12  8i|  |−6  11i|  −6 2  11 2  157 b z 31 − 3z 21  4z 1 − 8 Substuint, resulta que z 31 − 3z 21  4z 1 − 8  2  i 3 − 32  i 2  42  i − 8  2 3  32 2 i  32i 2  i 3  − 34  4i  i 2   8  4i − 8  8  12i − 6 − i − 12 − 12i  3  8  4i − 8  −7  3i c z̄ 3  4 Tenim que z̄ 3   4  3 −1  i 2 2 4 3 −1 − i 2 2  1  3 i  3 i2 4 2 4 2  4  3 −1  i 2 2 2 2 2 3 −1 − i 2 2 3 3  1 − i  3 i2  − 1 − i 4 4 2 2 2 d 2z 2  z 1 − 5 − i 2z 1 − z 2  3 − i 2 En fer els càlculs s’obté 2z 2  z 1 − 5 − i 2z 1 − z 2  3 − i 2  2 23 − 2i  2  i − 5 − i 22  i − 3 − 2i  3 − i |3 − 4i| 2   |4  3i| 2  2 3 2  −4 2 42  32 3 − 4i 4  3i 1 2 Forma Polar dels complexos 1) Expresseu cada un dels següents complexos en forma polar: a z  2  2 3 i El mòdul és |z|  2  2 3 i  22  22 3 2  4  12  4 mentre que el seu argument es pot calcular com   tan −1 2 3 2  sin −1 2 3 4   3 alternativament també es poden fer servir les expressions   sin −1 3 2  cos −1 1 2   3 Aleshores queda z  rcos   i sin   4 cos  3  i sin  3 b z  −5  5i Si procedim com en el cas anterior, tenim |z|  |−5  5i|  25  25  5 2 tan   − 5  −1    −  5 4 2 Ara com el complex es troba en el segon quadrant, ja que Re z  0 i Im z  0, hem de pendre com argument el valor    −   3 4 4 es a dir z  5 2 cos 3 4  i sin 3 4 c z  − 6 − 2 i En aquest cas el mòdul és |z|  − 6 − 2 i  62  2 2 Per avaluar l’argument hem de tenir present que el complex es troba en el tercer quadrant, ja que Re z  0 i Im z  0. En aquest cas podem fer   tan −1 − 2 − 6  tan −1   6 1 3 i el argument es pot pendre com   arg z   6 Notem que aquest argument correspon a un complex en el primer quadrant i nó en el tercer.
Per obtenir l’argument en aquest cas cal restar  al valor anterior per a obtenir Argz   −   − 5 6 6 El número complex en forma polar es pot escriure com z  2 2 cos − 5 6  i sin − 5 6 d z  −3i Aquest cas és més senzill, tenim que |z|  |−3i|  0  32  3 mentre que   − 2 ja que es tracta d’un número complex imaginari pur negatiu. Així doncs z  3 cos −  2  i sin−   2 Forma Exponencial dels complexos  −3i 1) Avalueu l’expressió següent: 10 1 3i 1− 3i En aquest cas és convenient fer servir la forma exponencial dels complexos. Com z  1  3 i  2e i/3 ja que 1   3 2  |z|    tan −1 3 1 4 2   3 i de la mateixa manera z  1 − 3 i  2e −i/3 tenim que 1 3i 1− 3i 10  2e i/3 2e −i/3 10  e i2/3  10  e i6 e i2/3  1  cos 2 3 3  −1  i 2 2  e i20/3  i sin 2 3 2 ) Demostreu que: i −i i −i cos   e  e , sin   e − e 2 2i Si fem servir la formula d’Euler e i  cos   i sin  e −i  cos  − i sin  i sumem les dues expressions i −i e i  e −i  2 cos   cos   e  e 2 Si en lloc de sumar, restem les dues expressions resulta i −i e i − e i  2i sin   sin   e − e 2i 3) Proveu les identitats següents: a cos 5  16 cos 5  − 20 cos 3   5 cos  b sin 5  16 cos 4  − 12 cos 2   1 sin  Per demostrar aquestes expressions es necessari fer servir la formula de Moivre cos   i sin  n  cos n  i sin n i la formula binomial de Newton a  b n  a n  n a n−1 b  1 n a n−1 b 2    2 n a n−r b r    b n r Així tenim que cos 5  i sin 5  cos   i sin  5  cos 5   i 5 cos 4  sin   i 2 5 cos 3  sin 2  2 1  i 3 5 cos 2  sin 3   i 4 5 cos  sin 4   i 5 sin 5  3 4 5 4  cos   5i cos  sin  − 10 cos 3  sin 2  − 10i cos 2  sin 3   5 cos  sin 4   i sin 5   cos 5  − 10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4   i5 cos 4  sin  − 10 cos 2  sin 3   sin 5  i comparant les expressions podem concloure que cos 5  cos 5  − 10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4  sin 5  5 cos 4  sin  − 10 cos 2  sin 3   sin 5  i només cal tenir en compte que sin 2   cos 2   1, o bé que sin 2   1 − cos 2  i substituir en la primera expressió cos 5  cos 5  − 10 cos 3  sin 2   5 cos  sin 4   cos 5  − 10 cos 3 1 − cos 2   5 cos 1 − cos 2  2  16 cos 5  − 20 cos 3   5 cos  b) Ara és fàcil avaluar la segona expressió sin 5  5 cos 4  sin  − 10 cos 2  sin 3   sin 5   5 cos 4  − 10 cos 2  sin 2   sin 4  sin  sin  i com tenim la relació sin 2   cos 2   1 podem ficar sin 5  5 cos 4  − 10 cos 2 1 − cos 2   1 − cos 2  2 sin   16 cos 4  − 12 cos 2   1 Rels Complexes 1) Trobeu tots els valors per als quals z 5  −32 i localitzeu-los en el pla complex: Es convenient escriure en primer lloc, ambdos termes en forma polar. Així − 32  32cos  2k  i sin  2k, k  0, 1, 2, . . .
Ara si la solució és el complex z z  rcos   i sin  el teorema de Moivre ens permet escriure que z 5  r 5 cos 5  i sin 5  −32  32cos  2k  i sin  2k D’aquesta relació podem extreure que r 5  32  r  5 32  2 mentre que 5    2k      2k 5 Ara només cal donar els 5 primers valors a k per a obtenir les 5 rels k  0, z  z 1  2 cos   i sin  5 5 k  1, z  z 2  2 cos 3  i sin 3 5 5 k  2, z  z 3  2 cos 5  i sin 5 5 5 k  3, z  z 4  2 cos 7  i sin 7 5 5 9 9 k  4, z  z 5  2 cos  i sin 5 5  −2 Els valors complexos es troben sobre el cercle de radi 2, centrat en l’origen i el primer valor té un argument   /5, la resta de valors estan equiespaiats una distància angular 2/5 radians a partir del primer valor.
2) Trobeu el valor de les rels següents: a −1  i 1/3 Busquem un complex z tal que z 3  −1  i Com |−1  i|  2 i el complex es troba en el segon quadrant    − tan −1 − 1 1  3 4 tenim −1i  Les rels seran 2 cos 3  2k  i sin 3  2k 4 4 , k  0, 1, 2, … −1  i 1/3  2 1/3 cos 3  2k 3 12  i sin 3  2k 3 12 Si ara donem valors a k, obtenim les 3 rels k  0, z  z 1  2 1/6 cos   i sin  4 4 k  1, z  z 2  2 1/6 cos 11  i sin 12 19 1/6 k  2, z  z 3  2 cos  i sin 12 11 12 19 12 b −2 3 − 2i 1/4 En aquest cas −2 3 − 2i  43  4  4 i el complex es troba en el tercer quadrant. Com   tan −1 2 2 3   6 el valor de l’argument serà Argz   −   − 5 6 6 Aquest es l’argument principal. Per tenir tots els arguments positius, podem sumar 2 a l’argument per a obtenir arg z  − 5  2  − 5  12  7 6 6 6 6 Tenim − 2 3 − 2i  4 cos 7  2k  i sin 7  2k 6 6 Les rels seran els complexos −2 3 − 2i 1/4  4 1/4 cos 7  2k 4 24  i sin 7  2k 4 24 i si donem valors a k, resulta finalment k  0, z  z 1  k  1, z  z 2  k  2, z  z 3  k  3, z  z 4  2 cos 7  i sin 7 24 24 2 cos 19  i sin 19 24 24 31 31 2 cos  i sin 24 24 2 cos 43  i sin 43 24 24 3) Trobeu totes les rels quintes de la unitat: Busquem totes les solucions de l’equació z5  1 com 1  cos 2k  i sin 2k  e i2k les solucions seràn z  cos 2k  i sin 2k  e i2k/5 5 5 i si donem valors a k resulta 1, e i2/5 , e i4/5 , e i6/5 , e i8/5 ...