Trabajo 4 (2014)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 3º curso
Asignatura Mecánica de Fluidos
Año del apunte 2014
Páginas 55
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 7

Descripción

Cuarto trabajo de la asignatura de Mecánica de Fluidos correspondiente al temario de Flujo con Viscosidad Dominante (capítulo 7). nota = 7,75

Vista previa del texto

B.- El esquema de la figura, muestra uno de los amortiguadores de suspensión de un vehículo. El cilindro inferior está rígidamente conectado a una de las ruedas, entre el émbolo inferior y superior existe una cámara de aceite, por encima del émbolo superior existe una cámara con nitrógeno N2.
Las dimensiones del actuador se detallan en la figura, además se conocen los siguientes datos.
Maceite = 0,5 Kg.
Mnitrógeno = 0,01 Kg.
Dpistón = 0,05 m.
Rnitrógeno = 297 J/(Kg K).
Ρaceite = 875 Kg/m3.
Tde todo el conjunto = 313,14 K Despreciar el peso de los émbolos.
Peso que actúa encima del cilindro, incluyendo el peso del propio cilindro = 5000 N.
Se pide: 1.- Considerando el sistema como estático y el aceite como fluido incompresible, determinar: la distancia entre la parte inferior del cilindro y el eje de la rueda (Y1). (1 punto).
2.- Partiendo de los datos hallados en el primer apartado, ahora la rueda se desplaza en dirección vertical obedeciendo a la función; Y = 0,45204 + 0,025*sin((3 / 2) *π + t), determinar la ecuación diferencial que caracteriza la variación temporal de la presión del nitrógeno. Para este apartado, considerar que el cilindro se mantiene en una posición constante e invariable respecto al suelo, la rueda es la que está sometida al desplazamiento vertical definido por la función anterior. Tanto el aceite como el nitrógeno se considerarán como fluidos compresibles. Considerar que la evolución, compresión/expansión del nitrógeno, es adiabática. (1 punto).
3.- Partiendo asimismo de los datos hallados en el primer apartado, y considerando que la rueda se desplaza en dirección vertical obedeciendo a la función; Y = 0,45204 + 0,025*sin((3 / 2) *π + t), determinar: el conjunto de ecuaciones que caracterizarán la variación temporal de la posición del cilindro versus al eje de la rueda, considerar en este apartado que el aceite se evalúa como fluido incompresible. La evolución del nitrógeno se puede considerar en este apartado como isotérmica. (1,5 puntos) 1) Per calcular la distancia entre la part inferior del cilindre i el eix de la roda (Y1) sabem que: Les alçades de oli i N2 no son conegudes, a continuació les calcularem per tal de poder resoldre la equació i trobar Y1.
Per continuïtat s’ha de complir: Si unim les dos equacions obtenim l’alçada holi : ( ) La pressió del pistó vindrà determinada per: Per tant: Si aïllem l’alçada hN2 : Ara ja tenim tots els elements necessaris per calcular la Y1 a partir de la equació esmentada al inici de l’apartat: ( ) 2) Si partim de la equació donada per l’enunciat: ( ) Aplicant la equació de continuïtat sobre el volum de control: ∫ ∮ Com no tenim ni entrades ni sortides, sinó que es tracta d’un sistema tancat: ∮ ∫ ( ∫ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A partir de la compressibilitat volumètrica podem calcular la variació de densitat que tindrem així com la variació de pressió: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Podem fer una simplificació al saber nitrogen i oli tenen una paret en comú: Tenim compressió i expansió adiabàtica, d’on trèiem que: ( ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ) ( ( [ ) ) ( Hem de tenir en compte que: ) ] ( ) 3) De forma similar a l’apartat anterior, operem. Apliquem la equació de continuïtat: ∫ ∮ Novament, el sistema és tancat, per tant: ∮ ∫ Paral·lelament a com hem fet abans: ( ) ( ) Si N2 és isotèrmic: Si substituïm aquestes relacions a l’equació de continuïtat: [ ( ) ( ) ] Si apliquem que: ( [ ) ( ) ] Substituïm a l’equació anterior: ( ) ( ) Aïllem la variació de Y2 en funció del temps: ( [ ( ) ) ] D.- Determinar la distribución de velocidades y distribución de presiones existente entre los dos cilindros concéntricos, sabiendo que existe fluido con viscosidad dominante entre ellos. Hállese asimismo la potencia necesaria para hacer girar cada uno de los cilindros.
Empezar el problema partiendo de la ecuación de Navier Stokes en coordenadas cilíndricas, Explicar con detalle cada uno de los pasos realizados.
Evaluar las diferentes condiciones de contorno posibles.
Partim de les equacions de Navier Stokes en coordenades cilíndriques: Component r: Component θ: Component z: L’equació de la continuïtat en coordenades cilíndriques és: Apliquem les condicions inicials a l’equació de continuïtat: Per tant, ens queda: Que vol dir que la velocitat Vθ és constant.
Apliquem aquest resulta i les condicions inicials a les equacions de Navier Stokes i ens queda el següent: Component r: Component θ: Si considerem que: Ens queda: Que si ho desenvolupem queda: Component z: Dels quals deduïm que no hi ha variació de la pressió reduïda al llarg de l’eix X.
Integrem la component θ dues vegades per tal d’aïllar la incògnita de la velocitat: Primera integració: Segona integració: Aïllem d’aquí la velocitat: Com veiem, hem aconseguit l’equació de la velocitat en funció de dues variables, C1 i C2. Per trobar-les farem servir les següents equacions de contorn: Substituint-ho a la nostra equació de la velocitat tenim: D’aquí aïllem C2: Substituïm C2 a l’equació que hem trobat abans per tal de poder trobar c1: Finalment substituïm C1 i C2 a l’equació original i obtenim la velocitat: La distribució de pressions en funció del radi ve donada per al següent equació: Substituïm Vθ a l’equació anterior. Per fer-ho més fàcil hi substituirem l’equació que està en funció de les constants: Si desenvolupem el quadrat: Integrem: Com que volem deixar-ho en funció de r canviem Ro per r: Afegint el valor de les constants C1 i C2 obtenim el resultat final: L’esforç tallant en un cilindre s’expressa de la següent manera: Aplicant la hipòtesi inicial Vr=0 la nostra equació queda: Substituïm la velocitat en funció de les constants: Per saber la potència necessària per moure el cilindre derivem i substituïm el radi per Ro La potència necessària per moure un metre lineal de tub: Substituïm les els valors del tallant que hem trobat abans i de la superfície i n’obtenim el resultat final: A partir de les equacions plantejades pel cilindre exterior es pot calcular la potència necessària per moure el cilindre interior aplicant els paràmetres d’aquest. Ens queda que: E.- En la figura siguiente se muestra un patín deslizante con dos alturas constantes Considerando flujo unidimensional hallar: 1.- La distribución de presiones en función de “x” (obsérvese que la ecuación de continuidad ha de cumplirse en todo momento).
2.- Su capacidad de carga.
3.- La fuerza necesaria para desplazar el patín: DATOS: h1, h2, μ, U.
Abans de començar el problema hem de suposar les següents hipòtesis:       Fluid incompressible (ρ=cte) Fluid newtonià Flux unidimensional Flux unidireccional Règim permanent ( ) Viscositat constant 1.) El primer apartat trobarem la distribució de presions en funció de “x”, i ho farem considerant les hipòtesis anteriors, però o resoldrem de dues formes diferents.
1.1) Apliquem la equació de Reynols, tenint en compte com hem dit les hipòtesis anteriors, especialment Tenim que tindre en compte que tenim dues equacions, una per quan h = h1 i una altre quan h = h2 (ja que son dues altures distintes).
Ara juguem amb el caudal màssic (veiem com la altura depèn directament de la posició x): I el caudal volumètric: Aquesta última la resolem de la mateixa manera que la de distribucions de pressions: De nou tenim que tindre hem compte la diferencia de altures, llavors tindrem dues equacions, quan h = h1 i quan h = h2.
Ara bé, retomem l'equació de distribució de pressions Si ens fixem, es una equació amb dos constants, per trobar aquestes constants apliquem condició de contorn.
Quan P = 0 (x = 0), trobem que c2 = 0, tenim que tindre hem compte que h = h1, llavors ens queda: Ara bé, per la segona part de la placa, quan h = h2, perquè no hi hagi confusions amb les constants les anomenem: Aquesta equació comença o acaba la primera placa es a dir en l1, i tenim que P = 0 quan estem al final es a dir x = l1 + l2, llavors: Subsituïm: Si ara volem agafar la distribucions en un punt que no sigui cap lateral, sinó en el centre del patinet, per exemple quan x = l1, allà la pressió Aquest punt es idoni, ja que es compartit per les dues plaques (punt frontera) i podem igualar equacions trobades.
I en aquest punt, fem el mateix amb el caudal volumètric, resultant: Que podem simplificar fins trobar que: I tornem a substituir a l'equació de caudal volumètric.
Gracies a l'equació del caudal hem trobat la constant 1, que podem substituir a l'equació de distribució de pressions, per la primera placa (h = h1).
Amb solució: Ara bé, per la segona placa: Arribant a la solució de: Si observem les solucions, podem veure que a la primera placa la P1 augmenta amb x, però a la segona placa es al contrari P2 disminueix amb x.
Podem graficar, la conclusió arribada abans: 1.2) El segon cas, es aplicar també l'equació de Reynols però la de lubricació: No considerem la velocitat en el eix z, i llavors W = 0, i a sobre considerem flux unidimensional, sabent que: De l'equació de continuïtat: Un altre suposició que farem, es considerar h constant respecte de x, això ens permetrà dir que: Després de totes aquestes apreciacions tenim que la equació de lubricació queda: Integrem: Equació diferencial, que ens permetrà trobar la distribució de pressions: Estem com en el apartat anterior, per cada placa tenim la mateixa equació amb h's diferents i constants d'integració també diferents.
Per obtenir les constants, utilitzarem les condicions de contorn dels extrems, que considerem pressions relatives (que donarem el valor de 0 per simplificar), es a dir P = 0 quan x = 0 i P = 0 quan x = l1 + l2.
Ara bé, també sabem que entre dos plaques planes la distribucions de velocitats (Flux de Couette – Poiseudille) és: Amb condicions de contorn: y = 0 u = U i y = h u = 0 D'aquí trobem que: Sabem la definició de caudal, i tenim la velocitat, llavors podem resoldre la integral que defineix el caudal: Recordem que de l'equació de lubricació de Raynols teníem: Això ens permet simplificar l'equació del caudal: Ara si utilitzem les condicions de contorn de les pressions anteriorment citades ( P = 0 quan x = 0 i P = 0 quan x = l1 + l2 ).
Per la primera placa (0 < x < l1) Quedant la distribució de presions a causa de les condicions de contorn Per la segona placa (l1 < x < l2) Resultant per les equacions de contorn: Tornem a resoldre com en el primer cas, agafem un punt entremig compartit per les dues seccions, es a dir x = l1.
I a sobre, també es compleix que: Fem aquestes igualtats: Això ens permetrà trobar les constants c1 i c3.
I tenim les dues distribucions de pressions demanades pel problema: Mateix resultat que amb la primera resolució.
2.) Ara anem a trobar la capacitat de càrrega, plantegem l'equació: Ara bé si ens fixem, podem veure que la força en direcció Y (Fy) es l'àrea del triangle de pressions, es a dir podem donar aquesta força com l'àrea sota la corba: Recordem que l'àrea d'un triangle és: Podem repetir el procés de una manera més pràctica, i menys teòrica, i veurem que arribem al mateix resultat, comencem de nou amb: En definitiva, i simplificant termes tenim que Fy: Finalment arribem a la mateixa solució que abans.
Es a dir, l'àrea del triangle de pressions.
3.) I per últim el càlcul de la força necessària per desplaçar el patinet, dit amb unes altres paraules, ens demanen la força de arrossegament.
Sabem que l'equació que ens permet calcular-la és: Els esforços tallants son de la forma: En la segona resolució del primer apartat hem vist que les distribucions de velocitats venen donats pel flux de Couette i Poiseulle.
Apliquem les mateixes condicions de contorn que vam aplicar llavors, que quan y = 0 llavors u = U, i quan y = h llavors u = 0.
Seguim treballant: Ara la derivem, ja que recordem que els esforços són: Seguim recordant coses com que la distribució de pressions: Ara considerem dos casos: Quan y = 0: Quan y = h: Ara ja podem calcular la força de arrossegament, però recordem que tenim una integral per cada superfície: Ja que els esforços afecten de la següent manera al patinet: Veiem que en el cas de l'esglaó és: Llavors queden les següents integrals: Substituïm els valors, ens queda que per la placa superior: I per la placa inferior: Finalment obtenim: C.- El esquema de la figura muestra un aspersor en forma de Y griega, se conoce el flujo volumétrico entrante (Qe) así como la distribución lineal de velocidad del fluido a la salida de las ranuras, obsérvese que el fluido sale por las ranuras en dirección Z, perpendicular al plano del papel. Las ranuras están dispuestas de tal forma que proporcionan un mismo par respecto al eje vertical de giro.
Se pide determinar: a.- Los pares generados sobre el aspersor, utilizando un sistema inercial de coordenadas.
b.- Los pares generados sobre el aspersor mediante un sistema no inercial de coordenadas.
a) Quan ens demanen que trobem els parells generats, ens demanen: Si ens fixem bé en aquesta equació tenim que tindre en compte que parlem d'una equació vectorial, on tan la r (que està en el pla XY) i v (que apunta en direcció Z) són vectors.
Si seguim observant, ens podem adonar que la primera part de l'equació es despreciable, ja que considerem un sistema en règim permanent, on el nostre volum no varia amb el temps, ni la densitat d'aquesta, i tampoc varia la densitat segons el volum.
Mentre que en la segona part, podem veure que es el moment de la sortida i entrada del nostre volum de control.
Ara bé, si mirem bé l'entrada podem veure que està sobre el nostre sistema de referencia, es a dir que el vector r es 0, llavors només ens queda les dues sortides.
D'aquesta expressió no coneixem el vector posició (r), i a més tenim que vigilar bé amb la velocitat de sortida, posat que te una distribució peculiar.
Considerem que la velocitat màxima es Vmax, però no sabem quina recta formen, utilitzem l'equació genèrica de una recta, i trobarem el valor de la pendent i l'ordenada: Sabem que la pendent és: I llavors l'ordenada a l'origen és: Ja tenim la recta de la velocitat: Ja tenim definida la velocitat en funció del vector posició, pero no ens oblidem que desconeixíem e vector posició, ens fixem bé.
Per trobar el vector posició, fem un parell de consideracions, anomenem r0 a la distancia entre el eix de rotació fins al inici de la ranura (horitzontal) que es constant, mentre que en direcció del braç, i des de l'inici de la ranura fins al final l'anomenem x (veiem que forma un angle alfa amb l'eix X), ja podem veure que el vector és: Atenció, cal tenir en compte que la x varia amb la ranura, es a dir de 0 a C.
Ara ja tenim el vector, i el vector velocitat, on apart de la distribució de sortida anteriorment trobada, tenim que tindre en compte la velocitat de rotació del nostre aspersor, resultant: Ara substituïm les nostres vectors, a l'equació del moment: Amb aquesta integral tenim un problema, i es que la superfície a integrar no es coneguda, així reescrivim: I també toca calcular el producte vectorial, tenim que tindre en compte que el vector posició és: Tornem a substituir a l'equació inicial: Ara com la nostre integral te un diferencial de x, que hem dit anteriorment varia entre 0 i C, ja es pot integrar.
Si seguim treballant l'integral: Podem agrupar termes: I ara si que si, integrem respecte de x I ara, com sabem que la x varia de 0 a C (límits d'integració), tenim que substituir les x del resultat per C en positiu, i per 0 restant, i obtenim el parell generat sobre l'aspersor: I com a conclusió, hem estat recordant tota l'estona que la fórmula dels parells, es una equació vectorial, i com a tal el resultat té una direcció, en aquest cas veiem que afecta al eix Y (resultat en direcció j).
b) En aquest segon apartat ens tornen a demanar els parells sobre els aspersors, però considerant un sistema no inercial de coordenades.
La diferencia principal entre l'apartat anterior recau en que, aquest cop tenim dos sistemes de referencies (en l'anterior només un, i fix en la base del aspersor) un d'ells mòbil i l'altre fix.
Així la fórmula que ens permetrà trobar els parell canvia significativament: Veiem que es la mateix equació, però amb un afegit corresponent al fet de ser un sistema no inercial.
De nou podem anant suprimint termes, el primer al igual que abans el podem eliminar, ja que no varia ni el volum respecte del temps, ni la densitat respecte del temps, ni la densitat respecte el volum. Del segon terme de nou només considerem les dues sortides, ja que l'entrada esta just en el eix de rotació fent que el vector r sigui 0.
Passem analitzar la nova part de l'equació, si ens fixem en els termes veiem que els dos són nuls, posat que el nostre vector posició (r) no varia en funció del temps, sinó de la posició (a ulls del temps el vector posició es una constant, que al derivar respecte del temps dóna 0).
I també cal mencionar que la nostre Ω es constant, de nou la seva derivada respecte del temps es 0.
Amb aquestes simplificacions ens queda una expressió: Comencem a estripar l'equació, i el primer que ens adonem es que la velocitat Vx'y'z', es la velocitat del fluid, però vigilem en un sistema no inercial. Això significa que quan calculem/considerem la velocitat del fluid, no tindrem que considerar que està girant sobre l'aspersor.
Es a dir, la velocitat que considerem tindrà només compte la distribució de velocitats calculada en l'apartat anterior: Ara passem a resoldre els diferents productes vectorials: No oblidem que la r te distribució: Ja només queda trobar la velocitat associada al diferencial de volum.
Partint de que tenim un sistema en règim permanent, podem assegurar que el cabal d'entrada es igual al cabal de sortida, es a dir el cabal d'entrada es igual a la suma dels dos cabals de sortida, com les dues ranures de sortida tenen les mateixes dimensions, considerem que per cada ranura surt la meitat del cabal d'entrada, així definim el cabal que circula abans d'arribar a les ranures com: Aquesta velocitat es constant, i r' es el radi del conducte, que considerem conegut (com totes les dimensions del aspersor).
Ara bé, quan arribem a la ranura de sortida no tot es tan senzill, ja que el cabal varia en funció de la distancia que ens allunyem de la ranura.
Per trobar el mòdul d'aquesta velocitat, apliquem la equació de la conservació de la massa, tenint molt present el règim permanent: De nou, el primer terme es nul, per les raons exposades ja en les dues equacions anterior, sobre la variació del nostre sistema respecte del temps. I en el segon terme, al igual que abans tenim tantes integrals com cabals d'entrada i sortida tingui el sistema.
Hem agafat aquest límits d'integració ja que ens interessa trobar la distribució de velocitats del fluid associada al diferencial del volum, però en la part de la ranura (que recordem anava de 0 a x), integrem i queda: Si ens fixem bé en el resultat, veiem que les seves unitats no son les de velocitat, exactament tenim m3/s, per trobar la velocitat dividim entre la secció del conducte en qüestió.
Però, cal recordar que el que acabem de trobar es el mòdul, i si observem el braç, podem veure que té component ens x i en y.
L'angle alfa es constant, així podem veure que la velocitat en components és: Sense oblidar-nos de la velocitat de rotació, amb direcció y (regla del “sacacorchos”.
Ara ja podem desenvolupar l'últim terme de la part de l'equació no inercial, aquesta part es el terme de l'acceleració de Coriolis: Ara ja tenim els termes necessaris per calcular el parell, substituïm a l'equació tot el que tenim i queda: Passem a efectuar el primer producte vectorial, però: Quedant l'equació del parell tal que: Si agrupem termes.
Treballem amb aquesta expressió: Arreglem una mica: Seguim agrupant, per simplificar: I ara, al igual que vam fer en el primer apartat, integrem de 0 a C: Acabant de substituir els límits d'integració: La arreglem, agrupant termes: Però encara queda resoldre un producte vectorial, sabem que el vector posició va en direcció X, mentre que el segon va en direcció Z.
Ara bé no cal oblidar que Si substituïm ens queda: Finalment, la solució que obtenim, es que el parell sobre l'aspersor és: De nou tenim que tindre en compte que es una equació vectorial i que té un direcció aquest resultat, en aquest cas com en la del apartat anterior, el parell generat sobre l'aspersor es en direcció Y.
F.- El cojinete cilíndrico especificado en la figura, posee una ranura longitudinal donde la presión Pentrada es conocida. Utilizando la teoría de cojinetes infinitamente largos.
Determinar: a.- La distribución de velocidades, el caudal circulante y la distribución de presiones en función del ángulo φ, existente en la película de fluido entre rotor y estator.
b.- El empuje en dirección vertical creado por el cojinete, (empuje por unidad de longitud). La potencia necesaria para hacer girar el eje. (por unidad de longitud) c.- Representar gráficamente la distribución de presiones en función del ángulo φ hallada en el apartado 1. Determinar la presión de entrada Pentrada mínima para que no exista cavitación en ningún punto del cojinete.
d.- Se quiere que estos cojinetes soporten un motor de aviación de 18000 N de peso y que gira a 30000 rpm. El radio de la carcasa es de Rs = 40, 1 mm. El radio del eje es de R = 40 mm. La viscosidad el fluido es de μ = 0,02 Kg/m s. La excentricidad máxima que se desea tenga el rotor versus el estator es de 50 μm (micras). Θ = 40 grados.
Determinar la longitud de cada uno de estos dos cojinetes para que puedan soportar la carga deseada.
e.- Realizar gráficas relacionando la fuerza de sustentación con la velocidad de giro, la fuerza de sustentación con la excentricidad y el número de Sommerfeld con ambos.
Considerar que las integrales siguientes son conocidas.
Obsérvese que las integrales I2 e I2P son en realidad la misma integral; únicamente difieren los límites de integración. Lo mismo sucede con las integrales I3 e I3P. Así, en realidad, aparecen cinco tipos de integrales diferentes. A continuación, se da la resolución de estas integrales.
Denominando Γ al término Denominando Φ al término Denominando Π al término Las diversas integrales se pueden dar: a) El primer que hem de fer per treballar amb aquest problema es passar de coordenades cilíndriques a cartesianes, per fer-ho, s’utilitza la teoria de coixinets infinitament llargs. Així, podem considerar el problema de forma similar al de dues plaques planes, tot i que l’estator no ho es: Per tant, la separació entre plaques anirà en funció de X. La hx serà l’alçada entre plaques, com hem dit, definida per la posició, que està limitada pels paràmetres que veiem al diagrama anterior, per tant: A continuació presentem les equacions de Navier-Stokes i de continuïtat necessàries pels càlculs del problema. Aquestes equacions les farem servir tenint en compte una sèrie d’hipòtesis per les característiques del nostre cas: fluid incompressible, regim estacionari, plaques infinites, moviment bidimensional i unidireccional i velocitat relativa entre plaques.
Treballarem amb P*, si definim les pressions a cada eix: Un cop aplicades les hipòtesis, les equacions de Navier-Stokes, obtenim les següents equacions: (1) Ara hem de trobar les constants C1 i C2 per tal de poder fer servir totes les equacions que hem pogut treure. Per fer-ho, apliquem les següents condicions de contorn: Finalment: Simplifiquem i obtenim la equació de la distribució de velocitats final: A partir de les hipòtesis hem trobat el que s’anomena patí de Michel per a coixinets hidrostàtics plans.
Ara calculem el cabal circulant: Si considerem constant el cabal en el coixinet, podem aïllar dP*/dx: Per ser capaços de integrar, fem el següent canvi de variable: Ara, ja podem integrar, integrem entre els límits definits a el diagrama de l’inici: Ara, adimensionalitzem les integrals: Per tal de simplificar els càlculs definim les integrals com: Per tant, el cabal circulant vindrà determinat per la següent expressions: Ara calcularem la distribució de pressions, per fer-ho, començarem substituint l’expressió que acabem de trobar pel cabal circulant en la expressió de dP*/dx esmentada anteriorment. Si ho fem, obtenim que: Tornem a fer el canvi i a integrar la nova expressió: Tornem a definir les integrals: Ara ja podem definir la distribució de pressions en funció de l’angle: b) Ara hem de trobar la força que el fluid exerceix sobre l’eix del coixinet. Per fer-ho tornarem a fer servir l’expressió de la distribució de pressions de l’apartat anterior, integrant-la a tot el perímetre.
Posteriorment haurem de descomposar en la direcció Y. En el següent diagrama podem veure els paràmetres que farem servir: Treballarem amb profunditat unitària (Z). Seguint la nomenclatura esmentada, i els sentits que es veuen dibuixats, la Fy queda definida com: Resolem la integral per parts: Substituïm a l’expressió de distribució de pressions calculada anteriorment i amb P(entrada)=0: Les derivades son les següents: Si ho tenim en compte a l’equació: Com hem fet a l’apartat anterior, definim les integrals: Amb tot això obtenim l’empenta en direcció Y: Un cop tenim la força, podem passar a calcular la potencia necessària.
Però abans hem de calcular el moment per fer girar el coixinet (girarà a parell constant). El fluid de l’interior del coixinet estarà sotmès a un gradient de velocitats: Si substituïm a la distribució de velocitats que hem trobat anteriorment obtenim: Substituïm pel valor ja conegut de dP*/dx: Per tant, el parell ha de ser: Tornem a definir les integrals: Si sabem que la potencia es moment multiplicat per la velocitat angular, obtenim que la potencia val: C) Per el càlcul referent a Pentrada farem servir les dades de l’enunciat (apartat d), assumim que Rs=40,1mm ̅ ̅ ̅ El valor de ha d’estar entre 0 i 1. Compararem la pressió d’entrada necessària per diferents casos que vindràn determinats per diferents excentricitats.
Si P*entrada =0, a l’equació de pressió: ( ) Comencem a una excentricitat de 0.1: Les integrals s’han resolt amb el software Maple: > > ( ) Per tant: P := ( ) El propi software ens permet fer la representació gràfica: Tal i com podem veure a la gràfica anterior, només veiem una petita cavitació. El programa ens indica que el valor de la pressió mínima que hauria de tenir el fluid per evitar la cavitació (a qualsevol angle). D’aquí trèiem que la pressió d’entrada mínima ha de ser: Ara repetim el procés per una excentricitat de 0.3: > > Obtenim: P := Representació: ( ) Observem que tenim cavitació en tot moment. Pressió d’entrada mínima: Tal i com veiem en aquests dos casos que acabem de presentar, una petita variació en la excentricitat es tradueix en una gran variació de la pressió.
Fem un canvi més gran en la excentricitat, treballem amb una de 0.8: Calculem novament les integrals amb el software maple: > > Obtenim: P := ( ) Representació gràfica: Només en una petita regió de la gràfica observem que no hi ha cavitació.
La pressió d’entrada mínima per aquest cas serà de: Amb aquests 3 casos representatius de variació d’excentricitat, hem vist clarament com a mesura que augmentàvem aquesta la pressió d’entrada per evitar la cavitació ho feia encara més. No hem considerat el cas extrem de Rs=R ja que no tindria sentit físics al estar els estator i el rotor en contacte.
D) Treballarem amb una excentricitat de 0.1 Suposem que els 18kN es reparteixen uniformement, per tant, cadascun ha de suportar la meitat del pes. Treballarem en unitats de força per unitat de longitud per tenirho tot en funció d’aquest darrer terme: Tornem a fer servir maple per calcular : > > > > Per tant Per tant, la longitud serà: Creiem que aquest resultat és molt petit per la aplicació que se li vol donar al sistema. Per obtenir valors més raonables, hauríem de jugar amb l’excentricitat, si el que volem es augmentar la longitud, necessitem valors d’excentricitat menors E) Dividim entre ω, obtenim 0.1mm (càlculs amb maple): > Grafiquem F(e): ( ) , si tenim una excentricitat de Amb maple hem obtingut discontinuïtats, per tant, extrèiem els punts (força en funció de l’excentricitat) i fem la representació gràfica en excel Força (N) Excentricitat ε 0.001 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.999 Amb aquests valors, fem una representació gràfica: F(ε) 3E+09 2,5E+09 Força (N) 2E+09 1,5E+09 1E+09 500000000 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Excentricitat (ε) Ara veiem con les discontinuïtats han desaparegut. Podem veure clarament que a més excentricitat, més gran serà la força. El límit arriba quan la excentricitat és 1, en aquest punt la força tendeix a infinit.
Ara, grafiquem el numero de Sommerfeld en funció de la velocitat angular: > S0(ω) Tal i com podem observar, el número de Sommerfeld no depèn de la velocitat angular. Ara mirem que passa quan és en funció de l’excentricitat: > > La excentricitat ve donada en micres.
Altre cop, per evitar les discontinuïtats, prenem punts i els portem a Excel: Sommerfeld 0.01884955591 Excentricitat ε 0.001 1.885026517 0.1 5.67264220 0.3 9.67359662 0.5 14.84036982 0.7 27.7006850 0.9 280.9690 0.999 Tornem a graficar aquests valors obtinguts.
Sommerfeld(ε) 300 Sommerfeld 250 200 150 100 50 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Excentricitat (ε) Ara ja no tenim les discontinuïtats. Podem veure clarament que quan més gran és l’excentricitat, més gran serà el número de Sommerfeld.
...