Ex02 Resuelto 2011 (2011)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Algebra
Año del apunte 2011
Páginas 7
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 0

Descripción

Examen Resuelto

Vista previa del texto

` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 12.04.2011 EX02 Q¨ uesti´ o 1: Sigui f : R2 [x] −→ R2 [x] l’endomorfisme definit per f (p(x)) = q(x) ∀p(x) ∈ R2 [x] on q(x) ´es tal que q(i) = ip(i), i = 1, 2, 3. Definim la base N = {(x − 2)(x − 3), (x − 1)(x − 3), (x − 1)(x − 2)}. Trobeu la matriu associada a f en aquesta base.
Calculant les imatges dels vectors de N , f ((x − 2)(x − 3)) = q1 (x) Algweb f ((x − 1)(x − 3)) = q2 (x) f ((x − 1)(x − 2)) = q3 (x) tal que tal que tal que   q1 (1) = 1 · (1 − 2)(1 − 3) = 2 q1 (2) = 2 · 0 = 0   q1 (3) = 3 · 0 = 0 =⇒ q1 (x) = (x − 2)(x − 3)   q2 (1) = 1 · 0 = 0 q2 (2) = 2 · (2 − 1)(2 − 3) = −2   q2 (3) = 3 · 0 = 0 =⇒ q2 (x) = 2(x − 1)(x − 3)   q3 (1) = 1 · 0 = 0 q3 (2) = 2 · 0 = 0   q3 (3) = 3 · (3 − 1)(3 − 2) = 6 I per tant, la matriu [f ]N ´es [f ]N  1 0 = 0 2 0 0  0 0 3 =⇒ q3 (x) = 3(x − 1)(x − 2) ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 12.04.2011 EX02 Q¨ uesti´ o 2: Sigui E3 un espai vectorial real amb dimR E3 = 3. Considerem un vector x ∈ E3 i un endomorfisme definit sobre E3 tals que {x, f (x), f 2 (x)} s´ on linealment independents i {x, f (x), f 3 (x)} s´ on linealment dependents. Demostreu que tra¸ca(f ) = 0.
Com que x, f (x) s´ on linealment independents (per ser-ho {x, f (x), f 2 (x)}) i {x, f (x), f 3 (x)} s´ on linealment dependents, llavors ∃α, β ∈ R tals que f 3 (x) = αx + βf (x).
Definim la base N = {u1 = x, u2 = f (x), u3 = f 2 (x)} (ja que s´ on 3 vectors linealment independents d’un espai vectorial de dimensi´ o 3) d’E3 i busquem la matriu associada a f en aquesta base: Algweb   f (u1 ) = u2 f (u2 ) = u3   f (u3 ) = αu1 + βu2 d’on dedu¨ım directament que la tra¸ca ´es 0.
=⇒ [f ]N  0 = 1 0 0 0 1  α β 0 ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 12.04.2011 EX02 Q¨ uesti´ o 3: Siguin x = a + ib, y = c + id ∈ C. Calculeu el seg¨ uent determinant en funci´ o d’a, b, c, d ∈ R: x −y x −y y x y x x −y x −y y x y x Per a quins valors d’a, b, c, d s’anul·la? x −y x −y y x y x x −y x −y y x −y x = y +[1] 2a x +[2] −2c y x 2c 2a x −y 2a −2c y 2ib 2id 2id −2ib x = 0 0 2c 0 0 2a x −y 2a −2c y x 2ib = 2c 2id 2a 2a 2id · −2ib −2c Algweb −[3] − [4] = (4b2 + 4d2 )(4a2 + 4c2 ) = 16(b2 + d2 )(a2 + c2 ) El determinant s’anul·la quan b = d = 0 (x, y ∈ R) o b´e quan a = c = 0 (x, y s´ on imaginaris purs).
2c = 2a ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 12.04.2011 EX02 Q¨ uesti´ o 4: A l’espai vectorial real R4 definim l’endomorfisme f ∈ LR (R4 ) segons f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x2 − x1 + βx4 , αx1 + x3 − 2x2 − βx4 , −αx1 + x4 − 2x3 , −x1 − x2 − x3 − 3x4 ) Determineu per a quins valors reals de α i β existeix una base en la que f triangula. Per al cas α = β = 0, trobeu una base en la que f triangula.
La matriu associada a f en la base can` onica C de R4 ´es  −1  α [f ]C =  −α −1  1 0 β −2 1 −β   0 −2 1 −1 −1 −3 Algweb Calculem el seu polinomi caracter´ıstic: −1 − x 1 0 β +[2] + [3] + [4] −2 − x −2 − x −2 − x α −2 − x 1 −β α −2 − x 1 Pc f [x] = = −α 0 −2 − x 1 −α 0 −2 − x −1 −1 −1 −3 − x −1 −1 −1 1 α = (−2 − x) −α −1 = (−2−x)2 1 α −α 1 1 1 1 1 1 −2 − x 1 −β α −2 − x 1 = (−2 − x) 0 −2 − x 1 −α 0 −2 − x −1 −1 −3 − x +[1] 0 0 0 −2 − x −β = 1 −3 − x 1 −β = 1 −2 − x 1 1 1 1 1 −2 − x 1 +[3] = (−2−x)2 0 −2 − x −1 − x = (−2−x)2 ((−2−x)2 +α(1+x)−α(2+x)) = 0 −2 − x −α 0 −2 − x = (−2 − x)2 (x2 + 4x + 4 − α) Resolent l’equaci´ o de segon grau x2 + 4x + 4 − α = 0, √ √ 16 − 4(4 − α) −4 ± 4α = = −2 ± α x= 2 2 Llavors, f ser` a triangulable quan tots els zeros del seu polinomi caracter´ıstic siguin reals, ´es a dir quan α ≥ 0 i ∀β.
−4 ± Considerem el cas α = β = 0:  −1  0 [f ]C =   0 −1  1 0 0 −2 1 0 =A 0 −2 1 −1 −1 −3 Calculem una base del subespai de vectors propis    1   1 1 0 0 0 x  0  x2  0 0 1 0    =   ∼  0 0 0 1 x3  0 −1 −1 −1 −1 x4 0 associats al  1 1 0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 Pc f [x] = Pc A = (−2 − x)4 valor propi λ = −2, resolent el sistema (A + 2Id)X = 0:   1   0 0 x  x 2   0 0    =   =⇒ x1 = −x2 , x3 = x4 = 0 1 x3  0 0 x4 0 {(x1 , x2 , x2 , x4 ) | (A + 2Id)X = 0} =< (1, −1, 0, 0) >R Prenem aquest vector i utilitzem tres vectors de la base can` onica per definir una nova base N1 : [Id]N1 C  1 −1 = P1 =   0 0 [f ]N1 = P1−1 0 1 0 0 0 0 1 0  0 0  0 1 P1−1 ;  −2  0 · A · P1 = B =   0 0 Reiterem el proc´es treballant amb la submatriu:   −1 1 0 1 B1 =  0 −2 −1 −1 −3    1    1 1 0 1 1 0 y 0 0  0 0 1 y 2  = 0 ∼ 0 0 0 −1 −1 −1 y 3  1 1 = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0   0 0  0 1 1 0 0 −1 1 0  0 −2 1 −1 −1 −3 Pc B1 [x] = (−2 − x)3     0 0 y1 1 y 2  = 0 0 0 y3 =⇒ y 1 = −y 2 , y3 = 0 Algweb A partir d’aqu´ı definim un nou canvi de base: [Id]N2 N1  1 0 = P2 =  0 0 [f ]N2  0 0 0 1 0 0  −1 1 0 0 0 1 P2−1 ;  −2  0 = P2−1 · B · P2 = C =   0 0  1 0 = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0   0 0  0 1 1 0 0 −2 1 0  0 −1 1 0 −1 −3 Seguint amb el proc´es recorrent prenem: C1 = 1 1 −1 −1 −1 1 −1 −3 0 z1 = 0 z2 ∼ Pc C1 [x] = (−2 − x)2 1 0 1 0 0 z1 = 0 z2 =⇒ z 1 = −z 2 Ara definim un tercer canvi de base amb el que ja  1 0 [Id]N3 N2 = P3 =  0 0 [f ]N3 aconseguim que la matriu associada   1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 −1  ; P3 =  0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 1   −2 1 0 0  0 −2 1 0  = P3−1 · C · P3 =   0 0 −2 1 0 0 0 −2 a f sigui triangular superior:  0 0  0 1 Finalment calculem la matriu de canvi de base: [Id]N3 C = [Id]N1 C · [Id]N2 N1 · [Id]N3 N2  1 0 0 0 −1 1 0 0  = P1 · P2 · P3 =   0 −1 1 0 0 0 −1 1  ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 12.04.2011 EX02 Problema I: Sigui (R3 , < | >) espai euclidi` a real tal que la base can` onica C n’´es base ortonormal. Hi definim F i G, dos subespais vectorials de R3 tals que F = G i dimR F = dimR G = 2.
a) Considerem un cert vector z ∈ F , z = 0, que a m´es verifica z ∈ (F ∩ G)⊥ . Comproveu que x = P rG (z), y = P rF (x) =⇒ {z, y} s´ on linealment dependents Definim ara: F =< (1, 1, 0), (0, 1, 1) >R i G =< (1, 1, 0), (1, 0, 2) >R . Denotarem per P rF i P rG els endomorfismes projectors seg¨ uents: P rF : R 3 x −→ −→ R3 P rF (x) P rG : R 3 x −→ −→ R3 P rG (x) b) Suposant que z = (1, −1, −2), demostreu que n lim (P rF · P rG ) (z) = 0 Algweb n→∞ a) M` etode 1 : Demostrem que y ∈ (F ∩ G)⊥ veient primer que x ∈ (F ∩ G)⊥ : x ∈ (F ∩ G)⊥ ∀v ∈ F ∩ G, < v | x >=< v | P rG (z) >=< v | z − P rG⊥ (z) >=< v | z > − < v | P rG⊥ (z) >= 0 − 0 = 0 y ∈ (F ∩ G)⊥ ∀v ∈ F ∩ G, < v | y >=< v | P rF (x) >=< v | x − P rF ⊥ (x) >=< v | x > − < v | P rF ⊥ (x) >= 0 − 0 = 0 Aix´ı doncs, z, y ∈ F i a la vegada z, y ∈ (F ∩ G)⊥ .
Demostrarem que s´ on linealment dependents per reducci´ o a l’absurd: suposem que s´ on linealment independents.
Si ´es aix´ı, llavors F =< z, y >R ja que dimR F = 2.
=⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ F ⊂ (F ∩ G)⊥ ∀u ∈ F , u ∈ (F ∩ G)⊥ ∀v ∈ F ∩ G, < v | u >= 0 en particular, prenent u = v, < v | v >= 0 v=0 F ∩ G = {0} dimR (F + G) = dimR F + dimR G − dimR (F ∩ G) = 2 + 2 − 0 = 4 I aix`o entra en contradicci´ o amb el fet que F + G ⊂ R3 .
M` etode 2 : Utilitzant que dimR (F ∩ G) = dimR F + dimR G − dimR (F + G) ≥ 2 + 2 − 3 = 1, dimR (F ∩ G) ≤ dimR F = 2, (F ∩ G) ⊂ F, (F ∩ G) ⊂ G Nom´es es pot donar dues situacions: 1a) dimR (F ∩ G) = 2, llavors F ∩ G = F = G, cosa que no ´es certa segons la hip` otesi del problema.
2a) dimR (F ∩ G) = 1 Prenem una base de la intersecci´ o F ∩ G =< u >R . Ja que z ∈ F , z = 0 i < z | u >= 0, tenim que NF = {z, u} ⊂ F ´es un sistema de vectors ortogonals i no nuls, per tant ´es una base ortogonal de F .
Considerem una base ortogonal de G, NG = {u, v}.
Calcularem les projeccions utilitzant els coeficients de Fourier: x = P rG (z) = y = P rF (x) = P rF (av) = a <z|u> <z|v> <z|v> u+ v= v = av <u|u> <v|v> <v|v> <v|u> <v|z> <v|z> z+a u=a z = bz <z|z> <u|u> <z|z> b= < v | z >2 v 2· z 2 Llavors {z, y} ´es un sistema lligat.
b) M` etode 1 : Per treballar la composici´ o de projectors, calcularem les seves matrius respectives en base can`onica. Per fer-ho, determinem primer bases c` omodes on coneguem f` acilment les matrius associades.
Calculant F⊥ , F ⊥ =< (1, −1, 1) > .
Definim la base NF = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, −1, 1)} com una base de R3 on R  1 0 0 [P rF ]NF = 0 1 0. Fent el canvi de base, 0 0 0        1 0 1 1 0 0 2 1 −1 2 1 −1 1 1 −1 1 2 =  1 2 1 [P rF ]C = [Id]CNF [P rF ]NF [Id]CNF = 1 1 −1 0 1 0 −1 3 3 0 1 1 0 0 0 1 −1 1 −1 1 2   1 0 Alternativa de c` alcul de [P rF ]C : muntem una matriu A amb els vectors de la base de F per columnes: A = 1 1, i 0 1 directament [P rF ]C = A · (AT · [< | >]C · A)−1 · AT · [< | >]C = A · (AT · A)−1 · AT .
Calculant G⊥ , 1 [P rG ]NG = 0 0 G⊥ 0 1 0 Algweb =<  (2, −2, −1) >R . Definim la 0 0. Fent el canvi de base, 0  1 −1 [P rG ]C = [Id]CNG [P rG ]NG [Id]CNG = 1 0 base NG = {(1, 1, 0), (1, 0, 2), (2, −2, −1)} com una base de R3 on 1 0 2  2 1 0 −2 0 1 −1 0 0   4 0 1 0  1 9 2 0   5 −2 5 1 −1 4 = 4 9 −2 −1 2  4 2 5 −2 −2 8  1 Alternativa de c` alcul de [P rG ]C : muntem una matriu B amb els vectors de la base de F per columnes: B = 1 0 directament [P rG ]C = B · (B T · [< | >]C · B)−1 · B T · [< | >]C = B · (B T · B)−1 · B T .
Aleshores, anomenant H = P rF · P rG ,       2 1 −1 5 4 2 4 5 −2 1 1 1 1 2 1 = 4 5 −2 = 5 4 2 [H]C = [P rF · P rG ]C = 3 9 9 −1 1 2 2 −2 8 1 −1 4  1 0, i 2 Observem que H(z) = H(1, −1, −2) = 1/3(1, −1, −2) ´es un vector propi d’H associat al valor propi 1/3. Llavors, H n (z) = 1 z 3n =⇒ lim H n (z) = lim n→∞ n→∞ 1 z =0·z =0 3n M` etode 2 : Segons l’enunciat observem que dimR F = dimR G = 2, (1, 1, 0) ∈ F ∩ G. D’altra banda;   1 1 0 det3 0 1 1 = 3 1 0 2 Per tant, F + G = R3 i {u = (1, 1, 0)} ´es base de F ∩ G. Calculem les bases utilitzades a l’apartat anterior (segons el m`etode 2): NF = {z = (1, −1, −2), u = (1, 1, 0)} NG = {u = (1, 1, 0), v = (1, −1, 4)} On v s’ha obtingut restant al vector w = (1, 0, 2) ∈ G la seva projecci´ o ortogonal sobre u.
y = (P rF · P rG )(z) = 1 < v | z >2 z= z v 2· z 2 3 Si ho apliquem de forma reiterada: n lim (P rF · P rG ) (z) = lim n→∞ n→∞ 1 z=0 3n ...

Tags: