Examen Final Enero 2012 (2012)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Electromagnetismo
Año del apunte 2012
Páginas 11
Fecha de subida 17/09/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

ESCOLA TECNICA SUPERIOR D’ENGINYERIA DE TELECOMUNICACIÓ 16/1/2012 Examen final d’ ELECTROMAGNETISME Duració: 2h 50 minuts Publicació de notes provisionals de l’examen final : 23/01/2012 Revisió presencial de l’examen final: 25/01/2012, de 10 a 12 Laboratori D3 e = 1.602 10-19 C ε0 = 8.85 10-12 F/m μ0 = 4 π 10-7 T m /A c = 3.0 108 m/s 1.- Una esfera conductora de radi R0=10 cm està carregada amb Q0=20 nC. Calculeu raonadament: a) El camp i el potencial que crea la distribució a qualsevol punt de l' espai (V(∞)=0).
b) L'energia elèctrica total emmagatzemada. Recordeu que si el camp té simetria esfèrica es pot prendre com a diferencial de volum dʋ=4 π r2 dr.
Ara s'envolta l'esfera així carregada amb una capa esfèrica també conductora de radis R1=12 cm i R2=15 cm en estat neutre. Calculeu raonadament: c) El camp a qualsevol punt de l'espai.
d) La diferència de potencial entre l’esfera i la superfície esfèrica de radi R1, entre l’esfera i la superfície esfèrica de radi R2 i entre la superfície de radi R2 i l’infinit.
e) El potencial V a qualsevol punt de l' espai (V(∞)=0).
f) La densitat superficial de càrrega que hi ha a R1 i a R2.
2.- El circuit de la figura és una estructura rígida formada per dues guies conductores, de resistència negligible, horitzontals i paral·leles, separades una distància l, que a l'esquerra estan connectades a una bateria de fem ε en sèrie amb una resistència R. Aquest circuit està tancat a la dreta per una barra conductora, de resistència negligible, que es pot moure sense cap mena de fricció per sobre de les dues guies. Tot aquest sistema està en presència d'un camp magnètic B = B0 k uniforme perpendicular a la superfície determinada pel circuit.
X ε R × × × × × × v l × B × × Y × × × a) Quina intensitat I0 circula, i en quin sentit, si la barra de la y dreta no es mou? Si la posició de la barra queda determinada per la coordenada y, quina força (mòdul, direcció i sentit) s' ha de fer perquè efectivament la barra no es mogui? b) Si en presència del mateix camp magnètic, eliminem la bateria i la barra es desplaça cap a la dreta amb velocitat v, quina força electromotriu induïda apareix? Quin serà el valor i el sentit del corrent induït? c) En el cas anterior, quina força (mòdul, direcció i sentit) s' ha de fer perquè la barra es mogui amb velocitat constant? d) Si en presència del camp magnètic B = B0(1 + α y) k (amb α >0), eliminem la bateria i la barra es desplaça cap a la dreta amb velocitat v, quina força electromotriu induïda apareix? Quin serà el valor i el sentit del corrent induït? e) Si en presència del camp magnètic B = B0 cos(ω t) k eliminem la bateria i si la barra de la dreta no es mou, quina força electromotriu induïda apareix? Quin serà el valor i el sentit del corrent induït als instants t=0 i t =π/(2ω) ? 3.- En una región del vacío, donde no hay cargas ni corrientes, existe un campo magnético   H (r , t ) variable senoidalmente en el tiempo, cuyo fasor puede expresarse en la forma   H (r ) = ( Ay yˆ + jAz zˆ ) exp(−α z ) exp(− j β y ) donde Ay, Az, α y β son constantes reales y j = −1 .
a) Dar la expresión del valor instantáneo de las dos componentes del campo   magnético H ( r , t ) .
b) ¿Alguna de las ecuaciones de Maxwell impone una condición inmediata a las constantes Ay, Az, α y β? c) Obtenga el fasor del campo eléctrico asociado a ese campo magnético mediante la ecuación de Ampère-Maxwell. ¿Puede confirmarse que no existe carga eléctrica en el espacio?  d) A partir del campo eléctrico obtenido en el apartado anterior recalcule el fasor H .
e) Obtenga la condición que deben cumplir las constantes α y β en función de las constantes del medio µ 0 y ε 0 para que los resultados anteriores sean coherentes.
4.- Una ona plana uniforme de freqüència f = 300 MHz es propaga en el buit i incideix amb un angle de 60º en un dielèctric amb índex de refracció n 2 = 3 . La normal a la superfície de separació està en l’eix de les Y i la normal al pla d’incidència està en l’eix de les Z.
a) Feu un esquema on quedi clarament representats els eixos de coordenades, les bases vectorials que s’han de fer servir per a escriure el camp i els vectors d’ona.
b) Trobeu els angles d’incidència, reflexió i transmissió, els vectors nombre d’ona    ( k i , k r , k t ), i les bases paral·leles i perpendiculars de cada una de les ones implicades.
La densitat de flux de potència mitjana de l’ona incident és <P> = 0.33 W/m2. L’amplitud de la component del fasor paral·lela al pla d’incidència té una fase de ϕ i|| = π / 3 i el seu valor absolut és el doble que el valor absolut de l’amplitud de la component perpendicular. La diferència de fase entre components és ∆ϕ = ±π / 2 , on el signe s’ha de determinar.
c) Escriu l’expressió de fasor camp elèctric de l’ona incident (sense deixar res indicat). Per a que us serveixi de guia, aquest pot ser escrit de forma genèrica com    Ei = (Eci|| eˆi|| + Eci ⊥ eˆi ⊥ ) e − j ki ⋅r d) Trobeu fasor camp elèctric de l’ona transmesa (sense deixar res indicat) ρ ⊥= n1 cos θ i − n2 cos θ t n1 cos θ i + n2 cos θ t τ⊥= ρ|| = n1 cos θ t − n2 cos θ i n1 cos θ t + n2 cos θ i τ || = 2n1 cos θ i n1 cos θ i + n2 cos θ t 2n1 cos θ i n1 cos θ t + n2 cos θ i 3.- En una región del vacío, donde no hay cargas ni corrientes, existe un campo magnético   H (r , t ) variable senoidalmente en el tiempo, cuyo fasor puede expresarse en la forma   H (r ) = ( Ay yˆ + jAz zˆ ) exp(−α z ) exp(− j β y ) donde Ay, Az, α y β son constantes reales y j = −1 .
a) Dar la expresión del valor instantáneo de las dos componentes del campo   magnético H ( r , t ) .
  H (r , t ) = [( Ay cos(ωt − β y ) yˆ + Az cos(ωt − β y + π / 2) zˆ ] exp(−α z ) b) ¿Alguna de las ecuaciones de Maxwell impone una condición inmediata a las constantes Ay, Az, α y β?   De ∇ ⋅ H = 0 se obtiene la relación β Ay + α Az = 0 .
c) Obtenga el fasor del campo eléctrico asociado a ese campo magnético mediante la ecuación de Ampère-Maxwell. ¿Puede confirmarse que no existe carga eléctrica en el espacio? Resulta   1 E (r ) = − j ( Ay α + Az β ) exp(−α z ) exp(− j β y ) xˆ , donde efectivamente   ∇⋅E = 0 ωε 0  d) A partir del campo eléctrico obtenido en el apartado anterior recalcule el fasor H .
  Ay α + Az β El campo magnético es H (r ) = (− yˆ α + jβ zˆ ) exp(−α z ) exp(− j β y ) .
2 ω µ 0ε 0 e) Obtenga la condición que deben cumplir las constantes α y β en función de las constantes del medio µ0 y ε0 para que los resultados anteriores sean coherentes.
 Igualando las amplitudes de cada una de las componentes de H se obtienen las ecuaciones − αβ Az − α 2 Ay = k 02 Ay  2 2  β Az + αβ Ay = k 0 Az y de allí se llega a β 2 − α 2 = k 02 − αβ Az − α 2 Ay = k 02 Ay También se obtiene de  o de  β Ay + α Az = 0 β Ay + α Az = 0  2 2  β Az + αβ Ay = k 0 Az 4.- Una ona plana uniforme de freqüència f = 300 MHz es propaga en el buit i incideix amb un angle de 60º en un dielèctric amb índex de refracció n2 = 3 . La normal a la superfície de separació està en l’eix de les Y i la normal al pla d’incidència està en l’eix de les Z.
a) Feu un esquema on quedi clarament representats els eixos de coordenades, les bases vectorials i els vectors nombre d’ona.
b) Trobeu els angles d’incidència, reflexió i transmissió, els vectors nombre d’ona i les bases paral·leles i perpendiculars de cada una de les ones implicades.
La densitat de flux de potència mitjana de l’ona incident és <P> = 0.33 W/m2. L’ona està polaritzada el·lípticament a dretes. L’amplitud de la component paral·lela al pla d’incidència té una fase de ϕ i|| = π / 3 i el seu valor absolut és el doble que el valor absolut de l’amplitud de la component perpendicular. La diferència de fase entre components és ∆ϕ = ±π / 2 , on el signe s’ha de determinar.
c) Escriu l’expressió de fasor camp elèctric de l’ona incident (sense deixar res indicat). Per a que us serveixi de referència, aquest pot ser escrit de forma genèrica com   Ei = (Eci||eˆi|| + Eci ⊥ eˆi ⊥ ) e − jki r d) Trobeu fasor camp elèctric de l’ona transmesa (sense deixar res indicat) ρ ⊥= n1 cos θ i − n2 cos θ t n1 cos θ i + n2 cos θ t τ⊥= ρ|| = n1 cos θ t − n2 cos θ i n1 cos θ t + n2 cos θ i τ || = 2n1 cos θ i n1 cos θ i + n2 cos θ t 2n1 cos θ i n1 cos θ t + n2 cos θ i RESOLUCIÓ: X b) n1 sin θ i = n2 sin θ t a)  1 3 n   = 30º ⇒ θ t = sin −1  1 sin θ i  = sin −1   n 2 3  2     ω ki = n1 (sin θ i xˆ + cos θ i yˆ ) = c  3 1  ˆ  2 x+ 2   yˆ  = π  ( ( 3 xˆ − yˆ )  ω ki = n1 (sin θ i xˆ − cos θ i yˆ ) = π c 3 xˆ + yˆ  ω 2π ·300·10 6 kt = n2 (sin θ t xˆ + cos θ t yˆ ) = 3· c 3·108 Les base vectorials, del dibuix trobem que són: eˆi|| = cos θ i xˆ − sin θ i yˆ = xˆ − 3 yˆ i eˆi ⊥ = zˆ , 2 êt║ êr┴ Del dibuix, trobem primer el vector d’ona: 2π ·300·10 6 = 1· 3·108 n2 = 3 êr║ n1=1 ) θr=60º êt┴ θi=60º Z êi║ 1 3   xˆ + yˆ  = π 2 2   êi┴ ( ) 3 xˆ + 3 yˆ .
θt=30º Y eˆr|| = cos θ i xˆ + sin θ i yˆ = xˆ + 3 yˆ i eˆr ⊥ = zˆ , 2 eˆt|| = cos θ t xˆ − sin θ t yˆ = 3 xˆ − yˆ i eˆt ⊥ = zˆ .
2 c) Per trobar les amplituds, hem de tenir en compte que l’eix major està en el pla d’incidència i que val el doble que l’eix menor, llavors ⇒ E0i|| = 2 E0i ⊥ A partir del vector de Poynting < P >= 1 2 1 (4 + 1)E 2 0i⊥ = 0.33 W / m 2 E = 2η 0 2 ⋅ 120π ⇒ E0 i ⊥ = 240 ·π ·0.33 ≈ 7 V / m 5 Per trobar la fases, primer determinem l’ordre de les bases per identificar ê1 i ê2: eˆi ⊥ × eˆi|| = kˆ ⇒ eˆi ⊥ = eˆ1 i eˆi|| = eˆ2   llavors el camp el podem escriure E = 7 e jϕi ⊥ zˆ + 2e  jϕi||  xˆ − 3 yˆ  − jπ ( e 2  3x + y ) Si és el·líptica a dretes, la diferència de fase és ∆ϕ = ϕ i|| − ϕ i ⊥ = − π 2 Però si ϕ i|| = π / 3 llavors ϕ i ⊥ = ϕ i|| − ∆ϕ = 5 π 6 .
D’aquesta manera ja tenim les fases identificades: π  j  j 5π xˆ − 3 yˆ  − jπ ( E = 7 e 6 zˆ + 2e 3 e 2   3x + y ) V/m c) Les amplituds complexes de cada una de les components anteriors ja les tenim identificades: ⇒ Eci|| = 14e j π 3 V / m i ⇒ Eci⊥ = 7e j 5π 6 V /m Trobem els coeficients de transmissió.
1 2·1· 2n1 cos θ i 1 2 = = τ⊥= n1 cos θ i + n2 cos θ t 1 3 2 1 + 3 2 2 2n1 cos θ i = τ || = n1 cos θ t + n2 cos θ i 1 2·1· 1 2 = 3 3 1 + 3 1 2 2 Llavors, tenint en compte que  j π3     2e Et = τ || Eci||eˆt|| + τ ⊥ Eci ⊥ e jϕi ⊥ eˆt ⊥ e − jkti r = 7  3  ( ) 5π  3 xˆ − yˆ 1 j 6  − jπ ( + e zˆ e 2 2   3 x +3 y ) ...