Interes compuesto (2012)

Apunte Español
Universidad Universidad de Girona (UdG)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas financieras
Año del apunte 2012
Páginas 144
Fecha de subida 23/05/2014
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Otro power extenso con ejemplos sobre los intereses compuestos

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Tema III: Interés compuesto III.1. Introducción • Suponga que la población del país aumenta un 3% cada año. ¿Cuánto crecerá en 3 años?.
• Si A es la población inicial, entonces, al terminar el primer año o iniciar el segundo, la población será: A2 = A1 + 0’03 A1 A2 = (1 + 0’03)A1 • Al comenzar el tercero, será: A3 = A2 + 0’03 • Y en el cuarto será: A2 A3 = (1’03)A2 Se factoriza A2 A3 = (1’03)[(1’03)A1] porque A2 = (1’03)A1 A3 = (1’03)2 A1 porque a(a) = a2 A4 = (1’03)3 A1 • Es decir, A4 = (1’0927)A1 o A4 = (1 + 0’0927)A1 y esto representa un incremento del 9’2727% con respecto a la población original. ¿Por qué? Este porcentaje es mayor que lo que resulta de multiplicar el incremento anual por 3, es decir, 9’2727 es mayor que 9, pues se trata de incrementos sobre incrementos.
Variación constante • Ejemplo 1. Inflación anual dada la bimestral.
• Si la inflación bimestral promedio durante 6 bimestres ha sido del 0’8%, ¿de cuánto será la del año?.
Resolución ejemplo 1 • Suponga que, el primer día del año, el precio de cualquier artículo de la canasta básica, fue de C1 dólares; entonces, al final del primer bimestre, es decir, al comenzar el segundo, el precio de dicho artículo es un 0’8% mayor: C2 = C1 + 0’008C1 C2 = (1 + 0’008)C1 o bien, C2 = (1’008)C1 • Al final del segundo o inicio del tercero, el precio crece otro 0’8%: C3 = C2 + 0’008C2 C3 = (1’008)C2 C3 = (1’008)[(1’008)C1] sustituyendo C2 por (1’008)C1 C3 = (1’008)2C1 • Al final del tercer bimestre, el precio será: C4 = (1’008)C3 C4 = (1’008)[(1’008)2C1] o bien, C4 = (1’008)3C1 • Notando que el exponente de 1’008 es igual al subíndice de C menos 1, se tiene que, al final del año, al iniciar el séptimo bimestre el precio del artículo será: C7 = (1’008)6C1 C7 = (1’004897)C1 que se expresa como C7 = (1 + 0’04897) C1 o como C7 = C1 + 0’04897C1 • Lo cual representa un incremento aproximado del 4’897% con respecto al precio original.
• En consecuencia, la inflación en el año es del 4’987% que es mayor al 4’8% que es el resultado de multiplicar la mensual por 6.
• Note que C7 y cada uno de los anteriores corresponde a los primeros términos de una progresión geométrica con a1 = C1 y r = 1 + 0’008, la razón común, y por eso C7 puede obtenerse con la fórmula del teorema 1.3.
an = a1rn-1 Variación no constante • Ejemplo 2. Porcentaje de inflación cuatrimestral.
• ¿En qué porcentaje se habrá perdido el poder adquisitivo de la moneda en el primer cuatrimestre del año si en los meses de enero a abril se perdió 0’5, 0’45, 0’53 y 0’48 respectivamente?.
Resolución ejemplo 2 • Si al iniciar el mes de enero, o más precisamente al finalizar el mes de diciembre anterior, se compraban k1 kilogramos de un artículo con mil dólares, digamos, al finalizar enero se compraba un 0’5% menos, es decir, k2 = k1 – 0’005k1 • Donde k1 son los kilogramos que se compraban al iniciar el año.
• Se factoriza k1 y se efectúa la resta: K2 = k1(1 – 0’005) = k1 (0’995) • A finales de febrero se compra un 0’45% menos con los supuestos mil dólares, esto es: k3 = k2 – 0’0045k2 = k2 (0’9955) K3 = [k1(0’995)](0’9955) porque k2 = k1(0’995) • Al concluir el mes de marzo se reduce a otro 0’54% y por eso: K4 = k3(1 – 0’0053) = k3(0’9947) • Donde al sustituir el valor de k3, resulta: K4 = [k1(0’995)(0’9955)](0’9947) • Finalmente, al término del cuatrimestre, a finales del mes de abril se pueden adquirir k5 kilogramos del artículo, un 0’48% menos que el mes anterior.
K5 = k4(1 – 0’0048) K5 = k4(0’9952) K5 = [k1(0’995)(0’9955)(0’9947)](0’9952) K5 = k1(0’995)(0’9955)(0’9947)(0’9952) K5 = k1 (0’980543422) • Notar que esto se hizo para expresar a k4 en términos de k1.
• Se resta la unidad dentro del paréntesis para darnos cuenta que se puede escribir como: K5 = k1(1 – 0’19456578) o como k5 = k1 – 0’01945678k1 • Quiere decir que al final del cuatrimestre se puede adquirir solo un 98’054342% de lo que se compraba al comenzar el año.
• Ejemplo 3. Incremento salarial para recuperar el poder de compra.
• ¿De qué porcentaje deberá ser el incremento salarial al finalizar el año, si el poder de compra de un empleado se reduce 0’6, 0’58, 0’49, 0’56 y 0’44% respectivamente cada bimestre?.
Resolución ejemplo 3 • Con base a la solución del ejemplo 2 al final del año se podrá comprar: K7 = k1(1 – 0’006)(1 – 0’0058)(1- 0’0053)(1 – 0’0049)(1 – 0’0056)(1 – 0’0044) K7 = k1 (0’9940)(0’9942)(0’9947)(0’9951)(0,00956) K7 = k1(0’9684227767) • Quiere decir que al final del año el empleado puede adquirir el 96’8422767% de lo que lograba al comenzar el mismo año.
• Ahora bien, si v es el incremento que debe tener k7 para recuperar el valor de k1 el poder de compra original, debe cumplirse que: K7 + vk7 = k1 K7(1 + v) = k1 Es decir, k1 (0’968422767)(1 + v) = k1 Porque k7 = k1 (0’968422767) • Para despejar v se divide entre k1 y se elimina.
El coeficiente de 1 + v se pasa dividiendo y finalmente el 1 pasa restando.
0,968422767 (1 + v) = 1 1 + v = 1 / 0,968422767 V = 1,032606867 – 1; v = 0,03260867 • Consecuentemente, el incremento que deberá tener el empleado al final del año en cuestión, es del 3’2606867%.
• Ejemplo 4. ¿En cuántos puntos porcentuales se reduce la deuda externa del país en un sexenio si se ha reducido en 1’06% cada semestre en promedio?.
Resolución ejemplo 4 • Si D1 es la deuda al iniciar el primer semestre, al inicio del segundo, es decir, al final del primero será: D2 = D1 – 0’0106D1 D2 = D1 (1 – 0’0106) o bien, D2 = D1(0’9894) • Al final del segundo semestre es: D3 = D2 (1 – 0’0106) D3 = D2(0’9894) D3 = D1(0’9894)(0’9894) o bien, D3 = D1(0’9894)2 Porque, D2 = D1 (0’9894) III.2. Interés compuesto • Puede ser que la tasa compuesta, es decir, la tasa de interés compuesto sea variable, diferente para cada periodo; o que sea constante, la misma para todos los periodos.
Si es variable se procede como en la sección anterior, y si es constante o fija entonces el procedimiento es el siguiente.
• Suponga que se depositaron $50.000 en una cuenta bancaria que paga el 12% de interés anual compuesto por mes. ¿Cuál será el monto al final de año y medio?.
• Decir que el interés es compuesto por meses significa que cada mes los intereses que se generan se capitalizan, es decir, se suman al capital.
• Para los intereses del primer mes, el capital se multiplica por la tasa mensual 0,12/12= 0,01, como si fuera una tasa de interés simple, y luego se suman al capital. Así resulta un monto compuesto o, simplemente, monto M1 al final del primer mes, es decir, M1 = 50.000 + 50.000(0’01) M1 = 50.000 (1 + 0’01) M1 = 50.000 (1’01) = $ 50.500 M=C+I • Al comenzar el segundo periodo mensual, el capital es $50.500 y no 50.000 como en el primero. El monto al terminar este segundo mes es: M2 = 50.500 + 50.500 (0’01) M2 = M1 (1 + 0’01) se factoriza 50.500 M2 = 50.500 (1’01) M2 = 50.000 (1’01)(1’01) ya que 50.500 = 50.000(1’01) M2 = 50.000 (1’01)2 • Éste es el capital al iniciar el tercer mes y al final el monto es: M3 = M2 + (0’01)M2 M3 = M2 (1 + 0’01) M = C + I C = M2 o bien, M3 = M2 (1’01) M3 = [50.000(1’01)2](1’01) porque M2 = 50.000(1’01)2 M3 = 50.000 (1’01)3 • Es evidente que cada uno de estos 3 montos se puede expresar como el producto de los $50.000 originales y una potencia, n, de 1’01 que es igual al mes que concluye. Consecuentemente, al final de año y medio, es decir, de 18 periodos mensuales, el monto es: M18 = 50.000(1’01)18 o bien, M18 = C1(1’01)18 M18 = 50.000 (1’19647476) o bien, M18 = $59.807’37 • También es cierto que si los intereses se capitalizan cada quincena, entonces el monto acumulado se incrementa, ya que en esta caso el plazo es de 36 quincenas y el monto será: M36 = 50.000(1 + 0’005)36 ya que 0’12/24 = 0’005 M36 = 50.000(1’196680525) O bien, M36 = $56.834’03 • Definición 3.1. el tiempo entre 2 fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama periodo de capitalización, y el número de veces por año en que los intereses se capitalizan se llama frecuencia de conversión y se denota con p.
• A la frecuencia de conversión se le conoce también como frecuencia de capitalización de intereses.
• Es cierto también que si el periodo de capitalización es mensual, entonces las siguientes expresiones son equivalentes: “el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”, “convertible mensualmente”.
En estas condiciones, el valor de p es 12.
• Los valores más usuales para la frecuencia de conversión p, son: • P = 1 para periodos anuales, los intereses se capitalizan cada año.
• P = 2 si los intereses se capitalizan en periodos semestrales.
• P = 3 para periodos cuatrimestrales.
• P = 4 para periodos trimestrales, los intereses se agregan al capital cada trimestre.
• P = 6 cuando son periodos bimestrales • P = 12 para periodos de un mes, los intereses se capitalizan cada mes • P = 24, 52 y 360 o 365 para periodos quincenales, semanales y diarios, respectivamente.
• Como se dijo antes, los periodos de capitalización pueden ser tan pequeños como se quiera, llegando a tasas con capitalización instantánea, en cuyo caso puede probarse que el monto estará dado por: M = Cein • Donde e = 2’71828…, es la base de los logaritmos naturales i es la tasa convertible instantáneamente y n es el tiempo en años.
• Teorema 3.1. El monto acumulado M de un capital C al final de np periodos es: M = C(1 + i/p)np • Donde: n es el plazo en años; np es el número de periodos; i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año.
• Esta fórmula es la fórmula del interés compuesto.
• Ejemplo 1. Inversión de un capital para monto preestablecido.
a. ¿Qué capital debe invertirse ahora al 12’69% anual capitalizable por bimestres para tener $40.000 en 10 meses?.
b. ¿A cuánto ascienden los intereses?.
Resolución ejemplo 1 a. El plazo n debe estar en años, por lo que para expresar 10 meses en estas unidades se dividen entre 12, es decir, el número de meses que tiene un año. En consecuencia, el plazo en años es n=10/12.
la frecuencia de conversión o capitalización de intereses es p = 6, porque 6 son los bimestres que tiene un año. Entonces, np = (10/12)6 = 5 bimestres • O más fácilmente np = 10/2.
• El monto es M = 40.000, la tasa de interés es i = 0’1269 o 12’69% anual, capitalizable por bimestres, y la incógnita es C, la cual se despeja de la igualdad que resultó de sustituir estos valores en la ecuación del teorema 3.1: 40.000 = C(1 + 0’1269/6)5 M = C(1 + i/p)np 40.000 = C(1’02115)5 De donde, C = 40.000 / 1’11031 o bien, C = $36.025’68797 b. Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital I=M–C I = 40.000 – 36.025’69 = $3.974’31 • Ejemplo 2. Monto con el que liquida un préstamo.
• ¿con cuánto se cancela un préstamo de $65.000, 3 años después si se cargan intereses del 21’36% compuesto por semestre?.
Resolución ejemplo 2 • El capital es C = $65.000, la tasa anual es i = 0’2136, la frecuencia de conversión es p = 2 porque el año tiene 2 semestres, n = 3 porque el plazo es de 3 años, el número de periodos en el plazo es np = 6; entonces el monto según el teorema 3.1 es: M = 65.000 (1 + 0’2136/2)6 ya que, M = C(1 + i/p)np M = 65.000 (1’1068)6 M = 65.000(1’838293717) = $119.489’04 • Ejemplo 3. Tasa de interés para duplicar un capital.
• ¿Con qué tasa de interés anual capitalizable por bimestres se duplica un capital en 3 años?.
Resolución ejemplo 3 • Si el capital C se duplica en 3 años, entonces el monto es M = 2C, el plazo es n = 3, la frecuencia de conversión es p = 6, el número de bimestres por año y el número de periodos bimestrales en el plazo es np = 3(6) = 18.
2C = C(1 + i/6)18 M = C(1 + i/p)np 2 = (1 + i/6)18 18√1 + i/6 ya que n√an = a 1’039259226 = 1 +i/6 • Se resta 1 a ambos lados de la ecuación y después se multiplica por 6.
(0’0392599226)6 = i = 0’23555356 • Esto indica que para duplicar un capital en 3 años debe invertirse aproximadamente al 23’56% anual capitalizable por bimestres.
• Ejemplo 4. Plazo en inversión de un capital.
• ¿Qué día deberá invertir $10.000 el matemático González para disponer de $10.512 el 11 de mayo?. Suponga que la inversión genera intereses del 13% compuesto por semanas.
Resolución ejemplo 4 • La incógnita es x = np, el plazo en semanas, la frecuencia de conversión es p = 52, el año tiene 52 semanas, el capital es C= 10.000 y el monto del capital es M = 10.512. Se sustituyen en la ecuación del teorema 3.1.
10.512 = 10.000(1 + 0’13/52)x 10.512/10.000 = (1’0025)x (1’0025)x = 1.0512 M = C(1 + i/p)np • Se toma logaritmo natural a los dos lados: Ln (1’0025)x = ln (1’0512) • De donde, xln (1’0025) = ln (1’0512) x = ln(1’0512)/ln(1’0025) x = 0’049932 / 0’002496 = 19’9979 • Resultado que puede redondearse en 20 semanas, y así el monto será poco mayor de los $10.512. Pero se convierte a días multiplicado por 7.
19’9979 (7) = 139’9853 • Ejemplo 5. Valor presente de un crédito e intereses.
• El 25% del precio de un mueble de sala se paga con un documento con valor nominal de $4.000 y vencimiento a 30 días. Un 30% se liquida mediante un pago a 60 días de plazo, otro 30% con un documento a 90 días de la compra y el 15% restante se deja como anticipo. Obtenga: a. El precio del mueble b. El anticipo y los otros 2 pagos c. El cargo total por intereses.
• Suponga que la mueblería carga el 22’20% anual compuesto por meses en sus ventas a crédito.
Resolución ejemplo 5 a. Con la ayuda del diagrama de tiempo de la figura anterior y la fórmula del interés compuesto se obtiene el valor presente C1 del primer documento, el cual deberá ser igual al 25% del precio del mueble: 4.000 = C1 (1 + 0’222/12)12 el plazo es 1 mes 4.000 = C1 (1’0185)12 De donde, C1 = 4.000/1’0815 o bien, C1 = 3.210’16 Entonces, (0’25)precio = 3.210’16 De donde: precio = 3.210’16/0’25 = $12.840’16 b. El anticipo es el 15% de este precio: 0,15(15.709’38) = 2.356’41 • El 30% del precio es el valor presente del abono que se hará a los 2 meses, 60 días después de la compra: C2 = 0’30(15.709’38) C2 = 4.712’82 • Entonces, el segundo pago es el valor futuro de este capital, es decir, M2 = 4,712’81(1 + 0’222/12)2 M2 = 4.712’81(1’03734225) = $4.888’80 • El valor presente del último pago es igual al del anterior y, por lo tanto, este pago es: M3 = 4.712’81(1’0185)3 = $4.979’24 c. Finalmente, los intereses son la diferencia entre el total pagado y el precio del mueble: I = (2.356’41 + 4.000 +4.888’80 + 4.979’24) – 15.709’38 I = M - C I = $515’07 III.3. Tasas equivalentes, efectiva y nominal • Las tasas efectivas son indicadores que ayudan a los inversionistas y a los asesores financieros a tomar la mejor decisión para invertir sus capitales.
• Es evidente que resulta más rentable invertir un capital con una tasa anual capitalizable por meses, que con la misma tasa capitalizable por semestres.
• Definición 3.2. se dice que 2 tasas de interés son equivalentes si con diferentes periodos de capitalización producen iguales intereses en el mismo plazo.
• Ejemplo 1. Tasas equivalentes.
• ¿Cuál es la tasa anual capitalizable por semestres equivalente al 12’96% anual compuesto por meses?.
Resolución ejemplo 1 • El problema es encontrar la tasa anual i compuesta por semestres, p = 2, que genere los mismos intereses en igual plazo que la del 12’96% compuesto por meses, p = 12. El procedimiento consiste en encontrar el monto en caso, igualarlos y luego despejar i. el monto para un capital arbitrario C en el primer caso es: M = C(1 + i/2) M = C(1 + i/p) n = 1, p = 2 1 2 np • Para el segundo, considerando también el plazo de un año, es: M2 = C(1 + 0’1296/12)12 p = 12 n = 1 • Al igualar los 2 montos se obtiene la ecuación siguiente, que se divide entre C para eliminarla: C(1 + i/2)2 = C(1 + 0’1296/12)12 (1+ i/2)2 = (1 + 0’0108)12 M1 = M 2 • Para despejar al incógnita i, se saca raíz cuadrada, se resta la unidad y se multiplica por 2 a los 2 miembros de la ecuación. Antes, se eleva a la potencia 12 el lado derecho de la igualdad.
(1 + i/2)2 = 1’137582229 1 + i/2 = √1’137582229 i/2 = 1’066574999 - 1 i = (0’66574999)2 = 0’133149998 • Esto significa que invertir al 13’3149998% anual compuesto por semestres es igual de productivo que al 12’96% compuesto por meses.
• Ejemplo 2. tasa más productiva para una institución bancaria.
• ¿qué conviene más a los propósitos de una institución bancaria: prestar su dinero con intereses del 20’28% anual compuesto por semanas, o prestarlo con el 21’29% capitalizable por semestres?.
Resolución ejemplo 2 • Para comparar las opciones, se obtiene la tasa i compuesta por semestres, equivalente al 20’28% capitalizable por semanas de la primera opción, y se igualan los montos considerando C = 1, el capital.
(1 + i/2)2 = (1 + 0’2028/52)52 (1 + i/2)2 = (1’0039)52 (1 + i/2)2 = 1’224344469 1 + i/2 = √1’224344459 I = (1’106500998 – 1)2 I = 0’213001996 = 21’3001996% • Ejemplo 3. Toma de decisiones al invertir un capital.
• Para invertir un capital, el arquitecto Gómez tiene las siguientes opciones: a. Inversión a plazo fijo con interés del 5’81% capitalizable por semestres.
b. Certificados que abonan el 5’62% capitalizable cada semana.
c. Bonos que le dan a ganar el 5’75% compuesto por meses.
• Suponiendo que todas ofrecen la misma liquidez, es decir, que tienen iguales posibilidades de recuperar la inversión, ¿por cuál deberá decidirse?.
Resolución ejemplo 3 • En virtud de que no importa el capital a invertir para determinar la mejor alternativa, bastará con encontrar la tasa anual en las primeras 2 opciones que se capitalice con la frecuencia de la tercera, y que sea equivalente.
• Así, ,la tasa i anual capitalizable por meses, equivalente al 5’81% compuesto por semestres, se obtiene igualando los montos.
C(1 + i/12)12 = C(1 + 0’0581/2)2 • Para despejar, se cancela C, se saca raíz doceava a los 2 lados, se resta la unidad y se multiplica por 12, es decir, (i + i/12)12 = (1’02905)2 (1 + i/12)12 = 1’0589439 i/12 = [12√(1’0589439)] – 1 i/12 = 1’004784 – 1 I = 0’004784(12) I = 0’0574089 = 5’74089% • En la segunda opción, p = 52 porque los intereses se capitalizan cada semana y la tasa equivalente compuesta por meses es i tal que: C(1 + i/12)12 = C(1 + 0’0562/52)52 (1 + i/12)12 = (1’001080769)52 (1 + i/12)12 = 1’05777711 i/12 = [12√(1’05777711)] – 1 i/12 = 1’004691775 – 1 I = (0’004691775)(12) = 0’0563013 = 5’63013% • En consecuencia, la opción que más le conviene al inversionista es la última, porque el 5’75% es mayor que el 5’74089% de la primera y el 5’63013% de la segunda.
• En este caso se encontraron las 3 tasas anuales compuestas por mes que hacer la comparación, pero podrían haberse encontrado con cualquier otra frecuencia, ya sea semestral, semanal o con capitalización anual. En este caso, cuando los intereses se capitalizan cada año, la tasa se denomina efectiva y se define como: • Definición 3.3. La tasa anual e compuesta o convertible una vez en el año, p = 1, equivalente a la tasa nominal i capitalizable en p periodos por año, se denomina tasa efectiva.
• Es posible obtener una fórmula que relacione tasas efectivas con tasas nominales, procediendo como en los ejemplos anteriores, es decir, con tasa efectiva, al término de un año el monto es: M1 = C(1 + e)1 p = 1 , n = 1 • Con la tasa i anual capitalizable y p periodos por año, el monto acumulado en el año es: M2 = C(1 + i/p)n • Se igualan los montos, se divide entre el capital C y se resta la unidad a los 2 miembros de la ecuación: C(1 + e) = C(1 + i/p)p 1 + e = (1 + i/p)p e = (1 + i/p)p - 1 • Que se formula en el siguiente teorema: • Teorema 3.2. la tasa efectiva e, equivalente a una tasa nominal i, capitalizable en p periodos por año, está dada por: e = (1 + i/p)p - 1 • Ejemplo 4. Tasa efectiva equivalente a tasa nominal.
• ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente al 11’8% anual compuesto por trimestres?.
Resolución ejemplo 4 • En el teorema 3.2 se reemplazan: • i por 0’118, la tasa capitalizable por trimestres y p por 4, el número de trimestres por año e = (1 + 0’118/4)4 – 1 e = 1’12332494 – 1 = 0’12332494 • Quiere decir que una inversión al 11’8% anual compuesto por trimestres es tan productiva como el 12’332494% capitalizable por años.
• Ejemplo 5. Monto en inversión con tasa efectiva.
• Obtenga el monto acumulado al 5 de agosto, si el 19 de marzo anterior se invierten $25.350 a una tasa de interés del 6’3% efectivo.
Resolución ejemplo 5 • En virtud de que el plazo está en días (139), es conveniente encontrar la tasa de interés capitalizable por día equivalente al 6’3% efectivo. Para esto se utiliza la ecuación: 0’063 = (1 + i/360)360 – 1 e = (1 + i/p)p - 1 1’063 = (1 + i/360)360 e / -1 pasa sumando [360√(1’063)] = 1 + i/360 raíz 360ª a los dos lados 1’0001697 = 1 + i/360 (1’0001697 – 1)360 = i se resta el 1 y se multiplica por 360 0’06110028 = i = 6’110028% anual capitalizable por días • El monto acumulado es, por lo tanto, M = 25.350 (1’0001697)139 M = 25.350 (1’0238699) M = $25.955’10 1 + i/p = 1’0001697 III.4. Regla comercial y descuento compuesto • Consideremos el siguiente cuestionamiento.
¿en cuánto tiempo se acumulan $120.000, si ahora se invierten $107.750 al 15% nominal mensual?. Con la fórmula del interés compuesto se obtiene el plazo: 120.000 = 107.750(1 + 0’15/12)x 120.000/107.750 = (1’0125)x M = C(1 + i/p)np o bien, (1’0125)x = 1’1136890 De donde, x = ln (1’1136890)/ln(1’0125) = 8’66796 • La parte decimal se multiplica por 30 para saber el número de días 0’667986(30) = 20’03905 • Entonces el plazo será de 8 meses y 20 días pero en la práctica, generalmente no se pagan los intereses de los periodos incompletos y en el mejor de los casos pudiera ser que se pague o se reciba la parte proporcional.
• Una forma de evaluar los intereses de esta parte proporcional es la que laman regla comercial que consiste en calcular el monto acumulado durante los periodos de capitalización completos con la fórmula del interés compuesto, para luego sumarlo con lo del periodo incompleto, los 20 días del caso supuesto, considerando para este, interés simple.
• Note que el monto que se logra en los 8 meses, los periodos completos es: M = 107.750(1+ 0’15/12)8 M = 107.750(1’1044861) = 119.008’38 • Y la diferencia con los pretendidos 120 mil, 991’62 es lo que ganaría con interés simple.
• Ejemplo 1. utilizando la regla comercial, determinar cuánto se acumula al 23 de octubre, si el 10 de marzo del año anterior se depositan $85.000 en una cuenta que bonifica el 7’8% de interés anual capitalizable por cuatrimestres.
Resolución ejemplo 1 • Del 10 de marzo al 10 de julio del año siguiente se comprenden 4 cuatrimestres, y de esta fecha al 23 de octubre se tienen 105 días naturales.
• El monto acumulado durante el primer lapso, puesto que, C = 85.000, el capital inicial i = 0’078, la tasa capitalizable por cuatrimestres p = 3, los cuatrimestres que tiene el año np = 4, el número de cuatrimestres completos, es: M1 = 85.000(1 + 0’078/3)4 M = C(1 + i/p)np M1 = 85.000(1’108126) = $94.190’77 • El valor futuro de este monto 105 días después, es decir, el 23 de octubre, considerando interés simple es: M = 94.190’77[1 + 105(0’078/360) M = C(1 + ni) M = 94.190’77(1’02275) M = $96.333’61 • Solo para efectos de comparación, notar que el monto que se acumula con interés compuesto desde el 10 de marzo, fecha de la inversión, hasta el 23 de octubre del año siguiente, con un plazo fraccionario y considerando que un cuatrimestre tiene 121 es: np = 4 + 105/121 o bien, np = 4’867768 cuatrimestres es: M = 85.000(1 + 0’078/360)4’867768 M = 85.000(1’1330857) = $96.312’88 • Ejemplo 2. ¿Por qué cantidad se concedió un crédito en mercancía si se ampara con un documento con valor nominal de $50.200 que incluye intereses del 16’8% nominal trimestral y vence en 35 semanas?. Utilizar la regla comercial.
Resolución ejemplo 2 • En 35 semanas quedan comprendidos 2 trimestres de 13 semanas cada uno y 9 semanas adicionales para un periodo incompleto.
• El valor presente de los $50.200, 2 trimestres antes es: C = 50.200(1 + 0’168/4)-2 C1 = 50.200(0’92101045) = $46.234’72 C = M(1 + i/p)-2 • Ejemplo 3. ¿Cuánto dinero puede retirar Laura el 23 de diciembre, si el 8 de enero anterior depositó $75.300 en un banco que bonifica el 5’6% anual capitalizable por bimestres?.
Utilizar la regla comercial y comparar resultados considerando interés compuesto para el plazo completo.
Resolución ejemplo 3 a. Con la ayuda de un diagrama de tiempo, se aprecia que desde el 8 de enero al 8 de noviembre se cumplen 5 bimestres, y desde esta fecha hasta el 23 de diciembre se tienen 45 días. Los valores que se tienen para reemplazar en la fórmula del interés compuesto son: C = 75.300, el capital que se invierte p = 6, la frecuencia de conversión, 6 bimestres cada año np = 5, el plazo en bimestres, los que son completos i = 0’056, la tasa de interés nominal bimestral • Entonces, M = 75.300(1 + 0’056(6)5 M = C(1 + i/p)np M = 75.300(1’04754) = $78.880’21 • Y para el periodo se tiene: C = 78.880’21, el capital n = 45, el plazo en días i = 0’056/360 o bien, i = 0’0001555, la tasa de interés simple por día • El monto al 23 de diciembre es, entonces: M = 78.880’21[1 + 45(0’0001555)] M = 78.880’21(1’007) = $79.432’37 M = C(1 + ni) b. Considerando que en un bimestre caben 60 días, el plazo para el monto compuesto en bimestres es: 5 + 45/60 = 5’75 • Y el monto es, en este caso, M = 75.300(1 + 0’056/6)5’75 M = 75.300(1’05487) = $79.432’73 • Esto significa que lo más que Laura podría retirar el 23 de diciembre es este monto.
• Ejemplo 4. se compra agrícola con un anticipo del 40% y 2 abonos a 9 meses el primero, y 20 meses con 8 días el segundo, con cargos o intereses del 5’06% trimestral capitalizable por trimestres. Considerando que el último pago fue la cantidad de 1.15 millones de dólares, que corresponden al 35% del precio, usando la regla comercial, determinar: a. El precio de contado de la maquinaria b. El anticipo y el primer abono c. Los intereses de la operación crediticia.
Resolución ejemplo 4 a. En el plazo de 20 meses y 8 días del segundo abono, quedan comprendidos 6 trimestres y 68 días, el valor presente de los 1.15 millones de dólares, 6 trimestres antes de que se realice, es: C1 = 1.15(1 + 0’0506)-6 M = C(1+ i/p)-np C1 = 1.15(0’743662) = 0’8552113 millones de dólares • Y 68 días, considerando interés simple diario del 0’00056222% porque 0’0506/90 = 0’00056222, este capital se convierte en: C = 0’855211 + 68(0’00056222)]-1 M = C(1 + ip)-np C = 0’855211(0’9631766) = 0’8237196 • Puesto que el último pago corresponde al 35% de la maquinaria, se cumple que: (0’35) precio = 0’8237196 De donde, precio = 0’8237196/0’35 = 2’353484 millones b. El anticipo es del 40% de este precio: A = 0’40(2’353484) = $0’9413936 • Y el valor presente del primer abono es igual al 25% restante del precio, es decir, C2 = 0’25(2’353484) = $0,588371 • El plazo de este primer abono es de 9 meses, es decir, 3 trimestres y el valor futuro de C2 es: M1 = 0’588371(1 + 0’0506)3 M = C(1 + i/p)np M1 = (0’588371)(1’15961063) = 0,678802 c. El cargo total por concepto de intereses en dinero es el siguiente, el cual se obtiene restando del total pagado, el precio de la maquinaria, I = M – C, es decir, I = (0’9413936 + 0,678802 + 1,15) - 2’353484 I = 0,416711 Descuento compuesto • En este punto se verá una forma de descontar documentos con descuento compuesto en que, se aplica la fórmula del interés compuesto M = C(1 + i/p)np de donde C = M(1 + i/p)-np donde C es el valor descontado del documento, lo que se recibe al negociarlo, M es su valor nominal e i es la tasa de descuento. La fórmula quedaría como: P = M(1 + d/p)-np • Ejemplo 5. ¿En cuánto se descuenta un documento con valor nominal de $20.250 el 10 de abril, si vence el 10 de octubre y se descuenta el 13’5% nominal mensual?.
Resolución ejemplo 5 • Los valores a sustituir en correspondiente son: M = 20.250, el valor del documento al vencer d = 0’135, la tasa de descuento nominal mensual p = 12, la frecuencia del descuento compuesto n = 6/12 o bien n = 0’5, el plazo en años np = 6, el número de periodos mensuales la fórmula • Entonces, el valor descontado es: P = 20.250(1 + 0’135/12)-6 P = 20.250(0’935080052) P = 18.935’37 P = M(1 + d/p)-np • Ejemplo 6. el 21 de junio se transfiere, es decir, se comercializa, un pagaré en $55.770 con descuento compuesto del 18’36% nominal diario. ¿Por qué cantidad fue el crédito que originó el documento, si se cargan intereses del 17’28% simple anual?. Suponga que la firma se realizó el 5 de marzo con plazo hasta el 10 de diciembre.
Resolución ejemplo 6 • El diagrama de tiempo de la siguiente figura puede ayudar: • Del 21 de junio al 10 de diciembre se comprenden 172 días y, entonces, el valor nominal del documento es M de la igualdad: 55.770 = M(1 + 0’1836/360)-172 55.770 = M(0’916037809) P = M(1 + d/p)-np M(1 + 0’00051) -172 M = 55.770/0’916037809 = $60.881’77 • Éste el valor futuro del crédito C y puesto que el plazo entre el 5 de marzo y el 10 de diciembre es de 280 días, se tiene: 60,881’77 = C[1 + 280(0,1728/360)] 60,881’77 C(1,1344) C = 60,881’77/1,1344 = 53,668’697 M = C(1 + ni) • Ejemplo 7. Con la información del ejemplo 6, determine las utilidades que obtuvo quien otorgó el crédito, las que obtuvo el que compró el documento antes de su vencimiento y lo que tuvo que desembolsar por concepto de intereses el deudor.
Resolución ejemplo 7 • Las utilidades que logra el acreedor, la persona que otorgó el crédito son la diferencia entre lo que prestó y lo que recibió por el tercero que le compró el documento U1 = 55.770 – 53,668’70 = 2.101’30 • El que compró el documento ganó: U2 = 60,881’77 – 55.770 = 5,111’77 • Esto es la diferencia entre lo que pagó por el documento y lo que recibirá en su vencimiento, el valor nominal del pagaré, y el costo para el deudor es la diferencia de lo que le prestaron y de lo que pagará el 10 de diciembre, esto es: P = 60,881’77 – 53,668’7 = 7,213’07 • Que es igual a la suma de las utilidades para los 2 primeros.
III.5. Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor • En secciones anteriores se estudiaron los diagramas de tiempo que constituyen herramientas útiles para plantear y resolver problemas financieras, ya que facilitan los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estos desplazamientos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia.
• Con todos los valores en esa fecha y separando aquellos que corresponden a las deudas de los que corresponden a los pagos, es decir, agrupando por un lado los del “debe” y por otro los del “haber”, se establece una igualdad que se conoce como ecuación de valores equivalentes o simplemente ecuación de valor.
• Cabe señalar también que las cantidades de dinero pueden estar antes o después de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero A, está antes de esa fecha, se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal; pero si está después, entonces se restarán los intereses obteniendo su valor presente equivalente en la misma fecha focal.
• En la figura siguiente se ilustran las 2 posibilidades, donde M2 es el monto de A y CB es el valor presente de B.
• En ambos casos, el traslado se realiza con la fórmula del interés compuesto, o del interés simple si así lo estipula el problema.
• Ejemplo 1. liquidación de créditos con pagos diferidos.
• El día de hoy se cumplen 5 meses de que un comerciante en alimentos consiguió un crédito de $30.000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace 3 meses le concedieron otro y firmó un documento con valor nominal de $54.000, valor que incluye los intereses de los 6 meses del plazo. Hoy abona $60.000 a sus deudas, y acuerda con su acreedor liquidar el resto a los 4 meses, contados a partir de ahora. ¿por qué cantidad es este pago, si se tienen cargos o intereses del 11’76% nominal mensual?.
Resolución ejemplo 1 • El diagrama de la figura ilustra la situación, donde cada subdivisión de la recta representa un periodo mensual.
• Como se aprecia en la figura habrá que trasladar las 3 cantidades hasta la fecha focal, la cual se fijó arbitrariamente en el día de hoy.
• Los primeros $30.000 se ubican 5 meses antes del día de hoy, cuando se hizo el primer préstamo. Para llevarlos hasta la fecha focal habrá que sumar los intereses de 5 meses y obtener así el equivalente en esa fecha.
Puesto que los $54.000 ya incluyen intereses y son el valor nominal del pagaré correspondientes, se ponen en la fecha de su vencimiento, es decir, 3 meses después del día de hoy.
• Los 2 valores constituyen el “debe” y se anotan en la parte superior de la gráfica. El “haber” está formando por los 2 pagos, los primeros $60.000 que no se desplazan porque están en la fecha focal y el pago x que se hace 4 meses después, por eso se le restan los intereses de 4 meses.
• Es evidente que los 2 totales, las deudas D y los pagos P, son iguales porque ambos están en la misma fecha. Con esto se obtiene la ecuación de valores equivalentes P = D.
• El valor futuro de los $30.000 con intereses de 5 meses es: M1 = 30.000 (1 + 0,1176/12)5 ya que M = C(1 + i/p)np M1 = 30.000(1,0098)5 M1 = 30.000(1,04996985) = $ 31.499’09574 • Para el valor presente de los $54.000, se restarán los intereses de 3 meses también con la fórmula del interés compuesto: 54.000 = C1 (1,0098)3 54.000 = C1(1,029689) C1 = 54.000/1,029689 = $52.443’016 • El equivalente a los 2 préstamos en la fecha local, redondeando, es entonces: D = M + C1 D = 31.499’10 + 52.443’02 = $83.942’12 • Observar que una interpretación real de este resultado es que con esto se liquidarán las deudas el día de hoy.
• También se necesita quitar intereses de 4 meses a lo que será el segundo abono x, al hacerlo quedará C2 de la siguiente manera: x = C2(1’0098)4 M = C(1 + i/)np C2 = x/1’039780014 C2 = (0’96174189)x porque a/b = a(1/b) • Consecuentemente la suma de este resultado y el pago que se efectúa el día de hoy es igual al equivalente de los 2 pagos en la fecha focal; esto es, P = 60.000 + C2 P = 60.0000 + (0’961741894)x • La ecuación de valores equivalentes es, entonces, 60.000 + (0’961741894)x = 83.942’12 puesto que P = D • De donde, para despejar la incógnita, 60.000 pasa restando y 0’961741894 pasa dividiendo al lado derecho, es decir, x = (83.942’12 – 60.000)/0’961741894 x = $24.894’53 • Ejemplo 2. Intereses en crédito con abonos diferidos.
• Hallar los intereses que se cargan en el ejemplo 1.
Resolución ejemplo 2 • En la misma figura del ejemplo 1 se anotaron A1 y V1 que respectivamente, están en la fecha en que se consiguió el segundo crédito y en que vence el primero.
• Los intereses son la diferencia entre el total que se paga M y el valor presente C de los préstamos, para esto es necesario hallar el capital A2 del préstamo, cuyo valor futuro 6 meses después es $54.000 54.000 = A2(1 + 0’1176/12)6 son 6 meses de plazo 54.000 = A2(1’0602595) A2 = 54.000/1’0602595 = $50.930’9247 • En consecuencia, el total recibido en préstamo es: C = 50.930’92 + 30.000 C = 80.930’92 • Y el total que se paga es: M = 60.000 + 24.894’53 M = 84.894’53 y los intereses son entonces I = 84.894’53 – 80.930’92 = $3.963’61 III.6. Algunos problemas de aplicación • Aunque la gran mayoría de los ejemplos resueltos son verdaderas aplicaciones del interés compuesto, a continuación se agregan otras que pueden considerarse como un compendio de los temas tratados en el tema III.
Flujo de caja • Ejemplo 1. Flujo de caja en construcción de vivienda.
• Para la construcción de un núcleo de vivienda, un contratista requiere de $5.000 distribuidos de la forma siguiente: 40% al comenzar las obras, 30% a los 3 meses, 20% a los 6 meses y el 10% restante al entregar las viviendas, 7 meses después de haber comenzado los trabajos. Con este propósito, el propietario deposita $2.000, un mes antes de comenzar la construcción. Tres meses después del primer depósito, hace otro, equivalente al resto del presupuesto, en un banco que paga el 13’92% de interés anual capitalizable por meses.
¿De qué cantidad es este pago?.
Resolución ejemplo 1 • La figura siguiente muestra un diagrama de tiempo con las cantidades en millones de dólares, donde cada subdivisión de la recta representa un periodo mensual. La fecha focal se localiza al final, por lo que todas las cantidades se obtiene el monto.
• En el extremo izquierdo de la gráfica se encuentra el primer depósito y un mes después, al inicio de las obras, el primero retiro, que es igual al 40% del presupuesto total: 0,40(5.000) = 2.000 • Tres meses después está el segundo retiro, del 30%: 0’30(5.000) = 1.5000 • Y el 20% a los 6 meses de iniciada la construcción: 0’20(5.000) = 1.000 • Al final está el 10% restante, es decir, $500. El segundo depósito por x dólares se localiza a 3 meses después del primero.
• Todas las cantidades se trasladan hasta la fecha focal, con la fórmula del interés compuesto y los plazos que se observan en el diagrama de la misma figura.
M1 = 2(1 + 0’139/12)8 M= C(1 + i/p)np M1 = 2(1’0116)8 M1= 2(1’09665639) = 2’19331278 • El valor futuro del segundo pago, 5 meses después, es: M2 = x(1’0116)5 M2 = (1’0593613)x • Un lado de la ecuación equivalentes es, por lo tanto, de valores P = 2’193312 + (1’0593613)x • Y el otro lado, el de las 4 disposiciones, es: Q = M3 + M4 + M5 + 500 • Tal y como se aprecia en la misma figura, donde también se observa que los plazos son, respectivamente, 1, 4, y 7 meses, entonces, M3 = 1,0(1,0116)1 o bien, M3 = 1,0116 M4 = 1,5(1,0116)4 M4 = 1,5(1,0147213622) = 1,570820433 M5 = 2,0(1,0116)7 M5 = 2,0(1,084048103) = 2,16816206 • Así, Q = 1,0116 + 1,570820433 + 2,16816206 + 0,5 Q = 5,250582493 • La ecuación de valor es, en consecuencia, 2,193312738 + (1,0593613)x = 5,250582493 P = Q • De donde: X = (5,250582493 – 2,193312738) / 1,0593613 X = 3,057269755 / 1,0593613 = 2,885955674 Ejemplo 2 • Se compra un automóvil con precio de contado de $293.500, con un anticipo y 3 abonos bimestrales iguales al anticipo, con un interés del 16’2% anual capitalizable por bimestres. Poco antes de hacer el primer pago bimestral se conviene en reestructurar la deuda con 2 pagos a 3 y 7 meses de la compra, de tal manera que el segundo es un 25% mayor que el primero.
a. ¿De cuánto es cada pago?.
b. ¿Cuánto se paga por intereses?.
c. ¿Cuál fue el costo pare el cliente por haber cambiado el plan de pago?.
Resolución ejemplo 2 a. Para conocer el monto de los 2 nuevos pagos es necesario encontrar primero el valor del anticipo A. Para esto se calcula el valor presente C1, C2 y C3 de cada uno de los 3 originales R1, R2 y R3. La suma de los 4 debe ser igual al precio del automóvil.
A + C1 + C2 + C3 = $293.500 • La frecuencia de conversión es p = 6, ya que son 6 los bimestres que tiene un año y la tasa de interés anual es i = 0’162.
• Por lo tanto, para el primero el plazo es de un bimestre: C1 = R1 (1 + 0’162/6)-1 C = M (1 + i/p)-np C1 = R1 (1’027)-1 = (0’9737098)R1 • Para el segundo y el tercero, el plazo es, respectivamente, de 2 y 3 bimestres: C2 = R2 (1,027)-2  C2 = R2(0,948110842) C3 = R3 (1,027)-3  C3 = R3(0,923184251) • La suma de los cuatro es, entonces, A + (0,973709835)R1 + (0,948110842)R2 + (0,923184851)R3 = 293,500 • Puesto que todos son iguales, A = R1 = R2 = R3, se suman los coeficientes de las variables en el lado izquierdo y después se divide la ecuación entre la suma.
(3,845005527)A = 293.500 • De donde: A = 293.500/3,845005527 = $76.332,79 • Que es el valor del anticipo y de los otros 3 abonos.
• Entonces, después del anticipo el crédito es: C = 293.500 – 76.332,76 = $217.167,21 • Que deberá ser igual al valor presente, el día de la compraventa, de los 2 pagos del nuevo convenio.
• En la siguiente figura se aprecian los abonos originales en la parte superior de la línea, y los nuevos en la inferior. Cada espacio representa un periodo mensual.
• Ahora se encuentra el valor presente de los 2 pagos x1 y x2, y la suma debe ser igual al crédito C.
• El valor presente del primero con 3 meses o 1’5 bimestres de plazo es: C4 = x1(1 +0,0162/6)-1’5 C4 = x1 (1,027)-1’5 C4 =(0,960825089)x1 a -n = 1/an • Y el segundo es, C5 = x2 (1,027)-3,5 = (0,910968684)x2 • Pero como x2 es 25% mayor que x1, x2 = 1,25x1, se tiene que: C5 = (0’9109)(1’25x1) = (1’138)x1 • Notar que para estos 2 capitales podría emplearse la tasa de interés compuesta por mes.
• La suma de los 2 debe ser igual al crédito inicial, luego de dar el anticipo, es decir, C4 + C5 = 217.167’21 • O, (0’9608)x1 + (1’1387)x1 = 217.167’21 = 103.435’81 • El segundo pago es un 25% mayor que éste, y X2 = 1,25(103.435,81) = 129.294,77 b. Los intereses son igual a la diferencia entre el total que se pagó x1 + x2 y el crédito original, esto es: I = (103.435,81 + 129.294,77) – 217.167,67 = 15.563,37 c. Los intereses que se pagarían en el plan original son: I = 4(76.332,79) – 293.500 = 11.831,16 O también, I = 3(76.332,79) – 217.167,21 • Sin considerar el anticipo porque éste no lleva intereses.
• Consecuentemente el haber reestructurado su crédito el comprador tuvo un desembolso adicional, es decir, un costo de 3.732,21 que son la diferencia entre los 2 intereses D = 15.563,37 – 11.831,16 = 3.732,21 Ejemplo 3 • ¿Cuánto debe depositarse ahora, cuánto dentro de 2 años y cuánto más 3 años después, para constituir un fideicomiso y disponer de 8’6 millones de $, al cabo de 12 años contados a partir de ahora, considerando que el segundo depósito es un 15% menor que el primero y que el último excede en $450.000 al segundo?.
• Suponer que se devengan intereses del 9’3% nominal mensual en los primeros 4 años, del 11’4% anual capitalizable por semestres en los 3 años siguientes y del 12’8% efectivo en los últimos cinco.
Resolución ejemplo 3 ...